Matematyka finansowa w pakiecie Matlab
|
|
- Józef Szulc
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka w ekonomii i finansach Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 1/40
2 Wycena europejskiej opcji kupna Zakładać, że nasz rynek jest rynkiem idealnym. Rozważmy europejską opcję kupna o cenie wykonania K i terminie wykonania T. Zakładać będziemy, że instrumentem bazowym są akcje, przez S t oznaczymy cenę akcji w chwili t. Postaramy się odpowiedzieć na pytanie ile powinien kosztować instrument dający w chwili T wypłatę równą { f (S T ) = (S T K) + S T K, gdy S T > K = max{s T K, 0} = 0, gdy S T K Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 2/40
3 Model rynku jednookresowego, dwustanowego Rynek pracuje w dwóch chwilach czasu 0 i T. Możliwe są dwa scenariusze wypadków 1, który interpretujemy jako korzystny i -1, który interpretujemy jako niekorzystny. Zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = { 1, 1}. Ponadto, P(ω = 1) = p > 0, P(ω = 1) = 1 p > 0. Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny akcja i jeden pozbawiony ryzyka (obligacja lub wkład na rachunku bankowym). S t cena papieru ryzykownego (akcji) w chwili t (za jedną jednostkę), t {0, T }. B t cena papieru pozbawionego ryzyka w chwili t (za jedną jednostkę), t {0, T }. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 3/40
4 Model rynku jednookresowego, dwustanowego Zakładamy, że B 0 = 1, B T = B 0 (1 + r) = 1 + r, gdzie liczbę r 0 jest stopą procentową wolną od ryzyka, Natomiast S 0 = s > 0, S T (ω) = { S u gdy ω = 1 S d gdy ω = 1. Przyjmujemy, że S u > S d, dlatego 1 nazywamy scenariuszem korzystnym. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 4/40
5 Przykład Niech r = 0.05, S 0 = 100, S u = 120, S d = 70, p = 0.4. Wówczas B T = B 0 (1 + r) = 1( ) = 1.05 { 120 gdy ω = 1 S T (ω) = 70 gdy ω = 1. Możemy przedstawić to na następującym drzewku dwumianowym : t = 0 t = T Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 5/40
6 Przykład Rozważmy europejską opcję kupna o terminie wykonania T i cenie wykonania K = 110. Wartość takiej opcji w chwili T jest równa { f (ω) = (S T (ω) 110) + ( ) + = 10 gdy ω = 1 = (70 110) + = 0 gdy ω = 1. Ile wynosi wartość tej opcji w chwili 0? (Innymi słowy jaka jest cena sprawiedliwa tej opcji?) ? t = 0 t = T Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 6/40
7 Przykład Pomysł 1. Inwestor ocenia, że prawdopodobieństwo zajścia korzystnego scenariusza (tzn. wzrostu ceny akcji do 120) wynosi p = 0.4, a niekorzystnego (tzn. spadku ceny akcji do 70) wynosi 1 p = 0.6. W tym pierwszym przypadku nasza wypłata wyniesie 10, a w drugim 0. Wartość oczekiwana wypłaty opcji w chwili T wynosi więc E P f = = 4. Aby otrzymać wartość opcji w chwili 0 (którą oznaczać będziemy przez C 0 ) dyskontujemy powyższy wynik C 0 = (1 + r) 1 E P f = Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 7/40
8 Przykład Widać, że tak obliczona cena zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, tzn. od oszacowania rynku przez inwestora. Jeżeli inny inwestor uważa, że prawdopodobieństwo zajścia korzystnego scenariusza wynosi p = 0.3, a niekorzystnego 1 p = 0.7, to zdyskontowana wartość oczekiwana wypłaty wynosić będzie C 0 = (1 + r) 1 E P f T = ( ) Która cena jest więc prawdziwa? Jasne jest, że powyższy sposób obliczania ceny opcji nie jest dobry. Potrzebna jest taka definicja ceny, która nie zależy od subiektywnych oszacowań inwestorów. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 8/40
9 Przykład Pomysł 2. Inwestor wystawiający opcję powinien umieć ją zabezpieczyć. To znaczy zainwestować w chwili 0 pieniądze otrzymane ze sprzedaży opcji (w akcje i lokatę bankową), aby w chwili T wartość jego inwestycji była równa wartości opcji. Załóżmy więc, że inwestor w chwili 0 wpłacił kwotę β na lokatę bankową i kupił γ akcji (β, γ R). Wartość jego inwestycji w chwili T (którą oznaczamy X T ) wynosić będzie w zależności od tego, który scenariusz zajdzie X T (1) = β B T + γ S T (1) = β γ 120 X T ( 1) = β B T + γ S T ( 1) = β γ 70 Ponieważ inwestycja ma zabezpieczać opcję o funkcji wypłaty f, zatem powinno zachodzić: X T (1) = f (1) = 10, X T ( 1) = f ( 1) = 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 9/40
10 Przykład Otrzymaliśmy zatem układ równań { β γ 120 = 10 β γ 70 = 0. Jego rozwiązaniem jest para (β, γ) = ( , 1 5 ). Obliczmy teraz ile wynosi wartość tej inwestycji w chwili 0 (inaczej mówiąc jaki musimy mieć kapitał początkowy aby dokonać takiej inwestycji) X 0 = β B 0 + γ S 0 = = = Wynika stąd, że jeżeli za sprzedaż opcji dostaniemy to możemy zainwestować tą kwotę tak, że niezależnie od scenariusza będziemy w stanie w chwili T wypłacić należność nabywcy opcji. Czy C 0 = jest sprawiedliwą (nie krzywdzącą żadnej ze stron) ceną opcji? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 10/40
11 Przykład W chwili 0 wystawca opcji: W chwili T natomiast: Sprzedaje jedną opcję Bierze kredyt Kupuje 1 5 akcji 100 = = 0 ω = 1 ω = 1 Realizuje jedną opcję 10 0 Spłaca kredyt Sprzedaje 1 5 akcji = = = = = 0 dla ω = 1, = 0 dla ω = 1. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 11/40
12 Przykład W chwili 0 nabywca opcji: Kupuje jedną opcję Wpłaca na rachunek bankowy Sprzedaje 1 5 akcji (krótka sprzedaż) = 20 W chwili T natomiast: = 0 ω = 1 ω = 1 Odbiera wypłatę z opcji 10 0 Wypłaca pieniądze z rachunku Odkupuje 1 5 akcji = = = = = 0 dla ω = 1, = 0 dla ω = 1. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 12/40
13 Cena sprawiedliwa Widzimy więc, że cena C 0 nie krzywdzi żadnej ze stron. Nikt nie dokłada do transakcji. Dlatego jest to cena sprawiedliwa. Cena ta nie zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, tzn. od oszacowania rynku przez inwestora. Gdyby opcja była sprzedawana po cenie C > C 0 to sprzedający miałby pewny zysk C C 0 > 0, gdyż wydałby tylko C 0 aby zabezpieczyć opcję a resztę zachował dla siebie. Gdyby opcja była sprzedawana po cenie C < C 0 to kupujący miałby pewny zysk C 0 C > 0, gdyż aby otrzymać wypłatę f musiałby wydać C 0 a tak wydałby tylko C. W obu przypadkach gdy C C 0 można osiągnąć zysk bez żadnego ryzyka. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 13/40
14 Sposób wyceny w modelu jednookresowym Cena akcji Wartość opcji S u f u S 0? S d f d t = 0 t = T t = 0 t = T Wówczas cena sprawiedliwa opcji jest określona wzorem C 0 = β + γ S 0, gdzie β = f d S u f u S d (1 + r)(s u S d ), γ = f u f d S u S d Aby zabezpieczyć opcję należy wpłacić β na lokatę i kupić γ akcji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 14/40
15 Przykład Niech r = 0, B 0 = 1, K = 11, Cena akcji Wartość opcji ? 11 0 t = 0 t = T t = 0 t = T Wówczas β = (1 + 0)(12 11) = 11 γ = = 1 C 0 = = 1??? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 15/40
16 Arbitraż Dlaczego cena C 0 jest ujemna? Jak należy interpretować taką sytuację? Zauważmy, że w opisanym przykładzie, kupno akcji zawsze się opłaca, możemy osiągnąć zysk nic nie ryzykując, tzn. że na rynku istnieje możliwość arbitrażu. Istnienie arbitrażu świadczy o istnieniu poważnych błędów w wycenie instrumentów na rynku. Opisany model rynku (jednookresowy, dwustanowy) jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy S d < (1 + r)s 0 < S u. Warunek ten oznacza, że w scenariuszu niekorzystnym akcja musi przynosić mniejszy zysk niż rachunek bankowy, a w scenariuszu korzystnym większy. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 16/40
17 Model dwumianowy Rynek pracuje w chwilach t = 0, 1, 2,..., T, gdzie T < +, Zakładamy, że liczba możliwych scenariuszy jest skończona Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }, P(ω i ) > 0, i = 1,..., n. Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny (którego cena zmienia się w sposób losowy) akcje, drugi pozbawiony ryzyka (którego cena zmienia się w sposób deterministyczny) np. obligacje lub wkład na rachunek bankowy. B t oznacza cenę papieru bez ryzyka (za jedną jednostkę) w okresie czasu [t, t + 1). S t oznacza cenę papieru ryzykownego (za jedną jednostkę) w okresie czasu [t, t + 1). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 17/40
18 Model dwumianowy Będziemy zakładać, że w okresie [0, T ] stopa procentowa wolna od ryzyka jest stała i równa r 0 oraz, że dla t = 1, 2,..., T. B 0 = 1, B t = B t 1 (1 + r) W każdym momencie t = 1, 2,..., T może zajść jeden z dwóch scenariuszy: 1 (korzystny) i -1, (niekorzystny). To, który ze scenariuszy zajdzie, nie zależy od tego, które scenariusze zachodziły w poprzednich momentach. Cenę akcji opisuje zatem wzór { S t 1 (1 + b), gdy ω = 1 S 0 = s > 0, S t (ω) = S t 1 (1 + a), gdy ω = 1, gdzie 1 < a < b. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 18/40
19 Model dwumianowy W języku teorii prawdopodobieństwa możemy napisać, że S t = S t 1 U t dla t = 1, 2,..., T, gdzie U t są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie P(U t = 1 + b) = p, P(U t = 1 + a) = 1 p, p (0, 1). Można pokazać, że na rynku nie ma możliwości arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy a < r < b. Wówczas oczywiście 1 + a < 1 + r < 1 + b i w scenariuszu korzystnym akcja przynosi większy zysk niż lokata bankowa, a w scenariuszu niekorzystnym mniejszy. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 19/40
20 Model dwumianowy β t stan lokaty bankowej w okresie czasu (t 1, t], t = 1,..., T. γ t liczba posiadanych akcji w okresie czasu (t 1, t], t = 1,..., T, Jeżeli β t < 0 to interpretujemy to jako zaciągnięcie kredytu w banku. Jeżeli γ t < 0 to mówimy, że inwestor dokonał tzw. krótkiej sprzedaży, tzn. sprzedał pożyczone akcje, π = {π t = (β t, γ t ) ; t = 1,..., T } strategia inwestycyjna (portfel inwestora), β t, γ t nie muszą być takie same dla każdego scenariusza. Inwestor podejmuje decyzje o tym, ile jednostek danego instrumentu chce posiadać w chwili t, na podstawie dostępnej mu informacji o zmianach cen instrumentów w okresie 0 do t 1. Inwestor nie potrafi natomiast przewidywać przyszłości, dlatego jego decyzje nie mogą zależeć od cen instrumentów w chwilach t, t + 1,..., T. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 20/40
21 Model dwumianowy X π 0 = x 0 kapitał początkowy. X π = {Xt π = β t B t + γ t S t ; t = 1,..., T } kapitał inwestora przy strategii inwestycyjnej π, (wartość portfela). Mówimy, że strategia π jest samofinansująca się jeżeli X π t 1 = β t B t 1 + γ t S t 1, t = 1,..., T. Powyższy warunek oznacza, że nie ma dopływu kapitału z zewnątrz, ani wypływu na zewnątrz. Cały kapitał jaki inwestor posiada w chwili t 1 przeznacza on zakup portfela π t. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 21/40
22 Model dwumianowy Mówimy, że π jest strategią o wartości początkowej x 0 zabezpieczającą (replikującą) kontrakt f T, jeżeli X π 0 = x 0, π samofinansująca się, X π t 0, t = 0,..., T, X π T = f T. ceną sprawiedliwą (racjonalną) kontraktu f T nazywamy liczbę C 0 = inf{x 0 ; takie, że istnieje strategia π o wartości początkowej x zabezpieczająca kontrakt f T } Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 22/40
23 Zadanie Podać cenę sprawiedliwą oraz skonstruować strategie zabezpieczającą europejską opcję kupna, jeżeli T = 3, K = 100, B 0 = 1, r = 0, a ceny akcji S = {S 0, S 1, S 2, S 3 } opisuje następujące drzewko t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 23/40
24 Rozwiązanie Zbiór możliwych scenariuszy to {(ω 1, ω 2, ω 3 ) ; ω i { 1, 1}}. Ponieważ r = 0, więc B i (ω 1, ω 2, ω 3 ) = 1 dla i = 0, 1, 2, 3, ω 1, ω 2, ω 3 { 1, 1}. Proces cen akcji wygląda następująco S 0 (ω 1, ω 2, ω 3 ) = 100 dla ω 1, ω 2, ω 3 { 1, 1}, S 1 (1, ω 2, ω 3 ) = 120 dla ω 2, ω 3 { 1, 1}, S 1 ( 1, ω 2, ω 3 ) = 80 dla ω 2, ω 3 { 1, 1}, S 2 (1, 1, ω 3 ) = 140 dla ω 3 { 1, 1}, S 2 (1, 1, ω 3 ) =... Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 24/40
25 Rozwiązanie Rozważamy opcję o funkcji wypłaty f (ω 1, ω 2, ω 3 ) = (S 3 (ω 1, ω 2, ω 3 ) 100) +. Stąd f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = ( ) + = 60 f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = ( ) + = 20 f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = ( ) + = 20 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = ( ) + = 20 f (1, 1, 1) = (S 3 (1, 1, 1) 100) + = (80 100) + = 0 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (80 100) + = 0 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (80 100) + = 0 f ( 1, 1, 1) = (S 3 ( 1, 1, 1) 100) + = (40 100) + = 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 25/40
26 Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 26/40 Zatem wartość opcji w chwili t = 3 wynosi:
27 Rozwiązanie Skonstruujemy strategię π zabezpieczającą f, tzn. taką, że X π 3 (ω 1, ω 2, ω 3 ) = f (ω 1, ω 2, ω 3 ) dla dowolnych ω 1, ω 2, ω 3 { 1, 1}. Zrobimy w kilku krokach. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 27/40
28 Rozwiązanie Możemy potraktować fragment drzewka jako model jednookresowy i skorzystać z uzyskanych wcześniej wzorów. Cena akcji Wartość portfela X π t ? 120 t = 2 t = 3 20 t = 2 t = β 3 (1, 1, ω 3 )= = 100, γ 3 (1, 1, ω 3 ) = X2 π (1, 1, ω 3 ) = = = 1 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 28/40
29 Rozwiązanie Podobnie pokazujemy, że Cena akcji Wartość portfela X π t ? 80 t = 2 t = 3 t = 2 t = β 3 (1, 1, ω 3 )= = 40, γ 3 (1, 1, ω 3 ) = = 0.5 X π 2 (1, 1, ω 3 ) = = 10 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 29/40
30 Rozwiązanie Analogicznie Cena akcji Wartość portfela X π t ? 40 t = 2 t = 3 t = 2 t = β 3 ( 1, 1, ω 3 )= = 0, γ 3 ( 1, 1, ω 3 ) = = 0 X π 2 ( 1, 1, ω 3 ) = 0 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 30/40
31 Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 31/40 Wyznaczyliśmy zatem minimalne wartości portfela π w chwili t =
32 Rozwiązanie Krok 2. Wyznaczamy minimalne wartości portfela w chwili t = 1 Cena akcji Wartość portfela X π t ? 100 t = 1 t = 2 10 t = 1 t = 2 β 2 (1, ω 2, ω 3 )= = 65, γ 2 (1, ω 2, ω 3 )= =0.75 X1 π (1, ω 2, ω 3 ) = = 25 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 32/40
33 Rozwiązanie Dalej mamy Cena akcji Wartość portfela X π t ? 60 t = 1 t = 2 t = 1 t = 2 0 β 2 ( 1, ω 2, ω 3 )= = 15, γ 2 ( 1, ω 2, ω 3 )= =0.25 X1 π ( 1, ω 2, ω 3 ) = = 5 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 33/40
34 Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 34/40 Wyznaczyliśmy zatem minimalne wartości portfela π w chwili t =
35 Rozwiązanie Pozostaje wyznaczyć minimalną początkową wartość portfela Cena akcji Wartość portfela X π t ? 80 t = 0 t = 1 t = 0 t = 1 5 β 1 (ω 1, ω 2, ω 3 )= = 35, γ 1 (ω 1, ω 2, ω 3 )= =0.5 X0 π (ω 1, ω 2, ω 3 ) = = 15 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 35/40
36 Rozwiązanie t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 36/40 Oto kompletne drzewko wartości portfela π
37 Rozwiązanie Zatem minimalna wartość początkowa strategii zabezpieczającej opcję f wynosi X0 π = 15. Ostatecznie więc cena sprawiedliwa opcji wynosi C 0 = 15. Poniższa tabelka przedstawia strategię inwestora wystawiającego opcję w przypadku zajścia scenariusza (1, 1, 1). Czas Zmiana Cena akcji Strategia Kapitał n S n β n+1 γ n+1 X n Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 37/40
38 Rozwiązanie Innymi słowy: 1 Pożyczamy z banku 35 zł dokładamy do tego 15 zł uzyskane ze sprzedaży opcji i wydajemy 50 zł na zakup 0.5 akcji. 2 Pożyczamy jeszcze 30 zł (razem 65) i dokupujemy za to 0.25 akcji (po cenie 120 zł za akcję). 3 Pożyczamy jeszcze 35 zł (razem 100) i dokupujemy za to 0.25 akcji (po cenie 140 zł za akcję). W tej chwili mamy 1 akcje i 100 zł długu. 4 Sprzedajemy 1 akcję za 120 zł, wypłacamy posiadaczowi opcji 20 zł i oddajemy 100 zł długu do banku. Podobnie możemy rozpisać pozostałe scenariusze. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 38/40
39 Parytet kupna sprzedaży W podobny sposób możemy wycenić europejską opcję sprzedaży. Jedyna różnica polega na tym, że przy wypełnianiu ostatniego poziomu drzewka (t = 3) używamy innej funkcji wypłaty: (K S T ) + zamiast (S T K) +. Okazuje się jednak, że jeżeli mamy wyznaczoną cenę C 0 europejskiej opcji kupna, to wyznacza nam już ona cenę P 0 europejskiej opcji sprzedaży (z tą samą ceną wykonania K i terminem wykonania T ). C 0 P 0 = S 0 K(1 + r) T (1) Wzór ten nazywamy parytetem kupna-sprzedaży (ang. put-call parity). W przypadku, gdy stosujemy ciągły model kapitalizacji, czynnik dyskontujący (1 + r) T zastępujemy przez e rt. Dla danych z naszego przykładu (K = 100, S 0 = 100, r = 0, T = 3, C 0 = 15) cena europejskiej opcji sprzedaży wynosi P 0 = C 0 S 0 + K = 15. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 39/40
40 Model Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR) Dotychczas zakładaliśmy że w każdym z momentów t = 0, 1,..., T cena akcji może się zmienić na dwa sposoby, tzn. S t = S t 1 (1 + a) lub S t = S t 1 (1 + b), gdzie 1 < a < b. Powstaje problem jak dobierać parametry a i b, tak aby model dwumianowy jak najlepiej przybliżał prawdziwy proces cen akcji. Zazwyczaj wykorzystuje się współczynnik σ określający zmienność ceny akcji (ang. volatility). Jest to pewnego rodzaju miara niepewności co do przyszłych zmian tej ceny. Możemy ją wyznaczyć empirycznie jako odchylenie standardowe stopy zwrotu tego instrumentu. Przyjmujemy, że 1 + a = e σ δt, 1 + b = e σ δt, gdzie δt jest krokiem czasowym, tzn. odstępem między kolejnymi momentami, w których można dokonywać transakcji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 40/40
Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoZatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1
Model Rynku z czasem dyskretnym n = 0,1,2, S 1 (n), S 2,, S m (n) - czas - ceny m aktywów obciążanych ryzykiem (akcji) w momencie : dodatnie zmienne losowe. - cena aktywa wolnego od ryzyka (obligacji)
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoWycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy
Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives
Bardziej szczegółowoR NKI K I F I F N N NSOW OPCJE
RYNKI FINANSOWE OPCJE Wymagania dotyczące opcji Standard opcji Interpretacja nazw Sposoby ustalania ostatecznej ceny rozliczeniowej dla opcji na GPW OPCJE - definicja Kontrakt finansowy, w którym kupujący
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoWycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne
Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa, rozkład normalny, Model wyceny aktywów kapitałowych, Forward, Futures
Matematyka finansowa, rozkład normalny, Model wyceny aktywów kapitałowych, Forward, Futures 1 Inwestor ma trzyletnią obligację o wartości nominalnej 2000 zł, oprocentowaną 8% rocznie, przy czym odsetki
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy
Bardziej szczegółowoWycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek
Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,
Bardziej szczegółowoInwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.
Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem
Bardziej szczegółowoInstrumenty pochodne - Zadania
Jerzy A. Dzieża Instrumenty pochodne - Zadania 27 marca 2011 roku Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1. Zadania 1. Spekulant zajął krótką pozycję w kontrakcie forward USD/PLN zapadającym za 2 miesiące o nominale
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile
Bardziej szczegółowoOpcje - wprowadzenie. Mała powtórka: instrumenty liniowe. Anna Chmielewska, SGH,
Opcje - wprowadzenie Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony wcześniej kurs terminowy. W dniu rozliczenia transakcji terminowej forward:
Bardziej szczegółowoOpcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:
Jesteś tu: Bossa.pl Opcje na WIG20 - wprowadzenie Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowoKontrakty teminowe. Kupujący = długa pozycja Sprzedający = krótka pozycja. Przykład. Kontraktowanie płodów rolnych.
Kontrakty teminowe Transakcja (kontrakt) forward to umowa sprzedaży określonego dobra (bazowego) realizowana w z góry określonym terminie i po z góry określonej cenie. W dniu realizacji transakcji następuje
Bardziej szczegółowoMRF2019_W6. Kontrakty teminowe
Kontrakty teminowe Transakcja (kontrakt) forward to umowa sprzedaży określonego dobra (bazowego) realizowana w z góry określonym terminie i po z góry określonej cenie. W dniu realizacji transakcji następuje
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoOpcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options).
Opcje na GPW (I) Opcje (ang. options) to podobnie jak kontrakty terminowe bardzo popularny instrument notowany na rynkach giełdowych. Ich konstrukcja jest nieco bardziej złożona od kontraktów. Opcje można
Bardziej szczegółowo1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu
Przykład 1 Przedsiębiorca będący importerem podpisał kontrakt na zakup materiałów (surowców) o wartości 1 000 000 euro z datą płatności za 3 miesiące. Bieżący kurs 3,7750. Pozostałe koszty produkcji (wynagrodzenia,
Bardziej szczegółowoForward Rate Agreement
Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.
Bardziej szczegółowoINSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE
INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Strategie inwestycyjne na rynku kapitałowym Inwestowanie na rynku dr Piotr Stobiecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 13 października 2011 r. PLAN WYKŁADU I. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa: 5. Opcje
Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE wiecień 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Amounts outstanding of assets and derivatives Derivatives Derivatives Note:
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Strategie inwestycyjne na rynku kapitałowym dr Dominika Kordela Uniwersytet Szczeciński 31 marzec 2016 r. Plan wykładu Rynek kapitałowy a rynek finansowy Instrumenty rynku kapitałowego
Bardziej szczegółowo10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures
10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty
Bardziej szczegółowoOpcje podstawowe własności.
Opcje podstawowe własności. Opcja jest to rodzaj umowy między dwoma podmiotami i jednocześnie instrument finansowy. Opcje kupna (call) dają posiadaczowi prawo do kupienia określonego w umowie aktywa (bazowego)
Bardziej szczegółowoUniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Ekonomii, Zarządzania i Turystyki Katedra Ekonometrii i Informatyki
Wydział Ekonomii, Zarządzania i Turystyki Katedra Ekonometrii i Informatyki http://keii.ue.wroc.pl Analiza ryzyka transakcji wykład ćwiczenia Literatura Literatura podstawowa: 1. Kaczmarek T. (2005), Ryzyko
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoForward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).
Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)
Bardziej szczegółowoPowtórzenie. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Powtórzenie Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Średnia wartość stopy zwrotu dla wszystkich spółek finansowych wynosi 12%, a odchylenie standardowe 5,1%. Rozkład tego zjawiska zbliżony jest do rozkładu normalnego.
Bardziej szczegółowoistota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe
Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony
Bardziej szczegółowoInwestowanie w obligacje
Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej
Bardziej szczegółowoWzory matematyka finansowa
Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,
Bardziej szczegółowoPodstawą stosowania tej strategii może być jedynie zdrowy rozsądek.
Podstawą stosowania tej strategii może być jedynie zdrowy rozsądek. Carry trade jest jedną ze strategii arbitrażowych pozwalających na korzystanie z różnic w oprocentowaniu walut różnych krajów. Jednak
Bardziej szczegółowoZawód: analityk finansowy
Matematyka w zarządzaniu ryzykiem i prognozowaniu ekonomicznym Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Warmińsko-Mazurski 17 października 2017 r. 1 Praca analityka finansowego 2 3 1 Praca analityka
Bardziej szczegółowoMatematyka I dla DSM zbiór zadań
I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i
Bardziej szczegółowozaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7
Bardziej szczegółowoOGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój
Warszawa, 31 lipca 2013 r. OGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój Niniejszym Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych AGRO Spółka Akcyjna z siedzibą w Warszawie ogłasza poniższe zmiany statutu
Bardziej szczegółowoLicz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego
Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania
Bardziej szczegółowo1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt)
II Etap Maj 2013 Zadanie 1 II Etap Maj 2013 1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) 1.1/podaj definicję składnika
Bardziej szczegółowoKontrakty terminowe na akcje
Kontrakty terminowe na akcje Zawartość prezentacji podstawowe informacje o kontraktach terminowych na akcje, zasady notowania, wysokość depozytów zabezpieczających, przykłady wykorzystania kontraktów,
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami
Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia 2005 Rozwiązania zadań Wersja z dnia marca 2005, z drobnymi poprawkami Uwaga: Dla uproszczenia we wszelkich obliczeniach przyjęliśmy, że długość n-miesięcznego
Bardziej szczegółowo2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i
Bardziej szczegółowoKONTRAKTY TERMINOWE FUTURES ORAZ FORWARD
KONTRAKTY TERMINOWE FUTURES ORAZ FORWARD KONTRAKT TERMINOWY To instrument finansowy, w którym nabywca (długa pozycja)/ wystawca (krótka pozycja) zobowiązuje się kupić/sprzedać określony instrument bazowy
Bardziej szczegółowoKontrakty terminowe na GPW
Kontrakty terminowe na GPW Czym jest kontrakt terminowy? Umowa między 2 stronami: nabywcą i sprzedawcą Nabywca zobowiązuje się do kupna instrumentu bazowego w określonym momencie w przyszłości po określonej
Bardziej szczegółowoPapiery wartościowe o stałym dochodzie
Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,
Bardziej szczegółowoGiełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji.
Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji. Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie oferuje inwestorom nową możliwość zawierania transakcji. Od
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 4. Instrumenty pochodne podstawy Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na
Bardziej szczegółowoOPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A.
OPCJE Slide 1 Informacje ogólne definicje opcji: kupna (call)/sprzedaŝy (put) terminologia typy opcji krzywe zysk/strata Slide 2 Czym jest opcja KUPNA (CALL)? Opcja KUPNA (CALL) jest PRAWEM - nie zobowiązaniem
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy
Bardziej szczegółowoOPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20
OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w
Bardziej szczegółowoEkonomiczny Uniwersytet Dziecięcy. Młynek do pomnażania pieniędzy: Akcje na giełdzie
Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Uniwersytet Szczeciński 20 maja 2015 r. Młynek do pomnażania pieniędzy: Akcje na giełdzie dr Dominika Kordela Plan spotkania Giełda papierów wartościowych Akcje Notowania
Bardziej szczegółowo2a. Przeciętna stopa zwrotu
2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka
Bardziej szczegółowo4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu
.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 3. Podstawowe obliczenia finansowe w Matlabie. Obligacje Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych
Bardziej szczegółowo1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku
1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. RozwaŜmy
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Temat spotkania: Matematyka finansowa dla liderów Temat wykładu: Matematyka finansowa wokół nas Prowadzący: Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 14 października 2014 r. Matematyka finansowa dla liderów Po
Bardziej szczegółowoInwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.
Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych
Matematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej skomplikowanego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło
Bardziej szczegółowoTeoria opcji 2018/19. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański. (IM UG) Teoria opcji 1 / 49
Teoria opcji Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 2018/19 (IM UG) Teoria opcji 1 / 49 Sprawy organizacyjne Kontakt i strona E-mail: mwrzosek@mat.ug.edu.pl Konsultacje: środa, 12 14, p.323 Materiały:
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady
Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty
Bardziej szczegółowoStrategie Opcyjne. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW
Strategie Opcyjne Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW Warszawa, 21 maj 2014 Budowanie Strategii Strategia Kombinacja dwóch lub większej liczby pozycji w opcjach, stosowana w zależności od przewidywanych
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoZajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane
Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoEgzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 Model wyceny aktywów kapitałowych Najczęściej stosowana metoda zakłada wykorzystanie danych historycznych do wskazania korelacji między stopa zwrotu z danej inwestycji a portfelem rynkowym.
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Decyzje inwestycyjne na giełdzie dr Dominika Kordela Uniwersytet Szczeciński 29 listopad 2018 r. Plan wykładu Giełda Papierów Wartościowych Papiery wartościowe Inwestycje Dochód
Bardziej szczegółowoNajchętniej odwraca pozycję. Ale jeśli nie może, to replikuje transakcję przeciwstawną. strategie opcyjne
Opcje (2) delta hedging strategie opcyjne 1 Co robi market-maker maker wystawiający opcje? Najchętniej odwraca pozycję Ale jeśli nie może, to replikuje transakcję przeciwstawną SGH, Rynki Finansowe, Materiały
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Z/S Premia (P) np. 100 Kurs wykonania opcji (X) np. 2500 Punkt opłacalności X + P 2500+100=2600 WIG20 2 Kupno opcji Profil wypłaty dla
Bardziej szczegółowo