ROZDZIAŁ 3 ROZDZIAŁ 3

ROZDZIAŁ 3 ROZDZIAŁ 3 35

J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH ROZDZIAŁ 3 ZWIĄZKI FIZYCZN DLA MATRIAŁÓW ORTOTROPOWYCH KONFIURACJA NIOIOWA W rozdziale tm zostaą przedstawioe rówaia fizcze dla materiałów ortotropowch w płaskim staie aprężeia, w układzie współrzędch dowolie zorietowam względem główch osi ortotropii. Przedmiotem aaliz będzie pojedcza warstwowa kompoztu zbrojoego włókami jedokierukowmi. W oparciu o odpowiedie relacje trasformacje z kofiguracji osiowej do ieosiowej, wprowadzoe będą postacie macierz sztwości i podatości w kofiguracji ieosiowej, odgrwające podstawową rolę w klasczej teorii lamiacji, a także aalizie wtrzmałościowej kompoztów. kładowe tch macierz będą także określoe w fukcji stałch iżierskich. 3.. Trasformacje tesorów aprężeia i odkształceia Przpomijm, że w rozdziale.4 wprowadzoe został pojęcia kofiguracji osiowej i ieosiowej warstw kompoztu. O tpie kofiguracji decduje ustawieie włókie, czli zarazem położeie główch osi materiałowch (, ) względem dowolego układu odiesieia (, ). Pokazao to a rs. 3.., warstwa θ, θ kofiguracja osiowa kofiguracja ieosiowa (, ) główe osie materiałowe (, ) dowol układ odiesieia t Rs. 3.. Kofiguracja osiowa i ieosiowa warstw kompoztu. W kompoztach - będącch zbiorem warstw o dowolej orietacji względem przjętego układu odiesieia, określoej w kodzie lamiatu kątem dodatim lub ujemm (p. położeie warstw w prawej części rs. 3. określa w układzie odiesieia (, ) dodati kąt θ) - istotm czikiem we wszelkich przekształceiach związach z trasformacjami tesorów aprężeia i odkształceia jest bardzo starae podejście do zaków tch kątów. Wprowadzoo w związku z tm pojęcia tzw. dodatiej i ujemej trasformacji tesora. Powiedzm to wraźie - oba pojęcia związae są włączie z trasformacjami tesorowmi i mają w związku z tm charakter uiwersal - w żadm stopiu ie ależ ich traktować jako pojęć wikającch z mechaiki kompoztów, choć są w iej ogólie stosowae. 36

ROZDZIAŁ 3 W celu wjaśieia tch pojęć przjmijm dwa dowole układ współrzędch (, ) i (, ), obrócoe względem siebie o dowol kąt θ - pokazao to a rs. 3.. O trasformacji dodatiej mówim wówczas, gd obrót wjściowego układu współrzędch do układu, do którego trasformujem dowol tesor, astępuje przeciwie do ruchu wskazówek zegara. W przeciwm przpadku mówim o trasformacji ujemej. Obie trasformacje pokazao a rs. 3.. θ θ trasformacja dodatia trasformacja ujema Rs. 3.. Dodatia i ujema trasformacja układu współrzędch. W mechaice kompoztów trasformacje te stosuje się dla tesorów odkształceia i aprężeia, a więc tesorów II rzędu. Przpomijm, że składowe dowolego tesora a ij rzędu II, trasformują się prz obrocie układu współrzędch zgodie z astępującą zależością a α α a (3.) ij ik jl kl gdzie α ij są elemetami macierz przejścia, a ilocz α ik α jl tworzą macierz trasformacją dla tesora II rzędu, prz obrocie układu współrzędch. Macierze przejścia dla obu trasformacji mają postaci dla trasformacji dodatiej m α (3.a) m dla trasformacji ujemej m [ α ] m (3.b) gdzie m cos θ siθ Rozpisując rówaia (3.) dla obu wmieioch trasformacji i korzstając z podach macierz przejścia otrzmam astępujące postaci macierz trasformacjch dla trasformacji dodatiej m m T m m (3.3) m m m [ T ] 37

J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH 38 dla trasformacji ujemej m m m m m m m T T (3.4) W lamiatach warstwowch, główe osie materiałowe (, ) poszczególch warstw mogą przjmować względem dowolego układu odiesieia (, ) jedo z dwóch położeń, pokazach a rs. 3.3. Dla jasości dalszch wwodów celowe jest wraźe określeie tch dwóch stuacji, wraz z podaiem wzorów trasformacjch dla tesorów aprężeia i odkształceia. Przedstawioo to a rs. 3.3. Dol ideks "" towarzsząc awiasom klamrowm ozacza, że tesor aprężeia i odkształceia umieszczoe w tch awiasach określoe są w kofiguracji ieosiowej tz. w ukł. (, ). Ideks "o" ozacza, że tesor określoe są w kofiguracji osiowej, tz. w ukł. (, ). o T (3.5) o T (3.6) o T (3.7) o T (3.8) Rs. 3.3. Rówaia trasformacje tesorów aprężeia i odkształceia. Tesor wstępujące w rówaiach (3.5) - (3.8) mają astępujące składowe (w zapisie Voigta) { } { } 6 o τ ; (3.9) {} {} 6 o / ; / γ (3.) Zauważm, że tesor odkształceia w kofiguracji osiowej, wstępując w rówaiu (3.) różi się od tego, któr wstępuje w związkach fizczch (.35) i (.36) oraz dalszch rówaiach z ich wikającch, bowiem w związkach fizczch wstępują odkształceia kątowe (tzw. "iżierskie" odkształceia stcze), podczas gd w (3.9) "tesorowe" odkształceia stcze. W celu ujedoliceia otacji wgodie jest skorzstać z astępującch relacji θ θ

ROZDZIAŁ 3 R R {} [ R]{} ; {} [ R]{} o gdzie γ o (3.) 6 R macierz Reutera (3.) 3.. Macierz sztwości warstw w kofiguracji ieosiowej Zredukowaa macierz sztwości warstw w płaskim staie aprężeia, określoa w jej główch osiach materiałowch - rówaie (.35) - ie jest tesorem, mimo że jest macierzą smetrczą II rzędu. Taka jej postać jest jedak wikiem jedie czsto formalego zapisu Voigta, umożliwiającego "upakowaie" elemetów tesora IV rzędu (takim obiektem jest macierz sztwości) w macierz rzędu II. Dzięki temu upraszcza się zapis macierz, ale z drugiej stro traci oa charakter tesorow, co z kolei powoduje, że prz obrocie układu współrzędch ( w tm wpadku od kofiguracji osiowej do ieosiowej) ie moża skorzstać z prawa trasformacji tesora. Chcąc zatem określić macierz sztwości w dowolm układzie (, ) obrócom względem układu osi materiałowch (, ) (zarazem określić postać rówań fizczch ()) ależ wkorzstać ią drogę. Powższe stwierdzeia wmagają szerszego kometarza krtczego. Nasuwa się bowiem ptaie cz ie ależałob zrezgować z otacji zwężoej a rzecz pełego zapisu tesorowego rówań fizczch w postaci (.a) i wkorzstać możliwości wikające z tesorowego charakteru macierz sztwości i podatości. Wzaczeie wartości ich składowch w dowolm układzie współrzędch a podstawie zajomości tch składowch w główch osiach materiałowch sprowadza się wówczas do zastosowaia prawa trasformacji tesora IV rzędu w postaci Q α α α α Q (3.3) ijkl im j ko lp mop Rówaie (3.3) formalie bardzo proste, w praktce adaje się włączie do obliczeń wkowach z pomocą komputera. Pociąga to za sobą koieczość wprowadzeia całkowicie odmieego sposobu formułowaia zadań mechaiki kompoztów, wkorzstującego metod umercze. Możliwe to jest jedak tlko wówczas, gd dspouje się odpowiedią wiedzą teoretczą, a tę moża abć jedie w tradcj sposób, awet gdb wiązało się to z rezgacją z ogólości rozważań. Zrozumieie podstawowch zależości rządzącch zachowaiem się kompoztów pozwala budować ogóle algortm umercze, ale rozwiązaie awet złożoego zagadieia za pomocą dostępch programów komercjch z pewością ie pozwala a abcie ogólej wiedz o przedmiocie. To sprawia, że mimo tak zaawasowaej komputerzacji, klascz wkład mechaiki kompoztów adal opiera się a "iekomputerowej" otacji Voigta, pozwalającej stosukowo prosto uzskać relacje aalitcze, iezmierie ułatwiające zrozumieie prac materiałów kompoztowch, choć ceą, jaką się płaci jest ograiczeie rozważań do zagadień z reguł dwuwmiarowch. Rówież te skrpt odwołuje się do klasczch wzorców. Oprócz przcz wmieioch wcześiej, spowodowae to jest rówież tm, że chcąc umożliwić cztelikowi możliwość korzstaia z istiejącch, zaczie obszeriejszch podręczików i moografii, dotczącch mechaiki kompoztów ależ zapozać go z pojęciami i metodami w ich wkorzstwami. Korzstając w dalszm ciągu z otacji Voigta, chcąc wzaczć macierz sztwości warstw w dowolm układzie współrzędch musim zrezgować z rówaia (3.3) i skorzstać z iego sposobu jej określeia. Wkorzstam w tm celu procedurę składającą się z astępującch kroków trasformacja odkształceń z kofiguracji ieosiowej do kofiguracji osiowej, zapisaie rówań fizczch () w kofiguracji osiowej, trasformacja aprężeń z kofiguracji osiowej do ieosiowej, zapisaie rówań fizczch () w kofiguracji ieosiowej. 39

J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH Przedstawioa powżej procedura, wraz z podaiem rówań, z którch ależ skorzstać, została pokazaa a rs. 3.4. θ θ {} ( ) ( ) [ R] 3. 3.6 γ / {} ( ) o [ T ]{}.35 ( 3.3) { } ( ) [ Q]{} R o o ( 3.) 3.5 { } ( ) [ T ]{ } o ( 3.4) 3. ( 3.) [ Q][ R]{} o {} R R { } { } {} R T Q R T R Q Rs. 3.4. chemat wzaczaia macierz sztwości w kofiguracji ieosiowej. Związek fizcz w kofiguracji ieosiowej (ostatie rówaie a rs. 3.4) ma postać Q Q τ Q 6 Q Q Q 6 Q Q Q 6 6 66 γ [ Q ] [ T ][ Q][ R][ T ][ R] [ T ][ Q][ T ] T (3.4) (3.5) Macierz sztwości (3.5) jest poszukiwaą macierzą określoą w dowolm układzie odiesieia (,). Nosi oa azwę trasformowaej, zredukowaej macierz sztwości, a warstwa kompoztu o takiej macierz sztwości - warstw ogólie ortotropowej. Z rozważań eergetczch prztoczoch w rozdziale. wika smetria macierz Q, tz. Q Q i,j, 6 (3.6) ij ji, Macierz (3.5) wraża się poprzez składowe zredukowaej macierz sztwości - rówaie (.35) - i macierz trasformacji ujemej - rówaie (3.4). Operacje rachukowe prowadzące do jawej postaci poszczególch składowch trasformowaej macierz sztwości, jakkolwiek elemetare, są dość użące, toteż zostaą tu pomiięte. fekt końcow tch operacji moża przedstawić w postaci tabelarczej (tabela 3.). 4

ROZDZIAŁ 3 Q Q Q Q 66 Q m4 4 m 4 m Q 4 m4 m 4 m Q m m m4 4-4 m Q 66 m m - m (m - ) Q 6 m3 - m 3 m 3 - m3 (m 3 - m3 ) Q 6 m 3 - m3 m3 - m 3 (m3 - m 3) TABLA 3.. Wzor trasformacje dla macierz sztwości w kofiguracji ieosiowej ( trasformowaej, zredukowaej macierz sztwości). W celu uzskaia poszczególch składowch macierz trasformowaej ależ wsumować ilocz kolejch składowch macierz zredukowaej i fukcji trgoometrczch leżącch w tm samm wierszu co poszukiwaa składowa. Dla przkładu 4 4 m Q Q m Q 4 m Q66 Q (3.7) Zwróćm uwagę a istotą różicę międz zredukowaą macierzą sztwości (tz. w osiach główch materiałowch) i trasformowaą, zredukowaą macierzą sztwości (tz. w dowolm układzie odiesieia). W tej drugiej wstępują dodatkowe wraz Q 6, Q 6 - składowe odpowiadające tzw. sprzężeiu stczemu, wiążące aprężeie ormale z odkształceiami stczmi Q 6, Q 6 - składowe odpowiadające tzw. sprzężeiu ormalemu, wiążące aprężeie stcze z odkształceiami ormalmi. Zauważm, że macierz trasformowaa dla warstw ortotropowej i macierz sztwości dla materiału o dowolej aizotropii, (rozdział ) są formalie takie same. To co je różi to liczba iezależch składowch. W przpadku aizotropii wosi oa - w płaskim staie aprężeia - sześć. W przpadku ortotropii - macierz trasformowaa adal ma czter iezależe składowe (sześć "różoimiech" składowch wraża się przez czter iezależe składowe macierz zredukowaej). Tak więc, warstwa, która w kofiguracji osiowej bła ortotropowa, mimo że w kofiguracji ieosiowej charakterzuje się macierzą sztwości całkowicie wpełioą (tz. ze wszstkimi elemetami iezerowmi) i pozorie staje się warstwą o dowolej aizotropii, w rzeczwistości adal jest ortotropowa, gdż do jej pełego opisu wstarczają czter iezależe stałe materiałowe. 3... Trasformacja macierz sztwości do kofiguracji ieosiowej z wkorzstaiem iezmieiczch charakterstk warstw Bardzo wgod, a prz tm iezwkle ułatwiając zrozumieie wpłwu obrotu warstw względem główch osi materiałowch a wartości trasformowaej macierz sztwości podali Tsai i Pagao. Wkorzstując tożsamości trgoometrcze m 4 4 m 3 m 3 8 8 ( 3 4cos θ cos4θ ) ( 3 4cos θ cos4θ ) ( si θ si4θ ) 8 (3.8) 8 ( siθ si4θ ) ( 4θ ) 8 cos m 4

J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH wzor trasformacje umieszczoe w tabeli 3. moża przekształcić do postaci, którą przedstawioo w formie stabelarzowaej - tabela 3.. Moża wkazać, że U, U 4 i U 5 są wielkościami iezmieiczmi dla warstw kompoztu (patrz- pkt. 3.6, przkład ), iezależie od jej położeia, stąd ttuł iiejszego rozdziału. U U 3 Q U cos θ cos 4θ Q U - cos θ cos 4θ Q U 4 - cos 4θ Q 66 U 5 - cos 4θ Q 6 / si θ si 4θ Q 6 / si θ - si 4θ TABLA 3.. Trasformacja macierz sztwości poprzez fukcje kątów wielokrotch i wielkości iezmieicze warstw kompoztu. posób korzstaia z tabeli ilustruje poiższ przkład Q 3 U U cos θ U cos 4θ (3.9) Wielkości wstępujące w tabeli 3. mają postaci U 8 ( 3Q 3Q Q 4 66 ) U U U Q ( Q ) Q 8 ( Q Q Q 4 66 ) (3.) 3 Q 8 ( Q Q 6Q 4 66 ) 4 Q U 8 ( Q Q Q 4 66 ) 5 Q Cem spostrzeżeiem wikającm z tabeli 3. jest to, że w czterech pierwszch składowch macierz trasformowaej dają się wróżić czło iezależe od kąta obrotu warstw. Biorąc dla przkładu pierwszą składową macierz trasformowaej - rówaie (3.9) - widzim, że wartość Q jest superpozcją iezależej od kąta wielkości U, a którą akładają się "zakłóceia" kątowe o okresie π i π/. Moża powiedzieć, że U jest dobrm wskaźikiem sztwości w kieruku osi "", iezależie od jej orietacji względem osi materiałowch, gdż ie zależ od tej orietacji. 3.3. Macierz podatości w kofiguracji ieosiowej Procedura wzaczaie macierz podatości w dowolm układzie odiesieia, obrócom względem układu główch osi materiałowch jest w pełi aalogicza do procedur wzaczaia trasformowaej macierz sztwości. kładają się a ią astępujące etap trasformacja aprężeń z dowolego układu (, ) do układu (, ), zapisaie rówań fizczch () w układzie (, ), trasformacja odkształceń z układu (, ) do układu (, ), zapisaie rówań fizczch () w układzie (, ) tz. w kofiguracji ieosiowej. 4

ROZDZIAŁ 3 Wszelkie obliczeia prowadzące do ostateczej postaci macierz podatości w kofiguracji ieosiowej zostaą tu pomiięte. Posługując się schematem aalogiczm do tego pokazaego a rs. 3.4 otrzmujem rówaia fizcze w układzie (, ) w postaci γ 6 6 6 6 66 τ (3.) T [ ] [ T ] [ T ] (3.) Macierz sztwości (3.) jest poszukiwaą macierzą w kofiguracji ieosiowej. Wraża się poprzez składowe macierz podatości w kofiguracji osiowej - rówaie (.36) - i macierz trasformacji dodatiej - rówaie (3.3). Z rozważań eergetczch prztoczoch w rozdziale. wika smetria macierz [ ], tz. i, j, 6 (3.3) ij ji, Zależości trasformacje dla macierz podatości zestawioo w tabeli 3.3. posób korzstaia z tabeli pokazao wcześiej a przkładzie trasformowaej macierz sztwości. 66 m4 4 m m 4 m4 m m m m m4 4 - m 66 4 m 4 m - 8 m (m - ) 6 m3 - m 3 (m 3 - m3 ) m 3 - m3 6 m 3 - m3 (m3 - m 3) m3 - m 3 TABLA 3.3. Wzor trasformacje dla macierz podatości w kofiguracji ieosiowej 3.4 tałe iżierskie w kofiguracji ieosiowej 3.4.. Macierz podatości w fukcji stałch iżierskich W celu wzaczeia macierz podatości w fukcji stałch iżierskich w dowolm układzie współrzędch zastosujem sposób podob do tego, któr wkorzstao prz aalizie kofiguracji osiowej (rozdział ). Wobraźm sobie serię trzech podstawowch prób wtrzmałościowch (dwa rozciągaia i ściaie) przeprowadzoch a próbce w kofiguracji ieosiowej (, ). Prób te przedstawioo a rs. 3.5. Korzstając z rówań fizczch w postaci (3.), dla prób przedstawioch a rs. 3.5 moża zapisać astępujące związki próba (3.4) (3.5) γ (3.6) 6 43

J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH rozciągaie w kier. osi ν rozciągaie w kier. osi ν τ τ 3 ściaie τ τ γ τ γ Rs. 3.5. chemat wzaczaia stałch iżierskich w płaszczźie (, ). próba (3.7) (3.8) 6 γ (3.9) próba 3 (3.3) 6τ (3.3) 6τ γ 66τ τ 66 (3.3) Wprowadźm astępujące defiicje tzw. współczików sprzężoch ν ij i i,ij odoszącch się do kolejch rozpatrwach prób próba ν ν (3.33) γ, (3.34) 6, 6 6 44

ROZDZIAŁ 3 próba ν ν (3.35) γ, (3.36) próba 3 6, 6 6 6,, 6 6 (3.37) γ 66, (3.38) γ 6, 6 6 66 Powższe współcziki mają astępujące defiicje ν ij j i - współcziki Poisso'a, charakterzujące ściskaie w kieruku osi j wwołae przłożom obciążeiem, działającm w kieruku osi i. γ w kieruku osi i. ą to tzw. współcziki Lechickiego, wzajemego wpłwu II rodzaju. i, ij ij i - charakterzują ściaie w płaszczźie ( i, j ) wwołae obciążeiem, działającm γ płaszczźie ( i, j ). ą to tzw. współcziki Lechickiego, wzajemego wpłwu I rodzaju. ij, i i ij - charakterzują ściskaie (rozciągaie) w kieruku osi i wwołae ściaiem w Zauważm, że współcziki wzajemego wpłwu ie mają swoich odpowiedików w materiałach izotropowch, a także i to, że ie wstępują w kofiguracji osiowej warstw ortotropowej. W literaturze moża spotkać bardzo róże sposob ich ideksowaia, odmiee od zastosowaego powżej. posób stosowa tutaj, pozwala a podaie bardzo prostej zasad, ułatwiającej zrozumieie i zapamiętaie zarówo tch współczików, jak i współczików Poisso'a. W każdm przpadku pierwsz ideks (lub para ideksów) określa przczę (rodzaj obciążeia), a drugi - skutek (efekt wwoła działającm obciążeiem). Zestawiając zależości podae z prawej stro rówań (3.4), (3.8), (3.3) i (3.33) - (3.38), otrzmujem macierz podatości w fukcji stałch iżierskich, określoch w dowolm układzie współrzędch (, ) [ ] ν, ν,,, ν,, ν,, (3.39) 3.4.. Trasformacja stałch iżierskich W celu efektwego wkorzstaia macierz (3.39) koiecza jest zajomość wstępującch w iej stałch iżierskich, w fukcji "klasczch" 4 iezależch stałch iżierskich, określach w główch osiach materiałowch warstw kompoztu. Należ zatem wzaczć wzor trasformacje stałch iżierskich z kofiguracji osiowej do ieosiowej. W tm celu ależ wkorzstać podae uprzedio zależości 45

J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH (3.4) 66 ν, 6, 6 (3.4) wraz z tabelą trasformacją 3.3 i rówaiem (.37). W efekcie otrzmam wzor trasformacje dla stałch iżierskich, które podao w tabeli 3.4. / / ν / / / m4 m - m 4 ν - m m m4 4 - m / 4 m - m m4 / 4 m (m - ) 8 m 4 m, m3 m 3 - m3 (m3 - m 3) - m 3, m 3 m3 - m 3 (m 3 - m3 ) - m3 TABLA 3.4. Trasformacja stałch iżierskich z kofiguracji osiowej do ieosiowej. tosując tożsamości trgoometrcze (3.8) do wzorów trasformacjch ujętch w tabeli 3.4, moża uzskać zaczie wgodiejsze zależości, którch wprowadzeie pomiiem ze względu a trwialość, a jedocześie dużą ilość przekształceń rachukowch. Ostateczie stałe iżierskie, wrażają się poprzez fukcje kątów wielokrotch zgodie ze związkami podami w tabeli 3.5. si θ si 4θ cos θ cos 4θ / W W 3 W / W - W 3 W / W 4-4 W ν W 5 W, W 3 W, W 3 - W TABLA 3.5. Trasformacja stałch iżierskich wrażoa poprzez fukcje kątów wielokrotch. Współcziki W i, wstępujące w tabeli 3.5 wrażają się zależościami W ν 8 W 3 ν 8 3 W 3 (3.4) 46

ROZDZIAŁ 3 W 4 ν W 5 6ν 8 3.5. Zależość międz macierzą sztwości i podatości w układzie ieosiowm Odwracając trasformowaą macierz sztwości (3.5) otrzmujem składowe trasformowaej macierz podatości w postaci 66 Q 6 ( Q Q ) / (3.43) 66 Q 6 ( Q Q ) / (3.44) 66 Q ( Q Q ) / (3.45) ( Q Q Q 66 ) / (3.46) 6 6 Q ( Q Q Q 6 ) / (3.47) 6 6 Q ( Q Q Q 6 ) / (3.48) 6 6 Q Q Q 66 Q Q 6Q 6 Q Q 6 Q 66Q Q Q 6 Q (3.49) 3.6. Podsumowaie W iiejszm rozdziale podao szczegółowo sposob określaia macierz sztwości, podatości oraz stałch techiczch w dowolm układzie odiesieia (, ), czli w kofiguracji ieosiowej. Wszstkie zależości trasformacje zawarte w tabelach 3., 3., 3.3, 3.4, 3.5 został podae dla warstw, której główe osie materiałowe (, ) zorietowae są względem układu odiesieia (, ) tak, jak pokazao to a rs. 3.6 A, a zatem warstw, którą w kodzie lamiatu (rozdział.4.) określa kąt θ (p. θ5 ). Dla warstw o osiach materiałowch zorietowach tak, jak a rs. 3.6 B, którą w kodzie lamiatu określa kąt θ (p. θ5 ), ależ stosować te same tabele, wstawiając we wzorach ujemą wartość kąta. θ θ A B Rs. 3.6 Nasuwa się w tm miejscu uwaga, że awet w podstawowch podręczikach pauje w tm zakresie pewie zamęt, a co gorsza zdarzają się rówież i błęd. Polegają oe a tm, że te same zależości trasformacje, zapisae w różch postaciach, dają dla tego samego kąta wartości różiące się zakiem (dotcz to elemetów macierz z ideksami "6" i "6"). 47

J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH 3.7. Przkład Przkład Wzaczć macierze sztwości i podatości oraz stałe iżierskie w układzie (, ) dla pojedczch warstw kompoztu szkło/epoksd o kofiguracjach 5, -5, 9 i. Wkorzstać rozwiązaie przkładu w rozdziale.4. 3 4 θ 5 θ 5 θ 9 θ W celu wzaczeia trasformowaej macierz sztwości ależ wkorzstać tabelę 3. lub 3.. korzstam z tej drugiej, gdż zaczie ułatwia oa obliczeia. Wartości współczików U i - rówaie (3.) - po wkorzstaiu macierz sztwości [Q] - rówaie (.44) - woszą 3. 9 U 8. 3 U 3. 7 U 8. 3 U. 3 [ Pa] (3.5) U 3 4 5 Wartości sztwości (w [Pa]) wrażoe w ukł. (, ) woszą dla poszczególch warstw 5. 6 6. 4 7. 8 5. 6 6. 4 7. 8 6. 4 8. 9. 4 (3.5) 7. 8. 4. 4 7. 8. 4. 4 6. 4 8. 9. 4 ; [ Q ] Q 8. 3 4. 6 4. 6 54. 9 ; Q 3 Q 4 8. 6 54. 9 4. 6 4. 6 8. 3 8. 6 Otrzmae macierze sztwości pokazują, że w przpadku idwidualch warstw zawsze wstępują duże różice międz wartościami sztwości w różch kierukach, co z puktu widzeia większości zastosowań jest iekorzste. Ab tego uikąć kompozt buduje się z wielu warstw o różej orietacji, w dowol sposób kształtując ich sztwość, a jak to będzie pokazae dalej, także cech wtrzmałościowe. Macierze podatości moża uzskać korzstając z tabeli 3.3 wraz macierzą podatości w osiach materiałowch - rówaie (.44) - lub poprzez odwróceie trasformowach macierz sztwości (3.5). Otrzmam astępujące składowe macierz podatości (w [Pa] - ). 3. 3. 665 5. 53. 5. 665 5. 53. 5. 65. 665. 88. 65. 665. 88. 5. 65. 465. 86 [ ]. 5. 65 5. 59. 465. 86. 465 3 4. 465 5. 59. 63. 63 (3.5) 48

ROZDZIAŁ 3 Zauważm, że dla przpadku 3 i 4 rozwiązaia moża uzskać wprost z przkładu w rozdz..4. Łatwo także sprawdzić, że wartości U, U 4, U 5, obliczoe dla trasformowach macierz sztwości (3.5) w kofiguracji ieosiowej są idetcze z wartościami tch współczików dla macierz zredukowaej w kofiguracji osiowej - rówaie (3.5). Potwierdza to iezmieicz charakter U, U 4 i U 5. Rówie łatwo pokazać, że U i U 3 są róże dla kofiguracji osiowej i rozpatrwach w przkładzie kofiguracji ieosiowch - ie są więc wielkościami iezmieiczmi. Zając stałe iżierskie w układzie główch osi materiałowch, ich wartości w dowolm układzie odiesieia możem obliczć wprost z tabeli 3.5. W tm przkładzie zam jedak macierze podatości i poszukiwae stałe zaczie szbciej uzskuje się ze związków (3.4). Wiki przedstawioo w poiższej tabeli. warstwa [Pa] [Pa] [Pa] ν,, 43.3 8. 9..9 -.7 -.4 43.3 8. 9..9.7.4 3 7.9 53.8 8.6.83 4 53.8 7.9 8.6.5 Zgodie z oczekiwaiami w warstwach ieosiowch i pojawiają się iezerowe współcziki wzajemego wpłwu I i II rodzaju, które ie wstępują w warstwach osiowch 3 i 4. Iteresująca jest aaliza wików dla warstw i, a więc warstw, które powstają z warstw 4 poprzez jej obrót o stosukowo mał kąt 5. Widać, że wartość podłużego modułu Youga dla warstw () maleje w stosuku do warstw 4 aż o procet, podczas gd moduł poprzecz wzrasta, ale zaledwie o procet. Wzrastają także moduł ściaia i większ współczik Poisso'a, odpowiedio o 7 i 6 procet. Wiki te pokazują, jak trudo prz aalizie awet pojedczej warstw, ie mówiąc już o lamiacie, posługiwać się "ituicją iżierską" w miejsce rzetelej zajomości mechaiki kompoztów. Przkład Wzaczć zależość stałch iżierskich od kąta, jaki tworzą główe osie materiałowe (, ) z układem odiesieia (, ) dla pojedczej warstw, jedokierukowo zbrojoej wkoaej z wsokomodułowego kompoztu grafit/epoksd. tałe materiałowe woszą (tabela.): Pa, 6.9 Pa, 4.8 Pa, ν.5. α tałe iżierskie wzaczm posługując się wzorami trasformacjmi zawartmi w tabeli 3.5. Wartości wstępującch w iej współczików woszą W 3 7. 735, W 8. 8, W 3 7. 9 [ MPa ] W 3 4. 8, W5 8. 98 [ MPa ] 49

J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH Zależość stałch iżierskich od kąta α przedstawioo a rs. 3.7-3.9. bezwmiarowe moduł sprężstości 3 8 4 6 8 4 / / 4 6 8 kąt Rs. 3.7. Zależość bezwmiarowch modułów Youga / i / od kąta α. BZWYMIAROWY MODUŁ ŚCINANIA I WPÓŁCZYNNIK POION'A.4..8 /.6 i /i.4. 4 6 8 KĄT Rs. 3.8. Zależość bezwmiarowego modułu ściaia / i współczika Poisso'a ν / ν od kąta α. WPÓŁCZYNNIKI WZAJMNO WPŁYWU I i II RODZAJU 3..8 /.4 TA, TA,.6..8.4 4 6 8 KĄT Rs. 3.9. Zależość współczików wzajemego wpłwu I i II rodzaju od kąta α. 5

ROZDZIAŁ 3 Przkład 3 Wzaczć odkształceia w układzie (,) w próbkach o kofiguracji jak w przkładzie, prz obciążeiu każdej z ich obciążeiem rozciągającm MPa, działającm wzdłuż kieruku osi. W celu określeia odkształceń ależ skorzstać ze związków fizczch w postaci (3.), kładąc w tesorze aprężeia,, τ, oraz macierz podatości (3.5). Otrzmam dla poszczególch warstw odkształceia woszące. 3 65.. 3 4 4 {}. 665 {}. 665 5. 59. 65. 86 4 4 {}. 465 {}. 465 3 4 (3.53) Zwróćm uwagę, że wiki uzskae dla próbek 3 i 4 są w pełi zgode z jakościowm rozwiązaiem przkładu w rozdziale.4. W próbkach i oprócz odkształceń ormalch wstępują poadto odkształceia stcze, a zatem próbki pod wpłwem jedoosiowego rozciągaia ulegają także ściaiu. Jest to oczwiście skutek sprzężeia stczego, wstępującego w ieosiowej kofiguracji warstw ortotropowej. fekt te ie wstępuje w próbkach 3 i 4, dla którch osie i to zarazem główe osie materiałowe, a w tch sprzężeie stcze ie wstępuje. Kształt próbek po deformacji pokazao a rs. 3.. Te prost przkład jest dobrą ilustracją efektów z jakimi ależ się liczć w aalizie warstw kompoztu ( a także kompoztu jako zbioru warstw) prz zmiaie jej kofiguracji. 3 4 kształt próbki po deformacji pierwot kształt próbki Rs. 3.. Kształt próbek po deformacji. 5

J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH 5