TWIERDZENIE OSELEDECA I WYKŁADNIKI LAPUNOWA
|
|
- Katarzyna Kulesza
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TWIERDZENIE OSELEDECA I WYKŁADNIKI LAPUNOWA TOMASZ TKOCZ Stezczeie. Tekt zawiea otatki do efeatu z emiaium moogaficzego Układy dyamicze. Jet to w zaadzie tłumaczeie odpowiediego paagafu atykułu [Ru] dotyczącego mutipikatywego twiedzeia egodyczego tzw. twiedzeia Oeedeca. Głoi oo itieie wykładików Lapuowa. Najpiew podamy heuytycze podejście do wykładików Lapuowa a potem zajmiemy ię dowodem twiedzeia Oeedeca.. Zajawka Rozważmy gładkie pzekztałceie f : U R otwatego odcika U R. Niech I U będzie odcikiem ifiitezymaej długości. Zataówmy ię jaka jet długość odcika będącego jego -kotą iteacją. Wyoi oa f I f x I gdzie wybao pewie pukt x I. Zatem jeśi itieje gaica λ := im f x to widzimy że długość azego odcika ośie wykładiczo tz. f I f x I e λ I. Ozacza to że tak zdefiiowae λ miezy jak badzo ozbiegają ię ifiitezymaie bikie pukty końce odcika I. Pomiau zaś dokoujemy jak gdyby wzdłuż tajektoii f gdyż z eguły łańcuchowej mamy f x = Π k= f f k x. Te wpółczyik λ azywamy wykładikiem Lapuowa pzekztałceia f w pukcie x. Podaą wyżej defiicję moża ozzezyć a pzekztałceie f : M M będące dyfeomofizmem ozmaitości M. Po. wioek. 2. Twiedzeie Oeedeca Niech f : M M będzie dyfeomofizmem d wymiaowej zwatej i gładkiej ozmaitości M. Załóżmy że a M mamy miaę pobabiityczą µ i pzekztałceie f ją zachowuje. Pzypomijmy że zachodzi wzoek Df x = Df f x Df f 2 x... Df fx Df x. Motywowai im da miezaego pzekztałceia M x T T x M d d R z ozmaitości M w macieze kwadatowe d d o wpółczyikach zeczywitych o któych oczywiście myśimy jak o edomofizmach R d okeśamy T x := T f x T f 2 x... T fx T x. Zachodzi twiedzeie któe jet azym główym ceem Twiedzeie Oeedec. Jeśi x + T x L M µ to itieje zbió miezay X M pełej miay iezmieiczy w pzód tz. fx X taki że da każdego x X zachodzi T x T 2 T x Λ x da pewego pzekztałceia Λ x M d d R 2 jeśi ozaczymy wzytkie watości włae pzekztałceia Λ x pzez e λx <... < e λ xx oaz odpowiadające im podpzetzeie włae pzez U x... U x x któe ą wymiaów m x... m x x odpowiedio to fukcje x λ x x m x da =... x ą miezae i f iezmieicze a poadto T x u λ x da u V x \ V x gdzie oczywiście ozaczamy V x := j U jx.
2 Zaim zacziemy je pacowicie dowodzić zauważmy że pukt 2 gwaatuje że defiicja wykładików Lapuowa w ogóej ytuacji ma e. Miaowicie mamy wioek Wioek. Jeśi x + Df x L M µ to da pawie każdego x M itieje da dowoego u R d wykładik Lapuowa pzekztałceia f w pukcie x i kieuku u χx u := im Df x u. 3. Dowód twiedzeia Oeedeca Będzie am potzebe podaddytywe twiedzeie egodycze. Pzypomijmy je dowód moża zaeźć p. w [St]. Twiedzeie 2 Kigma. Niech M µ będzie pzetzeią z miaą pobabiityczą zachowywaą pzez pzekztałceie f : M M oaz g >0 ciągiem pzekztałceń miezaych M R { }. Jeśi g + L M µ a poadto g m+ g m + g f m to itieje fukcja g : M R { } o części dodatiej z L M µ g + L taka że g p.w. g. Dzięki iemu zaaz powadzimy dowód twiedzeia Oeedeca do ytuacji w utaoym pukcie czyi do dowodu poiżzego twiedzeia z ageby iiowej. Będziemy daej kozytać z ageby zewętzej pzetzei iiowej R d. Niezbęde zeczy dotyczące tego pojęcia moża zaeźć w dodatku a końcu otatek. Twiedzeie 3 o maciezach. Niech T >0 będzie ciągiem maciezy kwadatowych d d o wpółczyikach zeczywitych takich że a im T 0 b im T q itieje da każdego q =... d gdzie ozaczamy T = T... T. Wtedy T T T 2 p.w. Λ da pewego pzekztałceia Λ M d d R 2 jeśi ozaczymy wzytkie watości włae pzekztałceia Λ pzez e λ <... < e λ oaz odpowiadające im podpzetzeie włae pzez U... U to T u λ da u V \ V i =... gdzie oczywiście ozaczamy V 0 := {0} V := j U j. Dowód twiedzeia via twiedzeie 3. Wytaczy wobec twiedzeia 3 zaeźć zbió pełej miay X M taki że da każdego x z tego zbiou jeśi okeśimy T := T f x to zachodzą założeia twiedzeia 3. Z twiedzeia egodyczego itieje zbió pełej miay X 0 M taki że da każdego x X 0 S x = + T f j x E µ y + T y σ - ciało zbióów pawie iezmieiczych x Stąd więc + T f x = S x S x 0 im T f x 0. Założeie a mamy tym amym odfajkowae. Spawdzimy teaz założeie b. Utamy q d. Rozważmy ciąg fukcji g x := T x q. 2
3 Zauważmy że pełia o założeia podaddytywego twiedzeia egodyczego 2. Itotie g + L bo g + x = + T x q + T x q q + T x L a mocy założeia twiedzeia. Co więcej g m+ g m + g f m gdyż a omach mamy ieówość mutipikatywą T x m+ q T x m q T q f x a po zogaytmowaiu to co tzeba. m Zatem itieje zbió pełej miay X q że da x X q itieje im g x = im T x q. Bioąc zatem X := X 0 X... X d widzimy że jet dobze tz. tak jak chcieiśmy a początku dowodu aby da każdego x z tego zbiou pełej miay zachodziły założeia twiedzeia 3 da T zdefiiowaego jako T f x. Pozotaje już tyko udowodić twiedzeie o maciezach twiedzeie Dowód twiedzeia o maciezach Dowód twiedzeia 3. Ozaczmy pzez t... t d watości włae pzekztałceia T = T T /2 T użyiśmy tutaj ozaczeia T a tzw. moduł pzekztałceia iiowego; pojęcie to jet wyjaśioe w dodatku. Z założeia itieje im T q T = im q da q =... d więc itieje = im t d... t q d q = im t d j im t j =: χ j j =... d. Upoządkujmy te iczby χ j oąco i ozaczmy je pzez λ <... < λ. Ozaczmy jezcze da =... pzez U podpzetzeń właą opeatoa T odpowiadającą watości właej t k takiej że t k λ. Pokażemy że da utaoego podpzetzeie U zbiegają do pewej podpzetzei U co w zaadzie załatwi dowód części twiedzeia. Połużymy ię ematem któy śmiało moża azwać główym kokiem dowodowym i główym mięchem achukowym. Jego dowód odłożymy jedak do atępego paagafu. Lemat. Da δ > 0 itieje K = K δ > 0 takie że zachodzi { 2 max <u u > u U u U +k } u = u = K exp λ λ δ da k > 0 dotateczie dużych oaz wzytkich {... }. Z ematu wyika że da każdego utaoego =... ciąg podpzetzei U jet ciągiem Cauchy ego w pzetzei Gd d gamaiau d wymiaowych podpzetzei w R d. Itotie w Gd d mamy metykę ρu V := P V gdzie P U P V ozaczają zuty otogoae a 3
4 podpzetzeie U V odpowiedio. Da jedotkowego wektoa x mamy +k więc widać że ciąg w Gd d P U U x =<Id P U =<Id P U x Id P +k U x P +k U x P U +k x>+<id P U +k Lemat 2K exp λ λ δ pełia wauek Cauchy ego w metyce ρ. P U x> x P U Zatem U U da pewej podpzetzei U. Zaś oczywiście jeśi podpzetzeie włae opeatoa zbiegają i watości włae im odpowiadające też tak mamy da T / to opeato zbiega co dowodzi części twiedzeia. Dowodzimy teaz 2 z twiedzeia 3. Zauważmy pzede wzytkim że jeśi u U to P U u P U u = u więc pzechodząc w ieówości <P +k U u u > K exp λ λ δ u U do gaicy pzy k dotajemy 3 <u u > K exp λ λ δ u U u U. Utamy v V \ V. Chcemy udowodić że T v λ. Najpiew ozacujemy z góy. Wiemy że T a podpzetzei właej U da każdego {... } działa pawie jak homotetia tz. da x U jet T x = m= 0 t m x m gdzie t 0... t ą wzytkimi óżymi watościami właymi t k pzekztałceia T takimi że t k λ oaz x = m= 0 x m jet ozkładem wektoa x a odpowiedie wektoy włae. Ozaczając χ = max 0 m t m mamy wtedy Da zacujemy butaie T v = T v = d = χ = = 2 P U v 2 max χ P U { + max 2 χ zaś da > ozaczając pzez e... e d wobec 3 zacowaie P U v 2 = d k= d k= 3 d k= v χ v χ χ v P U v } v. x> pewą bazę otoomaą podpzetzei U mamy <v e k > 2 <P Uj v e j 2 k > 2 K exp λ λ j δ j dk 2 exp 2 λ λ δ. 4
5 Stąd da > Otateczie poieważ χ χ v χ + dk λ + λ + δ. λ mamy Z dołu zacuje ię łatwiej bowiem T v ψ v P U v 0 więc P U im T v λ + δ. im T v im v gdzie ψ = mi 0 m t m ψ v ] atomiat Z dowoości δ > 0 mamy 2 z twiedzeia 3. λ + im v = λ. 5. Dowód ematu Dowód ematu. Pokażemy ajpiew ozacowaie 2 da < zobaczymy a koiec dowodu że to wytaczy. Mamy atuae otogoae ozbicie całej pzetzei R d = U t + U t. t t + Ozaczmy więc te kładiki jako V := U t t V + := t + U t oaz π +. Mamy oczy- oaz zdefiiujmy zuty otogoae a te pzetzeie odpowiedio pzez π wiście Wytaczy pokazać że Id = π + π +. 4 π u K u exp λ λ δ u V bo wtedy da wektoów u U u U +k długości jede mamy <u u > = <u π +k Schwaz u + π+k u> = <u π +k u> u π +k u K u exp λ λ δ. Bez utaty ogóości możemy założyć że δ < λ λ da. Wobec im T 0 mamy T < C + δ 4 da pewej tałej C. Utamy teaz u U. Ozaczając ajwiękzą watość właą T u a podpzetzei U da dotateczie dużych. Oczywiście tąd Mamy zatem z jedej toy ozacowaie pzez t max mamy a mocy że t T u t max u u exp λ + δ. 4 max < exp T + u = T + u = T + T u T + T u = T + T u exp C + δ 4 + u exp λ + δ. 4 5 λ + δ 4
6 Z dugiej toy zacujemy podobie T + u T + exp + π + u λ δ 4 t + mi π+ π + u. Łącząc do kupki te dwa ozacowaia otzymujemy π + u < u exp C + δ λ + δ 4 + δ λ 5 Stąd 6 = u exp λ λ δ + C λ + 2 δ 4 δ }{{ 4 } <0 da dotateczie dużych u exp λ λ δ. π +k + u = π +k + π +k 5 u exp k... u + π +k + k + π +k + u λ + λ δ u exp + j λ + λ δ < K u exp λ + λ δ gdzie K = exp j λ + λ δ. Daej koo to π +k +2 = π +k +2 π +k + π +k +2 π +k + = π +k +2 π +k + π +k +2 π +k + π +k + + π +k π +k +2 u π +k +2 π +k +2 π +k + }{{} π +k π +k + π +k +2 π +k +2 u. u + π +k u + π +k + u +2 π +k + π +k + u Piewzy kładik zacujemy z 5 π +k +2 π +k u π +k u exp + k λ +2 λ δ u exp + k λ +2 λ δ dugi ajpiew z 5 a potem z 6 π +k +2 π +k + π +k + u π +k + π +k + u exp + k λ +2 λ + δ π +k + u exp + k λ +2 λ + δ K u exp λ + λ δ exp + k λ +2 λ + δ 6
7 wezcie tzeci butaie tak żeby móc do iego odgzać dowcip Otateczie π +k +2 u k π +k +2 π +k +2 u π +k +2 u. u exp + j λ +2 λ δ k + K u exp + j λ +2 λ + δ exp λ + λ δ K 2 u exp λ +2 λ 2δ. Daej podobie otzymamy da dowoego > i u V ozacowaie π +k u K u exp λ λ δ K u exp λ λ δ co dowodzi 4 w pzypadku > i tym amym fagmetu tezy ematu czyi ieówości 2 da >. Jae jet że da = ieówość 2 też zachodzi. Spóbujmy ją teaz pokazać da > być może zwiękzając tałą K. Utamy w tym ceu > oaz wektoy jedotkowe u U u U +k. Uzupełijmy u do bazy otoomaej e... e pzetzei U zóbmy z u uzupełiamy go do bazy otoomaej f... f pzetzei U +k + U uświadamiać obie tutaj że da dotateczie dużych wymiay podpzetzei U tz. zaeżą tyko od. Patzymy ię a maciez otogoaą C := [<e i f j >] ij= poiżej diagoai jet poko tz. da i j mamy zacowaie <e i f j > K exp λ λ δ.. Aaogiczie + U +k wato ą już utaoe. Wiemy już że Chcemy podobie ozacować < e j f i > bo to w zczegóości da ozacowaie a < u u >. Poieważ C T = C możemy te wyaz maciezowy poiczyć ze wzou a maciez odwotą. Wyzaczik C jet co do modułu ówy jede więc mamy <e j f i > = C ji gdzie C ji to mio powtały z C pzez keśeie j-tego wieza i i-tej koumy. Licząc go z pemutacyjego wzou a wyzaczik widzimy że każdy kładik umy po wzytkich możiwych pemutacjach będzie w potaci ioczyu czyików wyazów maciezy C pzy czym w tym ioczyie zawze wytąpi co ajmiej jede wyaz z diagoai ub poieżej iej a ań mamy już dobe ozacowaie. Pozotałe wyazy z ioczyu zacujemy oczywiście butaie pzez dotając co potzeba. Stałą K wytaczy więc zatąpić a K d!. Kończy to dowód ematu. Dodatek A. Gamaia Pzez Gk ozaczamy zbió wzytkich podpzetzei iiowych k wymiaowych w R i azywamy gamaiaem. Moża a gamaiaie wpowadzić metykę ρu V := P V U V Gk gdzie P X ozacza zut otogoay a podpzetzeń iiową X R. Łatwo zozumieć jak działa ta metyka w pzypadku iko wymiaowym p. da G 2 obiąc obie odpowiedi yuek. 7
8 Dodatek B. Moduł pzekztałceia iiowego Niech A: R d R d będzie pzekztałceiem iowym. Badzo pożyteczym pojęciem jet jego ymetyzacja czyi opeato A T A. Jet to pzekztałceie amopzężoe ieujemie okeśoe więc ię diagoaizuje z ieujemymi watościami właymi. Łatwo więc dzięki tej obewacji okeśić moduł pzekztałceia iiowego A A := A T A. Kuczowa jet obewacja że A x = Ax da dowoego wektoa x. Wyika bowiem z iej że A i A óżią ię mutipikatywie o izometię oaz mają tę amą omę. Kozytaiśmy z tych fakcików wieokotie. Dodatek C. Ageba zewętza Niech V będzie zeczywitą pzetzeią iiową d wymiaową z utaoą bazą e... e d. Da q {... d} okeśamy jej potęgę zewętzą jako zeczywitą pzetzeń iiową ozpiętą pzez wektoy e i... e iq da i <... < i q d pzy czym o dzióbku myśimy jak o atyymetyczym fomaym działaiu a wektoach. Pzetzeń tę ozaczamy jako q V. Jeśi a pzetzei V mamy zaday ioczy kaay to idukuje o atuay ioczy kaay a potędze q V. Otóż mówimy że e i... e iq jet bazą otoomaą a q V jeśi e i ią jet a V. Da edomofizmu A: V V możemy okeśić jego q-tą potęgę zewętzą czyi edomofizm A q : q V q V zaday a bazie jak atępuje A q e i... e iq = Ae i... Ae iq. Podtawową zaetą potęgi zewętzej opeatoa jet to że pozwaa o wydobyć ioczyy watości właych wyjściowego opeatoa z czego iteywie kozytaiśmy. Dokładie jeśi A ma watości włae t... t d to t i... t iq i <...<i q d ą watościami właymi opeatoa A q. Poadto jeśi t... t d to oczywiście A = t A q = t t... t q. W zczegóości A q A q. Nietudo pawdzić taką fuktoiaą właość potęgi zewętzej opeatoa A B q = A q B q. Jet oa badzo pożytecza bo wyika z iej iemaże atychmiat że a to wiee azy było da a użytecze. A q = A q Liteatua [Ru] David Ruee Egodic Theoy of diffeetiabe ytem It. Haute Etude Sci. Pub. Math [St] J. Michae Steee Kigma ubadditive egodic theoem A. It. Hei Poicaé
Wykład 8. Prawo Hooke a
Wykład 8 Pawo Hooke a Pod działaiem apężeń ciało tałe zmieia wó kztałt. Z doświadczeń wyika, że eżeli wielkość apężeia et mieza od pewe watości, zwae gaicą pężytości, to odkztałceie et odwacale i po uuięciu
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowo29 Rozpraszanie na potencjale sferycznie symetrycznym - fale kuliste
9 Rozpaszanie na potencjae sfeycznie symetycznym - fae kuiste W ozdziae tym zajmiemy się ozpaszaniem na potencjae sfeycznie symettycznym V ). Da uchu o dodatniej enegii E = k /m adiane ównanie Schödingea
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład 0 Wprowadzenie ( ) ( ) dy x dx ( )
Rówaia óżiczkowe zwyczaje Rówaie postaci: Wykład Wpowadzeie dy x dx ( x y ( x) ) = f () Gdzie f ( x y ) jest fukcją dwóch zmieych okeśloą i ciągłą w pewym obszaze płaskim D azywamy ówaiem óżiczkowym zwyczajym
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.
Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoGraf skierowany. Graf zależności dla struktur drzewiastych rozgrywających parametrycznie
Gaf skieowany Gaf skieowany definiuje się jako upoządkowaną paę zbioów. Piewszy z nich zawiea wiezchołki gafu, a dugi składa się z kawędzi gafu, czyli upoządkowanych pa wiezchołków. Ruch po gafie możliwy
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie
ELEMENTY MATEMATYI FINANSOWEJ Wpowadzeie Pieiądz ma okeśloą watość, któa ulega zmiaie w zależości od czasu, w jakim zostaje o postawioy do aszej dyspozycji. Watość tej samej omialie kwoty będzie ia dziś
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoSK-7 Wprowadzenie do metody wektorów przestrzennych SK-8 Wektorowy model silnika indukcyjnego, klatkowego
Ćwiczenia: SK-7 Wpowadzenie do metody wektoów pzetzennych SK-8 Wektoowy model ilnika indukcyjnego, klatkowego Wpowadzenie teoetyczne Wekto pzetzenny definicja i poawowe zależności. Dowolne wielkości kalane,
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoL(x, 0, y, 0) = x 2 + y 2 (3)
0. Małe dgania Kótka notatka o małych dganiach wyjasniające możliwe niejasności. 0. Poszukiwanie punktów ównowagi Punkty ównowagi wyznaczone są waunkami x i = 0, ẋi = 0 ( Pochodna ta jest ówna pochodnej
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowom q κ (11.1) q ω (11.2) ω =,
OPIS RUCHU, DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE Oga Kopacz, Adam Łodygowski, Kzysztof Tymbe, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Konsutacje naukowe: pof. d hab. Jezy Rakowski Poznań 00/00.. Opis uchu OPIS RUCHU
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne egzamin
Imię i azwisko:....................................................... N ideksu:.............. Metody pobabilistycze egzami Data: 30.0.209 Godzia: 3:00 Zadaie [8pkt] Podaj aksjomaty Kołmogoowa dla miay
Bardziej szczegółowoKURS GEOMETRIA ANALITYCZNA
KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 2 Działania na wektoach w układzie współzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etapez.pl Stona 1 Część 1: TEST Zaznacz popawną odpowiedź (tylko jedna jest pawdziwa). Pytanie 1 Któe
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowoPRĘDKOŚCI KOSMICZNE OPRACOWANIE
PRĘDKOŚCI KOSMICZNE OPRACOWANIE I, II, III pędkość komiczna www.iwiedza.net Obecnie, żyjąc w XXI wieku, wydaje ię nomalne, że człowiek potafi polecieć w komo, opuścić Ziemię oaz wylądować na Kiężycu. Poza
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoMetody Optyczne w Technice. Wykład 3 Optyka geometryczna
Metody Optycze w Techice Wykład 3 Optyka geometrycza Promień świetly Potraktujmy światło jako trumień czątek eergii podróżujących w przetrzei Trajektorie takich czątek to promieie świetle W przypadku wiązki
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do laboratorium 1
Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoDobór zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometrycznego
Dobó zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometycznego Wstępnym zadaniem pzy budowie modelu ekonometycznego jest okeślenie zmiennych objaśniających. Kyteium wybou powinna być meytoyczna znajomość
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowo(U.17) Zastosowania stacjonarnego rachunku zaburzeń
3.0.004 38. U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 66 Rozdział 38 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 38. Stuktua subtelna w atomie wodoopodobnym 38.. Hamiltonian i jego dyskusja Popzednio
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 4 ze Statystyki
Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowoUWAGI O WZORZE NA MOMENTY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PÓLYI. Tadeusz Gerstenkorn. 1. Wstęp. 2. Rozkład G. Pólyi
UWAGI O WZORZE NA MOMENTY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PÓLYI Tadeusz Gesteko Emeytoway pofeso Uiwesytetu Łódzkiego ISSN 1644-6739 e-issn 2449-9765 DOI: 10.15611/sps.2015.13.09 Steszczeie: Rozkład pawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoKongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac
Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać
Bardziej szczegółowo(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Bardziej szczegółowoII.6. Wahadło proste.
II.6. Wahadło poste. Pzez wahadło poste ozumiemy uch oscylacyjny punktu mateialnego o masie m po dolnym łuku okęgu o pomieniu, w stałym polu gawitacyjnym g = constant. Fig. II.6.1. ozkład wektoa g pzyśpieszenia
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PŁASZCZYZNY
GEOMETRIA PŁASZCZYZNY. Oblicz pole tapezu ównoamiennego, któego podstawy mają długość cm i 0 cm, a pzekątne są do siebie postopadłe.. Dany jest kwadat ABCD. Punkty E i F są śodkami boków BC i CD. Wiedząc,
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoSterowanie prędkością silnika krokowego z zastosowaniem mikrokontrolera ATmega8
mg inż. ŁUKASZ BĄCZEK d hab. inż. ZYGFRYD GŁOWACZ pof. ndzw. w AGH Akademia Góniczo-Hutnicza Wydział Elektotechniki, Automatyki, Infomatyki i Elektoniki Kateda Mazyn Elektycznych Steowanie pędkością ilnika
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNY OPIS UKŁADU CZĄSTEK
WYKŁAD 6 STATYSTYCZNY OPIS UKŁADU CZĄSTK Zespół statcz moża opisać: ) Klasczie pzestzeń fazowa P ( P PN, q, q q N) q Każda kofiguacja N cząstek zespołu statczego opisaa jest puktem w pzestzei fazowej.
Bardziej szczegółowon n Weźmy f: 3 (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) 3 Jeżeli zdefiniujemy funkcje pomocnicze f j : 3 (x 1, x 2, x 3 ) y j, dla j = 1,2,3, to
"Maemac ą jak Facuzi: cokolwiek im ię powie od azu pzekładają o a wój wła jęzk i wówcza aje ię o czmś zupełie im." Joha Wola Goehe Weźm : Jeżeli zdeiiujem ukcje pomocicze j : j dla j = o = dzie = Czli
Bardziej szczegółowoWykład 4 Soczewki. Przyrządy optyczne
Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie zlifierzy oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi ferycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech
Bardziej szczegółowoROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ.
ROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ. STRESZCZENIE Na bazie fizyki klasycznej znaleziono nośnik ładunku gawitacyjnego, uzyskano jedność wszystkich odzajów pól ( elektycznych,
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI. W roku 1820 Oersted zaobserwował oddziaływanie przewodnika, w którym płynął
POLE MAGNETYCZNE W PÓŻNI W oku 8 Oested zaobsewował oddziaływanie pzewodnika, w któym płynął pąd, na igłę magnetyczną Dopowadziło to do wniosku, że pądy elektyczne są pzyczyną powstania pola magnetycznego
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoMMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe
MMF ćwiczeia - Rówaia óżicowe Rozwiązać ówaia óżicowe piewszego zędu: (a) y + y =, y = (b) y + y =!, y = Wsk Podzielić ówaie pzez! i podstawić z = y /( )! Rozwiązać ówaia óżicowe dugiego zędu: (a) + 6,
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowo8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8. 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8.. Płaski stan napężenia Tacza układ, ustój ciągły jednoodny, w któym jeden wymia jest znacznie mniejszy od pozostałych,
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoWstęp do fizyki jądrowej Tomasz Pawlak, 2009
4-6-7 Węp do fizyki jądowej Tomaz Pawak 9 oddziaływanie dwóch nukeonów mode poencjału dwuciałowego pawa ymeii (niezmienniczość wzgędem anfomacji) pawa zachowania wiekości fizycznych bak eoii pzykład: jednoodność
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ODPOWIEDZI DO ARKUSZA ROZSZERZONEGO Zadanie ( pkt) A Zadanie ( pkt) C Zadanie ( pkt) A, bo sinα + cosα sinα + cosα cos sinα sin cosα + π π + π sin α π A więc musi
Bardziej szczegółowoRozmieszczenie liczb pierwszych
Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoModel Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...
Model Lesliego Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Wyodrębiamy w populaci k grup wiekowych. Po każde edostce czasu astępuą arodziy i zgoy oraz starzeie (przechodzeie do astępe grupy wiekowe). Chcemy
Bardziej szczegółowoOpis kwantowy cząsteczki jest bardziej skomplikowany niż atomu. Hamiltonian przy zaniedbaniu oddziaływań związanych ze spinem ma następującą postać:
Cząsteczki. Kwantowy opis stanów enegetycznych cząsteczki. Funkcje falowe i enegia ektonów 3. Ruchy jąde oscylacje i otacje 4. Wzbudzenia cząsteczek Opis kwantowy cząsteczki jest badziej skomplikowany
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowo