O pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE
|
|
- Renata Sokołowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O pewnym algorymie rozwiązującym problem opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE W kierowaniu firmą Zarząd częso saje wobec problemu rozdysponowania (alokacji) zasobami firmy kórą kieruje (pieniędzmi, czasem, powierzchnią magazynową, ładownością samochodów ransporowych, ip.), kóre z naury rzeczy wysępują w firmach w ograniczonych ilościach. Jak zobaczymy poniżej, z zagadnieniami ego ypu spoykają się eż indywidualni decydenci, na przykład sudenci planujący przygoowanie się do sesji egzaminacyjnej kiedy o podsawowym zasobem jakim dysponują obok swych zdolności jes czas. Będziemy prezenować różnorakie przykłady zasosowań badań operacyjnych w podejmowaniu decyzji w przedsiębiorswie, począwszy od najławiejszych zagadnień do najrudniejszych. Rozpoczniemy od zdefiniowania klasycznego problemu opymalnej alokacji zasobów (przykład ), kórego sformułowanie można znaleźć między innymi w [, rozdział 4.4] i [,sr. Rozdział 0.4]. Nasępnie sformułujemy zagadnienie nieco rudniejsze (przykład ), po czym przedsawimy program obliczeniowy w języku Java pod nazwą Problem kóry rozwiąże przykład i będzie w sanie rozwiązać wiele innych na ym samym poziomie ogólności. W przykładzie pokażemy jak zwiększyć sosowalność Problemu na inne podobne zagadnienia. W rozdziale sformułujemy ak zwane uogólnione zagadnienie opymalnej alokacji zasobów opisane przez (5)-(6), po czym zilusrujemy je 6-ma różnorakimi zadaniami decyzyjnymi (przykłady 4-9), będącymi szczególnym przypadkiem ego uogólnionego zagadnienia. Jego rozwiązanie pozosawimy jako problem owary do rozwiazania w nasępnym arykule. Z uogólnionymi zagadnieniami opymalnej aloka- * Cezary S. Zaremba ukończył sudia licencjackie w WSZ-POU oraz magiserskie w Universiy College London ** Leszek S. Zaremba jes profesorem w WSZ-POU
2 cji zasobów czyenik może spokać się na przykład w [, rozdziały 0.5 i.] oraz [, rozdz. 0.4]. ROZDZIAŁ. OPTYMALNA ALOKACJA KAPITAŁU FINANSOWEGO Rozpocznijmy od zdefinowania klasycznego (sandardowego) zagadnienia opymalnej alokacji zasobów, ak jak zrobiono o w przykładzie 5 z [, sr. 960]. Przykład [por.,sr.960] Pan Finco ma $6000 do zainwesowania w projeky, przy czym usalił że kwoy d, d, d, jakie będzie inwesował w e projeky będą wielo- kronościami $000. Wszyskie e projeky przynosić będą zyski (lub sray) przez ą samą ilość la. Tabela podaje warości NPV (zwane w dalszej części przychodami) dla każdego z ych projeków zgodnie ze wzorami () r d ) = 7d, r d ) = d 7, r d ) = 4d 5, co ilusruje poniższa projek # ( + ( + Tabela ( + kosz (w ys. dolarów) przychód = NPV(w ys. dolarów ) przy czym funkcja r ( ) określa przychody z projeku, r ( ) z projeku, zaś r ( ) d z projeku. Zgodnie z reścią zadania musi być jeszcze spełniona równość () d + d + d 6. = Zagadnienie kóre pragnie rozwiązać pan Finco polega więc na maksymalizacji sumy przychodów, co zapisujemy w posaci () max{ r d ) + r ( d ) + r ( ) } ( d przy zachowaniu warunku (). Przejdźmy eraz do nieco rudniejszego zagadnienia opisanego w przykładzie, kóry podobnie jak przykład, rozwiążemy w ym rozdziale za pomocą programu d d
3 obliczeniowego pod nazwą Problem, kóry zosał specjalnie napisany na porzeby niniejszego arykułu. Przykład Pan Finco ma $7000 do zainwesowania. Posanowił skoncenrować się na maksimum 4 projekach spośród 5 dosępnych do realizacji, przy czym usalił że kwoa jaką będzie inwesował w kórykolwiek z 5 projeków będzie wielokronością $000. Wszyskie e projeky przynosić będą zyski (sray) przez ą samą ilość la. Tabela podaje warości NPV (zwane w dalszej części przychodami) dla każdego z ych 5 projeków w zależności od zainwesowanej w nie dziś kwoy kapiału. Zagadnienie kóre pragnie rozwiązać pan Finco polega na maksymalizacji sumy przychodów wynikłych ze zrealizowanych projeków (minimum projek, maksimum 4 projeky), na kóre łącznie nie może wydać więcej niż $7000. Wielkości kóre wysępują w ej abeli zosały wybrane przypadkowo, zaś meoda rozwiązania zaprezenowana w ym arykule pracuje równie dobrze na ych danych, jak i na każdych innych. Tabela : Koszy oraz przychody z 5 projeków kosz (w ys. dolarów) projek # przychód = NPV (w ys. dolarów) Jak widać z abeli, jeżeli pan F. zainwesuje $4000 w projek o warość dodana z ego projeku (reprezenowana przez NPV) i zwana przez nas również przychodem wyniesie $5000, pozosawiając $000 do rozlokowania w pozosałe projeky. Gdyby e $4000 pan F. zainwesował w projek, o jego przychód wyniósłby $6000, pozosawiając również $000 do alokacji w inne projeky, np. $000 w projek 4 oraz $000 w projek, co łącznie dałoby mu $0000. Z kolei
4 4 przeznaczając cały budże ylko w jeden projek, pan F. usyskać może maksymalnie $4000. Rozumując w en prosy sposób jes szansza że nie pomylimy się i znajdziemy rozwiązanie opymalne w/w problemu decyzyjnego. Gdy jednak ilość wierszy (projeków) rośnie, podobnie jak ilość kolumn, meoda a saje się coraz bardziej zawodna i musi być zasąpiona przez niezawodną meodę obliczeniową. W ym celu zaproponujemy program obliczeniowy Problem napisany w języku Java, kóry wyświelać będzie abelę danych wyjściowych, najlepsze rozwiązanie, drugie najlepsze rozwiązanie oraz kilka dodakowych informacji. Poszukiwania opymalnej alokacji kapiału podzielimy na 4 fazy. W -ej fazie obliczeń ograniczamy się do zainwesowania w jeden projek całej kwoy $7000 gdyż może się zdarzyć że aki właśnie sposób inwesowania przyniesie najlepszy rezula; proponujemy aby czyelnik zasanowił się eraz kórą liczbę z abeli należy zmienić (można o zrobić na kilka sposobów) aby zainwesowanie całej kwoy $7000 w jeden projek rzeczywiście przyniosło największy przychód ze wszyskich możliwych sposobów alokacji $7000 w,, lub 4 projeky. Zaem, w -ej fazie program nasz wybierze maksymalną liczbę z osaniej kolumny. W rozparywanym przykładzie będzie o liczba 4 odpowiadająca projekowi #, co oznacza że uzyskany przychód z projeku # wyniesie $4000. Oznaczymy ą liczbę przez Max, zaś -ą największą przez Max. Przypomnijmy eraz wzór z kombinaoryki i rachunku prawdopodobieńswa, kóry mówi iż wszyskich podzbiorów k-elemenowych w zbiorze n-elemenowym jes n n! (4) =, k k!( n k)! gdzie n!(czyaj: n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb nauralnych od do n. W -ej fazie obliczeń rozważamy inwesowanie w dowolne projeky spośród wszyskich (5 w ym przypadku), alokując najpierw kwoę $000 w jeden z ych projeków oraz $6000 w drugi projek, dzięki czemu łączna suma nakładów inwesycyjnych wyniosie $7000. Powyższy wybór dwóch kolumn oznaczymy króko przez -
5 5 6. Kolejnym wyborem będzie w ej fazie -5, nasępnie -4, co jak zobaczymy póź- niej wyczerpie wszyskie możliwości. Program nasz wybiera więc po jednej liczbie z kolumny -ej i 6-ej, kóre nie znajdują się w ym samym wierszu, czyli reprezenują różne projeky. Wszyskich sposobów wybrania ych liczb, czyli projeków spośród 5 będzie jak wiemy ze wzoru (4) 5 5! 4 5 = = =!(5 )! ( ) ( ) 0 = 0. Na przykład, jeśli wybierzemy przychód z kolumny oraz przychód 4 z kolumny 6, i dodamy je do siebie, o orzymując łącznie $7000 akualizujemy warość Max, oraz Max. Posępujemy ak przy każdej nowej uzyskanej sumie, a więc 0 razy w ym eapie. Nasępnie program przechodzi do kolejnego eapu, w kórym dokonuje wyboru -5, czyli wybiera kolumnę i kolumnę 5. I ym razem program wybierze 0 różnych par liczb z ych dwóch kolumn, zsumuje e pary i za każdym razem uaku- alni warości liczb Max i Max. W kolejnym eapie ej samej fazy program obliczeniowy wybiera kolumnę i 4, posępując ak samo jak poprzednio. Na ym kończy się faza -a ponieważ wybór 4-, podobnie jak wybór 5- nie może już wnieść nic nowego. Wynika o sąd, że wybieranie 0 par liczb z kolumn i 4 i sumowanie ich jes ym samym co wybieranie 0 liczb z kolumn 4 i i sumowanie ich. W -ej fazie obliczeń program koncenruje się na wyborze kolumn (nakła- dów inwesycyjnych) kóre łącznie pochłoną $7000. Rozpoczyna od alokacji 5--, czyli wybiera liczby po jednej z kolumn 5-ej, -ej i -ej, ak aby e liczby odpowia- dały różnym projekom ( wierszom). Można o zrobić na 5 5! 4 5 = = =!(5 )! ( ) ( ) 0 = 0 sposobów, za każdym razem sumując e liczby i akualniając warość liczb Max i Max. W kolejnym kroku program przechodzi do kolumn 4--, wybierając na 0 sposobów liczby, sumuje je i uakualnia Max i Max. Jedną z ych sum będzie 0
6 6 jako suma liczb 6(z 4-ej kolumny), 8(z -ej kolumny) oraz 6(z -ej kolumny), z czego wynika iż Max 0. W kolejnym kroku -ej fazy program przechodzi do kolumn -- (wybór kolumn 4-- nie miałby sensu ponieważ były już rozparywane kolumny 4--). Program ponownie wybiera na 0 sposobów liczby z kolumny -ej, -ej oraz -ej ak aby liczby e były z różnych wierszy, sumuje je i uakualnia dwie największe sumy. Pozosaje jeszcze rozparzyć w en sam sposób kolumny -- gdyż wszykie inne układy kolumn zosały już rozparzone, np. układ --, układ --, id. W 4-ej fazie obliczeń program koncenruje się na wyborze 4-ech kolumn (nakładów inwesycyjnych) kóre łącznie pochłoną $7000. Rozpoczyna od alokacji 4- --, poem zajmuje się alokacją ---, nasępnie ---, co wyczerpuje wszyskie możliwości. Rozpoczynając od alokacji $4000, $000, $000 i $000 w 4 różne projeky spśród 5, wybieramy 4 liczby po jednej z kolumn 4-ej, -ej, -ej i -ej ak aby e liczby odpowiadały 4 różnym projekom (4 różnym wierszom). Można o zrobić na 5 5! = = = = 5 4 4!(5 4)! ( 4) sposobów, za każdym razem sumując e 4 liczby i uakualniając Max oraz Max. W kolejnym dwóch krokach odpowiadających alokacjom --- oraz --- nasz program posępuje analogicznie, kończąc obliczenia. Wyniki końcowe, jak i cząskowe przeprowadzonych obliczeń uzyskane w Prob- lemie są do obejrzenia w dwóch poniższych inerfejsach.
7 7 Waro podkreślić, że chociaż Problem zosał napisany przy założeniu iż kwoy pieniężne do zainwesowania w rozparywane projeky wzrasają o 000 zł (od ys. zł do 7 ys. zł w omówionym wyżej przypadku), o prosy zabieg dopisania brakujących kolumn pozwala sprowadzić każdy inny przykład do akiego sformułowania kóre rozwiązuje Problem. Zilusrujmy o poniżej.
8 8 Przykład Treśc zagadnienia jes a sama co w przykładzie, lecz są inne przychody z 5 projeków. Dane są one w poniższej abeli. projek # 4 5 Tabela kosz (w ys. dolarów) przychód = NPV (w ys. dolarów) By zasosować program obliczeniowy Problem, zasąpmy abelę poniższą abelą. Tabela 4 kosz (w ys. dolarów) projek # przychód = NPV (w ys. dolarów) W -ej fazie obliczeń ograniczamy się do inwesowania całej kwoy $000 w jeden projek. Z obliczeń wynika że najlepiej zainwesować 000$ w projek # (przychód $8000) i o jes akualna warość liczby Max. W -ej fazie obliczeń rozważamy inwesowanie w dowolne projeky spośród wszyskich. Po przeprowadzeniu obliczeń dowiadujemy się że najlepiej zainwesować $0000 w projek #
9 9 (przychód $000) oraz $000 w projek # (przychód $000) co daje łącznie $4000. W akim razie akualną warością Max będzie $4000. W -ej fazie obliczeń program koncenruje się na wyborze kolumn. Z obliczeń wynika że najlepiej zainwesować $9000 w projek # (przychód $0000), $000 w projek # (przychód $7000) oraz $000 w projek # (przychód $000). Uakualniona warość Max wynosi więc $0000. Jes o jednocześnie jak się wkróce okaże drugi najlepszy wynik. W 4-ej osaniej fazie obliczeń program koncenruje się na wyborze 4 kolumn. Po przeprowadzeniu obliczeń dowiadujemy się że najlepiej zainwesować $8000 w projek # (przychód $5000), $000 w projek # (przychód $7000), $000 w projek # (przychód $000) oraz $000 w projek #4 (przychód $6000), co daje końcową warość Max = $000. Jes o zarazem najlepszy wynik (najwyższy przychód) z alokacji posiadanego kapiału $000 uzyskany poprzez program obliczeniowy Problem. ROZDZIAŁ : UOGÓLNIONE ZAGADNIENIE ALOKACJI ZASOBÓW Zdefiniujemy eraz (por. [, sr.964]) na czym polega uogólnione zagadnienie alokacji zasobów. Maemaycznie ujmując, chodzi o (5) max r ( d ) gdy T =
10 0 T (6) = = g ( d ) w, kóre redukuje się do sandardowego zagadnienia alokacji jeśli wszyskie funkcje g (d), T, są dane wzorami (d) = d. Gdy ponado T =, r (d) dane są wzora- g mi (), zaś w = 6, orzymujemy przykład 5 z [, sr. 960]. Zagadnienie (5)-(6) jes na yle ogólne iż prezenuje za jednym razem wiele wydawałoby się różnych zagadnień decyzyjnych. Opiszemy eraz 6 z nich (przykłady 5-0), z kórych 4 pochodzą z [, sr. 964]. Przykład 4 (znany jako plecakowy problem - knapsack problem) Turysa wybiera się w góry na wycieczkę z plecakiem. Rozważa co włożyć do plecaka, biorąc pod uwagę piżamy, ręczniki, szczokę do zębów, kanapki z wędliną, kanapki z serem, koszule, ip.) Wszyskich różnych rodzajów przedmioów jes T. Każdy ręcznik, ręczniki, kanapka z serem, kanapki z serem, ip. generuje pewną użyeczność (benifi) dla urysy, jednocześnie, waży pewną ilość kg. Turysa uznał żę maksymalna waga plecaka wynosić może w = 40 kg. Widać że jes o szczególny przypadek uogólnionego problemu opymalnej alokacji zasobów (zasobem jes u powierzchnia w plecaku przeliczana na kg), jeśli g (d) oznaczać będzie wagę przed- miou wzięego do plecaka w ilości d szuk, zaś r (d) określa benifi z yułu wzięcia do plecaka d szuk przedmiou rodzaju. Przykład 5 (przeprowadzka z Białegosoku do Warszawy) Kowalscy przeprowadzają się z Białegosoku do Warszawy. Ponieważ z jednej srony wynajęcie dużego środka ransporu kóry by przewiózł ich wszyskie meble za jednym razem jes koszowne, a z drugiej srony ich kuzyn kóry dysponuje niedużym samochodem ransporowym zaoferował przewiezienie ich mebli w -óch urach(dziś i za ygodnie) za opłaą kóra pokrywa jedynie koszy paliwa, Kowalscy zdecydowali się na jego oferę. Doradź im w jaki sposób mają zabrać w pierszej urze jak najbardziej porzebne meble i urządzenia kuchenne kóre im wysarczą przez ygodnie, a z drugiej srony zmieszczą się na kuzyna ciężarówce, co oznacza że suma objęości przedmioów kóre wezmą z sobą w -ej urze nie przekroczy pojemności jego ciężarówki, czyli 0
11 merów sześciennych. Każdemu meblowi i urządzeniu (zosały one ponumerowane od do n), jak również grupie mebli i urzadzeń ego samego rodzaju kóre mają prze- wieść do Warszawy przyporządkowali określoną użyeczność, kórą oznaczymy przez r i ( d i ), gdzie d i oznacza ilość mebli czy urządzeń ypu i, i n. W sumie będzie o zagadnienie (5)-(6), gdzie g i ( d i ) oznaczają objęość d i urządzeń ypu i. Przykład 6 (opymalne zaplanowanie przygoowywania się sudena do sesji egzami- nacyjnej) Suden ma do zdania egzaminy z T przedmioów. Ze swego doychczasowego doświadczenia wie jak wyniki egzaminów kóre ma zdawać z każdego z ych przed- mioów zależeć bedą od ilości godzin kóre przeznaczy na przygoowanie się do nich. Niesey, ilość czasu kóra mu pozosała nie wysarcza aby uzyskać maksymalnie wysokie oceny ze wszyskich ych przedmioów. Aby sprowadzić o zagadnienie decyzyjne do problemu (5)-(6), niech r (d) oznacza sopień (liczony w punkach od 0 do 00) kóry uzyska suden gdy przeznaczy d godzin na przygoowywanie się do egzaminu z ego przedmiou. Ponado, jeśli g (d) = d, zaś w jes