Wypadkowa zbieżnego układu sił

Transkrypt

1 .4.. padkowa zbieżego układu sił rzestrze układ sił Siłami zbieżmi azwam sił, którch liie działaia przeciają się w jedm pukcie, azwam puktem zbieżości (rs..a). oieważ sił działające a ciało sztwe moża przesuwać wzdłuż liii ich działaia, moża je uważać za sił przłożoe do jedego puktu (rs..b). kosekwecji otrzmaliśm układ sił k (k,,,..., ) przłożoch w jedm pukcie. a) b) z Rs... rzestrze zbież układ sił pukcie.. powiedzieliśm, że sił przłożoe w jedm pukcie moża zastąpić jedą siłą rówoważą, czli wpadkową. Zatem wpadkowa zbieżego układu sił jest rówa sumie geometrczej wszstkich sił, a liia jej działaia przechodzi przez pukt zbieżości:. (.0) celu obliczeia współrzędch wpadkowej w pukcie zbieżości (rs..b) wprowadzim prostokąt układ współrzędch,, z i wrazim wszstkie sił k oraz wpadkową za pomocą współrzędch w tm układzie: k k i+ k i+ k j+ kz k, j+ z k. o podstawieiu tch wzorów do zależości (.0) otrzmam: i+ j+ k i + j + k. z Z obustroego porówaia wrazów prz tch samch wersorach otrzmujem wzor a współrzęde wpadkowej: k, k k, z k kz. kz (a) (.)

2 owższe wzor moża bło apisać bezpośredio a podstawie twierdzeia, że rzut sum wektorów a dowolą oś jest rów sumie rzutów wszstkich wektorów a tę oś (twierdzeie Charles a). o wzaczeiu współrzędch wpadkowej moża wzaczć jej wartość liczbową (moduł) oraz kosius kierukowe ze wzorów: + + z, cosα, cosβ, z cosγ, (.) gdzie α, β i γ są kątami, które wpadkowa tworz odpowiedio z osiami, i z. łaski układ sił łaskim układem sił zbieżch będziem azwać układ sił k (k,,..., ), którch liie działaia leżą w jedej płaszczźie i przeciają się w jedm pukcie. odobie jak w przpadku przestrzeego układu sił zbieżch, sił te moża przesuąć do puktu zbieżości i traktować jak sił przłożoe do jedego puktu (rs..a). padkowa płaskiego układu sił zbieżch będzie leżeć w płaszczźie działaia sił i będzie przechodzić przez pukt zbieżości. Będzie oa rówa sumie geometrczej sił składowch:. (.) padkową płaskiego układu sił zbieżch moża wzaczć sposobem geometrczm i aalitczm. a) b) k Rs... zaczaie wpadkowej płaskiego zbieżego układu sił za pomocą wieloboku sił

3 Sposób geometrcz polega a zbudowaiu wieloboku sił, w którm z dowolego puktu (rs..b) odkładam rówolegle siłę, a z jej końca rówolegle siłę, a astępie koleje sił aż do. ektor łącząc początek sił i koiec sił jest sumą geometrczą sił składowch. trzma wektor przłożo w pukcie (rs..a) jest wpadkową układu sił zbieżch. Dla aalitczego obliczeia wpadkowej przjmiem w pukcie zbieżości (rs..a) układ współrzędch o osiach i leżącch w płaszczźie sił. ted współrzęde kz wszstkich sił k będą tożsamościowo rówe zeru: kz 0. tej stuacji wzor a współrzęde wpadkowej płaskiego układu sił zbieżch otrzmam ze wzorów (.) po podstawieiu do ich kz 0:,. k k (.4) Z kolei moduł wpadkowej oraz kąt α, któr oa tworz z osią, obliczm ze wzorów: +, tgα. (.5)

4 .4.. aruki rówowagi zbieżego układu sił rzestrze układ sił Gd wpadkowa przestrzeego układu sił zbieżch jest rówa zeru, układ sił będzie w rówowadze. rowadzi to do wektorowego waruku rówowagi w postaci: k 0. (.6) b przestrze układ sił zbieżch bł w rówowadze, warukiem koieczm jest, b suma wektorowa tego układu sił bła rówa zeru. padkowa omawiaego układu sił będzie rówa zeru, jeżeli jej współrzęde w przjętm układzie współrzędch będą rówe zeru. Stąd a podstawie wzorów (.) moża apisać trz skalare rówaia rówowagi: 0, 0, 0. (.7) k k owższe waruki rówowagi moża wpowiedzieć słowie. b przestrze układ sił zbieżch bł w rówowadze, warukiem koieczm i wstarczającm jest, b suma rzutów tch sił a każdą oś układu współrzędch bła rówa zeru. Z rówań rówowagi (.7) wika, że w przpadku zbieżego przestrzeego układu sił możem wzaczć trz iewiadome, poieważ dspoujem trzema rówaiami. rzkład.. sporik składa się z trzech ieważkich prętów B, C i D połączoch przegubowo w węźle, jak a rs..4. Końce B, C i D tch prętów są połączoe rówież za pomocą przegubów do pioowej ścia. ręt B i C leżą w płaszczźie prostopadłej do pioowej ścia i tworzą z ią kąt α60 o. ręt D tworz z tą ściaą kąt β0 o i rówież leż w płaszczźie prostopadłej do tej ścia. bliczć sił w prętach, jeżeli do węzła jest przłożoa siła Q, leżąca w płaszczźie pioowej prostopadłej do ścia i odchloa od poziomu o kąt γ45 o. Tarcie w przegubach pomiąć. kz

5 C z α B α S S S γ Q β D Rs..4. zaczeie sił w prętach zbiegającch się w węźle Rozwiązaie. ddziałwaie prętów B, C i D a węzeł zastąpim odpowiedio siłami S, S i S. Zatem węzeł te jest w rówowadze pod działaiem czterech sił zbieżch: S, S, S i Q. o wprowadzeiu w pukcie prostokątego układu współrzędch,, z i wkorzstaiu rówań rówowagi (.7) otrzmam układ trzech rówań z trzema iewiadommi k k kz S cosα S cosα 0, Qcosγ S siα S siα S siβ 0, Qsiγ S cosγ 0. o rozwiązaiu powższego układu rówań otrzmam:

6 S S S cosγ Q siα siγ Q Q cosβ 6 ( ) ( + ) tgβtgγ + Q,. Zak mius prz sile S ozacza, że w rzeczwistości zwrot tej sił jest przeciw do przjętego a rsuku. ręt B i C są rozciągae, a pręt D ściska. łaski układ sił odobie jak w przpadku przestrzeego zbieżego układu sił, płaski układ sił zbieżch będzie w rówowadze, gd jego wpadkowa będzie rówa zeru. Zatem wektorow waruek rówowagi będzie miał formalie postać idetczą z rówaiem (.6): owższemu warukowi a podstawie wzorów (.4) będą odpowiadał rówoważe dwa rówaia rówowagi: k 0. 8 k 0, k 0. (.8) b płaski układ sił zbieżch bł w rówowadze, warukiem koieczm i wstarczającm jest, b sum rzutów tch sił a dwie osie układu współrzędch bł rówe zeru. Zatem prz rozwiązwaiu zagadień dotczącch sił zbieżch leżącch w jedej płaszczźie dspoujem dwoma rówaiami i tle iewiadomch możem wzaczć. Z rsuku.b widzim, że gd wpadkowa jest rówa zeru, to koiec sił zajduje się w początku sił, czli wielobok sił jest zamkięt. Na rsuku.5a przedstawioo płaski układ sił przłożoch do puktu pewego ciała. Sił te są w rówowadze, poieważ tworzą wielobok zamkięt pokaza a rs..5b. owższe rozważaia pozwalają a sformułowaie wkreślego (geometrczego) waruku rówowagi.

7 b płaski układ sił zbieżch bł w rówowadze, zbudowa z ich wielobok sił musi bć wielobokiem zamkiętm. a) b) Rs..5. Rówowaga płaskiego zbieżego układu sił

8 .4.. Twierdzeie o trzech siłach wielu przpadkach ciało sztwe jest w rówowadze pod działaiem trzech ierówoległch sił leżącch w jedej płaszczźie. ted w rozwiązwaiu zagadień praktczch jest pomoce tzw. twierdzeie o trzech siłach. a) b) Q Rs..6. Ilustracja twierdzeia o trzech siłach Jeżeli ciało sztwe jest w rówowadze pod działaiem trzech ierówoległch sił leżącch w jedej płaszczźie, to liie działaia tch sił muszą przeciać się w jedm pukcie, a sił tworzć trójkąt zamkięt. celu udowodieia powższego twierdzeia założm, że do ciała sztwego zajdującego się w rówowadze są przłożoe trz ierówoległe sił, i, którch liie działaia leżą w jedej płaszczźie (rs..6a). Liie działaia sił i przeciają się w pukcie. o przesuięciu tch sił do puktu przecięcia możem je zastąpić wpadkową: Q +. tej stuacji ciało jest w rówowadze pod działaiem dwóch sił: Q i. Zatem sił Q i muszą się rówoważć, czli muszą bć rówe co do wartości liczbowch, mieć przeciwe zwrot i muszą działać wzdłuż jedej prostej. ika z tego, że liia działaia sił musi przechodzić także przez pukt przecięcia sił i. oadto wielobok sił zbudowa z sił, i musi bć trójkątem zamkiętm (rs..6b). rzkład.. Jedorod pręt B o ciężarze G i długości l jest opart końcem B o gładką pioową ściaę, a koiec tego pręta jest zamocowa w stałej podporze przegubowej (rs..7a). zaczć reakcję ścia oraz reakcję podpor przegubowej, jeżeli odległość podpor od ścia wosi c.

9 B a) b) c) B R B R l/ α α C C G. R B G l/ G R c E D Rs..7. Układ sił działającch a pręt Rozwiązaie. ręt B jest w rówowadze pod działaiem trzech sił: ciężkości G przłożoej w środku ciężkości C oraz reakcji ścia R B i podpor przegubowej R. oieważ ściaa jest gładka (brak tarcia), reakcja R B jest do iej prostopadła. Liie działaia sił ciężkości G pręta i reakcji ścia R B przeciają się w pukcie (rs..7b). Zgodie z twierdzeiem o trzech siłach przez te pukt musi przechodzić liia działaia reakcji R. Zam zatem kieruki wszstkich sił działającch a pręt, co pozwala arsować zamkięt trójkąt sił (rs..7c). Kąt α jest kątem, jaki tworz reakcja R z siłą G. oieważ trójkąt sił jest trójkątem prostokątm, otrzmujem: G R, R B Gtgα. (a) cosα Gdb trójkąt sił ie bł trójkątem prostokątm, do obliczeia wartości reakcji R i R B ależałob zastosować twierdzeie siusów. Z trójkąta D (rs..7b) mam: D tgα D D cosα c, D D D. ( ) ( ) ( ) D + D 4 D + c (b) Z trójkąta BE wika, że D EB l c. o uwzględieiu tej zależości we wzorach (b) otrzmujem:

10 c l c tgα, cosα. (c) l c 4l c o podstawieiu tch wartości do wzorów (a) otrzmujem ostateczie: R 4l c c G, R B G. (d) l c l c rzedstawioa metoda rozwiązaia jest azwaa metodą geometrczą. Zadaie to moża rozwiązać metodą aalitczą, polegającą a wkorzstaiu rówań rówowagi (.8). o wprowadzeiu układu współrzędch w pukcie E (rs..7b) i zrzutowaiu sił a osie tego układu otrzmujem rówaia rówowagi: k k R R B R siα 0, cosα G 0. owższe dwa rówaia po wzaczeiu kąta α z twierdzeia o trzech siłach pozwalają a wzaczeie wartości reakcji R i R B.