Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Transkrypt

1 Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek

2 Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać, jednak w dłuższym okresie czasu zaobserwujemy wyraźny średni wzrost. Badania wykazują, że cena jednostki jest dobrze opisana niesymetrycznym rozkładem, w którym wartość maksymalna jest zdecydowanie bardziej oddalona od wartości średniej, niż wartość minimalna. Przyjmuje się, że takim rozkładem może być rozkład lognormalny $50,00 $45,00 $40,00 $35,00 $30,00 $25,00 $20,00 $15,00 $10,00 $5,00 $0,00 Price Paths Day

3 Wahania ceny jednostki P t = P 0 e N P t to cena w momencie t P 0 to cena początkowa e N to wskaźnik wzrostu N to wartość uzyskiwana z rozkładu normalnego o średniej μ (ang. Drift=Dryf) i odchyleniu σ (ang. Volatility=zmienność) Parametry te uzyskuje się zwykle ze średniej rocznej stopy przyrostu ceny oraz odchylenia standardowego stopy przyrostu Jeżeli np. średni roczny przyrost ceny wynosi 12% a roczne odchylenie standardowe 30% to odpowiednie miesięczne parametry równają się 1% (=12/12) oraz 8,6% (=30/12 0,5 ) Pamiętajmy o pierwiastku!

4 Wahania ceny jednostki Aby wyznaczyć cenę P t należy cenę początkową P 0 przemnożyć przez wskaźnik e N (wskaźnik wzrostu). Wskaźnik ten uzyskamy generując najpierw wartość N z rozkładu normalnego a następnie wstawiając wyznaczoną wartość jako parametr funkcji EXP(). Formuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego to: Rozkład.Normalny.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie) Formuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego o średniej 0 i odchyleniu 1: Rozkład.Normalny.S.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie)

5 Stopa przyrostu ceny P t P exp[( 0.5 ) t Z t 0 2 ] μ to średnia procentowa stopa zwrotu z akcji (dryf) σ to odchylenie standardowe dla wzrostu ceny (zmienność) Z to standaryzowana zmienna losowa o rozkładzie normalnym Wartości μ i σ podawane są w postaci liczby, np. μ =0.06 oznacza 6% średni wzrost ceny. Obie wielkości są mierzone dla tej samej jednostki czasu, np. 1 roku

6 Opcje Opcja to prawo a nie obowiązek Wartość opcji jest zależna od ceny waloru, będącego przedmiotem transakcji: określonego papieru wartościowego (akcja, obligacja, bon skarbowy), waluty, indeksu giełdowego, stopy procentowej etc. Walor ten nazywa się instrumentem pierwotnym (underlying instrument), a opcja (option) utworzona na jego bazie instrumentem pochodnym (derivative instrument)

7 Opcje Opcja jest to umowa między nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą) dająca nabywcy prawo do kupna (opcja kupna) lub sprzedaży (opcja sprzedaży) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym dniu w przyszłości po określonej cenie w zamian za opłatę. Pod koniec okresu, na jaki wystawiono opcję, czyli w terminie jej wygaśnięcia, kończy się prawo związane z opcją. Opcja europejska jest instrumentem terminowym, dla którego wykonanie może nastąpić tylko w ostatnim dniu okresu jej życia. Nie można jej wykonać wcześniej ani, oczywiście, później

8 Opcje europejskie Przykład: opcja kupna Cena wykonania (cena realizacji opcji, ang. excercise, strike price) opcji to 100 zł z terminem wykonania za 6 miesięcy (data wygaśnięcia opcji, expiration, strike date). Jeżeli w dniu wykonania wartość waloru (ang. intrinsic value) będzie równa 105 zł, wykonując opcję odnotujemy zysk równy 5 zł minus premia opcyjna. Jeżeli w dniu wykonania wartość waloru będzie równa 90 zł, nie podejmiemy decyzji o wykupie opcji. Nasza strata będzie równa tylko wartości wpłaconej premii opcyjnej.

9 Opcje kupna na WIG20 Na warszawskiej giełdzie notowane są opcje na WIG20 ich wartość zależy od wartości indeksu WIG20. Notowania opcji podawane są w punktach. Wartość opcji to kurs przemnożony przez mnożnik, który wynosi 10 zł. Np., wartość opcji notowanych po 17,6 pkt to 176 zł.

10 Wycena opcji na akcję Polecenie 1: Chcemy prześledzić ścieżkę zmiany wartości ceny akcji spółki X w ciągu roku (z krokiem 1 miesiąca oraz z krokiem 1 roku). Należy wykorzystać notowania spółki X z pliku Notowania.xls, zakładka Notowania 1 1. Obliczyć dryf i zmienność z pliku Notowania w ujęciu miesięcznym i rocznym 2. Przeprowadzić dwie symulacje z wykorzystaniem modelu Hulla (model błądzenia geometrycznego): (1) z krokiem miesięcznym i (2) z krokiem rocznym 3. Wykonać 500 powtórzeń dla obu symulacji 4. Wyznaczyć średnią cenę akcji i ryzyko dla obu symulacji

11 Polecenie 1 Wykonujemy 500 powtórzeń

12 Wycena opcji na akcję Polecenie 2: Chcemy zbadać, jaka będzie dobra cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą symulacji) Musimy określić średnią wartość zysku z opcji, zdyskontowaną do chwili 0, przy założeniu, że cena akcji zmienia się w warunkach niezależnych od ryzyka. Wartość czynnika dyskontującego niezależnego od ryzyka to e (-r * t) gdzie r - stopa procentowa wolna od ryzyka, t moment wygaśnięcia opcji na akcję

13 Polecenie 2 L4=MAX(K4-E8;0) N4=MAX(E8-K4;0)

14 Polecenie 3 Polecenie 3: Chcemy zbadać, jaka będzie dobra cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą modelu Blacka-Scholesa)

15 Polecenie 3 C17=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C15) C18=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C16)

16 Wycena opcji Polecenie 4: Chcemy określić efektywność portfela inwestycyjnego składającego się z akcji (pozycja długa) i opcji na akcję (pozycja długa). Inwestor kupuje jedną akcję Spółki X po 28,50 zł oraz jedną opcję call na akcję (po około 5,30 zł). Policzymy wartość portfela na dzień wykonania opcji. W symulacji ceny akcji za pół roku, wykorzystujemy tym razem rzeczywistą stopę zwrotu, a nie stopę wolną od ryzyka! W symulacji zysku z opcji nie przeprowadzamy operacji dyskontowania Zadanie: sporządzić histogram procentowych stóp zwrotu

17 Polecenie 4 I6=E6*EXP((E13-0,5*E14^2)*E8+E14*ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(LOS())*PIERWIASTEK(E8)) J6=MAX(I6-E7;0) K6=I6+J6 L6=(K6-E11)/E11 J7=MAX(E7-I6;0) K7=I6+J7 L7=(K7-F11)/F11 E10= pobrane z modelu wyceny opcji F10= pobrane z modelu wyceny opcji

18 Polecenie 4 Który portfel jest portfelem zabezpieczającym przed ryzykiem? Dlaczego? Uzasadnij

19 Zadanie domowe Zad.1. Porównaj obie symulacje z Polecenia nr 1 Zad.2. Porównaj obie wyceny opcji (Polecenie nr 2 i nr 3). Należy sporządzić histogram procentowych stóp zwrotu i uwzględnić go w porównaniu