Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

Transkrypt

1 Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski

2 Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora Początek wektora (punkt przyłożenia) Uwaga: Koniec wektora (grot strzałki wyznacza zwrot) wartość wektora oznacza się: lub Symbol wielkości wektorowej Symbole wektorów prostopadłych do płaszczyzny rysunku: wektor wychodzący przed płaszczyznę rysunku, tzn. do nas Wektor skierowany za płaszczyznę rysunku, tzn. od nas

3 Wartość wektora na rysunku Aby odczytać wartość narysowanego wektora trzeba znać skalę rysunku. Określa ona liczbę jednostek przypadającą na jednostkę długości skali. Wtedy: Stąd:

4 Mnożenie wektora przez liczbę Mnożąc wektor przez liczbę otrzymuje się nowy wektor : wartość tego wektora jest iloczynem wartości wektora wyjściowego i wartości bezwzględnej liczby, przez którą wykonano mnożenie: lub: Kierunki działań obu wektorów są zawsze takie same! Jeżeli to oba wektory mają takie same zwroty. Jeżeli to oba wektory mają przeciwne zwroty.

5 Na przykład: Dany jest wektor: Narysuj wektory:

6 Uwaga: dzielenie wektora przez liczbę jest równoznaczne z pomnożeniem tego wektora przez odwrotność tej liczby. Dwa wektory są równe, jeżeli mają takie same wartości, kierunki i zwroty. Jeżeli koniec wektora pokrywa się z jego początkiem (zerowa długość), to mówimy o tzw. wektorze zerowym. Jego kierunek i zwrot jest nieokreślony, natomiast wartość wynosi zero. Jeżeli dwa wektory mają takie same wartości i kierunki, ale przeciwne zwroty, to są to tzw. wektory przeciwne. Wartość dowolnego wektora jest zawsze nieujemna!!

7 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia wyjściowe: dane są dwa wektory o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach. (nie są znane współrzędne obu wektorów) Kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe: Mniejszy z kątów pomiędzy wektorami wynosi: Problem: jak znaleźć wektor Metoda równoległoboku Na obu wektorach wyjściowych należy zbudować równoległobok (łącząc je początkami )

8 Wektor będący sumą wektorów jest przekątną równoległoboku wychodzącą z wierzchołka, gdzie oba wektory zostały połączone. Koniec (grot) utworzonego wektora znajduje się w nowoutworzonym wierzchołku równoległoboku. Przypomnienie: Jeżeli jest dana skala rysunku, to wartość wektora jest iloczynem skali rysunku i zmierzonej długości otrzymanego wektora. Uwaga: Metody równoległoboku nie da się stosować dla wektorów równoległych!

9 Metoda wieloboku sznurowego Do końca pierwszego z rozpatrywanych wektorów (zaczepionego w dowolnym punkcie) doczepiamy początek drugiego z wektorów (zachowując kierunki, wartości i zwroty obu wektorów wyjściowych!) Aby znaleźć graficznie sumę obu wektorów, należy połączyć początek pierwszego z wektorów z końcem drugiego z nich. Zwrot (grot) tak otrzymanego wektora znajduje się przy grocie drugiego (ostatniego) wektora.

10 Uwaga: Jeżeli dodajemy więcej niż dwa wektory, to: do końca pierwszego (dowolnie wybranego) wektora doczepiamy początek dowolnego z pozostałych wektorów, do końca drugiego wektora doczepiamy początek trzeciego itd.. Zawsze należy zachować kierunki, długości (wartości) i zwroty przenoszonych wektorów! Po zbudowaniu wieloboku sznurowego ( łamanej ), tzn. połączeniu w wyżej opisany sposób wszystkich dodawanych wektorów, należy połączyć strzałką (wektorem) początek rysunku (początek pierwszego z rysowanych wektorów) z końcem ostatniego z dodawanych wektorów. Zwrot (grot) tak otrzymanego wektora znajduje się przy grocie ostatniego z rysowanych wektorów.

11 Przykład dla trzech wektorów: Szukamy wektorów: Co widać? Wniosek: Dodawanie wektorów jest przemienne!

12 2. Analityczne (rachunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Jak widać z metod graficznych, w przypadku dwóch wektorów nierównoległych do siebie, miarą wartości ich sumy jest długość odpowiedniej przekątnej równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. Jeżeli kąt przy wierzchołku, z którego poprowadzono przekątną wynosi to: Uwaga: z powyższego wzoru można wyliczyć wartość sumy dwóch wektorów, ale nie wynika z niego kierunek i zwrot otrzymanego wektora, do wyliczenia wartości sumy dwóch wektorów konieczna jest znajomość wartości funkcji cosinus dla konkretnego kąta, powyższy wzór można również stosować w przypadku równoległości wektorów wyjściowych!

13 Analiza szczególnych przypadków a. Wektory równoległe i zgodnie zwrócone: Wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach jest równa sumie wartości obu wektorów. Metoda graficzna: wielobok sznurowy!

14 b. Wektory równoległe i przeciwnie zwrócone: Wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i przeciwnych zwrotach, jest równa wartości bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów. Metoda graficzna: wielobok sznurowy!

15 c. Wektory wzajemnie prostopadłe: Wartość sumy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów wartości wektorów wyjściowych. Metoda graficzna: Wielobok sznurowy Metoda równoległoboku

16 1. Graficzne (rysunkowe) odejmowanie dwóch wektorów. Założenia wyjściowe: dane są dwa wektory o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach. (nie są znane współrzędne obu wektorów) Kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe: Mniejszy z kątów pomiędzy wektorami wynosi: Problem: jak znaleźć wektor Metoda trójkąta Na obu wektorach wyjściowych należy zbudować trójkąt (łącząc je początkami )

17 Wektor będący różnicą wektorów jest trzecim bokiem tak powstałego trójkąta. Koniec (grot) utworzonego wektora znajduje się przy grocie wektora będącego odjemną. Przypomnienie: Jeżeli jest dana skala rysunku, to wartość wektora jest iloczynem skali rysunku i zmierzonej długości otrzymanego wektora. Uwaga: 1. Metody trójkąta nie da się stosować dla wektorów równoległych! 2. Odejmowanie wektorów nie jest przemienne!

18 Metoda dodawania wektora przeciwnego Metoda równoległoboku Metoda wieloboku sznurowego

19 2. Analityczne (rachunkowe) odejmowanie dwóch wektorów. Jak widać z metod graficznych, w przypadku dwóch wektorów nierównoległych do siebie, miarą wartości ich różnicy jest długość trzeciego boku trójkąta zbudowanego na tych wektorach. Szukaną wartość różnicy wektorów wyjściowych można obliczyć z wzoru: Uwaga: z powyższego wzoru można wyliczyć wartość różnicy dwóch wektorów, ale nie wynika z niego kierunek i zwrot otrzymanego wektora, powyższy wzór można również stosować w przypadku równoległości wektorów wyjściowych! do wyliczenia wartości różnicy dwóch wektorów konieczna jest znajomość wartości funkcji cosinus dla konkretnego kąta.,

20 Analiza szczególnych przypadków a. Wektory równoległe i zgodnie zwrócone: Wartość różnicy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach, jest równa wartości bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów. Metoda graficzna: wielobok sznurowy!

21 b. Wektory równoległe i przeciwnie zwrócone: Stąd: Wartość różnicy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i przeciwnych zwrotach jest równa sumie wartości obu wektorów. Metoda graficzna: wielobok sznurowy!

22 c. Wektory wzajemnie prostopadłe: Wartość różnicy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów wartości wektorów wyjściowych. Metoda graficzna: Wielobok sznurowy Metoda równoległoboku

23 Podstawy rachunku wektorowego. Wektor w kartezjańskim układzie współrzędnych

24 Założenie wyjściowe: W układzie XY znajduje się wektor Wektory są składowymi wektora Współrzędna wektora na danej osi: różnica współrzędnych końca i początku wektora na danej osi współrzędnych. współrzędne wektora - tzw. wersor osi X, to jest wektor o wartości 1 oraz kierunku i zwrocie zgodnym z tą osią. - tzw. wersor osi Y, to jest wektor o wartości 1 oraz kierunku i zwrocie zgodnym z tą osią. Ponadto rozpatrując trójkąt ABC i wykorzystując twierdzenie Pitagorasa, wartość rozpatrywanego wektora można obliczyć następująco: Wartość wektora jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z: sumy kwadratów jego współrzędnych na odpowiednich osiach układu współrzędnych

25 Uwaga: 1. Znając współrzędne początku i końca wektora w układzie XY, można go zapisać następująco: lub: 2. Współrzędne wektora mogą mieć wartości: dodatnie ujemne zerowe wektor składowy ma zwrot zgodny z rozpatrywaną osią wektor składowy ma zwrot przeciwny do rozpatrywanej osi wektor składowy jest wektorem zerowym na rozpatrywanej osi 3. Mnożąc wektor przez liczbę p, otrzymuje się nowy wektor, który można zapisać następująco:

26 4. Czy przesunięcie równoległe wektora zmienia jego współrzędne? 10 Współrzędne wektora 5 Współrzędne wektora Wniosek: Przesunięcie równoległe wektora nie zmienia jego współrzędnych! 5. Jeżeli mamy do czynienia z wektorem trójwymiarowym, to wprowadzić należy trzecią oś układu współrzędnych, oznaczaną zazwyczaj symbolem Wersor jednostkowy tej osi ma symbol: W trójwymiarowym układzie współrzędnych prostokątnych, odpowiednie współrzędne noszą nazwy: - odcięta (łac. abscissa) - rzędna (łac. ordinata) - kota (łac. applicata)

27 6. Współrzędne wersorów poszczególnych osi układu XYZ można zapisać następująco : 7. W przypadku wektora trójwymiarowego mamy:

28 8. Analityczne (rachunkowe) dodawanie wektorów o znanych współrzędnych. Założenie wyjściowe: w układzie XY dane są trzy wektory o znanych współrzędnych. Z rysunku wynika, że: ] ] ] ] ] ] Konstrukcja geometryczna sumy wektorów: Wektor zaczepiony w punkcie np. Z rysunku wynika, że: ] [ ] Ile wynosi suma odpowiednich współrzędnych wektorów składowych?

29 Wniosek: Dla rozpatrywanego przypadku, współrzędne wektora będącego sumą trzech wektorów, są sumą odpowiednich współrzędnych wektorów składowych! Można wykazać, że da się to uogólnić na sumę dowolnej liczby wektorów! (również trójwymiarowych) Jeżeli danych jest n trójwymiarowych wektorów o znanych współrzędnych: to: oraz:

30 9. Analityczne (rachunkowe) odejmowanie wektorów o znanych współrzędnych. Ponieważ odejmowanie wektora można wyrazić również jako dodanie wektora do niego przeciwnego: To: Oraz: Ten sposób postępowania można rozciągnąć na dowolną liczbę odejmowanych wektorów!

31 Ćwiczenie: W układzie współrzędnych XYZ dane są dwa punkty: a. Oblicz współrzędne wektora b. Podaj składowe rozpatrywanego wektora. c. Oblicz wartość rozpatrywanego wektora. d. Zapisz rozpatrywany wektor (poprzez jego składowe) w układzie XYZ. e. Oblicz współrzędne wektora:

32 Podstawy rachunku wektorowego. Iloczyn skalarny

33 Założenie wyjściowe: Dane są dwa wektory o znanych wartościach i kącie między nimi. Jest to mniejszy z kątów pomiędzy obu wektorami Definicja: Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba równa iloczynowi długości (wartości) tych wektorów i cosinusa kąta zawartego między nimi.

34 Uwaga: Do obliczenia wartości iloczynu skalarnego potrzebna jest znajomość wartości cosinusa kąta pomiędzy rozpatrywanymi wektorami. Na poniższym wykresie został przedstawiony przebieg funkcji cosinus, w przedziale: Miara kąta została wyrażona w radianach i stopniach. Sposób przeliczenia stopni na radiany: kąt w radianach (miara łukowa) kąt w stopniach (miara stopniowa)

35 Uwagi i wnioski: wartość iloczynu skalarnego jest dodatnia wartość iloczynu skalarnego jest równa zero wartość iloczynu skalarnego jest ujemna Jeżeli iloczyn skalarny ma wartość równą zero, to oba wektory są do siebie prostopadłe (tzw. wektory ortogonalne). Jeżeli iloczyn skalarny ma wartość ujemną, to wektory tworzą kąt rozwarty. Iloczyn skalarny jest przemienny: Iloczyn skalarny dwóch takich samych wektorów jest równy kwadratowi wartości wektora. Maksymalną wartość ma iloczyn skalarny wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach

36 Założenie wyjściowe: Dane są dwa wektory o znanych współrzędnych: Problem: Jak obliczyć wartość ich iloczynu skalarnego? Ostatecznie: Dla wektora trójwymiarowego:

37 Uwaga: Z rysunku widać, że: Oraz: Wartości współrzędnych wektora na danych osiach układu współrzędnych, to nic innego jak iloczyn skalarny tego wektora i wersorów odpowiednich osi.

38 Podstawy rachunku wektorowego. Iloczyn wektorowy

39 Założenia wyjściowe: dane są dwa wektory o znanych wartościach leżące na pewnej płaszczyźnie. Mniejszy z kątów pomiędzy wektorami wynosi α. Iloczyn wektorowy oznaczany symbolem: Rezultatem takiego działania jest nowy wektor o następujących cechach: a. jego wartość jest równa iloczynowi wartości każdego z wektorów i sinusa określonego powyżej kąta lub prostszy zapis:

40 b. Kierunek otrzymanego wektora jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe i przechodzi przez punkt ich zaczepienia. kierunek otrzymanego wektora c. Zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Korzystając z tej reguły należy obracać pierwszy z wektorów występujących w iloczynie wektorowym na drugi z nich, ale po mniejszym z kątów między nimi.

41 Uwaga: Do obliczenia wartości iloczynu wektorowego potrzebna jest znajomość wartości sinusa kąta pomiędzy rozpatrywanymi wektorami. Na poniższym wykresie został przedstawiony przebieg funkcji sinus, w przedziale: Miara kąta została wyrażona w radianach i stopniach. Sposób przeliczenia stopni na radiany: kąt w radianach (miara łukowa) kąt w stopniach (miara stopniowa)

42 Uwagi i wnioski: wartość iloczynu wektorowego jest dodatnia wartość iloczynu wektorowego jest równa zero Jeżeli iloczyn wektorowy ma wartość równą zero, to oba wektory są do siebie równoległe ( zwroty zgodne lub przeciwne). Wartość iloczynu wektorowego jest zawsze nieujemna. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny: ( przeciwne zwroty!). Iloczyn wektorowy dwóch takich samych wektorów jest wektorem zerowym Maksymalną wartość ma iloczyn wektorowy dla wektorów: o kierunkach prostopadłych

43 Iloczyn wektorowy wersorów Założenie: Dany jest trójwymiarowy układ współrzędnych XYZ: Dla każdego iloczynu wektorowego pary wersorów: zachodzi: Ale: Dla każdego iloczynu wektorowego pary wersorów: zachodzi: Ale:

44 Założenie wyjściowe: Dane są dwa wektory o znanych współrzędnych: Problem: Jak obliczyć wartość ich iloczynu wektorowego? Stąd: Uwaga: iloczyn wektorowy dwóch wektorów trójwymiarowych można wyrazić wyznacznikiem stopnia trzeciego:

45 Jeden ze sposobów rozpisania wyznacznika stopnia trzeciego 1. Przepisujemy - po prawej stronie wyznacznika - dwie pierwsze jego kolumny. 2. Leżące na każdym z kierunków 1, 2, 3 wyrazy mnożymy przez siebie i dodajemy te iloczyny do siebie. 3. Leżące na każdym z kierunków 4, 5, 6 wyrazy mnożymy przez siebie i dodajemy te iloczyny do siebie zmieniając znak każdego z nich na przeciwny.

46 4. Wyrażenia otrzymane w kroku 2 i 3 dodajemy do siebie. Po uporządkowaniu dostaje się: Ćwiczenie: Oblicz wartość iloczynu skalarnego i wektorowego wektorów: