U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów

Transkrypt

1 dr Dariusz Sańko Kaedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa lisopada 006 r., akualizacja i poprawki: 30 sycznia 008 r. U b e zpieczenie w eo r ii użyeczności i w eo r ii w yceny a kywów. Ubezpieczenie definicja Ubezpieczenie można zdefiniować jako usługę, bądź sysem oferujący ę usługę, polegającą na ransferze (risk ransfer) i manipulacji ryzykiem (risk combinaion), czyli worzeniu wspólnoy ryzyka (por. Benne, 99, s. 79). Ubezpieczenie może być zaem rozważane zarówno jako swego rodzaju dobro, jaki i usługa, kórej nabycie zapewnia uzyskanie ochrony ubezpieczeniowej. W niniejszym rozdziale ubezpieczenie przedsawione jes z dwóch punków widzenia jako usługa (pomocna jes uaj eoria użyeczności) oraz jako akyw finansowy (opisywany przez eorię finansów). Oba podejścia wyjaśniają zachowania konsumena i dają odpowiedź na pyanie, jaka powinna być cena ubezpieczenia.. Ubezpieczenie w eorii użyeczności Teoria użyeczności jes pomocna w określeniu warunków wysępowania popyu ze srony konsumena na produky ubezpieczeniowe oraz w usaleniu wielkości składki, jaką skłonny jes on zapłacić. Teoreycznie, funkcja użyeczności konsumena może posiadać dowolną formę; jedynymi koniecznymi warunkami jes o, by była o ciągła funkcja rosnąca (por. Luenberger, 998, s. 9; pierwsza pochodna musi być dodania), oraz z reguły funkcja wklęsła (druga pochodna musi być ujemna). Warunek ciągłości jes konieczny dla isnienia pochodnej, warunek funkcji rosnącej odzwierciedla założenie, iż (zazwyczaj) większa konsumpcja wiąże się z większą użyecznością. Osanie założenie pojawia się w syuacji, gdy konsumen

2 wykazuje awersję do ryzyka; warunek en wiąże się ponado z malejącą krańcową użyecznością konsumpcji. Awersję do ryzyka można inerpreować w związku z kszałem (wklęsłością) krzywej użyeczności sraa o warości - (określona jako przesunięcie na lewo o warość od począkowej warości mająku ) jes bardziej dokliwie odczuwana przez konsumena niż ewenualny zysk o ej samej warości (przesunięcie na prawo o warość od począkowej warości mająku ). Spadek użyeczności U =U()-U(- ) spowodowany sraą o wielkości jes bowiem wyższy niż wzros użyeczności U =U(+ ) U() wywołany zwiększeniem mająku o idenyczną warość. Dobroby konsumena jes zaem reprezenowany przez funkcję użyeczności U(), gdzie określa poziom mająku (wealh) konsumena; funkcja jes ciągła i ma dodanią pierwszą pochodną i niedodanią drugą pochodną [U () > 0, U () 0]. Rys.: Typowy kszał funkcji użyeczności konsumena wykazującego awersję do ryzyka składka u() Konsumen ma do wyboru: albo ubezpieczyć się, płacąc składkę s, albo wysawić się na ryzyko możliwej przyszłej redukcji mająku o sraę w nieznanej w chwili podejmowania decyzji wysokości ~ (jes o zaem zmienna losowa). Syuację zw. indyferenności, w kórej konsumenowi jes wszysko jedno, czy ubezpieczać się czy eż nie (czyli maksymalną warość składki) określa nasępujące równanie (por. Gollier, 00, ss. 0-): U s E U ~ Ponieważ z reguły konsumenci wykazują awersję do ryzyka, można skorzysać z wierdzenia Jensena obowiązującego dla każdej zmiennej losowej z ~, kóre mówi, iż w

3 przypadku funkcji wklęsłej (concave) warość oczekiwana funkcji (czyli oczekiwana użyeczność z mająku) jes niższa od funkcji warości oczekiwanej (czyli użyeczności z oczekiwanej warości mająku): E U z~ U E ~ z Mamy zaem do czynienia z syuacją, iż: U s E U ~ U E ~ UE E~ U E~ z nierówności Jensena czyli: U s U E ~ a ponieważ funkcja użyeczności jes funkcją rosnącą (U ()>0): s E ~ dlaego eż: s E ~ Konsumen wykazujący awersję do ryzyka jes zaem skłonny zapłacić składkę, kórej warość przekracza oczekiwaną warość sray. Chęnie zamienia on niepewną warość przyszłego mająku (bez ubezpieczenia) na jego pewną warość oczekiwaną (w przypadku ubezpieczenia, Gollier, 00, s. 8). Ile wynosi aka składka? Wiadomo, iż ludzie z awersją do ryzyka posiadają funkcje użyeczności Neumann-Morgenserna (por. McAfee, 005, s. 87). Ich użyeczność jes sumą użyeczności uzyskiwanych w każdym możliwym sanie ważonych przez prawdopodobieńswa zajścia ych sanów: U p n u n n i i i p u... p u p u Zakładając e ane, iż prawdopodobieńswo wysąpienia sray równej (mająek o warości ulega redukcji do ) wynosi p, a prawdopodobieńswo nie zajścia ej sray (- p), e pos konsumen będzie posiadał mająek o warości albo (zaszła sraa), albo (sraa nie wysąpiła). Warość oczekiwana mająku (zob. rys. ) wyniesie E = p +( p), zaś użyeczność z akiego saysycznie oczekiwanego mająku o: u[p +( p) ]. Użyeczność z obu możliwych zdarzeń losowych (wysąpienie sray mająek o warości, nie wysąpienie sray mająek o warości ) jes średnią ważoną prawdopodobieńswami zajścia obu zdarzeń (użyeczność Neumann-Morgenserna) wynoszącą pu( )+( p)( ). 3

4 Awersja do ryzyka przekłada się na wypukły kszał funkcji użyeczności, co powoduje, iż spełniona jes nierówność Jensena: u p p p u p Oznacza o, iż konsumen preferuje uzyskanie średniego wyniku niż wyniku losowego (zob. rys. ). Ekwiwalen pewności (CE, cerainy equivalen) jes sumą pieniężną, kóra dosarcza idenycznej użyeczności co wypłaa losowa z zakładu (McAfee, 005, s. 87), polegającego w ym wypadku na rezygnacji z ubezpieczenia w nadziei na nie wysąpienie sray i zaoszczędzenie składki ubezpieczeniowej. W przypadku wysępowania awersji do ryzyka, ekwiwalen pewności jes niższy od średniego (oczekiwanego) wyniku (McAfee, 005, s. 87) ludzie wolą zrezygnować z pewnej części możliwego zysku zadowalając się nieco niższym, ale za o pewnym, wynikiem. Premia za ryzyko, czyli kosz ryzyka, definiowany jako suma pieniędzy, jaką konsumen jes skłonny zapłacić w celu eliminacji ryzyka jes warością ubezpieczenia i wynosi (McAfee, 005, s. 88): cena ubezpieczenia E CE rys.. Warości składki za ubezpieczenie oraz mająku po ubezpieczeniu przedsawione są na Warość ubezpieczenia można akże przedsawić (zob. McAfee, 005, s. 88) jako: u E CE u E E E gdzie: Ψ(E) : współczynnik Arrowa-Praa (relacja warości drugiej pochodnej funkcji użyeczności z warości oczekiwanej mająku do warości pierwszej pochodnej funkcji użyeczności z warości oczekiwanej mająku), σ : wariancja możliwych wyników. 4

5 Rys.: Cena ubezpieczenia, ekwiwalen pewności oraz warość mająku w przypadku nie zawarcia ubezpieczenia ( wysąpienie sray, nie wysąpienie sray) i w przypadku zakupu ubezpieczenia ( składka). U u u[p +(-p) ] pu( )+(-p)( ) premia za ryzyko składka CE E -składka : warość mająku gdy nie wysąpi sraa (brak ubezpieczenia) : warość mająku gdy wysąpi sraa (brak ubezpieczenia) -składka : warość mająku po zawarciu ubezpieczenia CE : ekwiwalen pewności E : warość oczekiwana mająku przy braku ubezpieczenia E = p +( p) E-CE : cena ubezpieczenia (premia za ryzyko) Źródło: Opracowanie własne na podsawie McAfee (005, s. 87). 3. Niedoubezpieczenie w świele eorii użyeczności W przypadku wysąpienia niedoubezpieczenia możemy rozważać dwa główne scenariusze. Pierwszy związany jes z wysąpieniem niedoubezpieczenia na skuek redukcji doychczasowej ochrony ubezpieczeniowej. Przykładem może być uaj obniżenie sandardu ochrony oferowanego przez zabezpieczenie społeczne, np. sysem ochrony zdrowia lub sysem zabezpieczenia dochodów na sarość. Druga możliwość, o wysąpienie niedoubezpieczenia na skuek powiększenia mająku przez co doychczasowy poziom ochrony ubezpieczeniowej saje się niewysarczający. W pierwszym przypadku, obniżenie poziomu ochrony przy niezmienionej warości mająku i prawdopodobieńswach zajścia sray można przedsawić jako obniżenie warości mająku w syuacji wysąpienia sray o jakąś dodakową warość Δ przy braku 5

6 ubezpieczenia. Nowa warość wyniesie zaem. Warość nie ulega obniżeniu, określa ona bowiem warość mająku w przypadku braku ubezpieczenia i nie wysąpienia sray. Linia łącząca oba punky ( i ) na krzywej użyeczności ulega obniżeniu (linia zaznaczona za pomocą kropek, zob. rys. 3). Warość oczekiwana mająku E ulegnie zmniejszeniu o dodakową ekspozycję na ryzyko (Δ) ważoną prawdopodobieńswem jej wysąpienia (p): p p Δ p p p pδ E pδ E p Obniżona warość E powoduje redukcję ekwiwalenu pewności do CE. Wielkość ej zmiany zależy od poziomu awersji do ryzyka, czyli sopnia zakrzywienia funkcji użyeczności. Im wyższy poziom awersji, ym większy spadek warości CE. Użyeczność z losowych wyników spada bardziej, niż użyeczność ze średniej. Redukcja warości CE jes w przypadku wysępowania awersji do ryzyka większa (o jakąś warość c > 0) niż redukcja warości E, wynosząca pδ.w efekcie, zwiększa się premia za ryzyko (zakres opisany na rysunku srzałką zaznaczoną za pomocą kropek), a zaem akże wysokość składki, jaką goowy jes zapłacić ubezpieczony: E CE E pδce p Δ c E CE c pierwona skladka Różnica c w obu poziomach składek może być inerpreowana jako kosz związany z wykupieniem dodakowego ubezpieczenia w celu likwidacji niedoubezpieczenia. 6

7 Rys 3.: Wysąpienie niedoubezpieczenia na skuek obniżenia poziomu ochrony ubezpieczeniowej. U u u[p +(-p) ] pu( )+(-p)( ) premia za ryzyko składka CE E -składka Zał.: Obecność efeku niedoubezpieczenia: : warość mająku gdy nie wysąpi sraa (brak ubezpieczenia) : warość mająku gdy wysąpi sraa (brak ubezpieczenia) -składka : warość mająku po zawarciu ubezpieczenia CE : ekwiwalen pewności E : warość oczekiwana mająku przy braku ubezpieczenia E = p +( p) E -CE : cena ubezpieczenia (premia za ryzyko) Źródło: Opracowanie własne. W drugim przypadku niedoubezpieczenia mamy do czynienia z syuacją nieadekwaności doychczasowego poziomu ochrony ubezpieczeniowej w sosunku do zwiększonego mająku. Można rozważyć dwa wariany ej syuacji. warian pierwszy Jeśli dodakowy mająek nie jes narażony na wysąpienie sray, o mamy do czynienia z równoległym przesunięciem punków i o jakąś warość Δ do punków i. Nowa warość oczekiwana mająku E ulega zaem zwiększeniu o ę warość Δ: p p Δ p Δ E p p p p E p Nowa warość ekwiwalenu pewności CE zależeć będzie od kszału krzywej funkcji użyeczności w obrębie punków i, a zaem od lokalnej charakerysyki awersji do 7

8 ryzyka. Jeżeli współczynnik Ψ absolunej awersji do ryzyka Praa-Arrowa zmniejsza się, o zwiększenie warości mająku owocować będzie zmniejszeniem warości premii za ryzyko (zob. McAfee i Vincen, 993, ss. 9). Tym samym, ubezpieczony jeśli zdecyduje się na dodakową ochronę ubezpieczeniową, o dokupi wprawdzie jakąś absoluną warość ochrony ubezpieczeniowej, jednakże relaywny poziom ej ochrony będzie niższy. warian drugi W przypadku, gdy zwiększony mająek jes narażony na ryzyko zredukowania do pierwonej warości opisującej mająek w przypadku wysąpienia szkody (czyli np. warość spalonego mieszkania jes prakycznie jednakowa w przypadku mieszkania o powierzchni 00 m czy 30 m ), mamy do czynienia z syuacją przesunięcia jedynie punku o warość Δ. Nowa warość oczekiwana mająku E wynosi: p p p Δ E p p Δ pδ E p Δ p Jak widać, zwiększenie warości oczekiwanej jes w ym wypadku nieco niższe (o czynnik (-p)) niż w wariancie pierwszym, czyli efek zwiększonego mająku będzie zapewne niższy. Wysępowanie niedoubezpieczenia, szczególnie w konekście obniżania ochrony ubezpieczeniowej oferowanej przez sysem zabezpieczenia społecznego, powinno z reguły wywoływać dodakowy popy na ubezpieczenie. Wzros ego popyu może być relaywnie niższy od dynamiki powsania niedoubezpieczenia, jeżeli nieadekwaność ochrony jes spowodowana przez zwiększenie warości mająku. W eksremalnych przypadkach (znaczący wzros mająku) ubezpieczony może obniżyć poziom ubezpieczenia, ponieważ przy zwiększonym mająku jes on zdolny do większego pochłaniania ewenualnych sra. Nie należy zapominać, iż nawe w klasycznej syuacji niedoubezpieczenia, jaka wysępuje obecnie na skuek obniżania sandardów ochrony oferowanych przez pańswo, decyzja o doubezpieczeniu zależeć będzie od dwóch ważnych czynników społecznoekonomicznych. Pierwszym jes poziom świadomości ubezpieczeniowej ludzie będą decydować się na dodakową ochronę ubezpieczeniową jedynie wedy, gdy będą wiedzieć, że ich ochrona ubezpieczeniowa uległa pogorszeniu. Drugi czynnik związany jes z wysokością dochodów rozporządzalnych. W przypadku, gdy ubezpieczonego nie sać jes na dodakową składkę ubezpieczeniową, będziemy mieli do czynienia z relaywnym wzrosem użyeczności z konsumpcji bieżącej (efek subsyucyjny) względem użyeczności z konsumpcji 8

9 ubezpieczenia. Brak środków na dodakowe ubezpieczenie wymusi przyjęcie posawy hazardowej, polegającej na zarzymaniu ryzyka. 4. Ubezpieczenie w eorii finansów Popy konsumena na ubezpieczenie może być rozparywany akże z punku widzenia eorii finansów. Niniejszy punk referuje akie podejście, sworzone przez Cochrane (00, ss. 66) w jego książce p. Wycena akywów (Asse pricing). Zamieszczone w ej sekcji równania pochodzą bezpośrednio z Cochrane (00) lub są odpowiednimi wyprowadzeniami objaśniającymi przekszałcenia zaware w źródle. Ciąg rozważań jes nasępujący. By obliczyć, jaka jes warość akywu (w naszym wypadku konraku ubezpieczeniowego) w czasie, musimy określić nieznaną, przyszłą wypłaę (payoff) + w czasie +. Wypłaa a deerminuje przyszły wynik inwesycji polegającej na zakupie akywu. Warość ę oblicza się dla ypowego inwesora (zw. agen reprezenaywny, represenaive agen); w ym celu porzebne jes nam zdefiniowanie jego funkcji użyeczności (uiliy funcion). Użyeczność z konsumpcji w czasie oraz z konsumpcji w czasie + jes sumą znanej nam użyeczności z konsumpcji bieżącej u(c ) oraz nieznanej użyeczności z konsumpcji w przyszłości. Dlaego eż musimy brać pod uwagę oczekiwaną warość konsumpcji, czyli musimy wprowadzić operaor warości oczekiwanej. Dodakowo, ponieważ ypowy konsumen preferuje konsumpcję dzisiejszą od konsumpcji przyszłej, należy ę osanią zredukować dodakowym współczynnikiem, opisującym niecierpliwość konsumena. Warość oczekiwaną z przyszłej konsumpcji mnoży się zaem przez współczynnik β zwany subiekywnym czynnikiem dyskonującym (subjecive discoun facor). Osaecznie równanie użyeczności z konsumpcji eraźniejszej i przyszłej przedsawić można jako: U c,c uc E uc W finansach dość częso sosuje się poęgową formę funkcji użyeczności. Jedną z grup akich funkcji są funkcje użyeczności charakeryzujące się sałą relaywną awersją do ryzyka (Pra, 964; Gollier, 00, s. ), zw. CRRA (consan relaive risk aversion) o posaci: u c c gdzie: γ : współczynnik Arrowa-Praa sałej, relaywnej awersji do ryzyka (Makdissi i Wodon, 003, s. 3) 9

10 W przypadku γ = (bądź γ ), warość funkcji wynosi ln(c). Im większa warość parameru γ, ym bardziej funkcja użyeczności jes zakrzywiona. Jak zauważa Cochrane (00, s. 7), przyszła konsumpcja c + jes warością losową i większa krzywizna (curvaure) funkcji jes efekem wyższej awersji konsumena do ryzyka i do subsyucji czasowej (emporal subsiuion). Konsumenci preferują bowiem poziom konsumpcji, kóry jes sały, zarówno w czasie, jak i względem możliwych scenariuszy. Po o, by określić, ile konsumen skłonny jes zakupić akywu finansowego po cenie p, a zaem innymi słowy ile przeznaczy na konsumpcję, a ile na inwesycje, należy rozwiązać problem będący równaniem opymalizacyjnym: ma u c E uc przy warunkach ograniczających: c e p oraz c e gdzie: e : pierwony poziom konsumpcji (brak inwesycji), ζ : ilość zakupionego akywu. Rozwiązując en problem poprzez przyrównanie pierwszej pochodnej funkcji celu względem ilości akywu (ζ ) do zera i wsawienie do niej warunków ograniczających, orzymujemy: uc E uc ue p E ue zaem: p u e p E ue c E ue 0 p u p u c E uc Wynika z ego, iż warość akywu na dzień dzisiejszy wynosi: p E u u c c Cochrane (00, s. 8) konynuuje rozważania wprowadzając pojęcie sochasycznego czynnika dyskonującego (sochasic discoun facor) zdefiniowanego jako: 0

11 m u u c c Tym samym cena danego akywu dzisiaj jes akualną warością oczekiwaną przyszłej wypłay ( + ) skorygowanej o przyszłą warość sochasycznego czynnika dyskonującego (m + ): p E m Sopa zwrou R + z akiej inwesycji wynosić będzie zaem: R p E m Dla akywu o cenie jednoskowej orzymujemy nasępujący związek: E m Isnieje zaem nieskończona liczba możliwych kombinacji przyszłych warości sochasycznego czynnika dyskonującego i wypłay mających warość bieżącą. W przypadku inwesycji w akywa pozbawione ryzyka, przyszła wypłaa + jes znana już dzisiaj. Zakładając, dla wygody obliczeń, że jes o wypłaa jednoskowa ( + =), orzymujemy nasępujący związek pomiędzy sopą zwrou z akywów w inwesycje pozbawione ryzyka (risk free rae of reurn; w skrócie sopa wolna od ryzyka) a sochasycznym czynnikiem dyskonującym: R f E m E m Zaem, oczekiwana warość sochasycznego czynnika dyskonującego jes w ym wypadku odwronością sopy wolnej od ryzyka: E R m f Korzysając z ej definicji, możemy swierdzić, iż kowariancja między sochasycznym czynnikiem losowym m (możemy pominąć uaj subskrypy czasowe) i przyszłą wypłaą wynosi: zaem: cov E m, Em Em E m Em E covm, Wprowadzając ę informację do warości ceny akywu, możemy przedsawić ją jako: p E m Em E covm, Wyrażając E(m) jako odwroność sopy wolnej od ryzyka, orzymujemy, iż:

12 p E f R covm, Cochrane (00, s. 5) wskazuje, iż pierwszy człon powyższego równania o cena akywu, jaka isniałaby w przypadku świaa bez ryzyka. Ponieważ jednak ryzyko w świecie realnym isnieje, cena a jes skorygowana o drugi człon równania, zw. korekę na ryzyko (risk adjusmen). orzymujemy: Wyrażając powyższy związek w kaegoriach konsumpcji bieżącej i obecnej E p R cov uc, f uc Cochrane (00, s. 6) swierdza, że w przypadku akywu, kórego wypłaa jes pozyywnie skorelowana z konsumpcją, jego cena jes obniżona (krańcowa sopa użyeczności z konsumpcji maleje wraz z jej wzrosem). Dzieje się ak ponieważ konsumenci wykazują awersję do ryzyka definiowanego nie jako zmienność (wyrażana np. przez odchylenie sandardowe ) akywu, lecz jako zmienność w poziomie przyszłej konsumpcji. Zakupiony akyw o wypłacie skorelowanej negaywnie z konsumpcją pomaga wygładzać konsumpcję i jes bardziej warościowy niż wskazywałaby na o jego wypłaa (Cochrane, 00, s. 6). Jes o więc przypadek ubezpieczenia, kóre uruchamia wypłaę dokładnie w syuacji, gdy warości naszego mająku i konsumpcji ulegają obniżeniu na skuek szkody spowodowanej realizacją zdarzenia losowego. Jak pisze Cochrane (00, s. 6): jeseśmy zadowoleni z posiadanego ubezpieczenia nawe mimo ego, że spodziewamy się uray pieniędzy (w posaci wpłaconej składki, przyp. DS) [oraz] mimo, że cena ubezpieczenia jes większa od oczekiwanej warości wypłay dyskonowanej sopą wolną od ryzyka. Dyskonowanie przyszłych srumieni sopą wolna od ryzyka odbywa się w warunkach pewności. Wracamy zaem w en sposób do związku pomiędzy użyecznością z mająku pomniejszonego o sraę pewną, czyli składkę, a warością oczekiwaną użyeczności z mająku nie chronionego konrakem ubezpieczeniowym. Jes o związek opisany w poprzedniej sekcji. 5. Niedoubezpieczenie w świele eorii finansów Niedoubezpieczenie spowodowane obniżeniem sandardu ochrony ubezpieczeniowej obniża wypłaę + z akywu ubezpieczeniowego w momencie powsania sray. To zwiększa Cochrane (00, ss. 6-7) pokazuje, iż ryzyko wiąże się z kowariancją wypłay i sochasycznego czynnika dyskonującego. Wariancja zmienności poziomu wypłay jes prakycznie pomijalna i nie ma wpływu na zmienność konsumpcji.

13 zakres zmienności możliwego wyniku, co powoduje, iż ochrona ubezpieczeniowa saje się bardziej warościowa. Dlaego eż ubezpieczony jes skłonny dokupić dodakową liczbę akywów ubezpieczeniowych, ak, aby oczekiwany srumień z akywów ubezpieczeniowych powrócił do poprzedniej warości. W przypadku, gdy mamy do czynienia z uniwersalnym akywem produkowanym przez sysem zabezpieczenia społecznego, masowy popy na dodakowe akywa oferujące ubezpieczenie może wywołać znaczny wzros ich ceny w krókim okresie, co dodakowo obniży sopę zwrou z ubezpieczenia. Poziom wzrosu ceny zależeć będzie od elasyczności cenowych popyu i podaży. Zakładając brak znaczących zmian w poziomie awersji do ryzyka, możemy przyjąć, że konsumen dokupi brakującą część akywów ubezpieczeniowych. W przypadku niedoubezpieczenia powsałego na skuek wzrosu warości mająku, reakcja doycząca zakupów będzie zależna od ceny ubezpieczenia, a zaś związana jes z preferencjami względem konsumpcji bieżącej, przyszłej i awersji do ryzyka. Zazwyczaj wyższy mająek obniża dokliwość ewenualnych sra wywołanych powsaniem szkody, dlaego eż relaywna awersja do ryzyka maleje. W eksremalnych wypadkach (znaczący przyros mająku) ubezpieczony może nawe sprzedać część swoich akywów ubezpieczeniowych. Jego lokalna funkcja użyeczności może być odwrócona, co generować będzie popy na małe zachowania hazardowe (przykładem jes kupowanie losów loeryjnych za niewielkie kwoy mimo, iż gra jes znacząco niesprawiedliwa ). 3

14 Bibliografia: Benne, Carol, (99), Dicionary of Insurance, Financial Times Piman Publishing: London, ss Cochrane, John H. (00), Asse pricing, Princeon Universiy Press: Woodsock. Gollier, Chrisian (00), The Economics of Risk and Time, MIT Press: Cambridge MA, Oford. Luenberger, David G. (998), Invesmen science, Oford Universiy Press: New York, Oford. Makdissi, Paul and Quein Wodon (003), Risk Adjused Measures of Wage Inequaliy and Safey Nes, Economics Bullein, Vol. 9(), ss. -0, hp:// McAfee, Preson R. (005), Inroducion o Economic Analysis, Creaive Commons Organisaion, wersja z 4 grudnia 005 r. McAfee, Preson R. i Vincen, Daniel (993), The Price Decline Anomaly, Journal of Economic Theory, Vol. 60, June, ss. 9-. Pra, John W. (964), Risk Aversion in he Small and in he Large, Economerica, Vol 3(/), ss