ilością godzin jaką dysponuje (jes o jego zasób), o nierówność (6), czyli w ym przypadku nierówność (7) = = T d w, oznaczać będzie że łącznie na przygoowywanie się do wszyskich egzaminów su- den ma co najwyżej w godzin. Warunek (5) oznacza naomias że chodzi u o maksymalizację sumy ocen ze wszyskich egzaminów, czyli mówiąc równowżnie, chodzi o maksymalizację liczby (8) r ( d ) / T T = reprezenującą średnią ocenę ze wszyskich egzaminów. Przykład 7 Zagadnienie polega na przydzieleniu (alokacji) sprzedawców produku D (kórzy są zasobem firmy ABC) do T regionów znając zarówno koszy g ( x ) wysłania x sprze-
12 dawców do regionu, jak i wielkość sprzedaży r ) jaką oni am uzyskają. Chodzi więc o maksymalizację przychodów ze sprzedaży r ( x ), przy zachowaniu ograni- T czenia = = ( x g ( x ) w, gdzie w jes budżeem firmy ABC na dany rok. T = Przykład 8 Zagadnienie o mają rozwiązać władze powiau kórym podlega T placówek sraży pożarnej działających w regionach, T. Chodzi o usalenie jaką ilość wozów srażackich (oznaczmy ę ilość przez x ) powinna posiadać placówka w regionie aby w całym powiecie maksymalizować ilość przypadków pożarów w ciągu ygodnia do kórych samochód srażacki wyrusza w czasie krószym niż minua od orzymania informacji o pożarze, wiedząc że ilośc a w rejonie wynosi r ). Przy podjęciu decyzji władze powiau muszą wziąść pod uwagę że ygodniowy kosz urzymania x samochodów srażackich w rejonie wynosi g ). Chodzi więc o maksymalizację T = r ( x ), przy zachowaniu ograniczenia = = T ( x ponownie mamy do czynienia z zagadnieniem ypu (5)-(6). ( x g ( x ) w, gdzie w jes budżeem, czyli Przykład 9 Pan Michał posiada środki w wysokości $0000 do zainwesowania, mając do dyspozycji nasępujące możliwości inwesycyjne. Doradź mu jakie ilości pakieów akcji poszczególnych spółek giełdowych powinien kupić (pakie = 00 akcji) aby w opymalny sposób dokonać alokacji swego kapiału. Tabela 5: Możliwości inwesycyjne oraz oczekiwany zysk Kosz nabycia 00 akcji Oczekiwany zysk Spółka A $,000 $500 Spółka B $4,000 $700 Spółka C $5,000 $800
13 W ym przykładzie chodzi o aki wybór ilości pakieów ( d pakieów akcji spółki A, d pakieów akcji spółki B oraz d pakieów akcji spółki C) aby maksymalizować oczekiwane zyski wynikające z kupna akcji spółek A, B, C. Tabela 5 podaje zyski z zakupu jednego pakieu akcji. Widzimy że dla spółki A oczekiwany zysk z zakupu jednego pakieu akcji wynosi r () 500, dla spółki B równy jes r () 700, zaś w = = przypadku spółki C oczekiwany zysk wynosi r () 800. Ponieważ zyski są propor- = cjonalne do ilości zakupionych pakieów akcji, zachodzą równości: (9) r d) = d * (), r d) = d * (), r d) = d * (), ( r ( r ( r gdzie d oznacza ilość pakieów akcji. Maemaycznie ujmując, pojawia się zaem nas- ępujący problem opymalizacyjny: (0) max{ r d ) + r ( d ) + r ( ) } gdy spełnione są ograniczenia budżeowe ( d () g d ) + g ( d ) + g ( d ) 0000, ( o znaczy, koszy nabycia d pakieów akcji spółki A, d pakieów akcji spółki B oraz d pakieów akcji spółki C nie mogą przewyższać kwoy $0000. W ym przyk- ładzie koszy g ( ), g ( ), g ( ) spełniają warunek (9), o znaczy są proporcjonal- d d d ne do ilości zakupionych pakieów akcji, dzięki czemu możemy (0)-() zapisać w posaci () max{ 500d + 700d + 800d } gdy () 000d d d Rozwiązanie W ym prosym przykładzie odpowiedź można zgadnąć. Widać że zmaksymalizu- jemy oczekiwany zysk gdy d =, d =, zaś d = 0, uzyskując $7000 = *500 + * *800. Zachęcamy czyelnika aby sam wymyślił kilka podobnych przykładów. Lieraura. B. Guzik, Ekonomeria i Badania Operacyjne, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań, 999.
14 4. E. Ignasiak, Badania Operacyjne, PWE, Warszawa, W. Winson, Operaions Research: Applicaions and Algorihms, PWS-Ken Publi- shing Company, 99.
Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE
Rozwiązanie uogólnionego problemu opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Niniejszy arykuł rozwiązuje problem owary posawiony w [4], dzięki czemu będzie można znaleźć
Bardziej szczegółowo1 z 6 2015-08-17 20:41
Algorytm rozwiązujący problem optymalnej alokacji zasobów dr hab. Leszek S. Zaremba Profesor w POU, kierownik w Katedrze Metod Ilościowych w Finansach w POU Cezary S. Zaremba Absolwent studiów licencjackich
Bardziej szczegółowoRozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów
Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów dr hab. Leszek S. Zaremba Profesor w POU, kierownik w Katedrze Metod Ilościowych w Finansach w POU Cezary S. Zaremba Absolwent studiów licencjackich
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoBEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:
1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie
Bardziej szczegółowoAnaliza opłacalności inwestycji logistycznej Wyszczególnienie
inwesycji logisycznej Wyszczególnienie Laa Dane w ys. zł 2 3 4 5 6 7 8 Przedsięwzięcie I Program rozwoju łańcucha (kanału) dysrybucji przewiduje realizację inwesycji cenrum dysrybucyjnego. Do oceny przyjęo
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012)
A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 211 220 Pierwsza wersja złożona 25 października 2011 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 3 grudnia 2012 2080-0339
Bardziej szczegółowoRACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE
RACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE PYTANIA KONTROLNE Czym charakeryzują się wskaźniki saycznej meody oceny projeku inwesycyjnego Dla kórego wskaźnika wyliczamy średnią księgową
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych 25.01.2003 r.
Maemayka ubezpieczeń życiowych 25.01.2003 r. 1.. Dany jes wiek całkowiy x. Nasępujące prawdopodobieńswa przeżycia: g= 2p x + 1/3, h= 2p x + 1/ 2, j= 2p x + 3/4 obliczono sosując inerpolację zakładającą,
Bardziej szczegółowoSystem zielonych inwestycji (GIS Green Investment Scheme)
PROGRAM PRIORYTETOWY Tyuł programu: Sysem zielonych inwesycji (GIS Green Invesmen Scheme) Część 6) SOWA Energooszczędne oświelenie uliczne. 1. Cel programu Ograniczenie lub uniknięcie emisji dwulenku węgla
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile
Bardziej szczegółowoE k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny
E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,
Bardziej szczegółowoTemat: Algorytmy zachłanne
Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje się w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymalną możliwość w nadziei,
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1
ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych
Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II
Bardziej szczegółowoSilniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1
PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,
Bardziej szczegółowoPROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW
Udosępnione na prawach rękopisu, 8.04.014r. Publikacja: Knyziak P., "Propozycja nowej meody określania zuzycia echnicznego budynków" (Proposal Of New Mehod For Calculaing he echnical Deerioraion Of Buildings),
Bardziej szczegółowoHarmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej
Mariusz Markowski, Marian Trafczyński Poliechnika Warszawska Zakład Aparaury Przemysłowe ul. Jachowicza 2/4, 09-402 Płock Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w rakcie eksploaaci insalaci
Bardziej szczegółowoAnaliza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak
Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem
Bardziej szczegółowoRozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego
Zadanie 1 Pośrednik kupuje towar u dwóch dostawców (podaż: 2 i, jednostkowe koszty zakupu 1 i 12), przewozi go i sprzedaje trzem odbiorcom (popyt: 1, 28 i 27, ceny sprzedaży:, 25 i ). Jednostkowe koszty
Bardziej szczegółowoWpływ rentowności skarbowych papierów dłużnych na finanse przedsiębiorstw i poziom bezrobocia
Wpływ renowności skarbowych papierów dłużnych na inanse przedsiębiorsw i poziom bezrocia Leszek S. Zaremba Sreszczenie W pracy ej wykażemy prawidłowość, kóra mówi, że im wyższa jes renowność bezryzykownych
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW
Bardziej szczegółowoEwa Dziawgo Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 7 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika
Bardziej szczegółowoSprawujesz osobistą opiekę nad dzieckiem? Przeczytaj koniecznie!
Sprawujesz osobisą opiekę nad dzieckiem? Przeczyaj koniecznie! Czy z yułu sprawowania osobisej opieki nad dzieckiem podlegasz ubezpieczeniom społecznym i zdrowonemu Od 1 września 2013 r. osoba sprawująca
Bardziej szczegółowodr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW
Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Sposoby usalania płac w gospodarce Jednym z głównych powodów, dla kórych na rynku pracy obserwujemy poziom bezrobocia wyższy
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Bardziej szczegółowoDobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych
Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego
Bardziej szczegółowoStała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego
252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału
Bardziej szczegółowoD:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.
D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów
Bardziej szczegółowoAnaliza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**
Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut
Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoKURS EKONOMETRIA. Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS EKONOMETRIA Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonomerycznego ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Srona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (ylko jedna jes prawdziwa). Pyanie 1 Kóre z poniższych
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoZarządzanie Projektami. Wykład 3 Techniki sieciowe (część 1)
Zarządzanie Projekami Wykład 3 Techniki sieciowe (część ) Przedsięwzięcie wieloczynnościowe Przedsięwzięcie wieloczynnościowe skończona liczba wzajemnie ze sobą powiązanych czynności (eapów). Powiązania
Bardziej szczegółowoO PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE
MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoEksploracja danych. KLASYFIKACJA I REGRESJA cz. 1. Wojciech Waloszek. Teresa Zawadzka.
Eksploracja danych KLASYFIKACJA I REGRESJA cz. 1 Wojciech Waloszek wowal@ei.pg.gda.pl Teresa Zawadzka egra@ei.pg.gda.pl Kaedra Inżyrii Oprogramowania Wydział Elekroniki, Telekomunikacji i Informayki Poliechnika
Bardziej szczegółowohact , 4 haot technice świec japońskich. 4 Na podstawie strony internetowej:
Zasosowanie echniki Heikin Ashi na rynku kapiałowym Krzyszof Borowski Opublikowany w: Sudia i Prace Kolegium Zarządzania i Finansów, Zeszy Naukowy 66, Warszawa 26, sr. 9-99. Po raz pierwszy japońskie echniki
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoREGULAMIN FUNDUSZU ROZLICZENIOWEGO
REGULAMIN FUNDUSZU ROZLICZENIOEGO przyjęy uchwałą nr 10/60/98 Rady Nadzorczej Krajowego Depozyu Papierów arościowych S.A. z dnia 28 września 1998 r., zawierdzony decyzją Komisji Papierów arościowych i
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego
Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie: są dodatnie, ciąg jego sum
Bardziej szczegółowoWyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH
Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36, T. 1 Sefan Grzesiak * WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH STRESZCZENIE W arykule podjęo problem
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW
Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Wprowadzenie Współczesne zarządzanie ryzykiem
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym
ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami
Bardziej szczegółowohact , 4 haot technice świec japońskich. 4 Na podstawie strony internetowej:
Zasosowanie echniki Heikin Ashi na rynku kapiałowym Krzyszof Borowski Opublikowany w: Sudia i Prace Kolegium Zarządzania i Finansów, Zeszy Naukowy 66, Warszawa 26, sr. 9-99. Po raz pierwszy japońskie echniki
Bardziej szczegółowoProwadzisz lub będziesz prowadzić działalność gospodarczą? Przeczytaj koniecznie!
Prowadzisz lub będziesz prowadzić działalność gospodarczą? Przeczyaj koniecznie! Jeseś osobą prowadzącą pozarolniczą działalność, jeśli: prowadzisz pozarolniczą działalność gospodarczą na podsawie przepisów
Bardziej szczegółowoAnaliza rynku projekt
Analiza rynku projek A. Układ projeku 1. Srona yułowa Tema Auor 2. Spis reści 3. Treść projeku 1 B. Treść projeku 1. Wsęp Po co? Na co? Dlaczego? Dlaczego robię badania? Jakimi meodami? Dla Kogo o jes
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoEFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz
EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH dr inż. Rober Sachniewicz METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Jednymi z licznych celów i zadań przedsiębiorswa są: - wzros warości przedsiębiorswa
Bardziej szczegółowoModelowanie całkowitoliczbowe
1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE TESTU OSTERBERGA DO STATYCZNYCH OBCIĄŻEŃ PRÓBNYCH PALI
Prof. dr hab.inż. Zygmun MEYER Poliechnika zczecińska, Kaedra Geoechniki Dr inż. Mariusz KOWALÓW, adres e-mail m.kowalow@gco-consul.com Geoechnical Consuling Office zczecin WYKORZYAIE EU OERERGA DO AYCZYCH
Bardziej szczegółowoPROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE
PROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE OPTYMALNA STRUKTURA PRODUKCJI Na podstawie: J. Wermut, Rachunkowość zarządcza, ODDK, Gdańsk 2013 1 DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE Decyzje krótkookresowe to takie, które dotyczą
Bardziej szczegółowoPROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE
D: PROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE I. Strategia zachłanna II. Problem przetasowań w genomie III. Sortowanie przez odwrócenia IV. Algorytmy przybliżone V. Algorytm zachłanny
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB X - ELECTRE TRI
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB X - ELECTRE TRI 1. Meoda ELECTRE TRI ELECTRE TRI (skró od ang. riage) meoda wspomagająca rozwiązywanie problemów wielokryerialnego sorowania - bardzo podobna
Bardziej szczegółowoAnaliza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego
TRANSFORM ADVICE PROGRAMME Invesmen in Environmenal Infrasrucure in Poland Analiza efekywności koszowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego koszu jednoskowego dr Jana Rączkę Warszawa, 13.06.2002 2 Spis reści
Bardziej szczegółowoStruktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro
Rozdział i. Srukura sekorowa finansowania wydaków na B+R w krajach srefy euro Rober W. Włodarczyk 1 Sreszczenie W arykule podjęo próbę oceny srukury sekorowej (sekor przedsiębiorsw, sekor rządowy, sekor
Bardziej szczegółowoPobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Bardziej szczegółowoWykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie
Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że musimy zapakować plecak na wycieczkę. Plecak ma pojemność S. Przedmioty mają objętości,,...,, których suma jest większa od S.
Załóżmy, że musimy zapakować plecak na wycieczkę. Plecak ma pojemność S. Przedmioty mają objętości,,...,, których suma jest większa od S. Plecak ma być zapakowany optymalnie, tzn. bierzemy tylko te przedmioty,
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR
LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA
1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: mgr inż. ŻANETA PRUSKA DODATEK SOLVER 2 Sprawdzić czy w zakładce Dane znajduję się Solver 1. Kliknij przycisk Microsof Office, a nasępnie kliknij przycisk Opcje
Bardziej szczegółowolicencjat Pytania teoretyczne:
Plan wykładu: 1. Wiadomości ogólne. 2. Model ekonomeryczny i jego elemeny 3. Meody doboru zmiennych do modelu ekonomerycznego. 4. Szacownie paramerów srukuralnych MNK. Weryfikacja modelu KMNK 6. Prognozowanie
Bardziej szczegółowoWykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej
Wykład VII Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Problem pakowania plecaka System kryptograficzny Merklego-Hellmana
Bardziej szczegółowoRozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE 9.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 9.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoWykład 6. Badanie dynamiki zjawisk
Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk Krzywa wieża w Pizie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757 Szeregiem czasowym nazywamy
Bardziej szczegółowoz graniczną technologią
STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU
Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces
Bardziej szczegółowoKombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz
Noaki do wykładu 005 Kombinowanie prognoz - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz - podsawowe meody kombinowania prognoz - przykłady kombinowania prognoz gospodarki polskiej - zalecenia
Bardziej szczegółowoTemat: Weryfikacja nienaruszalności bezpieczeństwa SIL struktury sprzętowej realizującej funkcje bezpieczeństwa
1 Lab3: Bezpieczeńswo funkcjonalne i ochrona informacji Tema: Weryfikacja nienaruszalności bezpieczeńswa SIL srukury sprzęowej realizującej funkcje bezpieczeńswa Kryeria probabilisyczne bezpieczeńswa funkcjonalnego
Bardziej szczegółowoStrukturalne podejście w prognozowaniu produktu krajowego brutto w ujęciu regionalnym
Jacek Baóg Uniwersye Szczeciński Srukuralne podejście w prognozowaniu produku krajowego bruo w ujęciu regionalnym Znajomość poziomu i dynamiki produku krajowego bruo wyworzonego w poszczególnych regionach
Bardziej szczegółowoOcena płynności wybranymi metodami szacowania osadu 1
Bogdan Ludwiczak Wprowadzenie Ocena płynności wybranymi meodami szacowania osadu W ubiegłym roku zaszły znaczące zmiany doyczące pomiaru i zarządzania ryzykiem bankowym. Są one konsekwencją nowowprowadzonych
Bardziej szczegółowodr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Instytut Technik Innowacyjnych EMAG
dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Insyu Technik Innowacyjnych EMAG Wykorzysanie opycznej meody pomiaru sężenia pyłu do wspomagania oceny paramerów wpływających na możliwość zaisnienia wybuchu osiadłego pyłu węglowego
Bardziej szczegółowoWygładzanie metodą średnich ruchomych w procesach stałych
Wgładzanie meodą średnich ruchomch w procesach sałch Cel ćwiczenia. Przgoowanie procedur Średniej Ruchomej (dla ruchomego okna danch); 2. apisanie procedur do obliczenia sandardowego błędu esmacji;. Wizualizacja
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE. Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
INWESTYCJE Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Inwesycje Inwesycje w kapiał rwały: wydaki przedsiębiorsw na dobra używane podczas procesu produkcji innych dóbr Inwesycje
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowoInwestycje. Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
Inwesycje Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak CIASTECZOWY ZAWRÓT GŁOWY o akcja mająca miejsce w najbliższą środę (30 lisopada) na naszym Wydziale. Wydarzenie o związane jes z rwającym od
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza przepływów turbulentnych i indeksu Dow Jones
Kompuerowa analiza przepływów urbulennych i indeksu Dow Jones Rafał Ogrodowczyk Pańswowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie Wiesław A. Kamiński Uniwersye Marii Curie-Skłodowskie w Lublinie W badaniach porównano
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoStudia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015
Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii
Bardziej szczegółowoOcena efektywności procedury Congruent Specyfication dla małych prób
243 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób Sreszczenie. Procedura specyfikacji
Bardziej szczegółowoŚrednie. Średnie. Kinga Kolczyńska - Przybycień
Czym jest średnia? W wielu zagadnieniach praktycznych, kiedy mamy do czynienia z jakimiś danymi, poszukujemy liczb, które w pewnym sensie charakteryzują te dane. Na przykład kiedy chcielibyśmy sklasyfikować,
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWY GENERATOR PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH LEVY EGO
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 69 Elecrical Engineering 0 Janusz WALCZAK* Seweryn MAZURKIEWICZ* PROGRAMOWY GENERATOR PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH LEVY EGO W arykule opisano meodę generacji
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowo