. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja (lub odwzorowanie, lub przekształcenie), odwzorowująca zbiór X w zbiór Y. Funkcję oznaczamy zwykle przez f, co zapisujemy następująco: f : X Y albo f : X x f(x) Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, natomiast Y nazywa się przeciwdziedziną funkcji f. Zapis f : X Y czytamy: "f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y ". W zapisie y = f(x) zmienna x mnazywa się argumentem funkcji f, natomiast y wartością funkcji f. Niech teraz dane będą zbiory A X i B Y. Zbiór f(a) określony następująco: f(a) = {f(x) : x A} nazywać będziemy obrazem zbioru A w odwzorowaniu f. Zbiór f (B) określony wzorem f (B) = {x X : f(x) B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B w odwzorowaniuf. Zauważmy, że f(a) Y, natomiast f (B) X. Zbiór f(x), czyli obraz dziedziny, nazywamy zbiorem wartości funkcji f. W przypadku, gdy f(x) = Y, funkcję f nazywamy odwzorowaniem na. Funkcję f będziemy nazywać różnowartościową na zbiorze A X, jeżeli różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji, tzn. jeżeli jest spełniony warunek ( x x f(x ) f(x ) ). x,x A Równoważnie warunek ten można zapisać w postaci ( ) f(x ) = f(x ) x = x. x,x A Funkcję f : X Y, która jest różnowartościowa na całej dziedzinie X i jest odwzorowaniem na będziemy nazywać odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym. Zauważmy, że jeżeli f : X Y jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to dla każdego y Y istnieje dokładnie jeden argument x X taki, że y = f(x). Możemy zatem rozważać funkcję,
która elementowi y Y przyporządkowuje właśnie ten jedyny element x. Taka funkcja nosi nazwę funkcji odwrotnej do funkcji f i oznaczamy ją przez f. Mamy: f (y) = x y = f(x). Niech teraz dane będą trzy niepuste zbiory X, Y i Z oraz dwie funkcje f : X Y i g : Y Z. Złożeniem funkcji f oraz g nazywamy funkcję h : X Z, określoną w następujący sposób: h(x) = g ( f(x) ) dla x X. Złożenie funkcji f i g oznaczamy symbolem g f. Zatem (g f)(x) = g ( f(x) ), przy czym f nazywa się funkcją wewnętrzną, natomiast g funkcją zewnętrzną. Przykład. Funkcja h(x) = x + 3x 5 x + 3x 5 jest złożeniem dwóch funkcji f(x) = x + 3x 5 i g(y) = y y, gdyż (g f)(x) = g ( f(x) ) = g ( x + 3x 5 ) = x + 3x 5 przy czym funkcja f jest wewnętrzna, a funkcja g jest zewnętrzna. x + 3x 5,. Funkcje rzeczywiste Definicja. Jeżeli X jest podzbiorem zbioru R (tzn. X R), to funkcję f : X R nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej. W celu określenia funkcji podajemy zwykle wzór y = f(x), gdzie za dziedzinę funkcji f przyjmuje się (jeśli nie jest powiedziane inaczej) zbiór tych liczb x R, dla których wzór y = f(x) ma sens. Zbiór nazywamy wykresem funkcji f. G f = {(x, f(x)) R : x X}. Funkcję f : X R nazywamy rosnącą (odpowiednio malejącą) w zbiorze X, gdy dla dowolnych argumentów x, x X zachodzi implikacja x < x f(x ) f(x ), (odpowiednio: x < x f(x ) f(x )). Jeśli w definicji funkcji rosnącej zastąpimy nierówność nieostrą f(x ) f(x ) nierównością ostrą f(x ) < f(x ), to otrzymamy definicję funkcji ściśle rosnącej. Podobnie, zastępując w definicji funkcji malejącej nierówność nieostrą f(x ) f(x ) przez nierówność ostrą f(x ) > f(x ), otrzymamy definicję funkcji ściśle malejącej. Funkcję f : X R nazywamy ograniczoną z góry, (odpowiednio ograniczoną z dołu), gdy istnieje stała M R taka, że f(x) M, (odpowiednio: M f(x)). x X x X Funkcję f : X R nazywamy parzystą (odpowiednio nieparzystą), gdy dla każdego argumentu x X liczba x X oraz f( x) = f(x) (odpowiednio f( x) = f(x)). 4
Funkcję f : X R nazywamy okresową, gdy istnieje liczba T 0 (zwana wtedy okresem funkcji) taka, że dla każdego argumentu x X liczby x T, x + T X oraz f(x T ) = f(x) = f(x + T ). Najmniejszy dodatni okres funkcji okresowej nazywamy okresem podstawowym tej funkcji. Liczbę x 0 X, dla której f(x 0 ) = 0 nazywamy miejscem zerowym funkcji f : X R. 3. Funkcje elementarne Funkcja liniowa. Jest to funkcja postaci f(x) = ax + b, x R, gdzie a, b R. Jeśli a = 0, to funkcja liniowa f jest stała i jej wykresem jest prosta pozioma (równoległa do osi OX). Jeśli a 0, to wykresem funkcji liniowej f jest prosta przecinająca oś Y w punkcie (0, b), oś X w punkcie ( b a, 0) i nachylona do osi OX, pod kątem α takim, że tg α = a. b b a Funkcja kwadratowa. Jest to funkcja postaci f(x) = ax + bx + c, x R, gdzie a, b, c R i a 0. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, której położenie na płaszczyźnie jest uzależnione od współczynników a, b i c. Liczbę (delta) równą b 4ac nazywamy wyróżnikiem kwadratowym. Przy tych oznaczeniach wierzchołek paraboli ma współrzędne ( b a, 4a ). b a 4a 5
Własność. Ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od znaku. Mianowicie: jeśli > 0, to funkcja f posiada dokładnie dwa różne miejsca zerowe postaci x = b a, x = b +, a jeśli = 0, to funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe postaci x 0 = b a, jeśli < 0, to funkcja f nie posiada miejsc zerowych. Wielomian stopnia n. Jest to funkcja postaci W (x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0, x R, gdzie a 0, a,..., a n R, a n 0 i n N {0}. Współczynnik a 0 nazywamy wyrazem wolnym, współczynnik a n nazywamy współczynnikiem wiodącym wielomianu. Miejsce zerowe wielomianu nosi nazwę pierwiasta wielomianu. Twierdzenie (Bezout). Liczba rzeczywista r jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian x r, czyli jest postaci gdzie Q jest pewnym wielomianem. W (x) = Q(x) (x r) Zwróćmy uwagę na to, że każdy wielomian W jest podzielny z resztą przez drugi wielomian P, to znaczy istnieją wielomiany Q i R takie, że W (x) = Q(x) P (x) + R(x), gdzie wielomian R (zwany resztą dzielenia) ma stopień niższy od stopnia wialomianu P. Funkcja homograficzna. Jest to funkcja postaci f(x) = ax + b cx + d, x R \ { d c }, gdzie a, b, c, d R, c 0 i ad bc 0. Jej wykresem jest hiperbola o asymptotach: x = d c i y = a c. d c a c 6
Funkcja wymierna. Jest to funkcja postaci R(x) = a nx n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +... + b x + b 0, x R \ D, gdzie a 0, a,..., a n, b 0, b,..., b m R, a n 0 i b m 0 oraz Funkcje wymierne postaci D = {x R : b m x m + b m x m +... + b x + b 0 = 0}. A (x a) k, Bx + C (x + px + q) k, gdzie A, B, C, p, q R, k N i p 4q < 0 (p 4q jest wyróżnikiem trójmianu x + px + q), nazywamy ułamkami prostymi. Twierdzenie. Każdą funkcję wymierną można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy pewnego wielomianu oraz skończonej liczby ułamków prostych. Przykład. x x = x(x ) = x x. Funkcja potęgowa. Jest to funkcja postaci f(x) = x a, x D a, gdzie a R. Jej dziedzina D a zależy od wartości wykładnika a. I tak na przykład: R, jeśli a N, R \ {0}, jeśli a Z, a < 0, D a = [0, + ), jeśli a Q, a > 0, (0, + ), jeśli a Q, a < 0. Funkcja wykładnicza. Jest to funkcja postaci f(x) = a x, x R, gdzie a (0, + ). Wartości każdej funkcji wykładniczej są dodatnie. Funkcje wykładnicze o podstawie a > są rosnące, natomiast o podstawie 0 < a < są malejące. y = a x a > y = a x a < 7
Funkcja logarytmiczna. Jest to funkcja postaci f(x) = log a x, x (0, + ), gdzie a > 0 i a. Dziedziną każdej funkcji logarytmicznej jest przedział otwarty (0, + ). y = log a x a > y = log a x a < Funkcje trygonometryczne. Są to cztery funkcje postaci: sin x = ( ) n xn+, x R, (sinus) (n + )! n=0 cos x = n=0 ( ) n xn, x R, (cosinus) (n)! y = sin x y = cos x 0 0 tg x = sin x cos x, x + k, k Z, (tangens) ctg x = cos x, x k, k Z. (cotangens) sin x 8
y = tg x y = ctg x 0 0 Własność. Podstawowe własności funkcji trygonometrycznych: a) funkcje trygonometryczne są okresowe, przy czym okresem podstawowym funkcji sin i cos jest, a okresem podstawowym tg i ctg jest, b) funkcje sin, tg i ctg są nieparzyste, a funkcja cos jest parzysta, c) sin x + cos x =, d) sin x = sin x cos x, e) cos x = cos x sin x, f) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, g) sin x sin y = cos x+y sin x y. Funkcje cyklometryczne. Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych na odpowiednich przedziałach. Należą do nich: y = arcsin x, x,, (arcus sinus) y = arccos x, x,, (arcus cosinus) y = arcsin x y = arccos x 9
y = arctg x, x R, (arcus tangens) y = arcctg x, x R, (arcus cotangens) y = arcctg x y = arctg x 30