Wykład 8 Pawo Hooke a Pod działaiem apężeń ciało tałe zmieia wó kztałt. Z doświadczeń wyika, że eżeli wielkość apężeia et mieza od pewe watości, zwae gaicą pężytości, to odkztałceie et odwacale i po uuięciu apężeia ciało powaca do wego piewotego kztałtu. Zaobewowao dale, że dla małych apężeń wielkości odkztałceia ą wpot popocoale do wielkości pzyłożoego apężeia. Jeżeli mamy a pzykład pęt ozciągay pzez obciążeie tak, że apężeie ozciągaące wyoi t, to odkztałceie podłuże l / l, gdzie l ozacza pzyot długości pęta, a l - długość piewotą, wyoi t, (8.) gdzie et tałą i tą tałą azywamy wpółczyikiem pężytości lub kótko pężytością. Doświadczale udowodioe pawo (8.) oi azwę pawa Hooke a. Podkeślimy, że pawo Hooke a et łuze tylko w pzypadku małych apężeń. Wzó (8.) możemy zapiać w iy poób t c, (8.) gdzie c azywamy wpółczyikiem ztywości lub ztywością. Z podtaw fizyki tałą c et zaa pod azwą modułu Youga lub modułu pężytości. Uogólioe pawo Hooke a twiedza, że pzyłożoe do kyztału edoode apężeie t, wywołue edoode odkztałceie takie, że każda kładowa teoa odkztałceń związaa et ze wzytkimi kładowymi teoa apężeń t, czyli k, l t t. (8.) Wpółczyiki azywamy wpółczyikami pężytości kyztału. Związki (8.) możemy ozważać ako układ ówań a kładowe teoa t. Rozwiązaia tego układu ówań możemy zapiać w potaci 75
t c k, l c. (8.4) Wpółczyiki c ą liiowymi fukcami wpółczyików i ozą azwę wpółczyików ztywości. Teo apężeń et teoem dugiego zędu dla któego t t, (8.5) i a więc pawo Hooke a (8.) możemy zapiać w potaci ( lk ) t. (8.6) Ze wzou (8.6) wyika, że kładowe oaz lk ( l k) zawze wytępuą azem, a zatem w zaadzie ie będziemy mogli pzepowadzić takiego ekpeymetu, któy dałby możliwość zmiezyć oddziele kładowe i lk ( l k). Tak więc, możemy pzyąć, że obie te kładowe ą obie ówe, czyli lk. (8.7) Dla kładowych teoa odkztałceń mamy ówież Kozytaąc ze wzou (8.8) i pawa Hooke a (8.) możemy zapiać kąd ówież wyika, że i. (8.8) ( ) t 0, i i i. (8.9) Teo czwatego zędu ma 8 kładowych. Jedak ze względu a związki (8.7) i (8.9) pozotaie tylko 6 iezależych kładowych teoa zamiat 8. Łatwo udowodić, że teo c ma ówież tylko 6 iezależych kładowych. Symetia dwóch piewzych i dwóch otatich wkaźików pzy i c twaza możliwość zatoowaia zapiu maciezowego kładowych tych teoów. W tym celu, w 76
kładowych i c piewze dwa wkaźiki () zatępuemy edym pzymuącym watości od do 6 i tak amo potępuemy z dwoma otatimi wkaźikami. Stouemy pzy tym atępuący chemat: Zapi wkaźików ( ) oaz ( ) teoowy Zapi maciezowy ( m ) oaz ( ) dla wkaźików ( ) oaz ( ),,, 4 5 6 (8.0) edocześie wpowadzamy czyik albo 4 w poób atępuący: m, gdy m i maą watości, lub, m gdy albo m, albo ą ówe 4,5 lub 6, 4 m, gdy zaówo m, ak i ą ówe 4,5 lub 6, Kozytaąc z eguły (8.0) dla zapiu kładowych teoów t oaz, wzoy (8.) i (8.4) możemy zapiać atępuąco: m t, (8.) m t m c, (8.) m Pzy pomocy zapiu maciezowego łatwo możemy wypiać wpółczyiki pężytości m i ztywości c m w potaci tabelki ( 6 6). Wato pamiętać, że wpółczyiki m i c m, chaakteyzuące ię dwoma wkaźikami ie tafomuą ię tak ak kładowe teoa dugiego zędu. Dla chaakteytyki właściwości pężytych kyztałów częto touę ię wielkości: moduł Youga ( E ) oaz wpółczyik Poioa ( σ ). Moduł Youga chaakteyzue właściwości pężyte ciała wzdłuż kieuku działaia apężeia. Rozważmy kyztał wycięty w kztałcie ciekiego pęta (ici) i obciążoy wzdłuż oi pęta. Moduł Youga defiiuemy ako touek apężeia działaącego wzdłuż oi pęta do odkztałceia pęta wzdłuż te zx 77
/ ame oi. Wybiezmy oś Oz wzdłuż oi pęta. Wtedy zgodie z (8.) moduł Youga okeśla wzó E t / α iα α k α l, (8.) gdzie α i, α, αk, α / l - coiuy kieukowe oi Oz w daym układzie kytałofizyczym; kładowe teoa pężytości w tym układzie. Rozważmy teaz kyztał wycięty w kztałcie potopadłościau i ściśięty wzdłuż ede ze ścia (wybiezemy kieuek działaia apężeia, czyli kieuek potopadły do te ściay za oś Ox ). Wpółczyik Poioa σ zx defiiumy ako touek odkztałceia wzdłuż oi Oz potopadłe do oi Ox do odkztałceia wzdłuż oi Ox. Zgodie ze wzoem (8.) σ zx. (8.4) Ściśliwością obętościową kyztału azywamy względe zmiezeie obętości kyztału podcza działaia edotkowego ciśieia hydotatyczego. Teo apężeia odpowiadaący ciśieiu hydotatyczemu ma potać t pδ. Więc odkztałceia powodowae ciśieiem hydotatyczym wyozą p δ p. (8.5) kk Poieważ ozzezalość δ V / V okeśla wzó V V ii p iikk. Stąd dla ściśliwości obętościowe otzymuemy V δ ( p ) iikk. (8.6) V Ściśliwością liiową azywamy względe zmiezeie długości kyztału w kztałcie ciekiego pęta, gdy kyztał poddaemy edotkowemu ciśieiu hydotatyczemu. Pod 78
działaiem ciśieia hydotatyczego p zmiezeie długości pęta w kieuku edotkowego wektoa wyoi p. (8.7) i kk i Tu uwzględiliśmy wzó (8.5). Dla edotkowego ciśieia p ze wzou (8.7) mamy atępuący wzó a ściśliwość liiową β β. (8.8) kk i Moża wykazać, że paca potzeba do wywołaia odkztałceia edotki obętości kyztału, któą azywamy eegią odkztałceia, wyoi Wp ci, ( i,,,6). (8.9) Pzykład 8.. Wykażemy, że maciez wpółczyików pężytości kyztałów układu egulaego ma potać 0 0 0 0 0 0 0 0 0. (8.0) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 We wzytkich aach układu egulaego wytępuą cztey tzykote oi obotowe, któe maą kieuek typu []. Pzy obocie o kąt π / wokół każde z oi -kote atępue kolea zamiaa kieuków oi Ox, Ox, Ox : oś wzdłuż kieuku [] x x x x,, x x, (8.a) oś wzdłuż kieuku [ ] 79
x x x x,, x x, (8.b) oś wzdłuż kieuku [] x x x x,, x x, (8.c) x oś wzdłuż kieuku [] x x x,, x x, (8.d) Kozytaąc ze wzou (8.a) otzymuemy, że kładowe pzekztałcaą ię pzy obocie układu o kąt π / w atępuący poób 4 4 4 5 5 5 55 5 5 5 55 6 6 6 56 66 6 6 6 46 56 66 4 4 4 54 46. (8.) Z pzekztałceń (8.) wyika, że maciez wpółczyików pężytości mui mieć potać 4 6 5 5 4 6 6 5 4. (8.) Kozytaąc ze wzou (8.b) otzymuemy, że kładowe pzekztałcaą ię pzy obocie układu o kąt π / dookoła dugie -kote oi w atępuący poób 80
4 4 4 6 6 6 66 5 5 5 55 4 4 4 46 6 6 6 56 46 66 5 5 5 56 55. (8.4) Ze wzou (8.4) wyika, że powio być, a pzykład, 4 6. Jedak, ze wzou (8.) mamy 6 4, a więc 0. W podoby poób otzymuemy 4 0. (8.5) 4 5 6 Bioąc pod uwagę związki (8.5) ze wzou (8.) otzymuemy wzó (8.0). Pzykład 8.. Zadziemy kieuki w kyztale układu egulaego w któych moduł Youga ma watości miimale i makymale. Zgodie ze wzoem (8.) E α α α α, (8.6) i k l i k l gdzie i - coiuy kieukowe wektoa edotkowego w daym układzie kytałofizyczym. Dla kyztałów układu egulaego teo wpółczyików pężytości okeśla wzó (8.0). Po podtawieiu do wzou (8.6) iezeowych kładowych teoa otzymuemy E ( 4 ( 4 ) ( 4 ) ( ) ( ) ). (8.7) Ze wzou (8.7) wyika, że zależość E od (od kieuku w kyztale) okeśla fukca f. (8.8) Zadziemy teaz makimum fukci (8.8), kozytaąc z metody ieozaczoych możików Lagage a. Zapizmy fukcę f w potaci 8
) ( f λ, (8.9) gdzie λ - możik Lagage a. Różiczkuąc (8.9) względem, oaz i kozytaąc z wauku okeślaącego ektemum fukci otzymuemy 0 λ f, (8.0a) 0 λ f, (8.0b) 0 λ f. (8.0c) Z układu ówań (8.0), bioąc pod uwagę, że, mamy, kąd,, ± ± ±. (8.) A zatem, w kyztale układu egulaego itieę oiem kieuków typu [] wzdłuż któych wielkość ma makymalą watość. Uwzględiaąc, że dla kyztałów układu egulaego 0 ) ( >, otzymuemy ze wzou (8.7), że moduł Youga E ma makymale watości w kieukach typu []. Miimale watości moduł Youga ma w kieukach, gdy 0, czyli w kieukach typu [00]. Pzykład 8.. Wykażemy, że pzekó powiezchi chaakteytycze modułu Youga płazczyzą potopadłą do oi -kote kyztału egulaego et okęgiem. Rówaie powiezchi chaakteytycze modułu Youga, zgodie z (8.7) ma potać ) ( ) / ( E. (8.) 8
Rówaie powiezchi potopadłe do edotkowego wektoa l możemy zapiać ako ( l ) 0, (8.) gdzie et wektoem leżącym w płazczyźie potopadłe do wektoa l. W kyztale układu egulaego oi -kote et kieowae wzdłuż kieuków typu []. Wybiezemy wekto l wzdłuż kieuku []: l ( /,/,/ ). Podtawiaąc do wzou (8.) zamiat wektoa wekto zaduemy ( l ) ( ) 0, kąd. (8.4) Ze wzou (8.4), oaz tożamości otzymuemy Bioąc pod uwagę te ówości zaduemy /. (8.5) / 4 / 4. (8.6) Po podtawieiu (8.6) do (8.) mamy 4 E (. (8.7) ) A więc w płazczyźie potopadłe do oi -kote pzekó powiezchi chaakteytycze modułu Youga et okęgiem. 8