EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., 1 2 1 1 2 2 u/ v : = x y + x y +... + xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać w astępujący sposób: ( u v) / : = u v Deiicja 2 (, ) oacamy tę prestreń wektorową ad ciałem ( E ) i aywamy euklidesową. ilocyem skalarym Deiicja 3 (,, +, - prestreń aiica, gdie w wprowadoo ilocy ) skalary Prestreń deiiowaą ilocyem skalarym aywamy prestreią euklidesową i oacamy. Deiicja 4 Jeżeli w prestrei E u x1 x2 x E = (,,..., ) to wiąek: ( u ) u : = / v aywamy ormą WNIOSEK: Deiicja 5 ( E, E,, ) + u x x 2 2 : = 1 + 2 +... + x 2 xy, E to odległością aywamy: d x, y : = xy Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 1 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica
Deiicja 5 E - prestreń euklidesowa u 0 v 0, E ( u / v ) = 0, Jeżeli to mówimy, że wektory są ortogoale. GEOMETRIA ANALITYCZNA PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ E 3 Oaceie: ( E, E,, ) + ( 0,, 0 i j, k ) - prestreń euklidesowa - układ współrędych prestrei aiicej i: = 1,0,0 j: = 0,1,0 k: = 0,0,1 W prestrei E 3 amiast mówić, że dwa wektory są ortogoale mówimy, że są prostopadłe. Zachodi tam rówież: i = j = k = 1 i i j i k k j UMOWA: W E 3 pryjmujemy tw. ortogoaly układ współrędych. i k j y x Deiicja 1, E Kątem międy wektorami (, ) tworą jeżeli acepimy je w pocątku układu. aywamy miejsy 2 kątów jakie oe Dowodi się, że: = cos,, stąd cos (, ) u v u v u v u v = u v Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 2 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica
Deiicja 2 u E u Wersorem wektora aywamy wektor, który ma te sam kieruek i wrot ale długość rówą 1. wersu u wersu = 1 WNIOSEK: [,, ] u = x x x u 1 u 0 1 2 3 x y wersu =,, u u u u = ux, uy, u ( ui) ui ux cos, = = u i u ( u j) cos, ( uk) u y u j = = u j u u k u cos, = = u k u Deiicja 3. cos ui, cos u, j cos uk, WNIOSEK: aywamy kosiusami kierukowymi wersu = cos ( u, i),cos ( u, j),cos ( uk, ) Wsystkie powyżse deiicje i wioski dotycą też (odpowiedio) prestrei E 2. Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 3 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica
ORIENTACJA Orietacja w E 2 ( ab ', ) O ( cd, ) O ( E, 2 E, 2 + ) Dwie pary wektorów liiowo ieależych acepioych w pukcie O, O Te 2 pary wektorów aymamy rówoskrętymi jeżeli popre presuięcie i obrót moża doprowadić do sytuacji, że pukt O pokryje się puktem O, wektory ac, leżą a tej samej prostej i mają te sam wrot a wektory leżą po tej samej stroie tej prostej. cd, b a d c d b a c 2 pary wektorów aymamy ierówoskrętymi jeżeli popre presuięcie i obrót moża doprowadić do sytuacji, że pukt O pokryje się puktem O, wektory ac, leżą a tej samej prostej i mają te sam wrot a wektory leżą po dwóch stroach tej prostej. cd, b d c a d b a c Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 4 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica
WNIOSEK: Łatwo auważyć, że jeżeli ustalimy parę wektorów to poostałe są do ich albo rówoskręte albo ierówoskręte. Jeżeli ustalimy parę wektorów to mówimy, że adajemy orietację. b wektory ac, są liiowo ieależe O a Orietacja dodatia Mówimy, że orietacja jest dodatia, jeżeli obracając wektor wokół puktu O po ajkrótsej drode tak aby pokrył się prostą awierającą porusamy się iegodie ruchem wskaówek egara. a b b O a Orietacja ujema Mówimy, że orietacja jest ujema, jeżeli obracając wektor a wokół puktu O po ajkrótsej drode tak aby pokrył się prostą awierającą b porusamy się godie ruchem wskaówek egara. a O b II III j i I IV Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 5 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica
Orietacja w E 2 ( E, 2 E, 2 + ) ( abc ',, ) O ( de,, ) O Dwie trójki wektorów liiowo ieależych. Te dwie trójki wektorów aywami rówoskrętymi jeżeli popre presuięcie i obrót moża doprowadić do sytuacji, że pukt O pokryje się O, pary ab, i de, leżą w jedej płascyźie i są rówoskręte a wektory są po jedej stroie tej płascyy c, c b a d e a c b d e c, Jeżeli powyżsy waruek ie jest spełioy (tj wektory ie leżą w jedej płascyźie) to mówimy, że wektory są ierówoskręte. a a c b b d e a c b d e Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 6 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica
Jeżeli adamy trójkę to każde poostałe są albo rówoskręte albo ierówoskręte. Dla wybraej trójki orietacja jest dodatia jeżeli możemy astosować do iej regułę śruby prawoskrętej (regułę prawej ręki) (1). c (2) (1) b b a c a Gdy powyżsy waruek ie jest spełioy to występuje orietacja ujema (2). Deiicja 4 ( E, 3 E, 3 + ), E : E3 E3 E3 Ilocyem wektorowym aywamy odworowaie, takie, że: 1. u v: = 0 jeśli u = 0 v= 0 w: = u v u 0 v 0 2. jeśli Własości: a) w u w v b) w : = u v si ( w,, ) ( u, v) c) jest rówoskręte pryjętym układem współrędych 1. u v = ( v u) u 0 v 0 2. λ ( λu) v= u ( λv) = λ( u v) 3. u v+ w = u v+ u w u 0 v 0 u v= 0 <=> u v, 4. mówimy, e są liiowo ależe Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 7 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica
u 0 v 0 u,v 5. - liiowo ieależe α 1 P = u v P = u 2 6. v i k j u = ux, uy, u = uxi+ uy j + uk v= vx, vy, v = vxi+ vy j + vk, - liiowo ieależe u = ux, uy, u = uxi+ uy j + uk v= vx, vy, v = vxi+ vy j + vk ( x y ) ( x y ) v v= u i+ u j+ u k v i+ v j+ v k = ( x x) ( x y) ( x ) ( y x) ( y y) ( y ) ( k x) k i ( k y) k j ( k ) k k ( x y) k ( x ) j ( y x) k ( y ) i ( k x) j ( k y) i ( y k y) i ( k x y x) j ( x y y x) k = i i+ i j + i k+ j i+ u v j j+ j k + + + + = = + + = = + + = = y k y, k x y x, x y u y v x OBRAZEK : i j k u 11 y u u 12 x u u 13 x u + + + y u v= ux uy u = i( 1) + j( 1) + k( 1) = vy v v v x v x vy v v v x y ( y k y) ( k x y x) ( x y y x) = i+ j+ k= = y k y, k x y x, x y y x Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 8 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica
Deiicja 7 E3 E3 E3 Ilocy miesay w,, E3 Ilocyem miesaym aywamy: w u v w : = ( ) WŁASNOŚCI: 1. ( u v) w = u ( v w) 2. u 0 v 0 w 0 u v w = <=> u v, w 0, 3. u ( v w) 0 są wektorami liiowo ależymi (leżą w jedej płascyźie) w v u w v u V = u v w V = 1 ( u v) 4. u = ux, uy, u = uxi+ uy j + uk v= vx, vy, v = vxi+ vy j+ vk w= wx, wy, w = wxi+ wy j + wk u u u w = v v v x y x y w w w x y 6 w Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 9 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica