MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl Sreszczenie: W arykule scharakeryzowano opcje na akcje Wyjaśniono podsawowe pojęcia, akie jak: ermin wykonania, ermin wygaśnięcia, cena wykonania, cena opcji Do opisu ewolucji cen akcji wykorzysano geomeryczny ruch Browna Sformułowano kilka problemów doyczących inwesowania w opcje na akcje orzymując zadania programowania sochasycznego Korzysając z własności ruchu Browna pokazano, w jaki sposób szacować prawdopodobieńswa zdarzeń polegających na osiągnięciu przez inwesora zysków na żądanym poziomie lub przy usalonym poziomie ryzyka Dla każdego z zadań dokonano przykładowych obliczeń Słowa kluczowe: opcje na akcje, sandardowy ruch Browna, geomeryczny ruch Browna WSĘ Opcje na akcje są jednym z najpopularniejszych insrumenów pochodnych na świecie Umożliwiają one inwesorom osiągać zarówno ponadprzecięne zyski, gdy cena wykonania opcji jes lepsza niż cena oferowana na wolnym rynku, jak i zabezpieczać się przed nadmiernymi sraami związanymi ze zmianami kursów akcji Celem niniejszej pracy jes pokazanie, w jaki sposób można szacować prawdopodobieńswa osiągnięcia ych zysków z uwzględnieniem oczekiwań inwesora co do inwesycji w opcje CHARAKERYSYKA OCJI Opcja kupna (ang call) jes konrakem, kóry daje nabywcy prawo do kupna usalonej ilości insrumenu podsawowego, na kóry opcja zosała wysawiona, po
44 omasz Warowny określonej cenie i w usalonym erminie Opcja sprzedaży (ang pu) daje prawo do sprzedaży insrumenu podsawowego po określonej cenie i w usalonym erminie Dla nabywcy opcja jes prawem, a nie obowiązkiem Skorzysa z ego prawa, gdy będzie mu się o opłacało Naomias sprzedający (wysawiający) opcje ma obowiązek, na życzenie nabywcy opcji, odsprzedać (w przypadku opcji kupna) lub odkupić (w przypadku opcji sprzedaży) insrumen podsawowy, na kóry opcja jes wysawiona Z inwesycjami w opcje wiąże się duże ryzyko W związku z ym wysawca opcji musi złożyć depozy zabezpieczający (ang margin), kóry ma zagwaranować spełnienie jego ewenualnych zobowiązań [Luenberger 003] ermin, w kórym posiadacz opcji wykorzysał swoje prawo nazywamy erminem wykonania (ang exercise dae) ermin, po kórym opcja raci swoją ważność i nie może być wykonana nazywamy erminem wygaśnięcia opcji (ang mauriy, expiraion dae) Wyróżnia się dwa ypy opcji: europejskie, kóre mogą być wykonane ylko w dniu wygaśnięcia opcji, amerykańskie, kóre mogą być wykonane w dowolnym dniu do erminu wygaśnięcia opcji Nazwy obu ypów nie są w żaden sposób związane z miejscem obrou erminy e w przeszłości odnosiły się do różnych zasad handlu opcjami, jakie obowiązywały w Europie i Ameryce Większość opcji, kórymi handluje się na świaowych rynkach o opcje amerykańskie owodem ego, między innymi, jes fak, że opcje europejskie są bardziej narażone na manipulacje w okresie bliskim erminowi wygaśnięcia [Weron, Weron 1998] Cena insrumenu podsawowego usalona w konrakcie nazywa się ceną wykonania (ang srike, exercise price) Jeżeli opcję opłaca się wykonać mówimy, że opcja jes w cenie (ang in he money), np w przypadku opcji sprzedaży dzieje się ak, gdy cena wykonania jes wyższa niż cena insrumenu podsawowego Gdy cena insrumenu podsawowego jes równa cenie wykonania mówimy, że opcja jes po cenie (ang a he money) Opcja nie jes w cenie (ang ou of he money), gdy nie opłaca się jej wykonać, np w przypadku opcji sprzedaży dzieje się ak, gdy cena wykonania jes niższa niż cena insrumenu podsawowego Opcjami na świaowych rynkach handluje się od dawna Na Giełdzie apierów Warościowych w Warszawie oferowane są wyłącznie opcje na indeks WIG 0 Opcje na akcje były noowane od października 005 r, ale od 4 lipca 007 r zawieszono wprowadzanie do obrou kolejnych serii opcji na akcje oraz zawieszono obró wszyskimi seriami opcji na akcje 1 1 wwwgpwpl/opcje_insrumeny
O pewnych kryeriach inwesowania w opcje 45 ROCES WIENERA I MODEL EWOLUCJI CENY AKCJI Do opisu ewolucji ceny akcji posłuży proces geomerycznego ruchu Browna posaci: p = p gdzie: p - cena akcji w chwili, p - cena akcji w chwili począkowej, o w - sandardowy ruch Browna, w σ σ + m oe, 0, m,σ - paramery modelu reprezenujące odpowiednio warość średnią i wariancję (na jednoskę czasu) sopy zmiany ceny akcji roces geomerycznego ruchu Browna ma nasępujące własności: jeżeli p 0 jes warością dodanią, o dla każdego > 0 jes p > 0, dla każdego usalonego > 0 zmienna losowa p ma rozkład lognormalny, wariancja Var[ p ], gdy Jeżeli rajekoria ruchu Browna saruje od dodaniej warości, o proces osiąga ylko warości dodanie Fak en, jak również o, że dla procesów oparych na rozkładzie Gaussa jes dobrze rozwinięy apara maemayczny, zadecydował, że właśnie en proces wielu badaczy rynku przyjmuje do opisu ewolucji cen papierów warościowych Wykorzysali go, między innymi, Osborne, Samuelson, kórych prace w laach pięćdziesiąych dokonały przełomu w maemayce finansowej Z modelowaniem sochasycznym rynków kapiałowych związane są eż akie nazwiska jak: Meron, Blaska, Scholesa roces geomerycznego ruchu Browna jes rozwiązaniem sochasycznego równania różniczkowego dp = p[ md +σ dw] Więcej na ema ruchu Brona można znaleźć w [Banek 000], [Luenberger 003], [Sobczyk 1996], [Weron, Weron 1998]
46 omasz Warowny roces sochasyczny { w, 0} (,ω ) w Browna, jeżeli: 1 w 0 = 0, w lieraurze spoyka się eż oznaczenie, nazywamy sandardowym procesem Wienera lub sandardowym ruchem rzyros sandardowego procesu Wienera na przedziale o długości Δ ma rozkład normalny z warością oczekiwaną 0 i wariancją równą długości ego przedziału, czyli dla każdego 0, Δ > 0 jes ( w + Δ w ) ~ N( 0, Δ ) 3 Jeżeli 1 < 3 < 4, o zmienne losowe ( w w ) i ( w w ) 1 4 są 3 niezależne 4 Funkcja w(, ω ) R jes z prawdopodobieńswem równym 1 ciągła względem, czyli proces Wienera ma ciągłe rajekorie W dalszej części pracy wykorzysane zosaną poniższe własności procesu Wienera Własność 1 Niech a > 0 i b R, wedy a + b ab a b ( max w b + a) = 1 F + e 1 F, gdzie F jes dysrybuaną sandardowego rozkładu normalnego Dowód powyższej własności można znaleźć w [Szirajev, Kabanov, Kramkov, Mielnikov 1994] W szczególności, gdy b = 0 orzymujemy Własność [Billingsley 1987] a ( w a) = 1 F = ( w a) max W ym miejscu waro przyoczyć wzór Blacka-Scholesa na wycenę opcji na akcje Rozważmy europejską opcję kupna z ceną wykonania q i erminem wygaśnięcia Zakładamy, że akcja, na kórą zosała wysawiona opcja nie daje dywidendy w okresie [ 0, ], sopa wolna od ryzyka ( r ) jes sała i ma miejsce kapializacja ciągła Wedy wzór na cenę opcji (cena a nazywana jes eż premią) 0, jes nasępujący [Luenberger 003]: w chwili [ ]
O pewnych kryeriach inwesowania w opcje 47 r( ) ( d ) qe F( ) E c = pf 1 d, gdzie: E c - cena europejskiej opcji kupna w chwili, p - cena akcji w chwili, F - dysrybuana sandardowego rozkładu normalnego, d p σ ln + r q + = σ ( ) 1, p σ ln + r ( ) q d = σ E Znając cenę europejskiej opcji kupna ( c ) cenę europejskiej opcji sprzedaży ( s ) można wyznaczyć z paryeu kupna-sprzedaży [Weron, Weron 1998]: E E E r( ) c s = p qe W [Weron, Weron 1998] pokazano, że w przypadku opcji amerykańskich prawdziwe są nierówności: A A r( ) p q < c s p qe, gdzie akcji A A c, s oznaczają odpowiednio ceny amerykańskich opcji kupna i sprzedaży WYBRANE KRYERIA INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE Sformułowanych zosanie kilka problemów związanych z inwesowaniem w opcje na akcje Oszacujemy prawdopodobieńswa zdarzeń osiągnięcia przez inwesora zysku na żądanym poziomie lub przy usalonym poziomie ryzyka Zadanie 1 usalony poziom zysku, europejska opcja kupna Inwesor posiada europejską opcję kupna akcji z erminem wygaśnięcia i ceną rozliczenia opcji q Obliczmy r ( e ( p q) z) Jes o prawdopodobieńswo ego, że rozliczając opcje w chwili inwesor osiągnie zysk co najmniej z Wielkość zysku jes zdyskonowana na chwilę
48 omasz Warowny obecną ze sopą kapializacji ciągłej r Usalając warość z inwesor powinien uwzględnić poniesione koszy, akie jak: koszy ransakcji, cenę opcji W przypadku europejskiej opcji sprzedaży należałoby rozważyć r prawdopodobieńswo ( e ( q p ) z) Zajmijmy się przypadkiem opcji kupna Mamy σ σw + m r r ( e ( p q) z) = e = poe q z r ze q 1 + σ = w m = F( C ) ln p 1, σ o gdzie r 1 ze + q σ C = ln m, σ po F jes dysrybuaną sandardowego rozkładu normalnego rzykład Niech począkowa cena akcji będzie równa 50 zł Inwesor nabywa europejską opcję kupna ej akcji z ceną wykonania 50 zł i erminem wygaśnięcia za rok Sopa wolna od ryzyka dla ego okresu o 6% Zaem p o = 50, q = 50, r = 0, 06, = 1 Załóżmy ponad o, że sopa zmiany ceny akcji i odchylenie sandardowe ej sopy są równe odpowiednio m = 0, 08, σ = 0, 1 Korzysając ze wzoru Blacka-Scholesa orzymujemy, że cena opcji wynosi E c = 3,73 zł rzyjmijmy z = 5 Obliczymy, zaem prawdopodobieńswo ego, że za rok inwesor wykona posiadaną opcję z ceną wykonania 50 zł i naychmias sprzedając akcję po akualnej cenie rynkowej osiągnie zysk zdyskonowany na chwilę obecną na poziomie co najmniej 5 zł Rozważane prawdopodobieńswo ma warość r ( e ( p q) z) = 0, 398 Zadanie - usalony poziom ryzyka, europejska opcja kupna Inwesor nieskłonny do dużego ryzyka może usalić jego maksymalną warość i szukać akiej wielkości zysku, kóra może być zrealizowana z prawdopodobieńswem nie mniejszym niż usalił Zadanie można sformułować w nasępującej posaci
O pewnych kryeriach inwesowania w opcje 49 ρ będzie usaloną przez inwesora liczbą, kórą będziemy nazywać poziomem ryzyka Należy wyznaczyć aką warość z ρ, że Niech [ 0,1] r { z : ( e ( p q) z) 1 } zρ = max ρ owyższa warość jes największym poziomem zysku, jaki można osiągnąć przy usalonym poziomie ryzyka ρ Z poprzedniego zadania wiemy, że r ( e ( p q) z) = F( C ) 1, gdzie r 1 ze + q σ C = ln m σ po Zaem F C 1 1 ( ) ρ 1 lub równoważnie C F ( ρ) Mamy więc σ z poe Osaecznie orzymujemy r ze + q σ ln m F po 1 1 z σ F ( ρ ) + m r 1 σ -qe r σ F ( ρ ) + m r r ρ = poe -qe 1 σ ( ρ) rzykład Dla warości akich jak w poprzednim przykładzie: p o = 50, q = 50, r = 0, 06, = 1, m = 0, 08, σ = 0, 1 przyjmijmy, że inwesor usalił poziom ryzyka ρ = 0,3 z ρ jes zaem maksymalną warością (zdyskonowaną) zysku jaki można osiągnąć z prawdopodobieńswem równym co najmniej 0,7 Z powyższego wzoru orzymujemy z = 1, 07 ρ,
50 omasz Warowny Zadanie 3 usalony poziom zysku, amerykańska opcja kupna Rozważmy amerykańską opcję kupna akcji z erminem wygaśnięcia i ceną wykonania opcji q Oszacujemy nasępujące prawdopodobieńswo: r ( e ( p q) z) max o Jes o prawdopodobieńswo ego, że do erminu wygaśnięcia opcji inwesor będzie mógł wykonać opcję i osiągnie zysk zdyskonowany na chwilę obecną na poziomie co najmniej z Mamy ( ( ) ) r r 1 ze + q σ maxe p q z = max w ln m o o σ po Oznaczmy r 1 ze + q σ B() = ln m σ po i niech B = min B() o rawdopodobieńswo, że rajekoria procesu Wienera dojdzie do krzywej B () jes nie większe niż prawdopodobieńswo, że rajekoria procesu Wienera dojdzie do B Sąd i z własności orzymujemy B ( w B() ) ( max w B) = ( w B) = 1 F max, o o gdzie F jes dysrybuaną sandardowego rozkładu normalnego Ławo sprawdzić, że B " () r qzr e =, σ r ( ze + q) " czyli, dla każdego 0 jes B () > 0 Druga pochodna funkcji B () jes dodania, a więc funkcja jes wypukła Jej 0, B 0 wykres na przedziale [, ] i ( B( )) 0 znajduje się pod prosą zawierającą punky ( ( )), rzyjmijmy, że prosa a ma równanie l () = a + b B 0, czyli Warość współczynnika a o ( ) a 1 = ln σ z + q p o
O pewnych kryeriach inwesowania w opcje 51 Naomias warość współczynnika b wyliczymy z równania b a = B( ) Mamy co daje r 1 z + q 1 ze + q σ b + ln = ln m, σ po σ po r 1 ze + q σ b = ln m σ z + q + rawdopodobieńswo, że na przedziale [ 0, ] rajekoria ruchu Browna dojdzie do krzywej B () jes, zaem większe niż prawdopodobieńswo, że rajekoria ruchu Browna dojdzie do prosej l () Korzysając z własności 1 mamy r ( max e ( p q) z) = max w B() o ( ) ( max w a + b)= o o a + b a b = 1 F + e ab 1 F 1 z + q Oczywiście, musi być a > 0, czyli ln > 0 więc z + q > po σ p o Gdyby było inaczej, z + q po, oznaczałoby o, że już w chwili zerowej inwesor rozliczając opcję i naychmias sprzedając akcje osiągnąłby wymagane z Osaecznie orzymaliśmy r B ( maxe ( p q) z) 1 F a + b ab a b 1 F + e 1 F o ze wszyskimi oznaczeniami jak wcześniej rzykład Inwesor posiada amerykańską opcję kupna z erminem wygaśnięcia jeden rok, z ceną rozliczenia 50 zł, aką samą jak obecna cena akcji Mamy, zaem p o = 50, q = 50, = 1 Załóżmy ponad o, że sopa zmiany ceny akcji i odchylenie sandardowe ej sopy są równe odpowiednio m = 0, 08, σ = 0, 1, sopa wolna od ryzyka r = 0, 06 Inwesor usala z = 5 Oszacujemy, zaem prawdopodobieńswo ego, że w ciągu roku inwesor będzie mógł wykonać opcję i osiągnie zysk zdyskonowany na chwilę obecną na poziomie co najmniej 5 zł Dla powyższych warości orzymujemy r ( maxe ( p q) z) 0, 79 0,58 o
5 omasz Warowny ZAKOŃCZENIE Opcje dają możliwość worzenia różnych sraegii inwesycyjnych na wypadek różnych scenariuszy rozwoju wydarzeń na giełdzie Zaprezenowane kryeria mają zasosowanie do oceny inwesycji w opcje na akcje Mogą one być pomocne inwesorowi przy ocenie warości prawdopodobieńsw osiągnięcia oczekiwanych zysków lub szacowaniu przyszłych zysków przy usalonym poziomie ryzyka okazano, w jaki sposób szacować e prawdopodobieńswa zarówno dla opcji amerykańskich jak i europejskich BIBLIOGRAFIA Banek (000) Rachunek ryzyka, Cenrum Badawczo-Szkoleniowe WSZiA w Zamościu, Lublin Billingsley (1987) rawdopodobieńswo i miara, WN, Warszawa Luenberger D, G (003) eoria inwesycji finansowych, Wydawnicwo Naukowe WN, Warszawa Sobczyk K (1996) Sochasyczne równania różniczkowe, Wydawnicwo Naukowo- echniczne, Warszawa Szirajev AN, Kabanov JM, Kramkov DO, Mielnikov AB, (1994) K eorii raszczoov opcionov Evropejskogo i Amerikanskogo ipov, Nepreryvnoje vremia - eoria veroja i promen, om 39 Weron A, Weron R, (1998) Inżynieria finansowa, Wydawnicwo Naukowo-echniczne, Warszawa SOME CRIERIA OF INVESMEN IN SOCKS OIONS Absrac: his aricle describes he sock opions I explains he basic conceps, such as selemen dae, expiraion dae, srike price and premium o describe he evoluion of share prices we used he geomerical Brownian moionwe presened he several crieria for invesmen in opions and shares and hen obained he exercises of sochasic programming Using he properies of Brownian moion, we explained how o esimae he probabiliy of achieving he profi of desired amoun or on fixed level of risk For each of hese crieria we presened he sample calculaions Keywords: sock opions, Brownian moion, geomerical Brownian moion