MECHANIKA BUDOWLI 8 METODA SIŁ

Transkrypt

1 W YKŁ DY Z ECHIKI BUDOWLI WIERDZEI O WZJEOŚCI Olga Kopacz, dam Łodygowki, Wociech awłowki, ichał łotkowiak, Krzyztof ymper Koultace aukowe: prof. dr hab. JERZY RKOWSKI ozań 00/00 ECHIK BUDOWLI 8 EOD SIŁ etoda ił et poobem rozwiązywaia układów tatyczie iewyzaczalych, czyli układów o adliczbowych więzach. Sprowadza ię oa do rozwiązywaia układu tatyczie wyzaczalego, który powtae z iewyzaczalego przez wprowadzeie w miece odrzucoych więzów iewiadomych ił. Jet to proty poób a rozwiązaie układów ramowych, kratowych, czy łukowych. W poiżzym wykładzie omówimy ogóle założeia oraz tok potępowaia obliczeiowego metodą ił. Słowa kluczowe: metoda ił, metoda eergetycza, układy tatyczie iewyzaczale. ZSDY OGÓLE EODY SIŁ Itota metody opiera ię a pozbawieiu rozpatrywaego, obciążoego układu adliczbowych więzów, dbaąc edak przy tym o to, aby pozotał o geometryczie iezmiey. W miece myślowo uuiętych więzów wtawiamy iewiadome iły. atępie, aby zachować kiematyczą idetyczość układu rzeczywitego z owym, azywaym dale układem podtawowym, określamy umarycze przemiezczeia po kierukach działaia tych ił. oieważ w rzeczywitości w tych miecach itiały więzy, przemiezczeia te ą rówe zero. Układaąc te wioki w rówaia możemy obliczyć wartości adliczbowych iewiadomych, a zatem otrzymuemy układ wyzaczaly z rówań rówowagi. Układ podtawowy, który a ogół et układem tatyczie wyzaczalym, mui pełiać rówież waruki zgodości geometrycze (idetyczość wymiarów) i tatycze (idetyczość obciążeń) z układem rzeczywitym. rzyrzymy ię zatem koleym etapom rozwiązaia zadaia metodą ił. olitechika ozańka Kopacz, Łodygowki, awłowki, łotkowiak, ymper

2 W YKŁ DY Z ECHIKI BUDOWLI WIERDZEI O WZJEOŚCI. OKREŚLEIE SOI SYCZ IEWYZCZLOŚCI Stopień tatycze iewyzaczalości, w krócie SS, et rówy ilości adliczbowych więzów.. RZYJĘCIE UKŁDU ODSWOWEGO Itereuący a układ tatyczie iewyzaczaly pozbawiamy adliczbowych więzów dokładie tylu, ile wyoi. Otrzymuemy w wyiku tego zabiegu układ tatyczie wyzaczaly, który mui być rówież kiematyczie iezmiey. aki zatępczy układ azywamy podtawowym. ożemy łatwo zauważyć, że w miecach uuiętych przez a więzów możliwe et teraz przemiezczeie po ich kierukach. a ogół itiee parę możliwości wyboru układu podtawowego, a edak itereue wybór alepzego, czyli amie pracochłoego.. WROWDZEIE DLICZBOWYCH IEWIDOYCH W miece uuiętych więzów w układzie podtawowym wprowadzamy iewiadome,... będące iłami uogólioymi. W przypadku uuięcia więzu uiemożliwiaącego przeuięcie wprowadzamy iłę kupioą, a w miece utwierdzeia uiemożliwiaącego obrót wprowadzamy iewiadomą w potaci mometu kupioego. ożliwe et rówież wprowadzeie uogólioych ił w potaci grup ił..4 DOBÓR UKŁDU RÓWŃ KOICZYCH ORZ IERRECJ JEGO WSÓŁCZYIKÓW Rówaia kaoicze ą zależościami, o których wpomialiśmy uż we wtępie. Są ieodłączym kładikiem układu podtawowego, gdyż zapewiaą kiematyczą zgodość układu rzeczywitego z podtawowym. Dzięki im możemy obliczyć wartości iewiadomych ił uogólioych. ozczególe rówaia układu ą zumowaymi przemiezczeiami po kierukach olitechika ozańka Kopacz, Łodygowki, awłowki, łotkowiak, ymper

3 W YKŁ DY Z ECHIKI BUDOWLI WIERDZEI O WZJEOŚCI odrzucoych więzów. Liczba rówań et zatem taka ama ak liczba odrzucoych więzów. W rzeczywitości przemiezczeia te ą zerowe, poieważ w tych miecach ą podpory uogólioe. by obliczyć przemiezczeia powodowae iezaymi iłami połużymy ię zaadą uperpozyci oraz edotkowymi iłami przykładaymi w miecach iewiadomych i. rzyęło ię ozaczać te przemiezczeia ymbolami ik, gdzie ideky ozaczaą koleo miece i kieruek przemiezczeia oraz ego przyczyę. W celu zobrazowaia tego zagadieia połużmy ię przykładem. Day et układ ramowy (Ry..4.a), tatyczie iewyzaczaly i obciążoy iłami zewętrzymi. Ry..4. a) układ ramowy tatyczie iewyzaczaly obciążoy zewętrzie; b) układ podtawowy obciążoy iłami zewętrzymi oraz iewiadomymi i Jak widzimy układ et tatyczie iewyzaczaly, a ego topień tatycze iewyzaczalości wyoi dwa. Sprowadzamy zadaie dowolie do układu wyzaczalego (zgodie z zaadami omówioymi w pukcie.), zachowuąc obciążeia zewętrze, a w miece uuiętych więzów wtawiamy iewiadome iły i (Ry..4.). Układ podtawowy przez a przyęty pełia waruki tatycze wyzaczalości oraz geometrycze zgodości z układem rzeczywitym, ie et edak zgody kiematyczie! Wpomieliśmy wcześie, że kiematyczą zgodość zapewiaą rówaia kaoicze rzyrzymy ię zatem rzeczywitemu przemiezczeiu puktu. W układzie rzeczywitym w tym miecu zadue ię podpora przegubowa, iemożliwe et więc przemiezczeie tego puktu po kierukach V i H, a więc po kierukach działaia w układzie podtawowym iewiadomych i. więc: ) ) ( V ) ( H ) 0 0 (.4.) olitechika ozańka Kopacz, Łodygowki, awłowki, łotkowiak, ymper

4 W YKŁ DY Z ECHIKI BUDOWLI WIERDZEI O WZJEOŚCI 4 Zataówmy ię więc, co wywołue pioowe przemiezczeie puktu. rzyczyami ą iły i oraz obciążeie zewętrze. rzemiezczeie to możemy zatem zapiać ako umę przemiezczeń wywołaych pozczególymi przyczyami (.4.): ( V ) ( V ) ( V ) ( ) ( ) ( ) 0 (.4.) Zapiuąc czytelie ymbolami ik, otrzymamy: 0 (.4.) Gdzie idek i ozacza kieruek przemiezczeia (w tym przypadku kieruek działaia iewiadome, czyli ), a idek k ozacza przyczyę wywołuącą tą przemiezczeie. Zapiuąc aalogiczie przemiezczeie poziome puktu, otrzymamy: 0 (.4.4) ożemy zapiać wzytkie rówaia ogólym wzorem: k k ik k i 0 (.4.5) Zadaie takie prowadza ię zatem do obliczeia pewe liczby rówań metody ił. Wpółczyiki rówań kaoiczych ik obliczamy z wzoru, który w ogólym przypadku płakiego układu ma potać: i k i k κik ik d d d E G (.4.6) Wyaśieie ymboli w rówaiu.4.6: i, k momety zgiaące wywołae działaiem iły lub k i, k iły ormale wywołae w. i, k iły tące wywołae w. J momet bezwładości przekrou poprzeczego pręta E i G moduły prężytości liiowe i poprzecze (tałe materiałowe) κ wpółczyik ściaia Zgodie z twierdzeiem awella o wzaemości przemiezczeń wiemy, że: ik ki (.4.7) olitechika ozańka Kopacz, Łodygowki, awłowki, łotkowiak, ymper

5 W YKŁ DY Z ECHIKI BUDOWLI WIERDZEI O WZJEOŚCI 5 Wpółczyiki i opiuące przemiezczeie puktu po kieruku i, powodowae przez iły zewętrze opiue wzór.4.8: i i κi i d d d E G (.4.8) Wyaśieie ymboli w rówaiu.4.8: i,- momety zgiaące wywołae działaiem iły i - momety zgiaące wywołae działaiem obciążeń zewętrzych i, - iły ormale wywołae działaiem iły i - iły ormale wywołae działaiem obciążeń zewętrzych i, - iły tące wywołae działaiem iły i k - iły tące wywołae działaiem obciążeń zewętrzych J momet bezwładości przekrou poprzeczego pręta E i G moduły prężytości liiowe i poprzecze (tałe materiałowe) κ wpółczyik ściaia Całki we wzorach.4.6 i.4.8 możemy obliczyć umeryczie korzytaąc ze poobu Werezczagia-ohra rzedźmy do przedtawieia powyżze metody a przykładowym zadaiu.. RZYKŁDY. RZYKŁD Wykoać wykrey mometów od obciążeń rzeczywitych układu tatyczie iewyzaczalego przedtawioego a Ry...a: Ry... Day układ a) rzeczywity z obciążeiem zewętrzym; b) układ podtawowy z iewiadomymi i oraz układem rówań kaoiczych olitechika ozańka Kopacz, Łodygowki, awłowki, łotkowiak, ymper

6 W YKŁ DY Z ECHIKI BUDOWLI WIERDZEI O WZJEOŚCI 6 Układ rzeczywity a) ma topień tatycze iewyzaczalości rówy. Odrzucamy myślowo dwie podpory prętowe pozotawiaąc edyie utwierdzeie (et to oczywiście eda z wielu możliwości doboru układu podtawowego) i zatępuemy e iewiadomymi iłami i. Układamy rówaia kaoicze według opiu z puktu.4: 0 0 (..) atępie, w celu obliczeia przemiezczeń ik, wykouę wykrey mometów od edykowych ił przyłożoych koleo w mieca iewiadomych i oraz obciążeia zewętrzego w potaci iły kupioe oraz obciążeia rozłożoego w układzie podtawowym (Ry...b). Wykrey te azywamy koleo: [m] (Ry...a), [m] (Ry...b) i 0 [km] (Ry...c). Ry... Wykrey mometów zgiaących w układzie podtawowym pochodzących koleo od: a) iły edykowe przyłożoe w miece iewiadome ; b) iły edykowe przyłożoe w miece iewiadome ; c) obciążeia rzeczywitego w potaci iły kupioe oraz obciążeia rozłożoego. aąc uż gotowe wykrey mometów możemy przytąpić do obliczeia wpółczyików rówań kaoiczych (..) według wzoru awella-ohra (.5.). Uwzględimy edyie wpływ mometów zgiaących, wobec czego a aze potrzeby wzór przymie potać: olitechika ozańka Kopacz, Łodygowki, awłowki, łotkowiak, ymper

7 W YKŁ DY Z ECHIKI BUDOWLI WIERDZEI O WZJEOŚCI 7 i k ik d (..) W celu uprozczeia całkowaia korzytamy z umerycze metody Werezczagia-ohra, o które wpomialiśmy wcześie. *** * [ 4**] 7m (..) 7m *** * [ 4**] (..4) 8m [ 4**] (..5) Z twierdzeia awella o wzaemości przemiezczeń wiemy, że (..5). 9* km * 4 * * 4* 8 9* * 4 * * 4* 8 540km ** *54 (..6) (..7) Układ rówań kaoiczych przymie zatem atępuącą potać: 7m 8m 468km 0 8m 7m 540km 0 (..8) o obliczeiu powyżzego układu rówań otrzymamy atępuące wyiki: olitechika ozańka Kopacz, Łodygowki, awłowki, łotkowiak, ymper

8 W YKŁ DY Z ECHIKI BUDOWLI WIERDZEI O WZJEOŚCI olitechika ozańka Kopacz, Łodygowki, awłowki, łotkowiak, ymper 8 k k 5, 7, (..9) o otrzymaiu wartości iewiadomych oraz dokouemy aalizy końcowe zadaia, czyli tworzymy wykrey rzeczywitych ił wewętrzych w układzie podtawowym, obciążoym zewętrzie oraz przez iły i (Ry...). Wartości ił wewętrzych możemy określić w oparciu o metodę uperpozyci (..0): ) ( ) ( ) ( (..0)

9 W YKŁ DY Z ECHIKI BUDOWLI WIERDZEI O WZJEOŚCI 9 Ry... aliza końcowa zadaia: a) ta obciążeia iłami zewętrzymi oraz obliczoymi iewiadomymi i ; b) wykre mometów rzeczywitych () ; c) wykre rzeczywitych ił tących () ; d) wykre rzeczywitych ił ormalych Warto przy tym zadaiu zataowić ię ad eem wprowadzeia iewiadomych w potaci grup ił, o czym wpomialiśmy w pukcie.. Ryuek..4 przedtawia układ podtawowy dla tego zadaia przyęty ak wyże, z tą różicą, że zamiat iewiadomych ił i wprowadzoo grupy ił z i z. rzyrzymy ię wykreom mometów zgiaących w taie oraz. Łatwo zauważyć, że po wymożeiu wykreów otrzymamy przemiezczeie 0. Ry...4 a) układ podtawowy obciążoy iłami zewętrzymi oraz zgrupowaymi iewiadomymi z i z ; b) wykre mometów zgiaących w taie z c) wykre mometów zgiaących w taie z olitechika ozańka Kopacz, Łodygowki, awłowki, łotkowiak, ymper