Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a

Transkrypt

1 Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 + b 1. Zbadać własności tego działania. 3. W zbiorze R określamy działanie : a b = a + b + ab. Zbadać własności tego działania. 4. W zbiorze {a, b, c, d} działanie jest określona za pomocą tabelki a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a Zbadać, czy działanie to : a) jest przemienne, b) jest łączne, c) ma element neutralny, d) podać elementy odwrotne do poszczególnych elementów zbioru. 5. W zbiorze Z określamy działanie i : a b = ab + a + b, a b = a + b + 1. Zbadać, czy a) działanie jest rozdzielne względem działania. b) działanie jest rozdzielne względem działania. c) działanie jest rozdzielne względem działania. d) działanie jest rozdzielne względem działania. 6. W zbiorze dzielników naturalnych liczby 6 określamy działania i w następujący sposób: a b = NW W (a, b), a b = NW D(a, b). Zbadać a) własności tych działań. b) czy działanie jest rozdzielne względem działania. c) czy działanie jest rozdzielne względem działania. d) działanie jest rozdzielne względem działania. e) działanie jest rozdzielne względem działania. Grupy 1. Zbadać, czy (A i, +), i = 1,..., 6 jest grupą, jeśli a) A 1 = N, b) A 2 = Q, c) A 3 = R, d) A 4 = {0, 1, 2, 3, 4}. e) A 5 - zbiór liczb całkowitych podzielnych przez ustaloną liczbę n, f) A 6 - zbiór liczb postaci a 2 + b 3, gdzie a, b Q. 1

2 2. Zbadać, czy (A i, ), i = 1,..., 9 jest grupą, jeśli a) A 1 = R, b) A 2 = R +, c) A 3 = R \ {0}, d) A 4 = { 1, 1}, e) A 5 = { 1, 0, 1}, f) A 6 = Z g) A 7 - zbiór liczb postaci a 2 + b 3, gdzie a, b Q, h) A 8 = {1, 2, 4, 8,..., 2 n,...} i) A 9 - zbiór liczb całkowitych nieparzystych. 3. Zbadać, czy (R, ), gdzie a b = a+b 2 jest grupą. 4. Zbadać, czy (Z, ), gdzie a b = a + b + 2 jest grupą. Pierścienie, ciała 1. Zbadać, który z podanych zbiorów wraz z dodawaniem i mnożeniem liczb jest pierścieniem? a) A 1 = N, b) A 2 = {x R : x = a + b 2, a, b Q} c) A 3 = {x R : x = a + b 3 + c 5, a, b, c Q} d) A 4 = {x R : x = a + b 5 3, a, b Q} e) A 5 = {x R : x = 2k lub x = 3k, gdzie k Z} 2. Zbadać, który z podanych zbiorów wraz z dodawaniem i mnożeniem liczb jest ciałem? a) A 1 = Z, b) A 2 = {x R : x = a + b 2, a, b Q}, c) A 4 = {0, 1} d) A 5 = { 1, 0, 1}, e) A 3 = {x R : x = a + b 3 + c 2, a, b, c Q}. 3. W zbiorze Q Q = Q 2 par liczb wymiernych określamy działania i w następujący sposób: (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac, bd). Czy a) (Q 2, ) jest grupą b) (Q 2, ) jest grupą c) (Q 2,, ) jest pierścieniem, d) (Q 2,, ) jest ciałem. 4. W zbiorze par liczb określamy działania i w następujący sposób: (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), a) Pokazać, że (Q 2,, ) jest ciałem. b) Czy (R 2,, ) jest ciałem? Przestrzenie liniowe (a, b) (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc). 1. W zbiorze R 2 określamy działania (x 1, y 1 )+(x 2, y 2 ) = (x 1 +x 2, y 1 +y 2 ), λ(x, y) = (λx, y). Czy (R 2, R, +, ) jest przestrzenią liniową? 2. W zbiorze R 2 określamy działania (x 1, y 1 )+(x 2, y 2 ) = (x 1 +x 2, y 1 +y 2 ), λ(x, y) = (λx, λy). Czy (R 2, R, +, ) jest przestrzenią liniową? 2

3 3. W zbiorze R 3 rozpatrujemy podzbiory: A 1 = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1 = 0} A 2 = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1 x 3 = 0} A 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 2 0} A 4 = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1 = x 2 } A 5 = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1 + x 2 + x 3 = 0} A 6 = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1 + x 2 = 1} Zbadać, czy (A i, +, ) dla i = 1, 2,..., 6 jest podprzestrzenią liniową (R 3, +, ). Baza i wymiar przestrzeni 1. Zbadać, czy w przestrzeni (R 3, +, ) wektory x 1, x 2, x 3 są liniowo niezależne: a) x 1 = (1, 4, 3), x 2 = ( 1, 2, 1), x 3 = (0, 6, 4) b) x 1 = (2, 7, 2), x 2 = (0, 2, 4), x 3 = (2, 1, 5) c) x 1 = (2, 3, 1), x 2 = (2, 0, 0), x 3 = (0, 3, 1). 2. Wykazać, że wektory x = (x 1, x 2 ) i y = (y 1, y 2 ) przestrzeni (R 2, +, ) są liniowo zależne, wtedy i tylko wtedy, gdy x 1 y 2 x 2 y 1 = Dla jakiej wartości a zbiór wektorów a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (a, 1, 1)} b) {(1, 1, a), (2, 1, 4), (4, 2, 8)} jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w (R 3, +, ). 4. Czy ciąg wektorów {(1, 0, 0), (1, 1, 1)} tworzy bazę przestrzeni (R 3, +, )? 5. Wykazać, że ciąg wektorów (x 1, x 2, x 3 ) gdzie x 1 = (1, 2, 1), x 2 = (0, 1, 3), x 3 = (1, 2, 0) tworzy bazę (R 3, +, ). Znaleźć współrzędne wektorów x 4 = (5, 2, 1), x 5 = (1, 0, 0), x 6 = (0, 1, 0), x 7 = (0, 0, 1) względem tej bazy. Przekształcenia liniowe, jądro i obraz 1. Które z podanych niżej odwzorowań f i : R 3 R 3 (i = 1, 2,...,) są przekształceniami liniowymi? f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 2 1, x 2 2, x 2 3, ) f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 3, x 1, x 2 ) f 3 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 3, x 1, x 2 + 1) f 4 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 2 x 3, x 1 x 3, x 1 5x 2 ) f 5 (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1, 3x 2, 4x 3 ) f 6 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 2 1, x 2, x 3 ). 3

4 2. Które z podanych odwzorowań są przekształceniami liniowymi? a) f : R 2 R, f((x 1, x 2 )) = 5x 1 + 2x 2 2 b) f : R 2 R, f((x 1, x 2 )) = 2x 1 + 3x 2 c) f : R R 2, f((x)) = (5x, x + 2) d) f : R 3 R 2, f((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 x 2, x 3 ) e) f : R R 3, f((x)) = (x 2, 2x, x) Dla odwzorowań liniowych wyznaczyć jądro i obraz odwzorowania. Macierze odwzorowań liniowych 1. Dane jest przekształcenie liniowe g : R 3 R 2 takie, że: g((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1, x 2 + x 3 ). Znaleźć macierz tego przekształcenia, jeśli w przestrzeniach R 3 i R 2 zadano odpowiednio bazy (u 1, u 2, u 3 ) i (v 1, v 2 ), gdzie a) u 1 = (1, 0, 0), u 2 = (0, 1, 0), u 3 = (0, 0, 1), v 1 = (1, 0), v 2 = (0, 1) b) u 1 = (1, 2, 0), u 2 = (1, 1, 1), u 3 = (0, 0, 1), v 1 = (1, 0), v 2 = (0, 1) c) u 1 = (1, 0, 0), u 2 = (0, 1, 0), u 3 = (0, 0, 1), v 1 = (1, 2), v 2 = (0, 1) d) u 1 = (1, 2, 0), u 2 = (1, 1, 1), u 3 = (0, 0, 1), v 1 = (1, 2), v 2 = (0, 1) 2. Dana jest macierz M A B (ϕ) = ( ) Znaleźć obraz wektora x = (1, 0, 2) w przekształceniu liniowym o macierzy M, jeśli w przestrzeniach R 3 i R 2 zadano bazy A i B, jak w poprzednim zadaniu. 3. Dane jest przekształcenie liniowe g : R 3 R 4 takie, że g((1, 2, 1)) = (1, 0, 1, 0) g((4, 3, 2)) = (3, 2, 0, 5) g(( 3, 5, 0)) = (1, 2, 1, 3). Znaleźć macierz MB A (ϕ), jeśli w obu przestrzeniach przyjmujemy bazy kanoniczne. 4. Dane jest przekształcenie liniowe g : R 2 R 3 takie, że g((1, 2)) = (1, 1, 1), g((0, 1)) = (1, 0, 1). Znaleźć macierz MB A (ϕ), jeśli w R 2 bazą jest A = {((1, 0), ( 1, 2))}, a w R 3 bazą jest B = {((1, 2, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1))}. 5. Dane są macierze A = ( ), B = a) Jakim przekształceniom liniowym odpowiadają te macierze? (przyjąc bazy kanoniczne w obu przestrzeniach) b) Znaleźć obrazy wektora x = (0, 1, 2, 2) w tych przekształceniach przy bazach kanonicznych. 4

5 Wektory, płaszczyzny, proste 1. Rozważmy trójkąt ABC, gdzie A = (1, 0, 2), B = (0, 1, 1), C = ( 1, 1, 1). Wyznaczyć: a) długość środkowej AS, b) kosinus kąta ABC c) pole trójkąta ABC, d) wysokość opuszczoną na bok AC, e) Sprawdzić, czy punkty A, B, C i D = (0, 0, 0) leżą na jednej płaszczyźnie. 2. Rozważmy trójkąt ABC, gdzie A = (2, 0, 1), B = (0, 1, 1), C = (1, 1, 1). Wyznaczyć: a) długość środkowej BS, b) kosinus kąta BAC c) pole trójkąta ABC d) wysokość opuszczoną na bok AB, e) Sprawdzić, czy punkty A, B, C i D = (0, 0, 0) leżą na jednej płaszczyźnie. 3. Obliczyć odległość między płaszczyznami a) π 1 : 3x + 4y 2z + 1 = 0, π 2 : 3x + 4y 2z + 3 = 0. b) π 1 : 2x y + 3z 1 = 0, π 2 : 2x y + 3z + 4 = 0. c) π 1 : x + 2y + 3z 3 = 0, π 2 : x + 2y + 3z + 1 = Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty a) P 1 = (2, 1, 0), P 2 = (0, 1, 1), P 3 = (1, 1, 1). b) P 1 = (1, 0, 2), P 2 = (1, 0, 1), P 3 = ( 1, 1, 1). c) P 1 = (2, 0, 1), P 2 = (0, 1, 1), P 3 = (1, 1, 1). 5. Napisać równanie płaszczyzny równoległej do 2x + 3y 5z + 1 = 0 oddalonej od niej o Napisać równanie prostej równoległej do 2x + 3y + 1 = 0 oddalonej od niej o Napisać równanie płaszczyzny równoległej do 2x + 3y 5z + 1 = 0 przechodzącej przez punkt (0, 0, 0). 8. Napisać równanie płaszczyzny prostopadłej do 2x + 3y 5z + 1 = 0 przechodzącej przez punkt (0, 0, 0). 5