Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
|
|
|
- Aleksander Chmielewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
2 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie n N {0}, a 0, a 1,..., a n R oraz a n 0. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 2 / 1
3 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie n N {0}, a 0, a 1,..., a n R oraz a n 0. a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 współczynniki wielomianu n stopień wielomianu a 0 wyraz wolny a n współczynnik wiodący XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 2 / 1
4 Wykresy Wykresy wielomianów XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
5 Wykresy Wykresy wielomianów wykres wielomianu jest ciągły XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
6 Wykresy Wykresy wielomianów wykres wielomianu jest ciągły XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
7 Wykresy Wykresy wielomianów wykres wielomianu jest ciągły wykres wielomianu ma tylko gładkie, zaokrąglone zakręty XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
8 Wykresy Wykresy wielomianów wykres wielomianu jest ciągły wykres wielomianu ma tylko gładkie, zaokrąglone zakręty XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
9 Wykresy Wykresy wielomianów XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 4 / 1
10 Wykresy Wykresy wielomianów Dla dużych x, wykres jest nieograniczony z góry i/lub z dołu XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 4 / 1
11 Wykresy Wykresy wielomianów Dla dużych x, wykres jest nieograniczony z góry i/lub z dołu Dla n nieparzytego a n > 0 a n < 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 4 / 1
12 Wykresy Wykresy wielomianów Dla dużych x, wykres jest nieograniczony z góry i/lub z dołu Dla n nieparzytego Dla n parzystego a n > 0 a n < 0 a n > 0 a n < 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 4 / 1
13 Dzielenie wielomianów Dzielenie wielomianów XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 5 / 1
14 Dzielenie wielomianów Dzielenie wielomianów Twierdzenie Jeżeli W (x) i Q(x) są wielomianami takimi, że Q(x) 0 i stopień W (x) jest większy lub równy stopniowi Q(x), to istnieją takie dwa wielomiany P (x) i R(x), że W (x) = Q(x)P (x) + R(x) lub W (x) Q(x) = P (x) + R(x) Q(x) gdzie R(x) 0 lub stopień R(x) jest mniejszy od stopnia Q(x). R(x) nazywamy resztą z dzielenia Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 5 / 1
15 Schemat Hornera Schemat Hornera, W (x) = (x x 0 ) P (x) + r XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 6 / 1
16 Schemat Hornera Schemat Hornera, W (x) = (x x 0 ) P (x) + r przykład dla wielomianu trzeciego stopnia Aby podzielić ax 3 + bx 2 + cx + d przez (x x 0 ), używamy schematu: W pionie: dodawaj Po przekątnej: mnóż przez x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 6 / 1
17 Schemat Hornera Schemat Hornera, W (x) = (x x 0 ) P (x) + r przykład dla wielomianu trzeciego stopnia Aby podzielić ax 3 + bx 2 + cx + d przez (x x 0 ), używamy schematu: W pionie: dodawaj Po przekątnej: mnóż przez x 0 Twierdzenie Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian (x x 0 ) r = W (x 0 ) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 6 / 1
18 Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wielomianu XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 7 / 1
19 Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wielomianu Definicja Liczbę rzeczywistą x 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), jeżeli W (x 0 ) = 0. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 7 / 1
20 Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wielomianu Definicja Liczbę rzeczywistą x 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), jeżeli W (x 0 ) = 0. Twierdzenie (Bezout) Liczba x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian (x x 0 ). Istnieje wówczas wielomian P (x), o jeden stopień niższy od W (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) P (x) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 7 / 1
21 Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wielomianu Definicja Liczbę rzeczywistą x 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), jeżeli W (x 0 ) = 0. Twierdzenie (Bezout) Liczba x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian (x x 0 ). Istnieje wówczas wielomian P (x), o jeden stopień niższy od W (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) P (x) Wniosek: Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 7 / 1
22 Pierwiastki wielomianu Pierwiastek k krotny Liczbę x 0 nazywamy pierwiastkiem k krotnym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy gdy W (x) jest podzielny przez (x x 0 ) k, ale nie jest podzielny przez (x x 0 ) k+1, tzn. gdy istnieje wielomian P (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) k P (x) i P (x 0 ) 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 8 / 1
23 Pierwiastki wielomianu Pierwiastek k krotny Liczbę x 0 nazywamy pierwiastkiem k krotnym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy gdy W (x) jest podzielny przez (x x 0 ) k, ale nie jest podzielny przez (x x 0 ) k+1, tzn. gdy istnieje wielomian P (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) k P (x) i P (x 0 ) 0 Jeżeli x 0 jest nieparzystokrotny, wykres W (x) przecina oś OX w punkcie x = x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 8 / 1
24 Pierwiastki wielomianu Pierwiastek k krotny Liczbę x 0 nazywamy pierwiastkiem k krotnym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy gdy W (x) jest podzielny przez (x x 0 ) k, ale nie jest podzielny przez (x x 0 ) k+1, tzn. gdy istnieje wielomian P (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) k P (x) i P (x 0 ) 0 Jeżeli x 0 jest nieparzystokrotny, wykres W (x) przecina oś OX w punkcie x = x 0 Jeżeli x 0 jest parzystokrotny, wykres W (x) jest styczny do osi OX w punkcie x = x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 8 / 1
25 Pierwiastki wielomianu Prawda czy Fałsz XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 9 / 1
26 Pierwiastki wielomianu Prawda czy Fałsz 1 Istnieje wielomian stopnia 6, który ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 9 / 1
27 Pierwiastki wielomianu Prawda czy Fałsz 1 Istnieje wielomian stopnia 6, który ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. 2 Istnieje wielomian stopnia 5, który nie ma pierwiastków rzeczywistych. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 9 / 1
28 Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wymierne wielomianu Jeżeli ułamek nieskracalny p q, p, q Z {0}, jest pierwiastkiem wielomianu W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 o współczynnikach całkowitych, przy czym a 0 a n 0, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0, a q jest dzielnikiem wpółczynnika wiodącego a n. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 10 / 1
29 Funkcje wymierne Definicja Funkcja wymierna f(x) = P (x), P (x), Q(x) wielomiany, Q(x) 0 Q(x) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 11 / 1
30 Funkcje wymierne Definicja Funkcja wymierna f(x) = P (x), P (x), Q(x) wielomiany, Q(x) 0 Q(x) Dziedzina D f = {x R : Q(x) 0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 11 / 1
31 Funkcje wymierne Definicja Funkcja wymierna f(x) = P (x), P (x), Q(x) wielomiany, Q(x) 0 Q(x) Dziedzina D f = {x R : Q(x) 0} Typowy przykład: f(x) = 1 x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 11 / 1
32 Funkcje wymierne Przykłady Przykłady funkcji wymiernych XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 12 / 1
33 Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
34 Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
35 Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
36 Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
37 Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} y = x p n = n x p R + {0} dla n parzystego R dla n nieparzystego XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
38 Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} y = x p n = n x p R + {0} dla n parzystego R dla n nieparzystego y = x p n = n 1 R x p + dla n parzystego R {0} dla n nieparzystego XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
39 Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} y = x p n = n x p R + {0} dla n parzystego R dla n nieparzystego y = x p n = n 1 R x p + dla n parzystego R {0} dla n nieparzystego y = x 0 R {0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
40 Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} y = x p n = n x p R + {0} dla n parzystego R dla n nieparzystego y = x p n = n 1 x p R + dla n parzystego R {0} dla n nieparzystego y = x 0 R {0} y = x α, α IQ R + dla α < 0 R + {0} dla α > 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
41 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Równania i nierówności pierwiastkowe XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 14 / 1
42 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Równania i nierówności pierwiastkowe Ogólna zasada: jeżeli pojawia się wyraz n..., podnieś obie strony równania lub nierówności do n-tej potęgi. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 14 / 1
43 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Równania i nierówności pierwiastkowe Ogólna zasada: jeżeli pojawia się wyraz n..., podnieś obie strony równania lub nierówności do n-tej potęgi. Twierdzenie a = b a n = b n a < b a n < b n a b a n b n jeżeli n parzysta, a, b 0 jeżeli n nieparzysta, a, b R Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 14 / 1
44 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 1. Wykazać, że funkcja f(x) = x 99 + ax 2 + bx ma co najmniej jedno i nie więcej niż trzy miejsca zerowe. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 15 / 1
45 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 1. Wykazać, że funkcja f(x) = x 99 + ax 2 + bx ma co najmniej jedno i nie więcej niż trzy miejsca zerowe. Zadanie 2. Dany jest wielomian W (x). Wiedząc, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + 1 wynosi 2, przez x 8 wynosi 7, podać wielomian, który jest resztą z dzielenia W (x) przez (x + 1)(x 8). XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 15 / 1
46 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 1. Wykazać, że funkcja f(x) = x 99 + ax 2 + bx ma co najmniej jedno i nie więcej niż trzy miejsca zerowe. Zadanie 2. Dany jest wielomian W (x). Wiedząc, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + 1 wynosi 2, przez x 8 wynosi 7, podać wielomian, który jest resztą z dzielenia W (x) przez (x + 1)(x 8). Zadanie 3. Wyznaczyć wszystkie wielomiany W spełniające warunek x R (x 1)W (x + 1) (x + 3)W (x 1) = 0 powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 15 / 1
47 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie , 1.60 powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 16 / 1
48 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie g, h XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 17 / 1
49 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie g, h Zadanie 6. Rozwiązać równanie x x 1 + x x 1 = 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 17 / 1
50 Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie g, h Zadanie 6. Rozwiązać równanie x x 1 + x x 1 = 1 Zadanie 7. powrót 1.79 m, n, p XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 17 / 1
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
"W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki." Immanuel Kant
"W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki." Immanuel Kant Def. Jeżeli A R, to kresem górnym zbioru A nazywamy liczbę supa taką, że 1. x A: supa x, 2. y: (y < supa x A: y < x supa) Def.
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
WIELOMIANY. Poziom podstawowy
WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Wielomiany. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt. 17 marca 2006
Wielomiany Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 17 marca 2006 Spis treści 1 Podstawowe pojęcia 1 2 Wykresy i własności 2 2.1 Wielomian trzeciego stopnia....................
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Literatura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
WIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Funkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5
Funkcje elementarne Ksenia Hladysz 16.10.014 Spis treści 1 Funkcje elementarne. 1 Własności 3 Zadania 5 1 Funkcje elementarne. Są to funkcje określone wzorami zawierającymi skończoną ilość operacji algebraicznych
Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.
Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech
< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
K P K P R K P R D K P R D W
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
E-learning matematyka poziom rozszerzony
Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego E-learning matematyka poziom rozszerzony Temat: Wielomiany Materiały merytoryczne
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n
Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA Wyrażenia algebraiczne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Wyrażenie 3 a 8 a +
Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY)
ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY) wersja robocza - 19.03.2019 Edukacja Karol Suchoń Korepetycje, zajęcia, przygotowanie do egzaminu www.karolsuchon.pl kontakt: kontakt@karolsuchon.pl
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
MATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część II: Wyrażenia algebraiczne Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Zbiór najczęściej podaje się wymieniając jego elementy, np. B 1,2,3,4,5 lub też podając własność, którą elementy jego muszą spełniać B x
Pojęcie zbioru i podzbioru. Równość zbiorów. Działania na zbiorach: suma, iloczyn, różnica zbiorów. Dopełnienie zbioru. Podstawowe prawa rachunku zbiorów. Zbiór i należenie do zbioru są pojęciami pierwotnymi,
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Elementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
WYMAGANIA EDUKACYJNE. rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciel uczący Poziom matematyka 3t Zuzanna Durlak rozszerzony 1. Funkcja kwadratowa Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Wykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2017/2018 klasa pierwsza Branżowa Szkoła
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2017/2018 klasa pierwsza Branżowa Szkoła Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego.
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.)
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = godz.) Ramowy rozkład materiału I. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie, cz. 2...
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres