Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
|
|
- Maria Wójtowicz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski
2 Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora Początek wektora (punkt przyłożenia) Uwaga: Koniec wektora (grot strzałki wyznacza zwrot) wartość wektora oznacza się: lub Symbol wielkości wektorowej Symbole wektorów prostopadłych do płaszczyzny rysunku: wektor wychodzący przed płaszczyznę rysunku, tzn. do nas Wektor skierowany za płaszczyznę rysunku, tzn. od nas
3 Wartość wektora na rysunku Aby odczytać wartość narysowanego wektora trzeba znać skalę rysunku. Określa ona liczbę jednostek przypadającą na jednostkę długości skali. Wtedy: Stąd:
4 Mnożenie wektora przez liczbę Mnożąc wektor przez liczbę otrzymuje się nowy wektor : wartość tego wektora jest iloczynem wartości wektora wyjściowego i wartości bezwzględnej liczby, przez którą wykonano mnożenie: lub: Kierunki działań obu wektorów są zawsze takie same! Jeżeli to oba wektory mają takie same zwroty. Jeżeli to oba wektory mają przeciwne zwroty.
5 Na przykład: Dany jest wektor: Narysuj wektory:
6 Uwaga: dzielenie wektora przez liczbę jest równoznaczne z pomnożeniem tego wektora przez odwrotność tej liczby. Dwa wektory są równe, jeżeli mają takie same wartości, kierunki i zwroty. Jeżeli koniec wektora pokrywa się z jego początkiem (zerowa długość), to mówimy o tzw. wektorze zerowym. Jego kierunek i zwrot jest nieokreślony, natomiast wartość wynosi zero. Jeżeli dwa wektory mają takie same wartości i kierunki, ale przeciwne zwroty, to są to tzw. wektory przeciwne. Wartość dowolnego wektora jest zawsze nieujemna!!
7 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia wyjściowe: dane są dwa wektory o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach. (nie są znane współrzędne obu wektorów) Kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe: Mniejszy z kątów pomiędzy wektorami wynosi: Problem: jak znaleźć wektor Metoda równoległoboku Na obu wektorach wyjściowych należy zbudować równoległobok (łącząc je początkami )
8 Wektor będący sumą wektorów jest przekątną równoległoboku wychodzącą z wierzchołka, gdzie oba wektory zostały połączone. Koniec (grot) utworzonego wektora znajduje się w nowoutworzonym wierzchołku równoległoboku. Przypomnienie: Jeżeli jest dana skala rysunku, to wartość wektora jest iloczynem skali rysunku i zmierzonej długości otrzymanego wektora. Uwaga: Metody równoległoboku nie da się stosować dla wektorów równoległych!
9 Metoda wieloboku sznurowego Do końca pierwszego z rozpatrywanych wektorów (zaczepionego w dowolnym punkcie) doczepiamy początek drugiego z wektorów (zachowując kierunki, wartości i zwroty obu wektorów wyjściowych!) Aby znaleźć graficznie sumę obu wektorów, należy połączyć początek pierwszego z wektorów z końcem drugiego z nich. Zwrot (grot) tak otrzymanego wektora znajduje się przy grocie drugiego (ostatniego) wektora.
10 Uwaga: Jeżeli dodajemy więcej niż dwa wektory, to: do końca pierwszego (dowolnie wybranego) wektora doczepiamy początek dowolnego z pozostałych wektorów, do końca drugiego wektora doczepiamy początek trzeciego itd.. Zawsze należy zachować kierunki, długości (wartości) i zwroty przenoszonych wektorów! Po zbudowaniu wieloboku sznurowego ( łamanej ), tzn. połączeniu w wyżej opisany sposób wszystkich dodawanych wektorów, należy połączyć strzałką (wektorem) początek rysunku (początek pierwszego z rysowanych wektorów) z końcem ostatniego z dodawanych wektorów. Zwrot (grot) tak otrzymanego wektora znajduje się przy grocie ostatniego z rysowanych wektorów.
11 Przykład dla trzech wektorów: Szukamy wektorów: Co widać? Wniosek: Dodawanie wektorów jest przemienne!
12 2. Analityczne (rachunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Jak widać z metod graficznych, w przypadku dwóch wektorów nierównoległych do siebie, miarą wartości ich sumy jest długość odpowiedniej przekątnej równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. Jeżeli kąt przy wierzchołku, z którego poprowadzono przekątną wynosi to: Uwaga: z powyższego wzoru można wyliczyć wartość sumy dwóch wektorów, ale nie wynika z niego kierunek i zwrot otrzymanego wektora, do wyliczenia wartości sumy dwóch wektorów konieczna jest znajomość wartości funkcji cosinus dla konkretnego kąta, powyższy wzór można również stosować w przypadku równoległości wektorów wyjściowych!
13 Analiza szczególnych przypadków a. Wektory równoległe i zgodnie zwrócone: Wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach jest równa sumie wartości obu wektorów. Metoda graficzna: wielobok sznurowy!
14 b. Wektory równoległe i przeciwnie zwrócone: Wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i przeciwnych zwrotach, jest równa wartości bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów. Metoda graficzna: wielobok sznurowy!
15 c. Wektory wzajemnie prostopadłe: Wartość sumy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów wartości wektorów wyjściowych. Metoda graficzna: Wielobok sznurowy Metoda równoległoboku
16 1. Graficzne (rysunkowe) odejmowanie dwóch wektorów. Założenia wyjściowe: dane są dwa wektory o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach. (nie są znane współrzędne obu wektorów) Kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe: Mniejszy z kątów pomiędzy wektorami wynosi: Problem: jak znaleźć wektor Metoda trójkąta Na obu wektorach wyjściowych należy zbudować trójkąt (łącząc je początkami )
17 Wektor będący różnicą wektorów jest trzecim bokiem tak powstałego trójkąta. Koniec (grot) utworzonego wektora znajduje się przy grocie wektora będącego odjemną. Przypomnienie: Jeżeli jest dana skala rysunku, to wartość wektora jest iloczynem skali rysunku i zmierzonej długości otrzymanego wektora. Uwaga: 1. Metody trójkąta nie da się stosować dla wektorów równoległych! 2. Odejmowanie wektorów nie jest przemienne!
18 Metoda dodawania wektora przeciwnego Metoda równoległoboku Metoda wieloboku sznurowego
19 2. Analityczne (rachunkowe) odejmowanie dwóch wektorów. Jak widać z metod graficznych, w przypadku dwóch wektorów nierównoległych do siebie, miarą wartości ich różnicy jest długość trzeciego boku trójkąta zbudowanego na tych wektorach. Szukaną wartość różnicy wektorów wyjściowych można obliczyć z wzoru: Uwaga: z powyższego wzoru można wyliczyć wartość różnicy dwóch wektorów, ale nie wynika z niego kierunek i zwrot otrzymanego wektora, powyższy wzór można również stosować w przypadku równoległości wektorów wyjściowych! do wyliczenia wartości różnicy dwóch wektorów konieczna jest znajomość wartości funkcji cosinus dla konkretnego kąta.,
20 Analiza szczególnych przypadków a. Wektory równoległe i zgodnie zwrócone: Wartość różnicy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach, jest równa wartości bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów. Metoda graficzna: wielobok sznurowy!
21 b. Wektory równoległe i przeciwnie zwrócone: Stąd: Wartość różnicy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i przeciwnych zwrotach jest równa sumie wartości obu wektorów. Metoda graficzna: wielobok sznurowy!
22 c. Wektory wzajemnie prostopadłe: Wartość różnicy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów wartości wektorów wyjściowych. Metoda graficzna: Wielobok sznurowy Metoda równoległoboku
23 Podstawy rachunku wektorowego. Wektor w kartezjańskim układzie współrzędnych
24 Założenie wyjściowe: W układzie XY znajduje się wektor Wektory są składowymi wektora Współrzędna wektora na danej osi: różnica współrzędnych końca i początku wektora na danej osi współrzędnych. współrzędne wektora - tzw. wersor osi X, to jest wektor o wartości 1 oraz kierunku i zwrocie zgodnym z tą osią. - tzw. wersor osi Y, to jest wektor o wartości 1 oraz kierunku i zwrocie zgodnym z tą osią. Ponadto rozpatrując trójkąt ABC i wykorzystując twierdzenie Pitagorasa, wartość rozpatrywanego wektora można obliczyć następująco: Wartość wektora jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z: sumy kwadratów jego współrzędnych na odpowiednich osiach układu współrzędnych
25 Uwaga: 1. Znając współrzędne początku i końca wektora w układzie XY, można go zapisać następująco: lub: 2. Współrzędne wektora mogą mieć wartości: dodatnie ujemne zerowe wektor składowy ma zwrot zgodny z rozpatrywaną osią wektor składowy ma zwrot przeciwny do rozpatrywanej osi wektor składowy jest wektorem zerowym na rozpatrywanej osi 3. Mnożąc wektor przez liczbę p, otrzymuje się nowy wektor, który można zapisać następująco:
26 4. Czy przesunięcie równoległe wektora zmienia jego współrzędne? 10 Współrzędne wektora 5 Współrzędne wektora Wniosek: Przesunięcie równoległe wektora nie zmienia jego współrzędnych! 5. Jeżeli mamy do czynienia z wektorem trójwymiarowym, to wprowadzić należy trzecią oś układu współrzędnych, oznaczaną zazwyczaj symbolem Wersor jednostkowy tej osi ma symbol: W trójwymiarowym układzie współrzędnych prostokątnych, odpowiednie współrzędne noszą nazwy: - odcięta (łac. abscissa) - rzędna (łac. ordinata) - kota (łac. applicata)
27 6. Współrzędne wersorów poszczególnych osi układu XYZ można zapisać następująco : 7. W przypadku wektora trójwymiarowego mamy:
28 8. Analityczne (rachunkowe) dodawanie wektorów o znanych współrzędnych. Założenie wyjściowe: w układzie XY dane są trzy wektory o znanych współrzędnych. Z rysunku wynika, że: ] ] ] ] ] ] Konstrukcja geometryczna sumy wektorów: Wektor zaczepiony w punkcie np. Z rysunku wynika, że: ] [ ] Ile wynosi suma odpowiednich współrzędnych wektorów składowych?
29 Wniosek: Dla rozpatrywanego przypadku, współrzędne wektora będącego sumą trzech wektorów, są sumą odpowiednich współrzędnych wektorów składowych! Można wykazać, że da się to uogólnić na sumę dowolnej liczby wektorów! (również trójwymiarowych) Jeżeli danych jest n trójwymiarowych wektorów o znanych współrzędnych: to: oraz:
30 9. Analityczne (rachunkowe) odejmowanie wektorów o znanych współrzędnych. Ponieważ odejmowanie wektora można wyrazić również jako dodanie wektora do niego przeciwnego: To: Oraz: Ten sposób postępowania można rozciągnąć na dowolną liczbę odejmowanych wektorów!
31 Ćwiczenie: W układzie współrzędnych XYZ dane są dwa punkty: a. Oblicz współrzędne wektora b. Podaj składowe rozpatrywanego wektora. c. Oblicz wartość rozpatrywanego wektora. d. Zapisz rozpatrywany wektor (poprzez jego składowe) w układzie XYZ. e. Oblicz współrzędne wektora:
32 Podstawy rachunku wektorowego. Iloczyn skalarny
33 Założenie wyjściowe: Dane są dwa wektory o znanych wartościach i kącie między nimi. Jest to mniejszy z kątów pomiędzy obu wektorami Definicja: Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba równa iloczynowi długości (wartości) tych wektorów i cosinusa kąta zawartego między nimi.
34 Uwaga: Do obliczenia wartości iloczynu skalarnego potrzebna jest znajomość wartości cosinusa kąta pomiędzy rozpatrywanymi wektorami. Na poniższym wykresie został przedstawiony przebieg funkcji cosinus, w przedziale: Miara kąta została wyrażona w radianach i stopniach. Sposób przeliczenia stopni na radiany: kąt w radianach (miara łukowa) kąt w stopniach (miara stopniowa)
35 Uwagi i wnioski: wartość iloczynu skalarnego jest dodatnia wartość iloczynu skalarnego jest równa zero wartość iloczynu skalarnego jest ujemna Jeżeli iloczyn skalarny ma wartość równą zero, to oba wektory są do siebie prostopadłe (tzw. wektory ortogonalne). Jeżeli iloczyn skalarny ma wartość ujemną, to wektory tworzą kąt rozwarty. Iloczyn skalarny jest przemienny: Iloczyn skalarny dwóch takich samych wektorów jest równy kwadratowi wartości wektora. Maksymalną wartość ma iloczyn skalarny wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach
36 Założenie wyjściowe: Dane są dwa wektory o znanych współrzędnych: Problem: Jak obliczyć wartość ich iloczynu skalarnego? Ostatecznie: Dla wektora trójwymiarowego:
37 Uwaga: Z rysunku widać, że: Oraz: Wartości współrzędnych wektora na danych osiach układu współrzędnych, to nic innego jak iloczyn skalarny tego wektora i wersorów odpowiednich osi.
38 Podstawy rachunku wektorowego. Iloczyn wektorowy
39 Założenia wyjściowe: dane są dwa wektory o znanych wartościach leżące na pewnej płaszczyźnie. Mniejszy z kątów pomiędzy wektorami wynosi α. Iloczyn wektorowy oznaczany symbolem: Rezultatem takiego działania jest nowy wektor o następujących cechach: a. jego wartość jest równa iloczynowi wartości każdego z wektorów i sinusa określonego powyżej kąta lub prostszy zapis:
40 b. Kierunek otrzymanego wektora jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe i przechodzi przez punkt ich zaczepienia. kierunek otrzymanego wektora c. Zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Korzystając z tej reguły należy obracać pierwszy z wektorów występujących w iloczynie wektorowym na drugi z nich, ale po mniejszym z kątów między nimi.
41 Uwaga: Do obliczenia wartości iloczynu wektorowego potrzebna jest znajomość wartości sinusa kąta pomiędzy rozpatrywanymi wektorami. Na poniższym wykresie został przedstawiony przebieg funkcji sinus, w przedziale: Miara kąta została wyrażona w radianach i stopniach. Sposób przeliczenia stopni na radiany: kąt w radianach (miara łukowa) kąt w stopniach (miara stopniowa)
42 Uwagi i wnioski: wartość iloczynu wektorowego jest dodatnia wartość iloczynu wektorowego jest równa zero Jeżeli iloczyn wektorowy ma wartość równą zero, to oba wektory są do siebie równoległe ( zwroty zgodne lub przeciwne). Wartość iloczynu wektorowego jest zawsze nieujemna. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny: ( przeciwne zwroty!). Iloczyn wektorowy dwóch takich samych wektorów jest wektorem zerowym Maksymalną wartość ma iloczyn wektorowy dla wektorów: o kierunkach prostopadłych
43 Iloczyn wektorowy wersorów Założenie: Dany jest trójwymiarowy układ współrzędnych XYZ: Dla każdego iloczynu wektorowego pary wersorów: zachodzi: Ale: Dla każdego iloczynu wektorowego pary wersorów: zachodzi: Ale:
44 Założenie wyjściowe: Dane są dwa wektory o znanych współrzędnych: Problem: Jak obliczyć wartość ich iloczynu wektorowego? Stąd: Uwaga: iloczyn wektorowy dwóch wektorów trójwymiarowych można wyrazić wyznacznikiem stopnia trzeciego:
45 Jeden ze sposobów rozpisania wyznacznika stopnia trzeciego 1. Przepisujemy - po prawej stronie wyznacznika - dwie pierwsze jego kolumny. 2. Leżące na każdym z kierunków 1, 2, 3 wyrazy mnożymy przez siebie i dodajemy te iloczyny do siebie. 3. Leżące na każdym z kierunków 4, 5, 6 wyrazy mnożymy przez siebie i dodajemy te iloczyny do siebie zmieniając znak każdego z nich na przeciwny.
46 4. Wyrażenia otrzymane w kroku 2 i 3 dodajemy do siebie. Po uporządkowaniu dostaje się: Ćwiczenie: Oblicz wartość iloczynu skalarnego i wektorowego wektorów:
Podstawy działań na wektorach - dodawanie
Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Przedmiot Mechanika teoretyczna Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Mechanika: ogólna, techniczna, teoretyczna. Dział fizyki zajmujący się badaniem
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoIloczyn wektorowy. Autorzy: Michał Góra
Iloczyn wektorowy Autorzy: Michał Góra 019 Iloczyn wektorowy Autor: Michał Góra DEFINICJA Definicja 1: Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów v = ( v x, v y, v z ) R 3 oraz w = ( w x, w y, w z
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowoMechanika i Wytrzymałość Materiałów. Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga.
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga. Przedmiot Mechanika (ogólna, techniczna, teoretyczna): Dział fizyki
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoKMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D
KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoLista 3 Funkcje. Środkowa częśd podanej funkcji, to funkcja stała. Jej wykresem będzie poziomy odcinek na wysokości 4.
Lista 3 Funkcje. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Zacznijmy od sporządzenia tabelki dla każdej części podanej funkcji, uwzględniając podany zakres argumentów (dziedzinę): Weźmy na początek funkcję,
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoWektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk
Algebra Wektory Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wektory Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 2, ZAKRES PODSTAWOWY
1 Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań na oceny 2 Trygonometria Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 3-4 Trygonometria Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowo1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi
Bardziej szczegółowoSkrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoPYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI
Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2017/2018 klasa pierwsza Branżowa Szkoła
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2017/2018 klasa pierwsza Branżowa Szkoła Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego.
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 b BS Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowo1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOAWY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A I. Strona 1 z 7
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOAWY Kryteria oceniania odpowiedzi Arkusz A I Strona z 7 Wersja A Odpowiedzi Zadanie 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 Odpowiedź C D B B C C A D A B A B C Zadanie 4 5 6 7 8 9 20 2 22 23 24
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ
KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik
Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste
CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający
Bardziej szczegółowo1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5
Matematyka Liceum Klasa II Zakres podstawowy Pytania egzaminacyjne 07. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: 5 A. y = B. y = 5 C. y = D. y =.. Dana jest funkcja liniowa f() = + 4. Które
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoFizyka. dr Bohdan Bieg p. 36A. wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe
Fizyka dr ohdan ieg p. 36A wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe Literatura Raymond A. Serway, John W. Jewett, Jr. Physics for Scientists and Engineers, Cengage Learning D. Halliday, D. Resnick,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowo