ANALIZA MATEMATYCZNA
Mrin Gewert Zigniew Skoczls ANALIZA MATEMATYCZNA Definicje, twierdzeni, wzor Wdnie osiemnste powiększone GiS Oficn Wdwnicz GiS Wrocłw 6
Mrin Gewert Wdził Mtemtki Politechnik Wrocłwsk mrin.gewert@ pwr.edu.pl Zigniew Skoczls Wdził Mtemtki Politechnik Wrocłwsk zigniew.skoczls@ pwr.edu.pl Projekt okłdki IMPRESJA Studio Grfiki Reklmowej Copright c 993 6 Oficn Wdwnicz GiS Utwór w cłości ni we frgmentch nie może ć powieln ni rozpowszechnin z pomocą urządzeń elektronicznch, mechnicznch, kopiującch, ngrwjącch i innch. Pondto utwór nie może ć umieszczn ni rozpowszechnin w postci cfrowej zrówno w Internecie, jk i w siecich loklnch, ez pisemnej zgod posidcz prw utorskich. Skłdwkonnowsstemie L A TEX. ISBN 978 83 678 36 5 Wdnie XVIII powiększone, Wrocłw 6 Oficn Wdwnicz GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprw: Oficn Wdwnicz ATUT 4
Spis treści Wstęp 7 Cłki niewłściwe 9. Cłkiniewłściwepierwszegorodzju... 9. Krterizieżnościcłekniewłściwchpierwszegorodzju....3 Zieżność ezwzględn cłek niewłściwch pierwszego rodzju... 4.4 Cłkiniewłściwedrugiegorodzju... 5.5 Krterizieżnościcłekniewłściwchdrugiegorodzju... 9 Szeregi liczowe i funkcjne. Definicjeipodstwowetwierdzeni.... Krterizieżnościszeregów... 5.3 Zieżnośćezwzględnszeregów... 9.4 Ilocznszeregów... 3.5 Ciągifunkcjne... 3.6 Szeregifunkcjne... 37.7 Szeregipotęgowe... 4.8 SzeregiFourier*... 48 3 Rchunek różniczkow funkcji dwóch i trzech zmiennch 5 3. Ziornpłszczźnieiwprzestrzeni... 5 3. Funkcjedwóchitrzechzmiennch... 56 3.3 Grniceiciągłośćfunkcji... 6 3.4 Pochodnecząstkowefunkcji... 65 3.5 Płszczznstczniróżniczkfunkcji... 7 3.6 Pochodnecząstkowefunkcjizłożonch... 73 3.7 Pochodnkierunkowfunkcji... 74 3.8 WzórTlor*.Ekstremfunkcji... 78 3.9 Metodnjmniejszchkwdrtów... 85 3.MetodmnożnikówLgrnge... 85 3.Funkcjeuwikłne... 88 5
4 Cłki podwójne 9 4. Cłkipodwójnepoprostokącie... 9 4. Cłkipodwójnepooszrchnormlnch... 95 4.3 Zminzmiennchwcłkchpodwójnch*... 4.4 Współrzędneiegunowewcłkchpodwójnch... 3 4.5 Zstosownicłekpodwójnchwgeometrii... 7 4.6 Zstosownicłekpodwójnchwfizce... 8 5 Cłki potrójne 3 5. Cłkipotrójnepoprostopdłościnie... 3 5. Cłkipotrójnepooszrchnormlnch... 6 5.3 Zminzmiennchwcłkchpotrójnch*... 5.4 Współrzędnewlcowewcłkchpotrójnch... 5.5 Współrzędnesfercznewcłkchpotrójnch... 5 5.6 Zstosownicłekpotrójnchwgeometriiifizce... 8 Litertur 3 Odpowiedzi i wskzówki 3 Skorowidz 53 6
Wstęp Niniejsz książk jest pierwszą częścią zestwu podręczników do Anliz mtemtcznej. Pozostłmi częścimi są ziór zdń pt. Anliz mtemtczn. Przkłd i zdni orz oprcownie pt. Anliz mtemtczn. Kolokwi i egzmin. Podręczniki te są przeznczone głównie dl studentów politechnik. Mogą z nich korzstć tkże studenci uczelni ekonomicznch, pedgogicznch i rolniczch orz niektórch wdziłów uniwerstetów. Mterił zwrt w książce oejmuje cłki niewłściwe, szeregi liczowe, ciągi i szeregi funkcjne, rchunek różniczkow i cłkow funkcji wielu zmiennch wrz z zstosownimi. Wszstkie zgdnieni teoretczne zkończone są ćwiczenimi, prz czm początkowe z nich są z reguł njprostsze. Odpowiedzi do ćwiczeń umieszczone są n końcu podręcznik. Frgment mteriłu oznczone gwizdką niezncznie wkrczją poz stndrdow progrm przedmiotu. W ten sm sposó oznczono trudniejsze ćwiczeni. Uzupełnijąc mterił orz trudniejsze ćwiczeni dołączono z mślą o studentch, którz chcą pogłęić swoje widomości z nliz mtemtcznej. Przkłd ze wzorcowmi rozwiąznimi ilustrujące mterił teoretczn z tego podręcznik umieszczono w drugiej części zestwu pt. Anliz mtemtczn. Przkłd i zdni. Tm też możn znleźć dużą liczę zdń do smodzielnej nuki. Ćwiczeni z tej książki orz zdni z drugiej części zestwu są podonch tpów i mją ten sm stopień trudności jk zdni, które zwkle pojwiją się n kolokwich i egzminch. Zdni, które w poprzednich ltch studenci rozwiązwli n sprwdzinch, są umieszczone w trzeciej części zestwu. Do oecnego wdni zioru dodno now prgrf Metod mnożników Lgrnge. Pondto dokonno zmin redkcjnch, wmieniono kilknście rsunków, dodno kilk nowch ćwiczeń orz poprwiono zuwżone łęd i usterki. Serdecznie dziękujem Koleżnkom i Kolegom z Wdziłu Mtemtki Politechniki Wrocłwskiej z uwgi o wcześniejszch wdnich książki. Dziękujem również nszm Studentom z wskznie łędów w odpowiedzich do ćwiczeń. Uprzejmie prosim Cztelników o przesłnie uwg o podręczniku orz informcji o dostrzeżonch łędch i usterkch. Mrin Gewert Zigniew Skoczls 7
Cłkiniewłściwe W tm rozdzile przjmujem, że funkcje są cłkowlne n dowolnm przedzile domkniętm zwrtm w ich dziedzinie.. Cłki niewłściwe pierwszego rodzju Definicj...(cłk n półprostej) Niechfunkcjf ędzieokreślonnprzedzile[, ).Cłkęfunkcjif n[, ) określm wzorem: f()= lim T T f(). Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest włściw, to mówim, że cłk jestzieżn.jeżeligrnicjestrówn lu,tomówim,żecłkjestrozieżn odpowiednio do lu. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozieżn. T f() =f() f() =f() T Rs.... Ilustrcj cłki n półprostej[, ) Anlogicznie określ się cłkę n przedzile(, ]: f()= lim S S f(). 9
Cłki niewłściwe =f() S f() =f() f() S Rs.... Ilustrcj cłki n półprostej(, ] Uwg.Jeżelifunkcjfjestnieujemnnprzedzile[, ),tocłktejfunkcjin tm przedzile jest zieżn lo rozieżn do. Podonie dl cłki n przedzile (,]. Ćwiczenie... Korzstjąc z definicji zdć zieżność cłek(dl cłek zieżnch oliczć ich wrtości): () (e) 9 ; () 3 + ; (f) 4 ; Definicj..3.(cłk n prostej) (c) e ; (g*) + ; (d) π sin; cos ; (h*) + 4. Niech funkcj f ędzie określon n przedzile(, ). Cłkę funkcji f n prostej (, ) definiujem wzorem: f()= f()+ f(), gdzie ozncz dowolną liczę rzeczwistą. Zieżność cłki po lewej stronie znku równości ustlm w zleżności od zieżności cłek po prwej stronie tej równości. Jeżelioiecłkipoprwejsązieżne,tomówim,żecłkpolewejjestzieżn. Jeżelijednzcłekpoprwejjestrozieżndolu,drugjestzieżnlo rozieżnodpowiedniodolu,tomówim,żecłkpolewejjestrozieżndo lu. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk po lewej jest rozieżn. f() =f() f() Rs...3. Ilustrcj cłki n prostej
Cłki niewłściwe pierwszego rodzju Uwg.Jeżelicłknprzedzile(, )jestzieżndlpewnego R,tojest zieżndldowolnego Rijejwrtośćniezleżod.Cłkipoprzedziłch nieogrniczonch(, ],[, ),(, ) nzwm cłkmi niewłściwmi pierwszego rodzju. Cłki niewłściwe pierwszego rodzju są liniowe. N koniec zuwżm, że jeżeli funkcj f jest nieujemn n przedzile(, ), to cłk niewłściw funkcji fnprostejjestzieżnlorozieżndo. Ćwiczenie..4. Korzstjąc z definicji zdć zieżność cłek niewłściwch(dl cłek zieżnch oliczć ich wrtości): () (e) +4 ; () e ; (f) + ; (c) e sin; (g) FAKT..5.(ozieżnościcłekpostci Cłk niewłściw <p. p ) e ; (d) + ; (h) +4+9 ; ( 3 ). ( > )jestzieżndlp > irozieżndo dl p Uwg. Anlogiczn fkt jest prwdziw tkże dl cłek niewłściwch o ile funkcj podcłkow jest poprwnie określon. = p p(<), p <p< p= p> Rs...4.Wkresfunkcji= pdlróżnchwrtościprmetrup> Ćwiczenie..6. Korzstjąc z powższego fktu zdć zieżność cłek niewłściwch: () 3; () 3 ; (c) ; + 8
Cłki niewłściwe (d) ( 3 +5 ) 4 ; (e) ; (f). ( ) 3 + 5 Ćwiczenie..7. Zdć zieżność cłki niewłściwej prmetrup>. p ( R)wzleżnościod Ćwiczenie*..8. Funkcję gmm, któr jest uogólnieniem silni, określm wzorem Γ(p)= p e, gdziep>. OliczćΓ()instępniepokzć,żeΓ(p+)=pΓ(p)dlp>orzΓ(n)=(n )! dln N. Definicj..9.(wrtość główn cłki niewłściwej pierwszego rodzju) Wrtość główną cłki niewłściwej pierwszego rodzju funkcji f n(, ) definiujem wzorem v.p. f()= lim T T T f(). Jeżeli grnic po prwej stronie równości nie istnieje, to mówim, że cłk niewłściw nie m wrtości głównej. Uwg. Jeżeli cłk niewłściw n(, ) jest zieżn do w, to wrtość główn cłkitkżesięrównw.zdrugiejstroncłkmożećrozieżn,lemwrtość główną. Ćwiczenie... Wznczć wrtości główne cłek niewłściwch pierwszego rodzju: () + ; () sin e +e ; (c) 3 ; (d). Krterizieżności cłek niewłściwch pierwszego rodzju e. TWIERDZENIE...(krterium porównwcze zieżności/rozieżności cłek) Niechfunkcjefigspełnijądlkżdego [, )nierówności f() g(). Wówczs: () jeżeli cłk g()jestzieżn,tocłk f()tkżejestzieżn;
Krteri zieżności cłek niewłściwch pierwszego rodzju 3 () jeżeli cłk f()jestrozieżndo,tocłk g() tkże jest rozieżn do. =g() =f() Rs.... Ilustrcj krterium porównwczego zieżności cłek niewłściwch Uwg. Twierdzenie pozostnie prwdziwe, gd nierówności w złożeniu są spełnione dlkżdego [, ),gdzie >.Anlogicznetwierdzeniezchodzidlfunkcji niedodtnich f i g. Pondto prwdziwe są podone twierdzeni dl cłek niewłściwch n półprostej(, ]. Ćwiczenie... Korzstjąc z krterium porównwczego zdć zieżność cłek niewłściwch: () 3 4 + ; () e + ; (c) + ; (d) (g*) rctg ; (e) + e ; π (h*) (+sin) ; (f) 4 π 4 + ; (i*) π (+sin) ; cos 3. TWIERDZENIE..3.(krterium ilorzowe zieżności/rozieżności cłek) Niechfunkcjefigędądodtnie(ujemne)npółprostej[, )orzniechspełniją wrunek f() lim g() =k,gdzie<k<. Wówczs cłki f(), g() są jednocześnie zieżne lo rozieżne do (). Uwg. Prwdziwe są tkże nlogiczne twierdzeni dl cłek niewłściwch n półprostej(, ].
4 Cłki niewłściwe Ćwiczenie..4. Korzstjąc z krterium ilorzowego zdć zieżność cłek niewłściwch: () 4 ; () 3 6 ; (c) e (e ) ; (d) (g*) π 3 +sin ; (e) (+) + ; (h*) 3 e ; π (f) ln(+3 ) ln(+ ; (i*) ).3 Zieżnośćezwzględn cłek niewłściwch pierwszego rodzju e cos ; e 3 e +. Definicj.3..(zieżność ezwzględn cłek niewłściwch pierwszego rodzju) Mówim, że cłk niewłściw pierwszego rodzju funkcji f jest zieżn ezwzględnie, gd cłk niewłściw funkcji f jest zieżn. Ćwiczenie.3.. Zdć zieżność ezwzględną cłek niewłściwch: () sin + ; () e cos; (c) π sin 3 ; (d*) TWIERDZENIE.3.3.(o zieżności cłek zieżnch ezwzględnie) ( ). Jeżeli cłk niewłściw jest zieżn ezwzględnie, to jest zieżn. Pondto f() f(). =f() = f() + + + + + + Rs..3.. Ilustrcj twierdzeni o zieżności cłek niewłściwch zieżnch ezwzględnie
Cłki niewłściwe drugiego rodzju 5 Uwg. Powższe twierdzenie jest prwdziwe tkże dl pozostłch rodzjów cłek niewłściwch pierwszego rodzju. Twierdzenie odwrotne nie jest prwdziwe. Np. cłkniewłściwfunkcjif()=(sin)/nprzedzile[π, )jestzieżn,lenie jest zieżn ezwzględnie. Ćwiczenie.3.4. Zdć zieżność i zieżność ezwzględną cłek niewłściwch: () (d) (g*) sin; () sin 5 +3 cos ; (e) ( ) ; (h*) cos e + ; (c) e sin +cos ; (f) e sin 5 ; (i*).4 Cłki niewłściwe drugiego rodzju Definicj.4..(cłk z funkcji nieogrniczonej) sin ( +4) ; (sin+cos) ( +9) ; sin. Niech funkcj f określon n przedzile(, ] ędzie nieogrniczon tlko n prwostronnm sąsiedztwie punktu. Cłkę funkcji f n przedzile(, ] definiujem wzorem: f()= lim f(). A + A Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest włściw, to mówim, że cłk jestzieżn.jeżeligrnicjestrówn lu,tomówim,żecłkjestrozieżn odpowiednio do lu. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozieżn. =f() =f() A f() f() A Rs..4.. Ilustrcj cłki z funkcji nieogrniczonej n(, ]
6 Cłki niewłściwe Anlogicznie definiuje się cłkę funkcji f określonej n przedzile[, ) i nieogrniczonej tlko n lewostronnm sąsiedztwie punktu : =f() f()= lim B B f(). =f() B f() f() B Rs..4.. Ilustrcj cłki z funkcji nieogrniczonej n[, ) Uwg.Jeżelifunkcjfjestnieujemnnprzedzile(,]lo[,),tocłk f() jest zieżn lo rozieżn do. Jeżeli funkcj f jest ogrniczon n przedzile(, ], to cłk f() wznczon według powższej definicji jest zieżn i jej wrtość pokrw się ze zwkłą cłką oznczoną oliczoną z definicji(wrtość f() przjmujem dowolnie). Np. cłk n przedzile[, ). sin jestzieżn.podoniejestdlfunkcjiokreślonej Ćwiczenie.4.. Korzstjąc z definicji zdć zieżność cłek(dl cłek zieżnch oliczć ich wrtości): 4 e () ; () ( ) ; (c) ln; (d) 3 ; (e) 3 π ; (f) π 4 tg; FAKT.4.3.(o zieżności cłek postci Cłk (g) p ) e ln ; (h) ( ). p(>)jestzieżndl<p<irozieżndo dlp.
Cłki niewłściwe drugiego rodzju 7 p = p <p< p= p> Rs..4.3.Wkresfunkcji= pdlróżnchwrtościprmetrup> Uwg. Anlogiczn fkt jest prwdziw tkże dl cłek funkcj podcłkow jest poprwnie określon. p(<),oile Ćwiczenie.4.4. Korzstjąc z powższego fktu zdć zieżność cłek: () 4; () 3 5 +3 ; (c) 3 4 ; (d) (3 ) 4 Definicj.4.5.(cłki z funkcji nieogrniczonch, ciąg dlsz) 3 3 (4 ) 3. Niechfunkcjfokreślonnziorze[,c) (c,]ędzienieogrniczontlkonou jednostronnch sąsiedztwch punktu c. Cłkę funkcji f n[, c) (c, ] definiujem wzorem: c f()= f()+ f(). Jeżeli oie cłki po prwej stronie znku równości są zieżne, to mówim, że cłk jest zieżn.jeżelijednztchcłekjestrozieżndolu,drugjestzieżn lorozieżnodpowiedniodolu,tomówim,żecłkjestrozieżndo lu. W pozostłch przpdkch mówim, że cłk jest rozieżn. =f() c c f() c f() c Rs..4.4. Ilustrcj definicji cłki z funkcji nieogrniczonej n[, c) (c, ]
8 Cłki niewłściwe Uwg. Podonie określ się cłki funkcji nieogrniczonch tlko n sąsiedztwch oustronnchlujednostronnchpunktówc,c,...,c n [,]. =f() d f() d f() d Rs..4.5. Ilustrcj cłki funkcji nieogrniczonej n(, ) N przkłd dl funkcji f określonej n przedzile(, ) i nieogrniczonej tlko n prwostronnm sąsiedztwie punktu i n lewostronnm sąsiedztwie punktu przjmujem: d f()= f()+ f(), gdzie d jest dowolnm punktem przedziłu(, ). Jeżeli cłk jest zieżn dl pewnegod,tojestzieżndldowolnegod (,)ijejwrtośćniezleżodd.cłki zdefiniowne w tm prgrfie nzwm cłkmi niewłściwmi drugiego rodzju. Ćwiczenie.4.6. Korzstjąc z definicji zdć zieżność cłek niewłściwch(dl cłek zieżnch oliczć ich wrtości): () (e) ; () 8 8 rccos ; (f) 3 ; (c) 4 ; (g) 4 π d ( ) ; (d) cos ; Definicj.4.7.(wrtość główn cłki niewłściwej drugiego rodzju) (h*) π π sin ;. Wrtość główną cłki niewłściwej drugiego rodzju z funkcji f określonej n[, ]\{c} i nieogrniczonej jednie n oustronnm sąsiedztwie punktu c definiujem wzorem: c ε v.p. f()= lim f()+ f(). ε + Jeżeli grnic po prwej stronie równości nie istnieje, to mówim, że cłk niewłściw nie m wrtości głównej. c+ε
Krteri zieżności cłek niewłściwch drugiego rodzju 9 Uwg.Jeżelicłkniewłściwzfunkcjifokreślonejn[,]\{c}jestzieżndo w,towrtośćgłówncłkitkżesięrównw. Ćwiczenie.4.8. Wznczć wrtości główn cłek niewłściwch drugiego rodzju: () ; () 4 ; (c) π π sin 4 ; (d)..5 Krterizieżności cłek niewłściwch drugiego rodzju TWIERDZENIE.5..(krterium porównwcze zieżności/rozieżności cłek) Niechfunkcjefigędąokreślonenprzedzile(,]inieogrniczonetlkonprwostronnm sąsiedztwie punktu orz niech dl kżdego (, ] spełniją nierówności f() g().wówczs: () jeżeli cłk () jeżeli cłk do. g()jestzieżn,totkżecłk f()jestrozieżndo,totkżecłk f()jestzieżn; g() jest rozieżn f() g() =g() =f() Rs..5.. Ilustrcj krterium porównwczego zieżności cłek niewłściwch drugiego rodzju Uwg. Twierdzenie powższe pozostnie prwdziwe, gd nierówności w złożeniu są spełnionedlkżdego (, ](< <).Prwdziwejesttkżenlogiczne twierdzenie dl funkcji określonch n przedzile[, ) i nieogrniczonch tlko n lewostronnm sąsiedztwie punktu. Wszstkie wrint tego twierdzeni możn stosowć tkże dl funkcji niedodtnich.
Cłki niewłściwe () e ; () (+) sin ; (c) π sin 3 ; (d*) π TWIERDZENIE.5.3.(krterium ilorzowe zieżności/rozieżności cłek) sin 3. Ćwiczenie.5.. Korzstjąc z krterium porównwczego zdć zieżność cłek niewłściwch: Niechfunkcjefigędąokreślonenprzedzile(,]inieogrniczonetlkonprwostronnm sąsiedztwie punktu. Pondto niech spełniją wrunek Wówczs cłki f() lim + g() =k,gdzie<k<. f(), g() są jednocześnie zieżne lo rozieżne do (). Uwg. Prwdziwe są tkże nlogiczne twierdzeni dl cłek niewłściwch n przedzile[, ). Ćwiczenie.5.4. Korzstjąc z krterium ilorzowego zdć zieżność cłek niewłściwch: () (e) π 3 sin 8 ; () 3 3 8 ; (f) + 3 ; (c) 4 ln(+) ; (g) (e ) ; (d) π ; (h*) 3 sin ; 5. Ćwiczenie*.5.5. Przjmując odpowiednie definicje zdć zieżność cłek niewłściwch, które są jednocześnie pierwszego i drugiego rodzju: () (e) ln + ; () ln +; (c) e ; (d) e ; (f*) (+ ) ; (g*) ; (h*) Ćwiczenie.5.6. (przkłd z geometrii i fizki) ln ; 3. () Oliczć ojętość i pole powierzchni ocznej rł powstłej z orotu wokół osi
Krteri zieżności cłek niewłściwch drugiego rodzju Ooszruogrniczonegoprostmi=,,=iwkresemfunkcji=/. ()OliczćprcęW,jkąnleżwkonć,ciłoomsiem=kgprzenieść z powierzchni Ziemi do nieskończoności. Zniedć opór powietrz. Przjąć promień ZiemiR=638kmorzprzspieszenienpoziomiemorzg =9,8m/s. (c)oliczćwspółrzędne( C, C )środkmsjednorodnegooszruogrniczonego prostmi=,=,=iwkresemfunkcji=/ 3. (d) Oliczć siłę, z jką jednorodnie nłdown półprost przciąg łdunek Q = 4 Cpołożonnprzedłużeniupółprostej,wodległościd=modjejkońc.Gęstość liniowłdunkujestrównλ =C/mpręt. (e*)oliczćsiłę,zjkąjednorodnnieskończonprostoliniowprętogęstościλ przciąg msę m umieszczoną w odległości r od niego.