ZWIĄZKI FIZYCZNE DLA MATERIAŁÓW ORTOTROPOWYCH KONFIGURACJA NIEOSIOWA
|
|
- Filip Sikorski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ZWIĄZKI FIZYCZN DLA MATRIAŁÓW ORTOTROPOWYCH KONFIURACJA NIOIOWA Rówaie fizcze dla rttrpwej warstw kmpztu zbrjeg włókami jedkierukwmi w płaskim staie aprężeia, w układzie iesiwm (ff-ais) Relacje trasfrmacje z kfiguracji siwej d iesiwej Macierze sztwści i pdatści w kfiguracji iesiwej kładwe macierz sztwści i pdatści w fukcji stałch iżierskich. 3.. Trasfrmacje tesrów aprężeia i dkształceia Przpmijm, że uprzedi wprwadze zstał pjęcia kfiguracji siwej i iesiwej warstw kmpztu. O tpie kfiguracji decduje ustawieie włókie, czli zarazem płżeie główch si materiałwch (, ) względem dwleg układu diesieia (, ) - rs. 3.., warstwa θ, θ kfiguracja siwa kfiguracja iesiwa (, ) główe sie materiałwe (, ) dwl układ diesieia Rs. 3.. Kfiguracja siwa i iesiwa warstw kmpztu. W kmpztach - będącch zbirem warstw dwlej rietacji względem przjęteg układu diesieia, kreślej w kdzie lamiatu kątem ddatim lub ujemm (p. płżeie warstw w prawej części rs. 3. kreśla w układzie diesieia (, ) ddati kąt θ) - isttm czikiem we wszelkich przekształceiach związach z trasfrmacjami tesrów aprężeia i dkształceia jest bardz starae pdejście d zaków tch kątów. Wprwadz w związku z tm pjęcia tzw. ddatiej i ujemej trasfrmacji tesra, związae włączie z trasfrmacjami tesrwmi i w żadm stpiu ie ależ ich traktwać jak pjęć wikającch z mechaiki kmpztów.
2 J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW W celu wjaśieia tch pjęć przjmijm dwa dwle układ współrzędch (, ) i (, ), bróce względem siebie dwl kąt θ - pkaza t a rs. 3.. O trasfrmacji ddatiej mówim wówczas, gd brót wjściweg układu współrzędch d układu, d któreg trasfrmujem dwl tesr, astępuje przeciwie d ruchu wskazówek zegara. W przeciwm przpadku mówim trasfrmacji ujemej. Obie trasfrmacje pkaza a rs. 3.. θ θ trasfrmacja ddatia trasfrmacja ujema Rs. 3.. Ddatia i ujema trasfrmacja układu współrzędch. W mechaice kmpztów trasfrmacje te stsuje się dla tesrów dkształceia i aprężeia, a więc smetrczch tesrów II rzędu. Przpmijm, że składwe dwleg tesra a ij rzędu II, trasfrmują się prz brcie układu współrzędch zgdie z astępującą zależścią a ij α ik α jl akl (3.) gdzie α ij są elemetami macierz przejścia, a ilcz α ik α jl twrzą macierz trasfrmacją dla tesra II rzędu, prz brcie układu współrzędch. Macierze przejścia dla bu trasfrmacji mają pstaci dla trasfrmacji ddatiej m [ ] α (3.a) m dla trasfrmacji ujemej m [ α ] m (3.b) gdzie m cs θ siθ Rzpisując rówaia (3.) dla bu wmieich trasfrmacji i krzstając z pdach macierz przejścia trzmam astępujące pstaci macierz trasfrmacjch dla trasfrmacji ddatiej (3.3), a dla ujemej (3.4) m m [ T ] [ T ] m m (3.3) [ ] [ T ] m m m m m T m m (3.4) m m m
3 WYKŁAD -3 3 W lamiatach warstwwch, główe sie materiałwe (, ) pszczególch warstw mgą przjmwać względem dwleg układu diesieia (, ) jed z dwóch płżeń, pkazach a rs Dla jasści dalszch wwdów celwe jest wraźe kreśleie tch dwóch stuacji, wraz z pdaiem wzrów trasfrmacjch dla tesrów aprężeia i dkształceia. Dl ideks "" twarzsząc awiasm klamrwm zacza, że tesr aprężeia i dkształceia umieszcze w tch awiasach kreśle są w kfiguracji iesiwej tz. w ukł. (, ). Ideks "" zacza, że tesr kreśle są w kfiguracji siwej, tz. w ukł. (, ). przejście d siwej d iesiwej [ ] T (3.5) przejście d iesiwej d siwej [ ] T (3.6) przejście d siwej d iesiwej [ ] T (3.7) przejście d iesiwej d siwej [ ] T (3.8) Rs Rówaia trasfrmacje dla tesrów aprężeia i dkształceia. Tesr wstępujące w rówaiach (3.5) - (3.8) mają astępujące składwe (w zapisie Vigta) { } { } 6 τ ; (3.9) { } { } 6 / ; / γ 6 ; γ γ (3.0) Zauważm, że tesr dkształceia w kfiguracji siwej, wstępując w rówaiu (3.0) różi się d teg, któr wstępuje w związkach fizczch (.35) i (.36) raz dalszch rówaiach z ich wikającch, bwiem w związkach fizczch wstępują dkształceia kątwe (tzw. "iżierskie" dkształceia kątwe), pdczas gd w (3.0) "tesrwe" dkształceia kątwe. W celu ujedliceia tacji wgdie jest skrzstać z astępującch relacji { } [ ]{ } { } [ ]{ } 6 R R R R γ ; (3.) gdzie [ ] R macierz Reutera (3.) θ θ
4 J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW 3.. Macierz sztwści warstw w kfiguracji iesiwej Zredukwaa macierz sztwści warstw w płaskim staie aprężeia, kreśla w jej główch siach materiałwch - rówaie (.35) - ie jest tesrem, mim że jest macierzą smetrczą II rzędu. Taka jej pstać jest jedak wikiem jedie czst frmaleg zapisu Vigta, umżliwiająceg "upakwaie" elemetów tesra IV rzędu (takim biektem jest macierz sztwści) w macierz rzędu II. Dzięki temu upraszcza się zapis macierz, ale z drugiej str traci a charakter tesrw, c z klei pwduje, że prz brcie układu współrzędch ie mża skrzstać z prawa trasfrmacji tesra. Chcąc zatem kreślić macierz sztwści w dwlm układzie (, ) brócm względem układu si materiałwch (, ) (zarazem kreślić pstać rówań fizczch () ) ależ wkrzstać ią drgę. Pwższe stwierdzeia wmagają szerszeg kmetarza krtczeg. Nasuwa się bwiem ptaie cz ie ależałb zrezgwać z tacji zwężej a rzecz pełeg zapisu tesrweg rówań fizczch w pstaci (.a) i wkrzstać mżliwści wikające z tesrweg charakteru macierz sztwści i pdatści. Wzaczeie wartści ich składwch w dwlm układzie współrzędch a pdstawie zajmści tch składwch w główch siach materiałwch sprwadza się wówczas d zastswaia prawa trasfrmacji tesra IV rzędu w pstaci ijkl α imα j α kα lpmp (3.3) Rówaie (3.3) frmalie bardz prste, w praktce adaje się włączie d bliczeń wkwach z pmcą kmputera. Pciąga t za sbą kieczść wprwadzeia całkwicie dmieeg spsbu frmułwaia zadań mechaiki kmpztów, wkrzstująceg metd umercze. Mżliwe t jest jedak tlk wówczas, gd dspuje się dpwiedią wiedzą teretczą, a tę mża abć jedie w tradcj spsób, awet gdb wiązał się t z rezgacją z gólści rzważań. Zrzumieie pdstawwch zależści rządzącch zachwaiem się kmpztów pzwala budwać góle algrtm umercze, ale rzwiązaie awet złżeg zagadieia za pmcą dstępch prgramów kmercjch z pewścią ie pzwala a abcie gólej wiedz przedmicie. T sprawia, że mim tak zaawaswaej kmputerzacji, klascz wkład mechaiki kmpztów adal piera się a "iekmputerwej" tacji Vigta, pzwalającej stsukw prst uzskać relacje aalitcze, iezmierie ułatwiające zrzumieie prac materiałów kmpztwch, chć ceą, jaką się płaci jest graiczeie rzważań d zagadień z reguł dwuwmiarwch. Krzstając w dalszm ciągu z tacji Vigta, chcąc wzaczć macierz sztwści warstw w dwlm układzie współrzędch musim zrezgwać z rówaia (3.3) i skrzstać z ieg spsbu jej kreśleia. 4
5 WYKŁAD -3 Wkrzstam w tm celu prcedurę składającą się z astępującch krków:. trasfrmacja dkształceń z kfiguracji iesiwej d kfiguracji siwej,. zapisaie rówań fizczch () w kfiguracji siwej, 3. trasfrmacja aprężeń z kfiguracji siwej d iesiwej, 4. zapisaie rówań fizczch () w kfiguracji iesiwej. Przedstawia pwżej prcedura, wraz z pdaiem rówań, z którch ależ skrzstać, zstała pkazaa a rs θ θ { } ( ) ( ) [ R] γ / { } ( ) [ T ]{ }.35 ( 3.3) { } ( ) [ ]{ } R ( 3.) 3.5 { } ( ) [ T ]{ } ( 3.4) 3. ( 3.) [ ][ R]{ } { } R R { } [ ][ ][ ][ ][ ] { } [ ]{ } R T R T R Rs chemat wzaczaia macierz sztwści w kfiguracji iesiwej. Związek fizcz w kfiguracji iesiwej (statie rówaie a rs. 3.4) ma pstać τ γ [ ] [ T ][ ][ R][ T ][ R] [ T ][ ][ T ] T (3.4) (3.5) Macierz sztwści (3.5) jest pszukiwaą macierzą kreślą w dwlm układzie diesieia (,). Nsi a azwę trasfrmwaej, zredukwaej macierz sztwści, a warstwa kmpztu takiej macierz sztwści - warstw gólie rttrpwej. Z rzważań eergetczch prztczch w rzdziale. wika smetria macierz, tz. i,j, 6 (3.6) ij ji, Macierz (3.5) wraża się pprzez składwe zredukwaej macierz sztwści w ukł. -ais (rówaie.35) i macierz trasfrmacji ujemej (rówaie 3.4). Pracchłe peracje rachukwe prwadzące d jawej pstaci składwch trasfrmwaej macierz sztwści, zstaą tu pmiięte. fekt kńcw tch peracji przedstawi w pstaci tabelarczej 3.. 5
6 J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW 66 m 4 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m m m m m 66 m m - m (m - ) 6 m 3 - m 3 m 3 - m 3 (m 3 - m 3 ) 6 m 3 - m 3 m 3 - m 3 (m 3 - m 3) TABLA 3.. Wzr trasfrmacje dla macierz sztwści w kfiguracji iesiwej (trasfrmwaej, zredukwaej macierz sztwści). W celu uzskaia pszczególch składwch macierz trasfrmwaej ależ wsumwać ilcz klejch składwch macierz zredukwaej i fukcji trgmetrczch leżącch w tm samm wierszu c pszukiwaa składwa. Dla przkładu 4 4 m m 4 m 66 (3.7) Zwróćm uwagę a isttą różicę międz zredukwaą macierzą sztwści (tz. w siach główch materiałwch) i trasfrmwaą, zredukwaą macierzą sztwści (tz. w dwlm układzie diesieia). W tej drugiej wstępują ddatkwe wraz 6, 6 - składwe dpwiadające tzw. sprzężeiu stczemu, wiążące aprężeie rmale z dkształceiami stczmi 6, 6 - składwe dpwiadające tzw. sprzężeiu rmalemu, wiążące aprężeie stcze z dkształceiami rmalmi. Zauważm rówież, że macierz trasfrmwaa dla warstw rttrpwej i macierz sztwści dla materiału dwlej aiztrpii, (rzdział ) są frmalie takie same. T c je różi t liczba iezależch składwch. W przpadku aiztrpii wsi a - w płaskim staie aprężeia - sześć. W przpadku rttrpii - macierz trasfrmwaa adal ma czter iezależe składwe (sześć "różimiech" składwch wraża się przez czter iezależe składwe macierz zredukwaej). Tak więc, warstwa, która w kfiguracji siwej bła rttrpwa, mim że w kfiguracji iesiwej charakterzuje się macierzą sztwści całkwicie wpełią i pzrie staje się warstwą dwlej aiztrpii, w rzeczwistści adal jest rttrpwa, gdż d jej pełeg pisu wstarczają czter iezależe stałe materiałwe Trasfrmacja macierz sztwści d kfiguracji iesiwej z wkrzstaiem iezmieiczch charakterstk warstw Bardz wgd, a prz tm iezwkle ułatwiając zrzumieie wpłwu brtu warstw względem główch si materiałwch a wartści trasfrmwaej macierz sztwści pdali Tsai i Paga. Wkrzstując tżsamści trgmetrcze: m 4 4 m 3 m 3 ( 3 4cs θ cs4θ ) 8 m cs θ siθ 8 ( 3 4cs θ cs4θ ) ( si θ si4θ ) 8 (3.8) 8 ( siθ si4θ ) ( 4θ ) 8 cs m 6
7 WYKŁAD -3 wzr trasfrmacje pdae w tabeli 3. mża przekształcić d pstaci, którą przedstawi w frmie stabelarzwaej - tabela 3.. Mża wkazać, że U, U 4 i U 5 są wielkściami iezmieiczmi dla warstw kmpztu (patrzskrpt pkt. 3.6, przkład ), iezależmi d jej rietacji kątwej. U U 3 U cs θ cs 4θ U - cs θ cs 4θ U cs 4θ 66 U cs 4θ 6 0 / si θ si 4θ 6 0 / si θ - si 4θ TABLA 3.. Trasfrmacja macierz sztwści pprzez fukcje kątów wielkrtch i wielkści iezmieicze warstw kmpztu. psób krzstaia z tabeli ilustruje piższ przkład U U cs θ U cs4θ (3.9) 3 Wielkści wstępujące w tabeli 3. mają pstaci U 8 ( ) U U U ( ) 8 ( 4 66 ) (3.0) 3 8 ( ) 4 U 8 ( 4 66 ) 5 Cem spstrzeżeiem wikającm z tabeli 3. jest t, że w czterech pierwszch składwch macierz trasfrmwaej dają się wróżić czł iezależe d kąta brtu warstw. Birąc dla przkładu pierwszą składwą macierz trasfrmwaej - rówaie (3.9) - widzim, że wartść jest superpzcją iezależej d kąta wielkści U, a którą akładają się "zakłóceia" kątwe kresie π i π/. Mża pwiedzieć, że U jest dbrm wskaźikiem sztwści w kieruku si "", iezależie d jej rietacji względem si materiałwch, gdż ie zależ d tej rietacji Macierz pdatści w kfiguracji iesiwej Prcedura wzaczaie macierz pdatści w dwlm układzie diesieia, brócm względem układu główch si materiałwch jest w pełi aalgicza d prcedur wzaczaia trasfrmwaej macierz sztwści. kładają się a ią astępujące etap:. trasfrmacja aprężeń z dwleg układu (, ) d układu (, ),. zapisaie rówań fizczch () w układzie (, ), 3. trasfrmacja dkształceń z układu (, ) d układu (, ), 4. zapisaie rówań fizczch () w układzie (, ) tz. w kfiguracji iesiwej. 7
8 J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW Psługując się schematem aalgiczm d teg pkazaeg a rs. 3.4 trzmujem rówaia fizcze w układzie (, ) w pstaci γ τ (3.) T [ ] [ T ] [ ][ T ] (3.) Macierz sztwści (3.) jest pszukiwaą macierzą w kfiguracji iesiwej. Wraża się pprzez składwe macierz pdatści w kfiguracji siwej - rówaie (.36) - i macierz trasfrmacji ddatiej - rówaie (3.3). Z rzważań eergetczch prztczch w rzdziale. wika smetria macierz [ ], tz. i, j, 6 (3.3) ij ji, Zależści trasfrmacje dla macierz pdatści zestawi w tabeli 3.3. psób krzstaia z tabeli pkaza wcześiej a przkładzie trasfrmwaej macierz sztwści. 66 m 4 4 m m 4 m 4 m m m m m m 66 4 m 4 m - 8 m (m - ) 6 m 3 - m 3 (m 3 - m 3 ) m 3 - m 3 6 m 3 - m 3 (m 3 - m 3) m 3 - m 3 TABLA 3.3. Wzr trasfrmacje dla macierz pdatści w kfiguracji iesiwej 3.4 tałe iżierskie w kfiguracji iesiwej Macierz pdatści w fukcji stałch iżierskich W celu wzaczeia macierz pdatści w fukcji stałch iżierskich w dwlm układzie współrzędch zastsujem spsób pdb d teg, któr wkrzsta prz aalizie kfiguracji siwej (rzdział ). Wbraźm sbie serię trzech pdstawwch prób wtrzmałściwch (dwa rzciągaia i ściaie) przeprwadzch a próbce w kfiguracji iesiwej (, ). Prób te przedstawi a rs Krzstając z rówań fizczch w pstaci (3.), dla prób przedstawich a rs. 3.5 mża zapisać astępujące związki 8
9 rzciągaie w kier. si ν rzciągaie w kier. si ν τ τ 3 ściaie τ τ γ τ γ Rs chemat wzaczaia stałch iżierskich w płaszczźie (, ). próba (3.4) (3.5) γ (3.6) 6 próba (3.7) (3.8) γ (3.9) 6 próba 3 (3.30) 6τ (3.3) 6τ γ 66τ τ 66 (3.3) 9
10 J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW Wprwadźm astępujące defiicje tzw. współczików sprzężch ν ij i i,ij dszącch się d klejch rzpatrwach prób próba ν (3.33) γ 6,, 6 6 (3.34) próba ν (3.35) γ 6,, 6 6 (3.36) próba 3 6,, 6 6 (3.37) γ 66 6,, 6 6 (3.38) γ 66 Pwższe współcziki mają astępujące defiicje ν ij j i - współcziki Piss'a, charakterzujące ściskaie w kieruku si j wwłae przłżm bciążeiem, działającm w kieruku si i. γ i, ij ij i - charakterzują ściaie w płaszczźie (i, j ) wwłae bciążeiem, działającm w kieruku si i. ą t tzw. współcziki Lechickieg, wzajemeg wpłwu II rdzaju. γ ij, i i ij - charakterzują ściskaie (rzciągaie) w kieruku si i wwłae ściaiem w płaszczźie ( i, j ). ą t tzw. współcziki Lechickieg, wzajemeg wpłwu I rdzaju. Zauważm, że współcziki wzajemeg wpłwu ie mają swich dpwiedików w materiałach iztrpwch, a także i t, że ie wstępują w kfiguracji siwej warstw rttrpwej. W literaturze mża sptkać bardz róże spsb ich idekswaia, dmiee d zastswaeg pwżej. psób stswa tutaj, pzwala a pdaie bardz prstej zasad, ułatwiającej zrzumieie i zapamiętaie zarów tch współczików, jak i współczików Piss'a. W każdm przpadku pierwsz ideks (lub para ideksów) kreśla przczę (rdzaj bciążeia), a drugi - skutek (efekt wwła działającm bciążeiem). Zestawiając zależści pdae z prawej str rówań (3.4), (3.8), (3.3) i (3.33)-(3.38), trzmujem macierz pdatści w fukcji stałch iżierskich, kreślch w dwlm ukł. współrzędch (, ) [ ] ν, ν,,, ν,, ν,, ν ν (3.39) 0
11 WYKŁAD Trasfrmacja stałch iżierskich W celu efektweg wkrzstaia macierz (3.39) kiecza jest zajmść stałch iżierskich, w fukcji "klasczch" 4 iezależch stałch iżierskich, kreślach w główch siach materiałwch warstw kmpztu. Należ zatem wzaczć wzr trasfrmacje stałch iżierskich z kfiguracji siwej d iesiwej. W tm celu ależ wkrzstać pdae uprzedi zależści: (3.40) 66 ν, 6, 6 (3.4) wraz z tabelą trasfrmacją 3.3 i rówaiem (.37). W efekcie trzmam wzr trasfrmacje dla stałch iżierskich, które pda w tabeli 3.4. / / ν / / / m 4 m - m 4 ν - m m m m / 4 m - m m 4 / 4 m (m - ) 8 m 4 m, m 3 m 3 - m 3 (m 3 - m 3) - m 3, m 3 m 3 - m 3 (m 3 - m 3 ) - m 3 TABLA 3.4. Trasfrmacja stałch iżierskich z kfiguracji siwej d iesiwej. tsując tżsamści trgmetrcze (3.8) d wzrów trasfrmacjch ujętch w tabeli 3.4, mża uzskać zaczie wgdiejsze zależści, którch wprwadzeie pmiiem ze względu a trwialść, a jedcześie dużą ilść przekształceń rachukwch. Ostateczie stałe iżierskie, wrażają się pprzez fukcje kątów wielkrtch zgdie ze związkami pdami w tabeli 3.5. si θ si 4θ cs θ cs 4θ / W 0 0 W 3 W / W W 3 W / W W ν W W, 0 W 3 W 0 0, 0 W 3 - W 0 0 TABLA 3.5. Trasfrmacja stałch iżierskich wraża pprzez fukcje kątów wielkrtch. Współcziki W i, wstępujące w tabeli 3.5 wrażają się zależściami W ν 8
12 J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW W 3 ν 8 3 W 3 (3.4) W 4 ν W 5 6ν Zależść międz macierzą sztwści i pdatści w układzie iesiwm Odwracając trasfrmwaą macierz pdatści w pstaci macierz sztwści (3.5) trzmujem składwe trasfrmwaej 66 6 ( ) / (3.43) 66 6 ( ) / (3.44) 66 ( ) / (3.45) ( 66 ) / (3.46) 6 6 ( 6 ) / (3.47) 6 6 ( 6 ) / (3.48) (3.49) 3.6. Pdsumwaie W iiejszm rzdziale pda szczegółw spsb kreślaia macierz sztwści, pdatści raz stałch techiczch w dwlm układzie diesieia (, ), czli w kfiguracji iesiwej. Wszstkie zależści trasfrmacje zawarte w tabelach 3., 3., 3.3, 3.4, 3.5 zstał pdae dla warstw, której główe sie materiałwe (, ) zrietwae są względem układu diesieia (, ) tak, jak pkaza t a rs. 3.6 A, a zatem warstw, którą w kdzie lamiatu kreśla kąt θ (p. θ5 ). Dla warstw siach materiałwch zrietwach tak, jak a rs. 3.6 B, którą w kdzie lamiatu kreśla kąt θ (p. θ 5 ), ależ stswać te same tabele, wstawiając we wzrach ujemą wartść kąta. θ θ A B Rs. 3.6 Nasuwa się w tm miejscu uwaga, że awet w pdstawwch pdręczikach pauje w tm zakresie pewie zamęt, a c grsza zdarzają się rówież i błęd. Plegają e a tm, że te same zależści trasfrmacje, zapisae w różch pstaciach, dają dla teg sameg kąta wartści różiące się zakiem (dtcz t elemetów macierz z ideksami "6" i "6").
ROZDZIAŁ 3 ROZDZIAŁ 3
ROZDZIAŁ 3 ROZDZIAŁ 3 35 J. erma: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH ROZDZIAŁ 3 ZWIĄZKI FIZYCZN DLA MATRIAŁÓW ORTOTROPOWYCH KONFIURACJA NIOIOWA W rozdziale tm zostaą przedstawioe rówaia fizcze dla
( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.
Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr
Wytrzymałość materiałów
Wtrzmałość materiałów IMiR - IA - Wkład Nr 8 Aaliza stau aprężeia Sta aprężeia w pukcie, tesor aprężeia, klasfikacja staów aprężeia, aaliza jedoosiowego stau aprężeia, aaliza płaskiego stau aprężeia, koło
Podstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrzmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 4 Aaliza stau aprężeia Sta aprężeia w pukcie, tesor aprężeia, klasfikacja staów aprężeia, aaliza jedoosiowego stau aprężeia, aaliza płaskiego stau
Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM.
Kompterowe Sstem Idetfikacji Laboratorim Ćwiczeie 5 IERACYJY ALGORY LS. IDEYFIKACJA OBIEKÓW IESACJOARYCH ALGORY Z WYKŁADICZY ZAPOIAIE. gr iż. Piotr Bros, bros@agh.ed.pl Kraków 26 Kompterowe Sstem Idetfikacji
Statystyka - wprowadzenie
Statystyka - wprwadzenie Obecnie pjęcia statystyka używamy aby mówić : zbirze danych liczbwych ukazujących kształtwanie się kreślneg zjawiska jak pewne charakterystyki liczbwe pwstałe ze badań nad zbirwścią
Przykład 3.1. Wyznaczanie prędkości i przyśpieszenia ruchu płaskim
Przykład 31 Wyzaczaie prędkści i przyśpieszeia ruchu płaskim Prędkść chwilwa i przyśpieszeie chwilwe puktu pręta w płżeiu przedstawiym a rysuku 1 wyszą: = a = a, Zaleźć prędkść i przyśpieszeie puktu pręta
RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW
Kopozt RÓWNANIA FIZYCZN DLA KOMPOZYTÓW Równania fizczne dla ateriałów anizotropowch Równania fizczne liniowej teorii sprężstości ożna zapisać w ogólnej postaci ij ijkl kl lub po odwróceniu ij ijkl kl gdzie
Charakterystyki statyczne układów automatycznej regulacji. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:
Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji 1 Cel ćwiczeia rachkweg Pdczas ćwiczeia prszae będą astępjące zagadieia: liearzacja rówań pisjącch zachwaie się ieliiweg eleet atatczej reglacji; wzaczeie
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA i. Jarsława Dąbrwskieg ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO Przedit: PODSTAWY AUTOMATYKI (stdia stacjare I stpia) ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE UKŁADÓW
PSO matematyka I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny
PSO matematyka I gimnazjum Szczegółwe wymagania edukacyjne na pszczególne ceny POZIOM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K knieczny cena dpuszczająca spsób zakrąglania liczb klejnść wyknywania działań pjęcie liczb
Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Liniowy model decyzyjny Sytuacja decyzyjna: Firma produkuje dwa
D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [] Liniw mdel deczjn Stuacja deczjna: Firma prdukuje dwa wrb A i B, które wmagają bróbki
2. RÓWNOWAGA PRZESTRZENNEGO UKŁADU SIŁ
. RÓWOWG PRZETRZEEGO UKŁDU IŁ Zadaie. Wyzaczyć siły siwe w trzech prętach przegubwych twrzących wysięgik przedstaw a rysuku.. Wysięgik bciąży jest piwą siłą przyłżą w pukcie. Rys.. Rzwiązaie Zakładamy
LABORATORIUM OBRÓBKI SKRAWANIEM
AKADEMIA TECHNICZNO-HUMANISTYCZNA w Bielsku-Białej Katedra Technlgii Maszyn i Autmatyzacji Ćwiczenie wyknan: dnia:... Wyknał:... Wydział:... Kierunek:... Rk akadem.:... Semestr:... Ćwiczenie zaliczn: dnia:
Wypadkowa zbieżnego układu sił
.4.. padkowa zbieżego układu sił rzestrze układ sił Siłami zbieżmi azwam sił, którch liie działaia przeciają się w jedm pukcie, azwam puktem zbieżości (rs..a). oieważ sił działające a ciało sztwe moża
Mieczysław Wilk Mielec, 2008
Mieczsław Wilk Mielec, 008 lastcznść unkcji jednej zmiennej stwierdza ile prcent ( w przbliŝeniu wzrśnie lub zmaleje wartść tej unkcji, gd jej zmienna rzeczwista wzrśnie 1%. A t ilustracja graiczna elastcznści
Wektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
ANALIZA MECHANIZMU DŹWIGNIOWEGO. 1. Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu
NLIZ MECHNIZMU DŹWIGNIOWEGO 1. Syteza strukturala i gemetrycza mechaizmu 1. 1. Budwa łańcucha kiematyczeg schemat idewy. Symbliczy zapis struktury i parametrów prjektwaeg mechaizmu przedstawia tabela 1
Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Optymalne przydzielanie adresów IP. Ograniczenia adresowania IP z podziałem na klasy
Optymalne przydzielanie adresów IP Twórcy Internetu nie przewidzieli ppularnści, jaką medium t cieszyć się będzie becnie. Nie zdając sbie sprawy z długterminwych knsekwencji swich działań, przydzielili
KO OF Szczecin:
OF_III_T KO OF Szczeci: wwwfszcpl Źródł: XI OLIMPIADA FIZYCZNA (96/96) Stpień III zadaie teretycze T Nazwa zadaia: Działy: Słwa kluczwe: Kmitet Główy Olimpiady Fizyczej; Czesław Ścisłwski Fizyka w Szkle
III. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Równania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Tworzenie kwerend. Nazwisko Imię Nr indeksu Ocena
Twrzenie kwerend - 1-1. C t jest kwerenda? Kwerendy pzwalają w różny spsób glądać, zmieniać i analizwać dane. Mżna ich również używać jak źródeł rekrdów dla frmularzy, raprtów i strn dstępu d danych. W
Płaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2
Opis aalitcz wielkości podstawowch wersor e x, e Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B ) ) Opis aalitcz wielkości podstawowch współrzęde puktów A( x A, B( x B, A B )
Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Równania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
ROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2.
ROZDZIAŁ J. German: PODTAWY MCHANIKI KOMPOZYTÓW WŁÓKNITYCH ROZDZIAŁ RÓWNANIA FIZYCZN DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OIOWA W rozdziale tym zostaną przedstawione równania fizyczne dla materiałów anizotropowych,
WYSTAWIANIE FAKTUR I FAKTUR KORYGUJĄCYCH W DZIAŁALNOŚCI GOSPODARCZEJ ŚRODA Z KSIĘGOWĄ JOANNA MATUSIAK
WYSTAWIANIE FAKTUR I FAKTUR KORYGUJĄCYCH W DZIAŁALNOŚCI GOSPODARCZEJ ŚRODA Z KSIĘGOWĄ JOANNA MATUSIAK WYSTAWIANIE FAKTUR WYSTAWIANIE FAKTUR Od 1 stycznia 2014 r. c d zasady fakturę należy wystawić d 15.
Pompy ciepła. Podział pomp ciepła. Ogólnie możemy je podzielić: ze wzgledu na sposób podnoszenia ciśnienia i tym samym temperatury czynnika roboczego
Pmpy ciepła W naszym klimacie bardz isttną gałęzią energetyki jest energetyka cieplna czyli grzewanie. W miesiącach letnich kwestia ta jest mniej isttna, jednak z nadejściem jesieni jej znaczenie rśnie.
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych
Ocea dopasowaia modelu do dach empirczch Po oszacowaiu parametrów modelu ależ zbadać, cz zbudowa model dobrze opisuje badae zależości. Jeśli okaże się, że rozbieżość międz otrzmam modelem a dami empirczmi
Przykłady sieci stwierdzeń przeznaczonych do wspomagania początkowej fazy procesu projektow ania układów napędowych
Rzdział 12 Przykłady sieci stwierdzeń przeznacznych d wspmagania pczątkwej fazy prcesu prjektw ania układów napędwych Sebastian RZYDZIK W rzdziale przedstawin zastswanie sieci stwierdzeń d wspmagania prjektwania
JĘZYKI PROGRAMOWANIA Z PROGRAMOWANIEM OBIEKTOWYM. Wykład 11
JĘZYKI PROGRAMOWANIA Z PROGRAMOWANIEM OBIEKTOWYM Wykład 11 1 Lista inicjalizacyjna knstruktra W klasie mgą być również stałe dane składwe (zadeklarwane jak cnst). Np.: KONSTRUKTORY I DESTRUKTORY Dane stałe
V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r.
V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizka się licz I Etap ZDNI 7 lutego 3r.. Dwa pociski wstrzeloo jeocześie w tę saą stroę z wóch puktów oległch o o. Pierwsz pocisk wstrzeloo z prękością o po kąte α. Z jaką
PROPAGACJA BŁĘDU. Dane: c = 1 ± 0,01 M S o = 7,3 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O S = 6,1 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O. Szukane : k = k =?
PROPAGACJA BŁĘDU Zad 1. Rzpuszczalnść gazów w rztwrach elektrlitów pisuje równanie Seczenwa: S ln = k c S Gdzie S i S t rzpuszczalnści gazu w czystym rzpuszczalniku i w rztwrze elektrlitu stężeniu c. Obliczy
P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
1.8. PROSTE ŚCINANIE
.8. PROSTE ŚCINNIE.8.. Wprowadeie Proste ściaie wstępuje wówcas, gd obciążeie ewętre redukuje się do wektora sił poprecej T, której kieruek pokrwa się główą, cetralą osią prekroju O. Prostm ściaie praktcie
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW
Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości
Parametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Mec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.
echaika ogóla Wkład r 2 Wpadkowa dowolego układu sił. ówowaga. odzaje sił i obciążeń. odzaje ustrojów prętowch. Wzaczaie reakcji. Wpadkowa układu sił rówoległch rzłożeie układu zerowego (układ sił rówoważącch
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch
Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi
Wprowadzenie. metody elementów skończonych
Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
ZESPÓŁ LABORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKACJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
ZESPÓŁ LABORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKACJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ LABORATORIUM Telekmunikacji w transprcie wewnętrznym / drgwym INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
punktów i przyjmowani są do szkoły niezależnie od osiągniętych wyników wymienionych na świadectwie ukończenia gimnazjum i egzaminie gimnazjalnym. 5.
Regulami Rekrutacji a rk szkly 2015/2016 d II Liceum Ogólkształcąceg i Techikum r 2 w Zesple Szkół Padgimazjalych r 2 im ppłk. dr. Staisława Kuklińskieg w Wągrwcu I. Pdstawa prawa: 1. Rzprządzeie Miistra
Rozwój tekstury krystalograficznej
Areat krystaliczny Rzwój tekstury krystalraficznej! Rzpatrujemy reprezentatywny areat ziaren takim samym typie sieci ale różnej pczątkwej rientacji kmórki sieciwej wzlędem zewnętrzne układu współrzędnych!
(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Elementy algebry i analizy matematycznej II
Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA
Młodzieżowe Uniwerstet Matematczne Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu połecznego REGUŁA GULDINA dr Bronisław Pabich Rzeszów marca 1 Projekt realizowan przez Uniwerstet
Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: www.rarr.rzeszow.pl
Adres strny internetwej, na której Zamawiający udstępnia Specyfikację Isttnych Warunków Zamówienia: www.rarr.rzeszw.pl Rzeszów: Szklenia / kursy kwalifikacyjne i zawdwe według ptrzeb dla 30 sób długtrwale
WSTĘP DO INFORMATYKI BŁĘDY NUMERYCZNE I POPRAWNOŚĆ OBLICZEŃ
Akademia Góriczo-Huticza Wdział Elektrotechiki, Automatki, Iformatki i Iżierii Biomedczej WSTĘP DO INFORMATYKI Adria Horzk BŁĘDY NUMERYCZNE I POPRAWNOŚĆ OBLICZEŃ www.agh.edu.pl POPRAWNOŚĆ OBLICZEŃ Obliczeia
sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin,
Wykład XI Elemety optycze II pryzmat kąt ajmiejszego odchyleia powierzchia serycza tworzeie obrazów rówaie soczewka rodzaje rówaia szliierzy i Gaussa kostrukcja obrazów moc optycza korekcja wad wzroku
Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Instrukcja korzystania z serwisu Geomelioportal.pl. - Strona 1/12 -
Instrukcja krzystania z serwisu Gemeliprtal.pl - Strna 1/12 - Spis treści 1. Wstęp... 3 1.1. Słwnik pdstawwych terminów... 3 2. Wyświetlanie i wyszukiwanie danych... 4 2.1. Okn mapy... 5 2.2. Paski z menu
0, co implikuje tezę. W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna ( f (c)
RACHUNEK RÓŻNCZKOWY cd Twierdzeie Lagrage a: Jeżeli jest ciągła w [a,b], jest różiczkwala w a,b), t ca,b) : b)-a)= c) b-a) b) Dwód Wystarczy rzpatrzyć ukcję t) t) t a), t[a,b], która b a spełia załżeia
CZAS TRWANIA ZDERZENIA KUL
Mechaika, Elektryczść i magetyzm CZAS TRWANIA ZDERZENIA KUL Opis teretyczy d ćwiczeia zamieszczy jest a strie wwwwtcwatedupl w dziale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Opis układu pmiarweg Celem
Parametryzacja modeli części w Technologii Synchronicznej
Parametryzacja mdeli części w Technlgii Synchrnicznej Pdczas statniej wizyty u klienta zetknąłem się z pinią, że mdelwanie synchrniczne "dstaje" d sekwencyjneg z uwagi na brak parametrycznści. Bez najmniejszych
Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe
Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowch - pola wektorowe Przgotowanie: Dariusz Pazderski Wprowadzenie Rozważm liniowe równanie stanu układu niesingularnego stacjonarnego o m wejściach: ẋ = A+ Bu,
[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.
rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej
Bożena Czyż-Bortowska, Biblioteka Pedagogiczna w Toruniu
WYSZUKIWANIE PROGRAMÓW NAUCZANIA W PROGRAMIE INFORMACYJNO- WYSZUKIWAWCZYM SYSTEMU KOMPUTEROWEJ OBSŁUGI BIBLIOTEKI "SOWA" - scenariusz zajęć warsztatwych dla człnków Gruwy Satkształceniwej WUZ BP w Truniu
Metody pracy na lekcji. Referat przedstawiony na spotkaniu zespołu matematyczno przyrodniczego
Szkła Pdstawwa im. Władysława Brniewskieg we Władysławwie Metdy pracy na lekcji Referat przedstawiny na sptkaniu zespłu matematyczn przyrdniczeg Wyraz metda ma swój pczątek w języku stargreckim i znacza
Rodzaje drgań na przykładzie układu o jednym stopniu swobody
Rdzaje drgań na rzkładzie układu jednm stniu swbd Układ jednm stniu swbd Ssin t m k C m S sint Przkład układu jednm stniu swbd Schemat układu jednm stniu swbd Zestawienie sił w układzie jednm stniu swbd
f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Hipotezy wytężenia materiału. σ zast σ 0 lub
Hiptez wtężenia materiału Hiptez wtężenia kreślają stan fizczn (stan naprężenia lub dkształcenia), dpwiadając siągnięciu w danm punkcie ciała granic niebezpiecznej [, 5]. Najczęściej granicę niebezpieczną
Mechanika kwantowa III
Mecaika kwatowa III Opracowaie: Barbara Pac, Piotr Petele Powtóreie Moet pędu jest wielkością pojęciowo bardo istotą, gdż dla wsstkic pól o setrii sfercej operator jego kwadratu ( ˆM koutuje ailtoiae (
dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
stworzyliśmy najlepsze rozwiązania do projektowania organizacji ruchu Dołącz do naszych zadowolonych użytkowników!
Wrcław, 29.08.2012 gacad.pl stwrzyliśmy najlepsze rzwiązania d prjektwania rganizacji ruchu Dłącz d naszych zadwlnych użytkwników! GA Sygnalizacja - t najlepszy Plski prgram d prjektwania raz zarządzania
JĘZYKI PROGRAMOWANIA Z PROGRAMOWANIEM OBIEKTOWYM. Wykład 10
JĘZYKI PROGRAMOWANIA Z PROGRAMOWANIEM OBIEKTOWYM Wykład 10 1 KLASY I OBIEKTY W definicji klasy dane składwe nie mgą być inicjalizwane. Mgą im być nadawane wartści za pmcą funkcji składwych klasy, (np.
CZAS ZDERZENIA KUL SPRAWDZENIE WZORU HERTZA
Ćwiczenie Nr CZAS ZDRZNIA KUL SPRAWDZNI WZORU HRTZA Literatura: Opracwanie d ćwiczenia Nr, czytelnia FiM LDLandau, MLifszic Kurs fizyki teretycznej, tm 7, Teria sprężystści, 9 (dstępna w biblitece FiM,
Drgania własne ramy wersja komputerowa, Wpływ dodatkowej podpory ( sprężyny ) na częstości drgań własnych i ich postacie
Drgania własne ramy wersja kmputerwa, Wpływ ddatkwej pdpry ( sprężyny ) na częstści drgań własnych i ich pstacie Pniżej przedstawin rzwiązania dwóch układów ramwych takiej samej gemetrii i rzkładzie masy,
25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Partner projektu F5 Konsulting Sp. z o.o. ul. Składowa 5, 61-897 Poznań T: 061 856 69 60 F: 061 853 02 95
Plan Kmunikacji na temat prjektu samceny , 2010 Partner prjektu F5 Knsulting Sp. z.. ul. Składwa 5, 61-897 Pznań T: 061 856 69 60 F: 061 853 02 95 SPIS TREŚCI: WPROWADZENIE...
ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-RZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII ECHANICZNEJ INSTYTUT EKSLOATACJI ASZYN I TRANSORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E7 BADANIE INDUKCYJNEGO
JĘZYKI PROGRAMOWANIA Z PROGRAMOWANIEM OBIEKTOWYM. Wykład 7
www.imi.plsl.pl JĘZYKI PROGRAMOWANIA Z PROGRAMOWANIEM OBIEKTOWYM Wykład 7 1 WSKAŹNIKI JAKO ARGUMENTY FUNKCJI www.imi.plsl.pl Ad. 2. Przekazywanie przez wskaźnik. Funkcja pracuje na ryginale przekazywanej
Projektowanie systemów informatycznych
ELH diagramy histrii życia encji Infrmacje gólne i przykłady Autr Rman Simiński Kntakt rman.siminski@us.edu.pl www.us.edu.pl/~siminski Nazwa Entity Life Histry, czyli diagramy histrii życia encji (biektu)
Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Ćwiczenia
Materiał ddaktcze Matematka Semestr III Ćwiczeia Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci CIII RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH RÓWNANIA JEDNORODNE Rówaia różiczkowe o
Wykrywanie i usuwanie uszkodzeń w sieci
Wykrywanie i usuwanie uszkdzeń w sieci Aby sieć działała pprawnie, knieczne jest: wyknanie kablwania pprawne zmntwanie i pdłączenie sprzętu zainstalwanie i sknfigurwanie prgramwania Dpier gdy wszystkie
Powinowactwo chemiczne Definicja oraz sens potencjału chemicznego, aktywność Termodynamiczne funkcje mieszania
ermdyamka układów rzeczywstych 2.7.1. Pwwactw chemcze 2.7.2. Defcja raz ses tecjału chemczeg aktywść 2.7.3. ermdyamcze fukcje meszaa 2.7.4. Klasyfkacja rztwrów Waruk ztermcz-zchrycze ) ( V F F j V V d
12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez
Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................
Model Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...
Model Lesliego Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Wyodrębiamy w populaci k grup wiekowych. Po każde edostce czasu astępuą arodziy i zgoy oraz starzeie (przechodzeie do astępe grupy wiekowe). Chcemy
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trgoometrcze. wkład z MATEMATYKI Automatka i Robotka sem. II, rok ak. 2009/200 Katedra Matematki Wdział Iformatki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja.. Niech(a
3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Adres strony internetowej, na której Zamawiający udostępnia Specyfikację Istotnych Warunków Zamówienia: http://www.staszowski.eu/
Adres strny internetwej, na której Zamawiający udstępnia Specyfikację Isttnych Warunków Zamówienia: http://www.staszwski.eu/ Staszów: Ubezpieczenie majątku i dpwiedzialnści cywilnej Pwiatu Staszwskieg
1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae