Europejska opcja kupna akcji calloption

Transkrypt

1 Europejska opcja kupna akcji callopion Nabywca holder: prawo kupna long posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę C Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy sprzedaży akcji w okresie na wezwanie nabywcy po cenie K w zamian za premię C uzyskaną w chwili nabycia opcji

2 Opcja call funkcja wypłay

3 Europejska opcja sprzedaży akcji puopion Nabywca holder: prawo sprzedaży shor posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę P Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy zakupu akcji w okresie na wezwanie nabywcy opcji po cenie K w zamian za premię P uzyskaną w chwili nabycia opcji

4 Opcja pu funkcja wypłay

5 andardowe założenia modeli wyceny brak koszów ransakcyjnych handel odbywa się w sposób ciągły króka sprzedaż jes dosępna wspólna sopa wolna od ryzyka akywa są doskonale podzielne akcje dosarczają ylko korzyści kapiałowe 5

6 Kapializacja ciągła i warość bieżąca PV Obligacja zerokuponowa: db rbd Zmiana ceny obligacji: - deerminisyczna - wzros wykładniczy - ciągłe składanie - dyskono ciągłe B B 0 e r B 0 B e r

7 Ruch Browna: w : R w 0 0 w w ~ N 0 s dla s s > 3 w w... w w 3 w n w n są niezaleŝne dla... n Primbs M&E 345 7

8 Procesy sochasyczne Proces błądzenia losowego Random Walk RW: w h w ε h Proces Wienera RW w czasie ciągłym: dw w d w ε d E Proces RW z dryfem w cz. dyskrenym Uogólniony proces Wienera w cz. ciągłym: h d [ dw ] 0 E[ dw d] 0 E[ dw ] d h µ h σε h h d µ d σdw

9 Procesy sochasyczne Uogólniony proces Wienera: d µ d σdw Proces Iôdalsze uogólnienie Wienera: d µ d σ dw Np. odpowiednik geomerycznego ruchu Browna: ln ln σε Można w ciągłej dziedzinie przedsawić jako d ln σdw d d

10 Geomeryczny ruch Browna: ąd jes on procesem Iô: d σdw dla µ 0 σ σ d µ d σ dw Jeżeli naomias: d µ d σdw Ile ym razem wynosi d d ln?

11 Iô95 dla dowolnej funkcji f klasy C kórej argumenami są realizacje procesu Iôi czas pokazał że dynamika jes wyznaczona przez: dw f d f f f df σ σ µ Lema Iô Lema Iôwyznacza rozwiązanie sochasycznego równania różniczkowego dla dowolnego : dw f d f f f df σ σ µ dw d d σ µ

12 Lema Iôdla geomerycznego Browna: Dla geomerycznego ruchu Browna: d µ d σdw Na przykład fln E ln / D ln / σ µ σ ln h Dla zwykłego ruchu Browna d µ d σdw Na przykład fep σ d ln µ d σdw / σ ~ N µ h σ h

13 Rozkład log-normalny ln y d ln ~ N µ σ y ~ log N µ σ σ

14 Założenia modelu B- Porfel o warości V: kupno akcji rynek pieniężny pożyczka lub inwesycja wg sopy wolnej od ryzyka r. cena akcji zmienia się zgodnie z geomerycznym ruchem Browna: 8 d / µ d σdw E D 0 e 0 µ e µ e σ

15 Wycena opcji call Zdefiniujmy cenę opcji kupna akcji: f f Ile kupić akcji po cenie po cenie aby porfel V złożony z akcji opcja callbył pozbawiony ryzyka dw? d µ d σ dw df f f f µ σ d σ f dw V f dv d df

16 Równanie Blacka-cholesa f Należy posiadać akcji A warość porfela wyniesie: f V f ąd zmiana warości porfela dana jes wzorem: dv f σ f d Przy braku możliwości arbirażu: dv rvd Podsawiając dosajemy równanie różniczkowe B-: f σ f r f rf

17 Formuła Blacka-cholesa Równanie różniczkowe na f ma wyznaczyć cenę opcji w zależności od ceny akcji: f σ f f r i przy zachowaniu warunków końcowych opcja kupna w okresie jes wara c: f rf [ 0 c K 0 a opcja sprzedaży p: f p K

18 Rozwiązanie sprawdź je sam : d N Ke d N c r rc c r c c σ Cena opcji kupna B- 0 0 c K c 0 d N Ke d N c r r K d σ σ / ln d d σ N Dysrybuana rozkładu Gaussa N0

19 Cena opcji kupna 0 rm c N d Ke N d d ± ln / K r ± σ σ Cena opcji call zależy od: ceny insrumenu pierwonego ceny wykonania opcji K - wariancji zmienności volailiy insrumenu pierwonego σ erminu wykonania opcji sopy wolnej od ryzyka r. Nie zależy od siły rendu zmian cen

20 Parye Call-Pu Rozważmy dwa porfele: Pierwszy opcja call goówka Drugi opcja pu jedna akcja ma K K K K c V ma ' K K p V Ke r Mają ą samą warość a zaem powinny być yle samo ware dzisiaj: ma ' K K p V r p Ke c

21 Greckie liery o pochodne cząskowe c: Dela hea Gamma Vega Rho Psi ρ υ ψ Γ θ

22 Przykłady dla opcji call Dela Gamma hea c N d > 0 ' ' c N d d N d >0 σ r σ ' c rke N d N d <0

23 Opion value

24 Lieraura Black F. and M. choles he pricing of opions and corporae liabiliies Journal of Poliical Economy Meron R. C. heory of raional opion pricing Bell Journal of Economics and Managemen cience Hull J. Opions Fuures and Oher Derivaives 4 h Ed. Prenice Hall