Opcje podstawowe własności.

Transkrypt

1 Opcje podstawowe własności. Opcja jest to rodzaj umowy między dwoma podmiotami i jednocześnie instrument finansowy. Opcje kupna (call) dają posiadaczowi prawo do kupienia określonego w umowie aktywa (bazowego) [underlying] w ustalonej chwili lub przez ustalony okres czasu za ustaloną cenę zwaną ceną wykonania (exercise pirce, strike price). Opcje sprzedaży (put) dają posiadaczowi prawo do sprzedaży określonego w umowie aktywa w ustalonej chwili (względnie przez ustalony okres czasu) za ustaloną cenę (cena wykonania). Opcje mogą być wystawiane na akcje, indeksy akcji, towary, waluty obce, instrumenty dłużne, kontrakty terminowe itp. Opcje najczęściej rozlicza się pieniężnie. Cena w kontrakcie opcyjnym jest ustalana w chwili wystawienia opcji. Skorzystanie z prawa do zakupu lub sprzedaży określa się mianem wykonania lub rozliczenia opcji. Opcja jest ważna do momentu wygaśnięcia (expiry time). Termin wykonania opcji jest określony w umowie. Jest on tożsamy z momentem wygaśnięcia w przypadku tzw. opcji europejskich, a tzw. opcje amerykańskie można wykonać w dowolnej chwili aż do momentu wygaśnięcia. W umowie opcji występują dwie strony: wystawiający opcję (writer) i posiadacz opcji (holder). Posiadacz opcji otrzymuje prawo, za które musi zapłacić wystawiającemu opcję. Cena opcji, nazywana premią (option premium, option price) jest ceną rynkową (zmieniającą się w czasie). 1

2 Przykład (opcje na WIG20) 2

3 Oznaczenia: C! cena europoejskiej opcji kupna P! - cena europoejskiej opcji sprzedaży C!, P! - odpowiednie wartości dla opcji amerykańskich. T- termin rozliczenia opcji X - cena wykonania Wypłata (payoff) z europejskiej opcji kupna: (S T X)! = max ( S (T ) X, 0). Wypłata z europejskiej opcji sprzedaży: (X S T )! = max ( X S (T ), 0). 3

4 Zauważmy, że Wypłata ze strategii składającej się z długiej pozycji na europejskiej opcji kupna I krótkiej pozycji na europejskieij opcji sprzedaży jest taka sama jak wypłata z długiej pozycji na kontrakcie forward (te same instrument bazowy, data rozliczenia I cena wykonania). Zatem prawdziwy jest Twierdzenie. (put call-parity) Dla opcji europejskiej mamy D-d. Łatwy arbitraż w przypadku braku równości. C! P! = V! (0) 4

5 Wnioski. a) Jeśli S jest akcją nie wypłacającą dywidendy, a stopa procentowa r (kapitalizacja ciągła) jest stała, to jeśli S nie wypłaca dywidendy C! P! = S 0 e!!" X, b) Jeśli akcja (lub indeks) S wypłaca dywidendę w sposób ciągły wg stopy dywidendy r!, to C! P! = e!!!! S 0 e!!". c) Jeśli na akcję S są wypłacane dywideny w okresie (0,T), to C! P! = S 0 D! e!!" X, gdzie D! jest wartością bieżąco wypłacanych dywidend. Dla opcji amerykańskich takie równości nie muszą być prawdziwe. 5

6 Mamy jednak pewne oszacowania. Fakt. Przy założeniach jak wyżej dla opcji amerykańskich na akcję nie wypłacającą dywidend mamy: 𝑆 0 𝑒!!" 𝑋 𝐶! 𝑃! 𝑆 0 𝑋. Dowód. Przypuśćmy, że pierwsza z tych nierówności nie jest prawdziwa tzn. 𝐶! 𝑃! 𝑆 0 + 𝑒!!" 𝑋 > 0. Wtedy wystawiamy opcję kupna, kupujemy opcję sprzedaży i akcję finansując się na rynku pieniężnym. Nasz stan gotówki w momencie 0 to 𝐶! 𝑃! 𝑆 0. Jeśli w momencie 𝑡, 0 < 𝑡 𝑇 jesteśmy wezwani do realizacji opcji kupna to sprzedajemy akcję za X. Nasza pozycja gotówkowa wynosi wtedy (𝐶! 𝑃! 𝑆 0 )𝑒!" + 𝑋. W momencie T wyniesie ona (𝐶! 𝑃! 𝑆 0 ) + 𝑋𝑒!!" )𝑒!" (𝐶! 𝑃! 𝑆 0 ) + 𝑋𝑒!!" )𝑒!" > 0. Jeśli opcja kupna nie jest wykonana, to w chwili T sprzedajemy akcję za X realizując opcję sprzedaży i nasza pozycja gotówkowa wynosi wtedy (𝐶! 𝑃! 𝑆 0 )𝑒!" + 𝑋 > 0. Przypuśćmy, druga z tych nierówności nie jest prawdziwa tzn. 𝐶! 𝑃! 𝑆 0 + 𝑋 < 0, czyli 𝐶! + 𝑋 < 𝑃! + 𝑆 0. Wtedy w momencie 0 wystawiamy opcję sprzedaży, kupujemy opcję kupna i pożyczamy akcję S i sprzedajemy ją za 𝑆 0. Nasza pozycje gotówkowa po tych operacjach to 𝑃! 𝐶! + 𝑆 0. Jeśli w momencie 𝑡, 0 < 𝑡 𝑇, jesteśmy wezwani do realizacji sprzedaży to kupujemy akcję za X i ją oddajemy. Nasz pozycje gotówkowa, to (𝑃! 𝐶! + 𝑆 0 )𝑒!" 𝑋. W momencie T wynosi ona (𝑃! 𝐶! + 𝑆 0 )𝑒!" 𝑋𝑒!!!! > 𝑒!" (𝑃! 𝐶! + 𝑆 0 𝑋𝑒!!" ) > 0. Jeśli opcja sprzedaży nie jest realizowana, to w chwili T realizujemy opcję kupna i kupujemy akcję S za X po czym ją oddajemy. Nasza pozycja gotówkowa po tych operacjach to (𝑃! 𝐶! + 𝑆 0 )𝑒!" 𝑋 = 𝑒!" (𝑃! 𝐶! + 𝑆 0 𝑋𝑒!!" ) > 𝑒!" (𝑃! 𝐶! + 𝑆 0 𝑋) > 0. 6

7 Co prawda C! = C! dla opcji na akcje nie wypłacające dywidendy, ale na nawet przy tych założeniach na ogół P! P!. Wykażemy jedno i drugie. FAKT C A = C E dla opcji na akcje nie wypłacające dywidendy. Dowód. Oczywiście C! C!. Przypuśćmy, że C! > C!. W momencie wystawiamy opcję amerykańską i kupujemy opcję europejską. Mamy C! C! > 0 gotówki. Jeśli w momencie t, 0 < t T jesteśmy wezwani do realizacji opcji amerykańskiej, to pożyczamy akcję S i ją sprzedajemy za X. W momencie T realizujemy opcję europejską odkupując akcję za X. Oddajemy akcję i nasz stan gotówki będzie wynosił C! C! zaktualizowane na moment T plus odsetki za utrzymywanie kwoty X od momentu t do momentu T. Zauważmy, że nie zakładamy tu stałości stóp procentowych. Przykład. Zauważmy, że P! < e!!" X. Z drugiej strony P! X S 0. Łatwo dobrać wartości r, T, X i S(0) tak, by X S 0 > e!!" X. 7

8 Oszacowania ceny opcji Opcje na akcje nie płacące dywidendy C! 0, P! 0, C! 0, P! 0 S 0 e!!" X C! < S 0 S 0 + e!!" X P! e!!" X S 0 e!!" X C! < S 0 S 0 + X P! X Opcje na akcje płacące dywidendę S 0 e!!" X C! < S 0 S 0 + X P! X S 0 D! e!!" X C! S 0 + D! + e!!" X P! 8