Elementy grafiki komputerowej. Elementy geometrii afinicznej

Transkrypt

1 Elementy grafiki komputerowej. Elementy geometrii j Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 28

2 Elementy geometrii j Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem 2 / 28

3 Odejmowanie punktów Różnica punktów B i A jest wektor AB. A B A = AB A = B B A = 0 (B A)+(C B) = (C A) = AC B 3 / 28

4 Dodanie do punktu wektora Suma punktu A oraz wektora a jest punkt B, który zgadza się z końcem wektora a, jeżeli poczatek tego wektora umieścić w A. B a A B = A+ AB (A+a 1 )+a 2 = A+(a 1 +a 2 ) Dodanie wektora nazywa się przesunięciem róznoległym 4 / 28

5 Kombinacja afiniczna punktów Niech dany będzie układ punktów {A 1,...,A k } oraz wagi (liczby rzeczywiste) α 1,...,α k, takie że α 1 + +α k = 1 Ustalmy dowolny punkt O Kombinacja afiniczna punkitów α 1 A 1 + +α k A k jest punkt O +α 1OA1 + +α k OA k Twierdzenie 1. Kombinacja afiniczna punktów nie zależy od wyboru punktu O 5 / 28

6 Układ Wybierzmy dowolny punkt O, poczatek układu Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste: Ox, Oy, Oz, osie Płaszczyzny Oxy, Oxz, Oyz Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio e 1, e 2, e 3 bazę. Dla każdego punktu A wektor OA ma jednoznaczne przedstawienie OX = xe 1 +ye 2 +ze 3 liczby x, y, z współrzędne punktu A układ jest prawym (dodatnim), jeżeli {e 1,e 2,e 3 } jest zorientoany dodatnio układ jest lewym (ujemnym), jeżeli {e 1,e 2,e 3 } jest zorientowany ujemnie kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaja się dodatnimi. Kierunki przeciwne ujemnymi 6 / 28

7 Układ kartezjańskich Układ nazywa się kartezjańskim, jeżeli osie sa wzajemnie prostopadłe wektory e 1, e 2, e 3 sa jednostkowe (maja jednostkowa długość). Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawym kartezjańskim układem Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje się oznaczenia i, j, k 7 / 28

8 Działania na w układzie Odejmowanie punktów: A 2 A 1 = x 2 x 1 A 1 A 2 = y 2 y 1 z 2 z 1 Dodanie wektora: x 1 +x a A 1 +a = y 1 +y a z 1 +z a Kombinacja afiniczna: α 1 A 1 + +α k A k = α 1 x 1 + +α k x k α 1 y 1 + +α k y k α 1 z 1 + +α k z k wzory sa prawidłowe w każdym układzie 8 / 28

9 Podział odcinka w danym stosunku Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) Znaleźć punkt A(x,y,z), który dzieli odcinek A 1 A 2 w stosunku λ 1 : λ 2 λ 2A1 A λ 1AA2 = 0 OA = λ 2OA 1 +λ 1 OA 2 λ 1 +λ 2 x = λ 2x 1 +λ 1 x 2 λ 1 +λ 2, y = λ 2y 1 +λ 1 y 2 λ 1 +λ 2, z = λ 2z 1 +λ 1 z 2 λ 1 +λ 2. wzory sa prawidłowe w każdym układzie 9 / 28

10 Odległość między punktami Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) A 1 A 2 2 = A 1 A 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim 10 / 28

11 Zmiana układu Niech dane będa dwa ogólne układy : (O,e 1,e 2,e 3 ) oraz (O,f 1,f 2,f 3 ) Punkt P ma współrzędne (x,y,z) względem jednego układu oraz (z,y,z ) względem drugiego. Wektory (e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 = a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie (f 1,f 2,f 3 ): e 2 = a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 = a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ( e 1 e 2 e 3 ) = ( f1 f 2 f 3 ) A Punkt O w nowym układzie ma współrzędne (x 0,y 0,z 0 ). x = a 11 x+a 12 y +a 13 z +x 0, Wówczas y = a 21 x+a 22 y +a 23 z +y 0, z = a 31 x+a 32 y +a 33 z +z 0. x x x 0 y = A y + y 0. z z z 0 11 / 28

12 Przekształcenia Niech dany będzie układ O,f 1,f 2,f 3 oraz punkt O i układ wektorów e 1,e 2,e 3 przekwształceniem afinicznym nawyza się x odwzorowanie P = y O +xe 1 +ye 2 +ze 3 z współrzędne punktu A po przekształceniu będa x x 0 równe A y + y 0, gdzie z z 0 ( ) ( ) e1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A (x 0,y 0,z 0 ) współrzędne wektora OO 12 / 28

13 Uwagi Jeżeli układ wektorów e 1,e 2,e 3 jest baza, to przekształcenie zgadza się z zamiana układu Przekwształcenie B składa się z przekształcenia linowego A i przesunięcia równoległego T u, B = T u A Wówczas przesunięcie T u oraz przekształcenie liniowe A określone sa jednoznacznie. Twierdzenie 2. Każde przkształcenie można rozłożyć w iloczyn obrotu, skalowania (o różnych współczynnikach) oraz przesunięcia równoległego Twierdzenie 3. Każde przkształcenie sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesunięciem równoległym 13 / 28

14 Współrzędne w R 2 Trójka liczb x, y, w R (w 0) reprezentuje punkt o (x/w,y/w) R 2. (2,1) (2 : 1 : 1) (6 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1) 14 / 28

15 Współrzędne w R 3 Czwórka liczb x, y, z, w R (w 0) reprezentuje punkt o (x/w,y/w,z/w) R 3. (2,1,1) (2 : 1 : 1 : 1) (6 : 3 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1 : 1) 15 / 28

16 Macierz przekształcenia go w R 2 Niech ( B ) = T u A będzie ( przekształceniem ) afinicznym, u1 a11 a u =, A = 12. u 2 a 21 a 22 Macierz a przekształcenia B nazywa się macerz a 11 a 12 u 1 M B = a 21 a 22 u a 11 a 12 u 1 x a 11 x+a 12 y +u 1 a 21 a 22 u 2 y = a 21 x+a 22 y +u / 28

17 Obrót R θ = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ / 28

18 Skalowanie S λ1,λ 2 = λ λ / 28

19 Przesunięcie równoległe T u1,u 2 = 1 0 u u / 28

20 Macierz przekształcenia go w R 3 a 11 a 12 a 13 u 1 a 21 a 22 a 23 u 2 a 31 a 32 a 33 u a 11 a 12 a 13 u 1 x a 21 a 22 a 23 u 2 y = a 31 a 32 a 33 u z 1 a 11 x+a 12 y +a 13 z +u 1 a 21 x+a 22 y +a 23 z +u 2 a 31 x+a 32 y +a 33 z +u / 28

21 Przesunięcie równoległe Przesunięcie o wektor u = (u 1,u 2,u 3 ) u u u / 28

22 Obrót Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu w kierunku u = (u 1,u 2,u 3 ) o kat θ stopni. Kierunek obrotu określany jest orientacja. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 0 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1 0 (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c gdzie c = cosθ, s = sinθ., 22 / 28

23 Skalowanie α α α symetria względem płaszczyzny y z. 23 / 28

24 Jednorodność macierzy przekształcenia go Macierze A oraz λa określaj a to samo przekształcenie. 24 / 28

25 Macierz superpozycji przekształceń Niech dane będa dwa przekształcenia : A oraz B iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie AB(a) = A(Ba) Macierza A B jest macierz AB Dlatego zamiast A B będziemy pisać AB Macierz a przekształcenia odwrotnego do A jest macierz A 1 25 / 28

26 Teoria transponowana Wektory i punkty sa zapisywane jako wiersze v = (v x,v y,v z ), P = (x : y : x : w) Mnożenie przez macierz przekształcenia po prawej stronie ( ) ( ) v x v y v z M, x y z w A Macierze sa zamieniane na transponowane: przesunięcie o wektor u = (u 1,u 2,u 3 ): , u 1 u 2 u 3 1 etc Mnożenie macierzy w innej kolejności Macierza A 1 A 2 będzie A 2 A 1 26 / 28

27 Przestrzeń Składa się z czwórek (x : y : z : w) jednorodnych w może być zerem Dwie proporcjonalne czwórki reprezentuja ten sam punkt: (x 1 : y 1 : z 1 : w 1 ) (x 2 : y 2 : z 2 : w 2 ) x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = w 1 w 2 27 / 28

28 Przekształcenia rzutowe Przekształceniem rzutowym (projektywicznym) nazywa się przekształcenie RP 3 RP 3 x x y z A y z, w w gdzie A jest dowolna 4 4 macierza, przy czym deta 0 28 / 28