σ r z wektorem n r wynika

Transkrypt

1 Wyład Napęża głów Pozuamy płazczyzy dowol achylo do o uładu wpółzędych o t właośc by wto apęża a t płazczyź był wpółoowy z wtom wtom tóy otu tę płazczyzę w pztz (wtom do omalym). a) pzypad ogóly b) płazczyza główa. Ozaczmy pzz ładow tgo wtoa. Wto t możmy zapać ta: Z potulatu wpółlowośc wtoa albo = ( ). () () z wtom wya = ( ) () gdz t długoścą pozuwago wtoa. Poówamy () z (3). al ( ) = (3) = (4)

2 = (5) Z (4) (5) otzymamy = (6) albo ( δ ) = 0 (7) Jt to doody uład lowych ówań algbaczych w tóym wadomym ą (8) Mamy zatm czty wadom tzy ówaa (7). Bauąc ówa wya z za długośc wtoa (długość dotowa) = (9) Waum ta zowych ozwązań uładu (7) t za wyzacza ( δ ) 0 dt = (0) Rozpa tgo wauu powadz do ówaa algbaczgo tzcgo zędu a pozuwa. gdz 3 = = = dt = 3 3 ( ) = dt = 0 () = ( ) Jt to ówa wow (ula) Laplac a a go paamtam ą zm toa apęża zdfowa popzdo. Rówa wow ma zawz tzy pwat zczywt 3. Nazywamy apężam główym. Po upoządowau twozą tóę upoządowaych apężń główych: pzy czym mm ()

3 = ma = m ( 3). ( ) = watość pośda Wóćmy do ówaa (7) aby wyzaczyć u odpowadaąc olym apężom główym. Za podtawamy olo wylczamy ładow ( ) ( ) ( ) wtoów. W pzypadu pozuwaa uu pzym potać ( ) ( ) ( δ ) = 0 Uład t alży ażdoazowo uzupłć waum (9). 3 (3) 3 ( ) uład (7). (4) Moża poazać ż o głów toa apęża opa wtoam ( ) ( ) ą zawz do b potopadł. a) b) W t poób poazalśmy ż dowoly ta apęża zlutoway a y. a moża zawz powadzć do tau apęża odpowadaącgo dzałau tzch apężń omalych a tzy wzam potopadł płazczyzy (po. y b). Mówąc obazowo ft t moża oągąć popzz umęty obót ot zśc a ścaach tó uwdoczoo ładow tau apęża. Na yuach poazao dy apęża a wdoczych płazczyzach. Na tzch wdoczych wytępuą apęża wyaąc z wauu ówowag myślowo wydzlo ot zśc.

4 Koło Moha Jżl w daym puc ośoda za ą apęża głów 4 to ta apęża w tym puc pauący a płazczyź dowol achylo do uów główych (po. y.) moża wyzaczyć za pomocą otuc gafcz zwa ołm Moha. Nch wto twozy z oam główym ąty α β γ odpowdo. Mamy węc co = co β 3 = coγ = α = (5) Kotuca oła Moha poazago a y. pzbga atępuąco. Na o odcętych zazaczamy tzy puty M M M 3 odpowadaąc watoścom apężń główych. Wyślamy tzy oęg opat a odcach M 3 M M 3 M M M (po. yu). Powadzmy odc M pod ątm α oaz odc M 3 B pod ątm γ. Zaślamy łu O3 : C O : B C. Put C odca a oach τ ą to pozuwa apęża. Wo z otuc oła Moha.. Ι t awęzym a ΙΙΙ amzym z wzytch możlwych apężń omalych a mogą wytąpć w tym puc.. Maymal apęża tycz wytępuą a płazczyzach achyloych pod ątm 45 o do uów główych. Watośc tych apężń ą ów pomow awęzgo oła wyozą τ ma Towazyzą m apęża omal =. (6) + =. (7) 3. Możlw tay apęża to tylo t z obzau zacmogo..

5 5

6 Różczow ówaa ówowag wwętz. 6 Rozważmy ówowagę ł dzałaących a wydzloą część cała pozotaącgo w ówowadz. Na ażdą dotę obętośc cała dzała wto ł obętoścowych X = X. (8) Wtoowy wau ówowag wydzlo częśc cała zapzmy ta + ( ) d Xd = 0 (9) d + X d = 0 (0) al = () d Twdz Gaua Otogadzgo + d = X d = 0 () F F' d (3) pozwala zamć całę powzchową a całę obętoścową. Wyozytamy do pwz cał. Otzymamy + ' d X d = 0 (4)

7 7 czyl ' + X = 0. (5) Ta otzymalśmy óżczow ówaa ówowag wwętz azywa ówaam Nava. Rozważmy taz ówa ówowag momtów względm początu uładu wpółzędych. Wtoowy wau ówowag momtow wydzlo częśc cała zapzmy ta al ( ) d + Xd = 0 (6) a b = a b (7) gdz t ymbolm pmutacyym. d + X d = 0 (8) al = m m (9) m m d + X d = 0 Pwzą całę zammy a całę obętoścową ozytaąc z twdz Gaua Otogadzgo. Otzymamy ( ) d X d = 0 m ' m Po dalzych pzztałcach otzymamy + δm m d + m' m d + X d = 0 Na mocy ówań Nava (5) wyazy podślo zaą. Pozota zatm (30) () (3) = 0 ()

8 Otzymalśmy tzw. wau Cauchy go tó muzą być pło pzz ładow toa apęża. Wya z ch ymta toa apęża = (34) 8 Napężow wau bzgow Jśl ozważymy ówowagę czwooścau pzylgłgo do powzch zwętz cała a tóą dzałaą ozłożo obcąża powzchow to zamat zwązu = (35) otzymamy p = (36) Tą zalżoścą zwąza ą ładow wtoa powzchowych obcążń zwętzych z ładowym toa apęża w dowolym puc powzch zwętz ozpatywago cała.

9 9 Pzyład Sta apęża w pwym cl t opay w poób atępuący 3 = b = = 3 = C 3. 3 = 3a = = 6 a = 3 b = 0 Spawdzć ówaa Nava śl wadomo ż Rozpzmy ówaa Nava: + X = 0. Pwz ówa: X 0. ' ' 3'3 = Po podtawu b + 0 = 0 b t pło. Kol ówaa X 0. ' ' 3'3 = a + 0 a = t pło X 0. 3 ' 3' '3 3 = C + C = 0 tż t pło. 0 X X = 0 X = C = 3