WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Transkrypt

1 Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi 7. Podziły zioru (liczy Stirling). Podziły liczy. Funkcje tworzące 0. Zsd włączni-wyłączni TEORIA GRAFÓW:. Elementrne pojęci. Mcierzowy opis grfu. Klsy grfów. Drogi i cykle w grfie. Drogi i cykle Euler. Drogi i cykle Hmilton 7. Spójność grfu. Drzew i lsy. Przepływy w siecich 0. Pokryci i skojrzeni. Kolorownie grfów Litertur: Liur, Sikorski Wykłdy z mtemtyki dyskretnej. Cz.I: Komintoryk; Cz.II: Teori grfów Wydwnictwo WSISiZ (00) W.Lipski Komintoryk dl progrmistów WNT () Ross, Wright Mtemtyk dyskretn PWN () R.Wilson Wprowdzenie do teorii grfów PWN () N.Deo Teori grfów i jej zstosowni w PWN (0) V.Brynt Aspekty komintoryki WNT (7) R.Grhm, D.Knuth, O.Ptshnik Mtemtyk konkretn PWN () NOTACJA I POJĘCIA PODSTAWOWE Funktory zdniotwórcze: - lu (lterntyw, sum logiczn) - i (koniunkcj, iloczyn logiczny) - nie (negcj) - jeśli, to (implikcj) - wtedy i tylko wtedy, kiedy (równowżność) Kwntyfiktory: - istnieje (kwntyfiktor szczegółowy, egzystencjlny) - dl kżdego (kwntyfiktor ogólny) Ziory: - ziór licz rzeczywistych, - zespolonych, = { 0,,, } - ziór licz nturlnych, = {, -, -, 0,,, } - ziór licz cłkowitych, = { 0, } - ziór inrny, - ziór pusty, {,, n } - ziór skłdjący się z n elementów,, n { } - ziór jednoelementowy zwierjący tylko, { x X : W(x) } - ziór tych elementów zioru X, dl których funkcj zdniow W(x) m wrtość prwd, - sum ziorów, - iloczyn ziorów, \ - różnic ziorów, - różnic symetryczn ziorów: A B = (A B) (B A) MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Stron /

2 C = A B C = A B A B A B C = A \ B C = A B A B A B - zwiernie się ziorów: A B (A jest zwrty w B) - włściwe zwiernie się: A B (A jest podziorem włściwym zioru B); A: A A, le A A (A) - ziór wszystkich podziorów zioru A; A: A A: (A) orz A: A (A) A - liczność (moc) zioru A, np. {,, } = (, ) - pr uporządkown: - poprzednik, - nstępnik A B - iloczyn krtezjński ziorów A i B: A B = { (, ) : A B } (,, n ) - n-tk uporządkown (wektor n-elementowy) A A n - iloczyn krtezjński ziorów A,, A n A A n = { (,, n ) : A n A n } Funkcje:, jesli zdnie Q jest prwdziwe Q = - wrtość logiczn, 0, jesli zdnie Q jest flszywe x = mx { y Z : y x} - podłog ; x = min { y Z : y x} - sufit x mod y = x y x y - modulo, czyli reszt z dzieleni x przez y Relcj inrn: R A B (relcj dwuczłonow w iloczynie krtezjńskim ziorów A i B) Relcj inrn n ziorze A: R A A to, że elementy i są ze soą w relcji, zpisujemy: (, ) R lu R Dziedzin relcji R A B : { A : ( B : (, ) R) } - ziór poprzedników pr nleżących do R Przeciwdziedzin relcji R A B : { B : ( A : (, ) R) } - ziór nstępników pr nleżących do R Przykłd relcji A = {,,,, }, B = { {, }, {, } } R - relcj przynleżności do zioru: R = { (, {, }), (, {, }), (, {, }), (, {, }) } MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Stron /

3 {, } grf relcji: tlic relcji: dziedzin relcji R : {,, } przeciwdziedzin relcji R : { {, }, {, } } {, } {, } {, } Przykłd relcji A = {, }, B = R - relcj podzielności : R mod =0 dziedzin relcji R : {, } przeciwdziedzin relcji R : z. licz nt. podzielnych przez lu Relcj (inrn) n ziorze X jest: zwrotn, jeśli x X : xrx przechodni, jeśli x, y, z X : ( xry yrz ) xrz symetryczn, jeśli x, y X : xry yrx ntysymetryczn, jeśli x, y X : ( xry yrx ) x = y Relcję zwrotną, przechodnią i symetryczną nzywmy relcją równowżności typowe oznczenie:, np. Przykłd relcji równowżności w ziorze licz rzeczywistych dl x, y relcj x y zchodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x y (różnic jest liczą cłkowitą) Relcję zwrotną, przechodnią i ntysymetryczną nzywmy relcją porządkującą ziór X typowe oznczenie:, np. Jeśli relcj porządkując ziór X spełni dodtkowo wrunek x, y X x y y x, to nzywn jest relcją liniowo porządkującą ziór X Przykłdy relcji porządkujących. Relcj mniejsze lu równe ( ) w ziorze (porządkuje liniowo). Relcj podzielności w ziorze : R jest podzielnikiem. Relcj zwierni ( ) w ziorze (X) Uwg: relcj porządkując nzywn jest czsmi relcją częściowo porządkującą MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Stron /

4 Prę ( X, ), gdzie jest relcją (liniowo) porządkującą ziór X, nzywmy ziorem (liniowo) uporządkownym Pierwsze pytni komintoryczne : Ile jest relcji inrnych w iloczynie krtezjńskim X Y, jeśli X = n i Y = m? Ile jest relcji inrnych n ziorze X = n? Ile jest zwrotnych relcji inrnych n ziorze X = n? Ile jest symetrycznych relcji inrnych n ziorze X = n? Funkcj f : X Y : relcj R X Y o tej włsności, że dl kżdego x X istnieje dokłdnie jedn pr postci ( x, y = f (x) ) R Fun(X, Y) ziór wszystkich funkcji z X w Y Dl dowolnych ziorów A X i B Y definiujemy: f (A) = { y Y : x A : y = f (x) } (orz zioru A) f - (B) = { x X : f (x) B } (przeciworz zioru B) o funkcji f : X Y mówimy, że jest n jeśli f ( X ) = Y Sur(X, Y) ziór wszystkich funkcji z X n Y (surjekcji) funkcj jest różnowrtościow (wzjemnie jednoznczn), jeśli, X f () f () Inj(X, Y) ziór wszystkich funkcji różnowrt. z X w Y (injekcji) Bij(X, Y) ziór wszystkich ijekcji z X w Y : Bij(X, Y) = Sur(X, Y) Inj(X, Y) FUNKCJE A ROZMIESZCZENIA N ile sposoów możn rozmieścić pewną liczę oiektów w określonej liczie pudełek tk, y spełnione yły zdne dodtkowe ogrniczeni? Opis formlny: Dne są dw ziory X i Y o licznościch X = n i Y = m. Ile jest funkcji f : X Y spełnijących zdne ogrniczeni? Interpretcje:. X - ziór oiektów, Y - ziór pudełek, funkcj f : X Y określ pewne rozmieszczenie oiektów w pudełkch przez wskznie dl kżdego oiektu x X pudełk f (x) Y, w którym oiekt jest umieszczony X Y f : n = f () = f () = f () = f ( n) m = f () = f (). X - ziór oiektów, Y - ziór kolorów, funkcj f : X Y określ sposó pokolorowni oiektów przez podnie dl kżdego oiektu x X koloru f (x) Y Elementy w skończonych ziorch X i Y możn ponumerowć i przyjąć, że X = {,,, n } i Y = {,,, m } W njprostszej sytucji nie nkłdmy żdnych ogrniczeń rozmieszczenie oiektów w pudełkch może yć opisne funkcją ze zioru Fun(X, Y): Ile jest funkcji f : X Y? MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Stron /

5 Jeśli X = n i Y = m, to licz wszystkich funkcji f : X Y jest równ m n = Fun(X, Y) m n Jeśli nie nkłdmy żdnych ogrniczeń, to w jednym pudełku może znleźć się jeden lu więcej oiektów, le tkże niektóre pudełk mogą pozostć puste. Zrońmy tego pierwszego nie więcej niż jeden oiekt w pudełku! Ile jest funkcji różnowrtościowych f : X Y? Jeśli X = n, Y = m i n m to licz wszystkich funkcji różnowrtościowych f : X Y jest równ m ( m ) ( m n + ) = m n = Inj(X, Y) Przyjmując formlne oznczenie (potęgi uywjącej): m n = m ( m ) ( m n + ) dookreślmy jego wrtość m 0 = Jeśli m = n, to kżd funkcj różnowrtościow f : X Y jest wzjemnie jednozncznym odwzorowniem zioru X n ziór Y. m = n Inj(X, Y) = Sur(X, Y) = Bij(X, Y) Przyjmujemy oznczenie: n! = n n = n ( n ) Definicj Kżde wzjemnie jednoznczne odwzorownie f : X X (ijekcję) nzywmy permutcją zioru X. m n MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Stron /

6 Licz permutcji zioru n-elementowego jest równ n! Bij(X, X) = n!, dl X = n ROZMIESZCZENIA UPORZĄDKOWANE Rozmieszczmy n oiektów w m pudełkch i dodtkowo rozróżnimy uporządkownie oiektów, które trfiły do tego smego pudełk. Dw rozmieszczeni są identyczne, jeśli w kżdym pudełku jest tk sm licz i kolejność oiektów. Rozwżmy rozmieszczenie uporządkowne n oiektów w m pudełkch. Oznczmy liczę wszystkich możliwych tkich rozmieszczeń przez: m n (potęg przyrstjąc) Licz rozmieszczeń uporządkownych n oiektów w m pudełkch jest równ m n = m ( m + ) ( m + n ) m n Przykłd rozmieszczeni uporządkownego X = {, }, X =, Y = Prwdziwe są nstępujące tożsmości: m n = m n - ( m n + ) m n = m (m ) n - m n m! = ( m n )! m n = m n ( m + n ) m n = m (m + ) m n = (m + n ) n = = n MATEMATYKA DYSKRETNA () J.Sikorski Stron /