SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

Podobne dokumenty
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

+ ln = + ln n + 1 ln(n)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

I kolokwium z Analizy Matematycznej

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I

1 Układy równań liniowych

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

7. Szeregi funkcyjne

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

2. Nieskończone ciągi liczbowe

Wykªad 2. Szeregi liczbowe.

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Ciągi liczbowe wykład 3

Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów

3. Funkcje elementarne

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Szeregi. a n = a 1 + a 2 + a 3 + (1) a k (2) s n = k=1. lim s n = S,

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Wykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011

Wykład 0. W analizie matematycznej szeregiem liczbowym przyjęło się nazywać napis

1. Granica funkcji w punkcie

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

Analiza I.1, zima globalna lista zadań

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

I. Podzielność liczb całkowitych

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

Rozmieszczenie liczb pierwszych

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

Ciąg liczbowy. Granica ciągu

Ciągłość funkcji f : R R

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

III seria zadań domowych - Analiza I

1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

Analiza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

KURS MATURA PODSTAWOWA

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

Analiza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

Funkcja wykładnicza i logarytm

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

MACIERZE STOCHASTYCZNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

Transkrypt:

SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly (iymi słowy jest zbieży). Gdy ciąg s, s 2,... jest rozbieży, to mówimy, że szereg k= a k jest iesumowaly (lub ie jest sumowaly lub jest rozbieży). Szereg geometryczy k=0 q jest sumowaly gdy q < ; zaś jest rozbieży dla q : bo dla q = zachodzi k=0 aq = q+ q oraz szeregi k=0 oraz k=0 ( ) są rozbieże co sprawdzamy przy pomocy defiicji graicy. Ciag s, s 2,... azywamy ciągiem sum częściowych. Gdy położymy r = a + + a +2 +... = to ciąg r, r 2,... azywamy ciągiem reszt. k=+ Twierdzeie. Jeśli szereg k= a k jest sumowaly, to r = 0. Uzasadieie. Skoro r = a k = s + a k, k=+ k= a k, to r = k= a k s = 0. Szereg 2 k= ( tzw. szereg harmoiczy) jest iesumowaly bo 2 + k = 2 + + 2 + 2 +... + 2 + 2 > 2.

Waruek Cauchye go. Szereg jest sumowaly gdy dla dowolej liczby ε > 0 moża dobrać liczbę aturalą k tak, aby ierówości m > > k pociągały a + a + +... + a m < ε. Szeregi harmoicze: Szereg harmoiczy α jest sumowaly gdy α > oraz jest rozbieży gdy α. Twierdzeie. Jeśli szeregi a oraz b są sumowale, to (a + b m ) = a + b ; ca = c a ; (a b ) = a b. Szereg aprzemiey to szereg postaci a a 2 + a 3... ( ) a +..., gdzie liczby a są ieujeme. Twierdzeie. Gdy a a 2... oraz a = 0, ( ) + a jest sumowaly. Przykładowo 2 + 3 4 +... = ( ) + = l2. Twierdzeie Abela. (N. H. Abel 802-929). Jeśli a a 2 a 3... oraz a = 0 przy czym ciąg {b + b 2 +... + b : =, 2,...} jest ograiczoy, ( ) (a b ) jest sumowaly. Kryterium porówawcze. Gdy stale zachodzi 0 b a, to sumowalość szeregu a pociąga sumowalość szeregu b ; zaś rozbieżośc szeregu b pociąga rozbieżość szeregu a. Szereg (+) jest sumowaly, bo 2 + 2 3 +... + ( + ) = ( 2 ) + ( 2 3 ) +... + ( ) =. 2

Skoro stale mamy < 2 ( ), to szereg 2 jest sumowaly moża pokazać, że π2 = 6. Szereg 2 si tg sumowaly, bo stale zachodzi jest 0 si tg 2. Kryterium d Alemberta (77-783 ecyklopedysta). Niech a, a 2,... będzie ciągiem liczb. Gdy a + a <, a jest sumowaly; zaś gdy a + a >, a jest iesumowaly. Kryterium Cauche go. Niech a, a 2,... będzie ciągiem liczb. Gdy a jest sumowaly; zaś gdy a <, a >, a jest iesumowaly. Uwaga: Kryteria d Alemberta lub Cauchye go iczego ie mówią gdy licze w ich graice wyoszą. Szereg c! jest sumowaly, bo c +! ( + )! c = c + = 0. Zaś szereg! jest iesumowaly. Także szereg! 00 bo ( + )! ( ) ( + ) +! = = + e. jest sumowaly, 3

Dla szeregu p c mamy ( + ) p c c + = p c. Wioskujemy, że gdy p jest liczbą całkowitą, to dla c > szereg jest sumowaly; zaś dla 0 < c < jest iesumowaly. Mamy Zbadajmy sumowalość szeregu 2 ( ) x 2. x 2+ ( ) + (2 ) x 2 ( ) (2 + ) = x2. Wioskujemy stąd, że jest to szereg sumowaly, o ile x < ; gdy x >, to szereg te jest iesumowaly. Gdy x =, to dostajemy dwa szeregi aprzemiee ( ) 2 ( ) + 2, które są sumowale. Gdy rozważymy szereg (x ) +, to mamy 2 (x ) + 2 ( + ) 2 (x ) = x, Wioskujemy, że dla < x < jest to szereg sumowaly. Jedocześie sprawdzamy, że dla x = dostajemy szereg porówywaly z szeregiem harmoiczym 2, a więc szereg te jest sumowaly dla x. Kryterium Kummera. Szereg a jest sumowaly gdy istieje ciąg liczb dodatich b, b 2,... taki, że Kryterium Raabego. Gdy (b a jest sumowaly. Gdy a a + b +) > 0. ( a ) >, a + ( a ) <, a + 4

a jest iesumowaly. Szereg ( ) 2+ 3+ jest sumowaly, bo ( 00 99 00 ( 2+ 3+ ) = 99 00, to szereg ) = 2 3. Skoro 00 99 00 jest sumowaly. Podobie sprawdzamy, że szereg (arctg ) jest sumowaly: 2 zachodzi (arctg ) = π 2 4 <. Szereg a azywamy bezwzgledie zbieżym gdy sumowaly jest szereg o wyrazach ieujemych a. Twierdzeie. Jeśli szereg a jest bezwzgledie zbieży, to jest o także sumowaly oraz a a. Twierdzeie. Jeśli szereg a jest bezwzgledie zbieży, to graica a ie zależy od kolejości wyrazów a. Twierdzeie (Riemaa 826-866). Jeśli szereg a jest sumowaly oraz szereg a jest rozbieży, to zmieiając kolejość wyrazów a, a 2,... możemy dostać szereg zbieży do dowolej z góry ustaloej liczby. Możeie szeregów. Jeśli szeregi a oraz b są bezwzgledie zbieże, to a b = (a b + a 2 b +... a b ) = a k b k+. k= Policzmy x! y (! = k=0 x k k! y k ) = ( k)! Skoro zawsze zachodzi e x = x, to udowodiliśmy wzór! Iloczyy ieskończoe. Kładziemy! e x e y = e x+y. (a a 2... a ) = 5 k=0 x k k! a. y k ( k)!! =! (x+y).

Gdy graica a jest liczbą różą od zera, to mówimy, że iloczy ieskończoy a jest zbieży: w przeciwym przypadku jest o rozbieży. Uwaga: a = 0 zaczy iloczy ieskończoy a jest rozbieży. Twierdzeie. Gdy iloczy a jest zbieży, to a =. Twierdzeie. Szereg a jest sumowaly gdy iloczy (+ b ) jest zbieży (gdy iloczy ( b ) jest zbieży). Iloczyy są rozbieże, bo ( + ) oraz ( =2 ) (+ ) = 2(+ k 2 )(+ 3 )... (+ k ) = 23 4 k 2 3... k + k = k (k+) = + ; ( =2 ) = ( k 2 )( 3 )... ( k ) = 2 3 k 2 3 4... k k = k k = 0. Iloczyy ( + s ) oraz =2 ( s ) są zbieże, o ile < s oraz rozbieże gdy s. Szereg postaci a 0 + a x + a 2 x 2 +... + a x +... = a x azywamy szeregiem potęgowym. Kres góry zbioru wszystkich wartości x-ów, dla których szereg a x jest sumowaly azywamy promieiem zbieżości tego szeregu. Jeśli r jest promieiem zbieżości szeregu a x, to przedział ( r, r) azywamy przedziałem zbieżości tego szeregu. Twierdzeie. Jeśli ( r, r) jest przedziałem zbieżości szeregu a x, to dla dowolej liczby c ( r, r) szereg a c jest bezwzględie zbieży. Uzasadieie. Przyjmijmy, że szereg a b jest sumowaly oraz, że c < b. Wtedy ciąg a b, a 2 b 2,... jest ograiczoy: p. przez liczbę M. Mamy a c = a b c ( ) c M. b b Skoro szereg geometryczy M ( ) c b jest sumowaly: bo c <, to szereg b a c jest bezwzględie zbieży. 6

Z kryteriów d Alemberta lub Cauchye go wioskujemy, że Jeśli a + = g albo a = g, a to promień zbieżości szereg u a x wyosi r =. Uwaga: szereg potęgowy g a krańcach swego przedziału zbieżości może być sumowaly lub ie. Szereg potęgowy l( + x) = x ( ) ma przedział zbieżości [, ): dla x = przedstawia o l 2; zaś dla x = szereg rozbieży. Wzory wykorzystujące szeregi potęgowe: e x = + x! + x2 2! +... + x! +... = cos x = x2 2! + x4 4!... + x2 (2)! ( ) +... = x! ; si x = x! x3 3! + x5 (5)!... = x 2+ (2 + )! ( ) ; x = Z ostatiego wzoru wiosku x, o ile x <. x 2 (2)! ( ) ; ( x) = 2 x x = x x = x k x k = ( + )x. k=0 Mamy także, zawsze przy założeiu x < : arcsi x = arctg x = ( ) x2+ 2 + ; x 2 = 2+ 3 5... (2 ) x 2 4... (2)(2 + ) ; 2 3 5... (2 ) x. 2 4... (2) Przy pomocy szeregów potęgowych moża uzasadić wzór e i x = cos x + i si x. 7

Zapisay szeregami potęgowymi wyraża się o tak i! x = ( ) (2)! x2 + i ( ) (2 + )! x2+. Dla jego uzasadieia wystarczy zauważyć, że i 0 =, i = i, i 2 = oraz i 3 = i itd. Czyli e ix = + ix x2 2! ix3 3! + x4 4! + ix5 5! +.... Co drugi składik tej sumy zaczyając od daje cos x = x2 2! + x4 4!... + x2 (2)! ( ) +... = pozostałe składiki dają x 2 (2)! ( ) ; i si x = i x! ix3 3! + i x5 (5)!... = i x 2+ (2 + )! ( ). Skoro l( + x) = ( ) x, to podstawiając za x wartość x dostaiemy l( x) = x x2 2 x3 3... = x ; dodatkowo ze wzoru a możeie iloczyów ieskończoych dostaiemy l( + x) l( x) = l + x x = 2(x + x3 3 + x5 5 +...) = 2( x 2+ 2 + ). 8