Micha l Krych tu moga być jakieś b le dy, choć stara lem sie ich unikać
|
|
- Katarzyna Grzelak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ! #"%$'&&$+* $'&&+, Micha l Krch tu moga bć jakieś b le d, choć stara lem sie ich uikać. Fukcja wk ladicza Lemat rzeczwist o graicach -tch pote g cia gów szbko zbieżch do Jeśli a = 0, to + a =. Dowód. Poieważ a = 0, wie c istieje liczba aturala 0 taka, że jeżeli > 0, to a <. Wted rówież a = a <. Wobec tego dla każdej liczb aturalej > 0 zachodza ierówości: a > >, a > oraz a <, co + a + a usprawiedliwia dwukrote stosowaie ierówości Beroulli ego w wierszu poiżej + a + a = a + a Cztelik zwróci uwage a to, że dzie ki wborowi 0 a + a stosowaie ierówości Beroulli ego prowadzi do wrażeń dodatich, wie c przejście do ich odwrotości jest usprawiedliwioe stosowaliśm ierówość Beroulli ego do miaowika! Teza lematu wika z twierdzeia o trzech cia gach, bowiem + a = = a. Lemat zosta l udowodio. + a Lemat o mootoiczości cia gu Jeśli > 0, to a + > a, czli cia g + + jest rosa c od pewego mometu. Dowód. Z ierówości > wika od razu ierówość + >. Z pierwszej z ich wioskujem, że + > 0, a z drugiej że + + > 0. Nierówość a < a + rówoważa jest ierówości + < + +, a ta z kolei ierówości ate puja cej: > + =. Skorzstam teraz z ierówości Beroulli ego, b udowodić, że ostatia ierówość zachodzi dla >. Mam = = + = +. Dla jasości ależ jeszcze zauważć, że liczba + +, pe lia ca role a w ierówości Beroulli ego, jest wie ksza od jest to oczwiste w przpadku 0, bo w tm przpadku jest oa ieujema, zaś dla > 0 jej wartość bezwzgle da, czli + + jest miejsza od + <. Dowód lematu zosta l zakończo.
2 Uwaga. Wkazaliśm, że od mometu, w którm wrażeie + staje sie dodatie, cia g zacza rosa ć w przpadku = 0 jest sta l. W przpadku > 0 jest rosa c, gd < 0, to może sie zdarzć, że pocza tkowe wraz zmieiaja zak, wie c o mootoiczości ie może bć awet mow. Jeśli jedak wszstkie wraz cia gu sa dodatie, to jest iemaleja c. Dodajm jeszcze, że w przpadku > 0, wraz cia gu sa dodatie, zaś w przpadku < 0 sa oe dodatie dla parzstego a dla ieparzstego o ile >. Wkażem, że cia g + jest ograiczo z gór w przpadku dowolej liczb rzeczwistej. Dla ujemch tak jest, bo od pewego miejsca dla >, wraz cia gu sa dodatie i miejsze od. Wobec tego w tm przpadku cia g te jest zbież do graic zajduja cej sie w przedziale otwarto domkie tm 0, ] liczba 0 ie jest graica tego cia gu, bo od pewego miejsca ma o wraz dodatie i jest rosa c. Jeśli > > 0, to + = +. Miaowik, +, ma graice skończoa i dodatia a moc tego, co wkazaliśm wcześiej, liczik ma graice a moc lematu o graicach tch pote g cia gów szbko zbieżch do, bo cia g + = ma graice a moc twierdzeia o graic ilorazu cia gów zbieżch. Wkazaliśm wie c, że dla każdej liczb rzeczwistej cia g i dodatia. Defiicja ajważiejszej fukcji wk ladiczej Podstawowe w lasości fukcji ep +. ep + = ep ep dla dowolch liczb rzeczwistch,. = 0. Wobec tego ma graice skończoa e := ep := +. Jeśli <, to ep < ep dla dowolch liczb rzeczwistch,. 3. ep + dla dowolej liczb rzeczwistej. Dowód. Wiem, że dla każdej par liczb rzeczwistch, liczba ep + jest dodatia, moża wie c przez te liczbe dzielić. Mam ep ep ep + = Ostatia rówość wika z lematu i z tego, że udowodioa. = = + + = 0. Pierwsza w lasość jest W lasość trzecia wika z tego, że dla > zachodzi ierówość >, zatem a moc ierówości Beroulli ego możem apisać + + = +. Skoro pocza wsz od
3 pewego miejsca wszstkie wraz cia gu sa rówe co ajmiej +, to i graica tego cia gu jest wie ksza lub rówa +. Przekoam sie późiej, że ierówość jest ostra dla każdej liczb 0. Wkażem, że prawdziwa jest w lasość druga. Niech <. Na moc już wkazach w lasości mam wted ep = ep ep ep + > ep. Koiec dowodu. Uwaga o jedozaczości fukcji ep. Z w lasości pierwszej wika, że ep = ep ep = ep 0. Gdb dla jakiejkolwiek liczb a IR b lo epa = 0, to musia lob bć też ep = epa ep a = 0, wie c fukcja ep b lab fukcja sta la, wie c ie przs lugiwa lab jej w lasość druga. Wkażem późiej, że w lasości podstawowe fukcji ep przs luja jedie tej fukcji, imi s low moża zdefiiować fukcje ep jako fukcje określoa a zbiorze wszstkich liczb rzeczwistch spe liaja ca trz w lasości podstawowe. W laśie pokazaliśm, że każda taka fukcja musi bć dodatia! Kilka aste pch w lasości fukcji wk ladiczej 4. Jeśli = +, to ep = Jeśli =, to ep = Jeśli =, to ep = ep. 7. Jeśli <, to ep. 8. Dla dowolej liczb rzeczwistej > 0 zachodzi ierówość ep ep. 9. Jeśli <, to 0 < ep ep < ep = ep.* Dowód. W lasość czwarta wika od razu z ierówości ep + >. Teraz wwioskujem w lasość pia ta. Mam ep0 = ep0 + 0 = ep0 ep0, wie c poieważ ep0 > 0, to ep0 =. Sta d wika, że = ep0 = ep + = ep ep, zatem dla każdej liczb rzeczwistej zachodzi wzór ep = ep. Jeśli wie c =, to = + i wobec tego ep = ep = drugiej ep + =. Jeśli wie c <, to ep = = 0. Na moc w lasości + ep. Wkazaliśm w lasość siódma. Kolej a w lasość dziesia ta. Za lóżm, że >, czli <. Mam ep = ep + oraz ep = ep + = i wobec tego możem apisać ep + ep, a poieważ a moc lematu o pote gach cia gów * Wkażem te w lasości korzstaja c już tlko z trzech w lasości podstawowch i dodatiości fukcji ep, która wwioskowaliśm z w lasości podstawowch w uwadze o jedozaczości fukcji ep, wie c wkazawsz, że w lasość dziesia ta wika z w lasości podstawowch, wkażem zarazem, że defiiuja oe fukcje wk ladicza o podstawie e 3
4 szbko zbieżch do mam =, wie c w lasość dziesia ta wika teraz z twierdze- ia o trzech cia gach. Teraz wkażem prawdziwość w lasości ósmej dla > 0. Mam ep = ep = ep = ep ep + ep + + ep + ep ep ep ep ep Korzstaliśm kilkakrotie po drodze z tego, że jeśli u < v, to epu < epv. Nadesz la kolej a w lasość dziewia ta. Niech <. Mam wted 0 < ep ep = ep ep ep ep = ep. Zosta la do dowodu w lasość siódma. Niech = IR. Cia g zbież musi bć ograiczo, wie c istieje liczba M IR, taka że, M dla każdego. Na moc w lasości dziewia tej mam 0 ep ep epma, epm. Pozostaje zasto- sować twierdzeie o trzech cia gach. Otrzmujem ep ep = 0, a to ozacza, że ep = ep. Podaliśm dowod wszstkich wmieioch w lasości. Twierdzeie o istieiu logartmu aturalego Dla każdej dodatiej liczb rzeczwistej istieje dok ladie jeda liczba rzeczwista, dla której mam miejsce rówość = ep. Dowód. Niech E = {t IR: ept }. Wkażem, że zbiór E jest iepust i ograiczo z gór. Mam ep + = + <, zatem E, jeśli t, to zachodza ierówości ept ep + >, zatem t / E, a to ozacza, że liczba jest ograiczeiem górm zbioru E, ie twierdzim, że ajmiejszm! Niech = sup E. Wkażem, że = ep. Jeśli tak ie jest, to zachodzi jeda z dwu możliwości: < ep lub > ep. Za lóżm, że < ep. Za lóżm teraz, że τ < ep. Wted ep τ ep τ ep ep =, a to ozacza, że wbrew za lożeiu ie jest ajmiejszm ograiczeiem górm zbioru E liczba ep < też jest ograiczeiem górm i to zapewe ie ajmiejszm. Wobec tego przjmijm, że > ep. Niech 0 < τ < ep. Prawdziwa wobec tego jest ierówość ep + τ = ep epτ < ep τ < ep =. Wkazaliśm wie c, że ep w tm przpadku liczba ie jest ograiczeiem górm zbioru E i w te sposób wkluczliśm obie ierówości. Wobec tego = ep. Jeśli t <, to ept < ep =, jeśli t >, to ept > ep =. Wobec tego dla t mam ept ep =, co dowodzi, że liczba jest jeda o ża daej w lasości. Twierdzeie zosta lo udowodioe. Defiicja logartmu aturalego Logartmem aturalm liczb dodatiej azwam taka liczbe rzeczwista, że = ep. Piszem = l. 4
5 W lasościom fukcji wk ladiczej odpowiadaja w lasości logartmu. W lasości logartmu aturalego a. l = l + l dla dowolch liczb rzeczwistch,. b. Jeśli 0 < <, to l < l dla dowolch liczb rzeczwistch,. c. Jeśli <, to l +. + d. Jeśli = + i dla każdego liczba jest dodatia, to l = +. e. Jeśli = 0 i dla każdego liczba jest dodatia, to l =. f. Jeśli = > 0 i dla każdego zachodzi > 0, to l = l. Dowód. W lasość a: epl = a moc defiicji logartmu. ep l + l = epl epl =, co kończ dowód w lasości a. Teraz w lasość b. Jeśli 0 < < i l l, to = epl epl =, co przecz za lożeiu o liczbach i. Z tej w lasości wika, że jeśli 0 < +, to poieważ + ep, wie c l + lep =. Aalogiczie jeśli <, to = lep l = l +. Przjmijm wie c =. Wted = +. Waruek > = + rówoważ jest temu, że 0 < = +, czli temu, że >. Kończ to dowód w lasości c. Jeśli = + i M IR, to d.d.d. zachodzi ierówość > epm, co ozacza, że l > lepm = M. Wobec tego l = +, mam wie c dowód w lasości d. Jeśli teraz = 0 i wszstkie wraz cia gu sa dodatie, to l = l =, bo = +. Do udowodieia pozosta la już tlko w lasość f. Wika oa z w lasości c, twierdzeia o trzech cia gach, tego, że l l = l = l + i tego, że = 0. Możem teraz podać defiicje pote gi o dowolm wk ladiku a i dowolej dodatiej podstawie, miaowicie: a = epa l. Z udowodioch w lasości fukcji wk ladiczej i logartmu aturalego wikaja latwo w lasości pote g o dodatiej podstawie zae ze szkó l średich i podstawowch. Studeci zechca sie zastaowić ad tm, które z ich pozostaja w moc dla pote gi o wk ladiku postaci p q w przpadku p, q Z, prz czm liczba q jest ieparzsta. Przjmujem też, że 0 = 0 dla > 0, ie określam smbolu 0 w przpadku 0. Pote ga o wk ladiku ca lkowitm dodatim określoa jest w przpadku dowolej podstaw stadardowo. Teraz zajmiem sie wk ladikami zespolomi. Be dziem przjmować zawsze, że, IR, z = + i i oczwiście i =. Przpomiam, że z = + = + /. Mam wted z z = z z oraz z + z = z + z. Lemat zespolo o graicach -tch pote g cia gów szbko zbieżch do Jeśli z = 0, to + z =. Dowód. Wkażem, że zachodzi ierówość + z + z korzstaja c z dwumiau Newtoa i ierówości trójka ta. Zachodza wzor: 5
6 + z = + z + z + + z + z z + z + + z + z = + z. Poieważ za lożliśm, że z = 0, wie c z = 0 i wobec tego, że zachodzi ierówość + z + z, a to ostatie wrażeie ma graice 0 prz, a moc rzeczwistego lematu o pote gach cia gów szbko zbieżch do, wie c lemat zespolo wika atchmiast z twierdzeia o trzech cia gach. Teraz czeka as dowód istieia graic + z. Musi o sie różić od dowodu w przpadku rzeczwistm, bo o żadej mootoiczości tm razem mówić ie możem, bo to poje cie ie stosuje sie do liczb ierzeczwistch. Zamiast iego wkorzstam twierdzeie Cauch ego, wg. którego cia g liczbow spe liaja c waruek Cauch ego ma graice skończoa. Lemat o zbieżości cia gu + z Cia g + z spe lia waruek Cauch ego, wie c jest zbież. Dowód. Zauważm ajpierw, że jeśli > m k 0, to m.wika to atch- k k!, wobec tego miast z tego, że m k m k = mm...m k+ m k k! = m m k m k k <... k m zaste puja c w tm wzorze m przez > m zwie kszam miaowiki zachowuja c licziki bez zmia, co oczwiście powoduje wzrost możoch u lamków. Mam zatem + z + z m m = = + z + z + + z + z + m z m + m z m + + m z m m m + z m m [ ] + [ m [ m] z + m ] m z + + [ m m ] m m m z m + m + m+ z m+ + + m m+ z + z = + z + z m. Poieważ cia g + z jest zbież liczba z jest rzeczwista!, wie c spe lia o waruek Cauch ego, wobec tego rówież cia g + z spe lia waruek Cauch ego wkazaliśm bowiem, że odleg lości mie dz wrazami tego ostatiego ie przekraczaja odleg lości odpowiedich wrazów cia gu + z. Lemat zosta l dowiedzio. Defiicja fukcji wk ladiczej o wk ladiku zespolom i podstawie e e z := epz := + z. Podstawowe w lasości fukcji zespoloej ep c. Dla dowolch liczb zespoloch z, w zachodzi rówość epz + w = epz epw. c. Dla dowolego cia gu z liczb zespoloch różch od 0 zbieżego do 0 zachodzi rówość epz =. z Dowód. W lasość c wika z lematu zespoloego o graicach tch pote g cia gów szbko zbieżch do w dok ladie taki sam sposób jak w przpadku rzeczwistm. Dla dowodu w lasości 6
7 c skorzstam z w lasości rzeczwistej fukcji ep i wkazaej w dowodzie lematu o zbieżości cia gu + z ierówości w przpadku > m = zak ladaja c, że z < : + z + z + z + z ep z + z z + z = z z Mam wie c + z z + z z. Sta d przechodza c do graic prz + otrzmujem w przpadku 0 < z < ierówość epz + z wika od razu: epz epz + z = z z z z. Twierdzeie o jedozaczości fukcji zespoloej ep Jeśli fukcja f: C C spe lia waruki c dla dowolch liczb zespoloch z, w zachodzi rówość fz + w = fzfw, z, z której w lasość c z c dla dowolego cia gu z liczb zespoloch różch od 0 zbieżego do 0 zachodzi rówość fz =, z to dla każdej liczb zespoloej z zachodzi rówość fz = epz = + z. Dowód. Niech w = f z z. Z za lożeia wika, że w =. Zachodzi rówież wzór = + z w f z + z w i wobec w lasości c mam fz = f z = + z w. Mam wobec tego, bo w z + z 0. Sta d wika, że + z = + w z + z + z fz = z + z w + w = + z Kilka aste pch w lasości fukcji zespoloej ep c3. epz = epz dla każdej liczb zespoloej z. c4. Jeśli IR, to epi = ep i. c5. Jeśli IR, to epi =. c6. epz = eprez ep z dla każdej liczb zespoloej z. c7. Jeśli IR, to epi Dowód. Mam epz = epz = epz, czli fz = epz. + z = + z = + z = epz. W- kazaliśm c3. Z tej w lasości c4 wika przez podstawieie, a aste pa w lasość wika sta d, że epi = epi epi = epi ep i = epi + i = ep0 =. Naste pa w lasość wika z poprzediej, c i tego, że Rez z. Wkażem c7. Mam epi = epi ep i + ep i + + ep i + epi ep i + ep i + + ep i + = epi = = iepi W ostatim przejściu graiczm skorzstaliśm oczwiście z w lasości c. W te sposób zakończ- 7 i
8 liśm dowód. Defiicja fukcji sius i kosius si z = i epiz ep iz, cos z = epiz + ep iz dla każdej liczb zespoloej z. Wzór Eulera e iz = epiz = cos z + i si z dla każdego z C. Wzór te jest atchmiastowa kosekwecja defiicji siusa i kosiusa. Z tego, że epi = ep i w lasość c4 wika, że jeśli jest liczba rzeczwista, to cos i si też sa liczbami rzeczwistmi. Podstawowe w lasości fukcji trgoometrczch t. cos z + si z = dla każdej liczb zespoloej z. t. cosz + w = cos z cos w si z si w dla dowolch z, w C. t3. siz + w = si z cos w + cos z si w dla dowolch z, w C. si z t4. = dla każdego cia gu z liczb zespoloch różch od 0 zbieżego do 0. z Pierwsze trz w lasości sprawdzam korzstaja c bezpośredio z defiicji. Sprawdzeie ostatiej przeprowadzim dla przk ladu: = epiz iz + si z z epiz ep iz = = iz ep iz iz = + =. Moża wkazać, że w lasości t t4 defiiuja pare fukcji z lożoa z kosiusa i siusa. Kilka aste pch w lasości siusa i kosiusa t5. cos z = cos z, si z = si z dla każdej liczb zespoloej z. t6. si z ± si w = si z±w cos z w, cos z + cos w = cos z+w cos z w, cos z cos w = si z+w si z w dla dowolch z, w C. t7. si si, cos cos dla dowolch liczb rzeczwistch,. t8. Istieje liczba dodatia ε taka, że jeśli 0 < < ε, to si > 0 oraz cos > 0. t9. Istieje liczba dodatia π taka, że cos π = 0 i jeśli 0 < < π, to si > 0 oraz cos > 0. t0. si π =, a przedziale 0, π fukcja sius jest dodatia, fukcja kosius jest a przedziale [0, π] maleja ca, cos π =, si π = 0, a przedziale [0, π ] fukcja sius jest rosa ca, a przedziale [ π, 3π ] fukcja sius maleje, si 3π =, cos 3π = 0, a przedziale [ 3π, π] fukcja sius rośie, si π = 0, cos π =, a przedziale [π, π] fukcja kosius rośie, t. Dla każdej liczb zespoloej z zachodza rówości cos z + π = cos z oraz siz +π = si z. t. Dla każdej par liczb rzeczwistch, takiej, że + =, istieje dok ladie jeda liczba rzeczwista t [0, π, taka że = cos t i jedocześie = si t. Dowód. W lasość t5 to atchmiastowa kosekwecja defiicji siusa i kosiusa, w lasość t6 moża wwioskować z defiicji obliczeia sa bardzo proste lub z w lasości t i t3 dok ladie tak, jak to czia autorz podre czików szkolch. W lasość t7 wwioskujem z ierówości wkazaej wcześiej: epi dla IR c7. Mam bowiem si si epi epi = epi epi i = epi. 8
9 Dowód drugiej ierówości jest aalogicz. Wkażem w lasość t8. Zauważm, że istieje IN, > 0, takie że jeśli 0 < < si, to >. Gdb b lo iaczej, to istia lb cia g, taki że 0 < < i jedocześie si si, wbrew temu, że =. Wobec tego jeśli 0 < <, to si > > 0. Jase jest, że cos 0 =. Wobec tego z w lasości 7 wika, że jeśli <, to cos = cos cos 0 <, zatem cos > = 0. Wstarcz wie c przja ć, że ε = dla tak dużego, że z ierówości 0 < < wika ierówość si > 0. Udowodiliśm wie c w lasość ósma. Wkażem teraz, że dla pewej liczb dodatiej p zachodzi rówość cos p = 0. Niech α be dzie liczba dodatia taka, że cos α > 0 i si α > 0. Poieważ cos α + si α =, wie c 0 < cos α < i wobec tego 0 < cos α <. Niech a 0 = cos α i iech a = cos α. Mam wie c a + = cos α = cos α si α = cos α = a. Wobec tego a + a = a a = a a +. Jeśli wraz cia gu a sa dodatie, to cia g te jest ierosa c a 0, wie c ma graice g. Mam wie c g = a = a + = a = g, a sta d wika, że g = lub g =. Pierwsza możliwość jest wkluczoa, bo > a 0 a a..., zatem > a 0 g. Druga też, bo graica cia gu liczb ieujemch musi bć ieujema. Ozacza to, że wbrew uczioemu za lożeiu, w cia gu a musza wsta pić wraz iedodatie. Albo wste puje liczba 0 albo istieje taka liczba aturala, że a < 0. W obu przpadkach zbiór P = {t > 0: cos s > 0 dla 0 s t} jest ograiczo z gór. Niech p ozacza jego kres gór. Oczwiście p, bo dla 0 < t < zachodzi ierówość cos t > 0. Jeżeli cos p > 0, to dla 0 < t p < cos p zachodzi ierówość cos p cos t cos t cos p t p < cos p, zatem 0 < cos t, wobec tego kres gór zbioru P ie może bć miejsz iż p + cos p. Za lóżm teraz, że cos p < 0. Niech 0 < p t < cos p. Mam wie c cos t cos p cos t cos p t p < cos p, zatem cos t < 0. Ozacza to, że w tm przpadku sup P p+cos p < p. Pozostaje trzecia możliwość cos p = 0. Wkazaliśm wie c istieie dodatiej liczb p, dla której cos p = 0 i to takiej, że jeśli 0 < t < p, to cos t > 0. Niech ε ozacza liczbe dodatia, taka że jeśli 0 < t < ε, to cos t > 0 i si t > 0. Jeśli 0 < t < ε, to si t = si t cos t > 0. Jeśli wie c ε p, to dla 0 < α < ε zachodza obie ierówości si α > 0 i cos α > 0. Stosuja c poowie to samo rozumowaie stwierdzam, że a przedziale 0, 4ε fukcja sius przjmuje jedie dodatie wartości, zatem jeśli 4ε p, to rówież a przedziale 0, 4ε obie fukcje sius i kosius sa dodatie i moża zów powtórzć te sam argumet. Imi s low jeśli dla 0 < t < ε mam si t > 0 i cos t > 0, to a przedziale 0, + ε fukcja sius jest dodatia. Poieważ ε =, wie c istieje liczba aturala taka, że ε p < + ε. Ozacza to, że a przedziale 0, p obie fukcje sius i kosius sa dodatie. Wobec tego możem przja ć, że π = p. Mam cos π = cos π si π = 0 =, oczwiście si π = cos π = oraz si π = si π 4 cos π 4 > 0, zatem si π =. Sta d wika, że si π = si π cos π = 0. Dalej cos 3π = cos π + π = cos π cos π si π si π = 0 oraz si 3π = si π + π = si π cos π + cos π si π = i wreszcie cos π = cos π si π = i 9
10 si π = si π cos π = 0. W te sposób obliczliśm wartości fukcji sius i kosius w puktach 0, π, π, 3π i π. Jeśli 0 < π, to 0 < π i 0 < + π, zatem zachodzi ierówość cos cos = si si + < 0, a to ozacza, że fukcja kosius maleje a przedziale [0, π]. Wobec tego jest oa ujema a przedziale π, π]. Jeśli wie c 0 < π, to si si = si cos + > 0, a zatem fukcja sius jest rosa ca a przedziale [0, π ], π podobie, jeśli < π, to 0 < < π i π < + < π, zatem si si = = si cos + < 0, zatem a przedziale [ π, π] fukcja sius maleje. Zachowaie sie obu fukcji kosius i sius a przedziale [π, π] moża bez trudu zbadać stosuja c oczwiste wzor cos + π = cos cos π si si π = cos oraz si + π = si cos π + cos si π = si. To kończ sprawdzeie prawdziwości w lasości dziesia tej. W lasość jedeasta wika atchmiast z wzorów cos + π = cos oraz si + π = si, które już uzskaliśm. Pozosta la do dowodu ostatia w lasość. Niech + =. Za lóżm ajpierw, że 0. Wted cos π = = cos 0. Niech t = sup{s [0, π]: cos s }. Mam trz możliwości = cos t, < cos t, > cos t. W trzecim przpadku z ierówości cos s cos t s t < t wika, że t ie jest ajmiejszm ograiczeiem górm zbioru {s [0, π]: cos s } ; w drugim z tej samej ierówości wioskujem, że liczba t w ogóle ie jest ograiczeiem górm tego zbioru. Pozostaje pierwsza możliwość, czli = cos t. Poieważ a przedziale [0, π] kosius jest fukcja ściśle maleja ca, wie c w tm przedziale liczba t jest tlko jeda. Oczwiście = si t, bo za lożliśm, że 0 i zachodzi rówość = = cos t = si t. Jeśli < 0, to defiiujem liczbe t tak, że = cos t, 0 < t < π i zaste pujem ja liczba t = t + π. W te sposób udowodiliśm w lasość dwuasta. Mam teraz epπi = cos π + i si π =, zatem e πi + = 0 Otrzmaliśm zatem wzór, w którm wste puja pie ć ajważiejszch liczb w matematce. 0
dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoi oznaczyliśmy te granice przez exp(x). Określiliśmy wie c funkcje na zbiorze
graica Fukcja wyk ladicza, logarytmy, sius i kosius cd. 9. Fukcja wyk ladicza expx, liczba e. Wykazaliśmy wcześiej zob. pukt 4., że dla każdej liczby rzeczywistej x istieje skończoa + x i ozaczyliśmy te
Bardziej szczegółowoCIA GI I ICH GRANICE
CIA GI I ICH GRANICE Defiicja 5. cia gu) Cia giem azywamy dowola fukcje określoa a zbiorze z lożoym ze wszystkich tych liczb ca lkowitych, które sa wie ksze lub rówe pewej liczbie ca lkowitej 0. Wartość
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoGranica cia. Ostatnia aktualizacja 17 listopada 2013, godz. 1:47. gi liczbowe. Jeśli np. chcemy zdefiniować ty foremne wpisane w to ko lo o coraz wie
* By ly ie paradoksy zwia zae z problemem dzieleia w ieskończoość a cze ści, p. pukt ie ma d lugości, odciek sk lada sie z puktów i ma d lugość, poruszaja cy sie obiekt w ieskończeie krótkim czasie ie
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoAnaliza 1, cze ść pia ta
Aaliza, cze ść pia ta Jest tu troche przyk ladów, których a wyk ladzie ie by lo, ale które warte sa obejrzeia. Niektóre dowody sa przeprowadzoe w ieco iy sposób, ale studet ie jest zobowia zay do powtarzaia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoGranica cia. Ostatnia aktualizacja 22 października 2012, godz. 23:57
* By ly ie paradoksy zwia zae z problemem dzieleia w ieskończoość a cze ści, p pukt ie ma d lugości, odciek sk lada sie z puktów i ma d lugość, poruszaja cy sie obiekt w ieskończeie krótkim czasie ie przebywa
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoFunkcja wyk ladnicza, logarytmy, sinus i kosinus
Podstawowe ozaczeia Fukcja wyk ladicza, logarytmy, sius i kosius zbiór wszystkich liczb rzeczywistych zbiór wszystkich liczb aturalych, tj. liczb 0,,, 3,...; zbiór wszystkich liczb aturalych dodatich,
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombiatorycza teoria zbiorów 23 maja 2012 Wyk lad poświe coy jest w lasościom rodzi podzbiorów skończoego zbioru. Rozpoczya go poje cie systemu różych reprezetatów wraz ze s
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013
Aaliza Fukcjoala WPPT IIIr. semestr leti 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 NiechX ozaczaprzestrzeńbaacha,ax jejdual a(czyliprzestrzeńfukcjoa lów ograiczoych
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trgoometrcze. wkład z MATEMATYKI Automatka i Robotka sem. II, rok ak. 2009/200 Katedra Matematki Wdział Iformatki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja.. Niech(a
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowo(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Bardziej szczegółowogi i szeregi funkcyjne
ostatia aktualizacja: 15 czerwca 2012, 18:42 Podobie jak poprzedio wieszam tekst, ad którym powiieem jeszcze popracować, wie c prosze o iformacje o zauważoych b le dach. Przyk lad fukcji g lej igdzie ieróżiczkowalej
Bardziej szczegółowoZauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoZadania szkolne dla studentów chemii
Zadaia szkole dla studetów chemii Podstawowe ozaczeia R zbiór wszystkich liczb rzeczywistych N zbiór wszystkich liczb aturalych, tj. liczb 0,,,,... ; N dodatich, tj. liczb,,... Z zbiór wszystkich liczb
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne
Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoNowe treści w podstawie programowej, poziomie rozszerzonym czyli granice ciagów,
Nowe treści w podstawie programowej, poziomie rozszerzoym czyli graice ciagów, graice fukcji w różych zadaiach Pewie czas temu usuieto graice z programów szkolych po stosukowo długim okresie auczaia. Jest
Bardziej szczegółowo3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoMichał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW
Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 Struktury kombinatoryczne
KOMBINATORYKA 1 Struktury kombiatorycze 22 styczia 2018 1 Zbiory czȩściowo uporz adkowae dzie dowolym zbiorem (iekoieczie skończoym. Relacje biara a zbiorze azywamy cze ściowym porza dkiem, gdy jest oa
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.
Zachęcam do samodzielej prac z arkuszem diagostczm. Pozaj swoje moce i słabe stro, a astępie popracuj ad słabmi. Żczę przjemego rozwiązwaia zadań. Zadaie. ( pkt) Wartość wrażeia a ZADANIA ZAMKNIĘTE b dla
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowo1 Kilka klasycznych nierówności
NIERÓWNOŚĆ SHAPIRO Tomasz Kochaek Wyk lad dla m lodzieży licealej 8 grudia 2006 1 Kilka klasyczych ierówości Pomoce w aszych rozważaiach okaża sie takie klasycze ierówości jak: ierówość miedzy średia arytmetycza,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoWypadkowa zbieżnego układu sił
.4.. padkowa zbieżego układu sił rzestrze układ sił Siłami zbieżmi azwam sił, którch liie działaia przeciają się w jedm pukcie, azwam puktem zbieżości (rs..a). oieważ sił działające a ciało sztwe moża
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowoRozmieszczenie liczb pierwszych
Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoZadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup
Szkice rozwiązań zadań z serii dwuastej oraz części zadań z kartkówki. Zadaie 1. Niech (X, F ) będzie martygałem. Czy X jest domykaly, jeśli ciąg EX l X jest zbieży? X jest zbieży prawie a pewo? X jest
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowo