Przykłady procesów nieodwracalnych: wyrównywanie się temperatur, gęstości i różnicy potencjałów.

Transkrypt

1 modynamika pocsów niodwacalnych modynamika klasyczna - tmostatyka - opis pocsów odwacalnych Ni można na podstawi otzymać wniosków dotyczących pzbigu w czasi pocsów niodwacalnych Pzykłady pocsów niodwacalnych: wyównywani się tmpatu, gęstości i óżnicy potncałów 1) Dyfuza w gazi polgaąca na pznoszniu matii w kiunku obszau o mnisz koncntaci n : D D gad n - pawo Ficka, D - gęstość pądu cząstk, D da - liczba cząstk dyfunduących w ciągu 1 skundy pzz lmnt powizchni d A, D - współczynnik dyfuzi, n - koncntaca cząstk ) κ gad - pawo Fouia - gęstość stuminia ngii κ - pzwodność ciplna właściwa 3) σ gad - pawo Ohma - gęstość pądu lktyczngo σ - pzwodność lktyczna właściwa Można pokazać, ż t wszystki zawiska są opisywan za pomocą ównania óżniczkowgo: ϕ ϕ k, k - stała chaaktystyczna dla dan sytuaci fizyczn W pzyodzi naczęści mamy pocsy złożon, w któych występu dnoczśni tanspot óżnych wilkości fizycznych Opis takich pocsów został zapoczątkowany pzz asa Onsaga Opis lokalny układu Mała część układu, zawia dnak dostatczni dużo cząstk aby można było okślić dla ni paamty tmodynamiczn 1

2 Dfiniumy: U u, ngia wwnętzna na dnobętości s ntopia na dn obętości Watości tych paamtów zalżą od połoznia i czasu u u( x, y, z,, s s( x, y, z, Zachodzą związki: gdzi ~ m, ρ - gęstość matii ~ s ρ, u ρu~, Wpowadźmy U - gęstość stuminia ngii U da - ilość ngii pzpływaąc w dnostc czasu pzz lmnt powizchni da U u d Zasadę zachowania ngii można zapisać ako: U d A U da div U d div U - lokalna zasada zachowania ngii Entopia ni spłnia zasad zachowania Jśli w izolowanym układzi zachodzą pocsy niodwacaln, to ntopia ośni: d d zw + d ww dopływ ntopii z zwnątz, gnaca ntopii w układzi Wpowadzaąc - gęstość stuminia ntopii, można napisać: zw A da Zakładamy, ż w układzi istnią źódła ntopii o natężniu θ : ww θ d

3 da + θd d div d + θd θ div Jst to lokaln sfomułowani II zasady tmodynamiki dla układów otwatych Dla wilu pocsów można θ policzyć Rozważmy pzpływ cipła w pęci o izolowanych ściankach bocznych: ( x, - tmpatua w punkci x i chwili t Pzymimy, ż ngia płyni w kiunku osi x tzn ( x, > ( x +, Do wybango lmntu obętości A wpływa cipło (pawo Fouia)z lw stony: ( x) d( x) κ A dt (*) a wypływa z paw stony: ( x + ) d( x + ) κ A dt (**) d d( x) d( x + ) - cipło zużyt na nagzani ozważango lmntu pęta Z I zasady tmodynamiki mamy: d du c ρ A d (***) Pomiamy zmianę obętości: dw 0 Możmy takż zapisać: ( x + ) ( x) + 3

4 Z (*) i (**) otzymumy: d κ A dt Poównuąc to wyażni z (***) otzymumy: K, κ gdzi K - współczynnik pzwodnictwa ciplngo c ρ Pzy zadanych waunkach bzgowych i początkowych możmy znalźć funkcę spłniaącą to ównani Równani to można uogólnić na tzy wymiay: K K div( gad ) Ni będzimy się zamować go ozwiązywanim w tym wykładzi ( x, Możmy napisać (pomiaąc pacę obętościową): d du zatm: U κ A κ A div( gad ) x Poniważ: U U u A więc dostamy: κ div( gad x ) Uogólniaąc to na tzy wymiay i kozystaąc z wzou Fouia mamy: div Napiszmy dla każdgo lmntu układu: du ds 1 div Z analizy wktoow mamy tożsamość: div( φ v) φ div( v) + v gad( φ) Zatm: 1 div + gad div gad Poównuąc to z II zasadą tmodynamiki dla układów otwatych mamy: gad θ gad 4

5 a poniważ z pawa Fouia: więc ostatczni: κ gad, gad θ κ Widzimy więc, ż podukca ntopii ma misc, gdy gad >0 (gdy st óżnica tmpatu) Wpowadźmy za Onsagm: 1 X gad - siła tmodynamiczna Wtdy można napisać: κx, κ X θ X Rozważmy pzpływ pądu w pzwodniku: I const I A U const const d gdzi φ st potncałm lktycznym [ φ ( x + ) φ( x) ] d d d, dw φ Popzdnio pokazaliśmy, ż: stąd otzymumy: 1 θ d d ww ww dt d dw d, ww d θ, 1 φ 1 A φ Uogólniaąc tn wynik na tzy wymiay: θ gadφ, 5

6 wpowadzaąc siłę tmodynamiczną : X gadφ, można napisać: θ X Jśli w pzwodniku występuą dnoczśni gadint tmpatuy i gadint potncału, to pzpływ cipła i tanspot ładunku są z sobą związan: Możmy taką sytuacę opisać za pomocą fnomnologiczngo ównania: i gdzi ik są to współczynniki kintyczn, a X k - siły tmodynamiczn Podukcę ntopii można wtdy zapisać: 1 θ ik X i X k i k Onsag udowodnił, ż: ik ki Jst to zasada symtii dla współczynników kintycznych dla układów, któych opis ni wymaga psudowktoów (ni ma pola magntyczngo itp) m k 1 ik X k, W obcności pola magntyczngo: ik ( B) ( B) ki Rozważmy pzykład z ysunku powyż: d + 1 d + 1 dφ dφ (*) (**) Załóżmy, ż w pęci ni płyni pąd: 0 Można to osiągnąć pzykładaąc zwnętzn napięci, wtdy: 6

7 dφ d 0 1 I α (***) Cipło Pltia Π - ilość cipła wydzilaącgo się na złączu pzy pzpływi dnostkowgo pądu pzy const ( 1 1 ) otzymumy: 1 d 0 Π Π α - wzó hompsona Kozystaąc z zasady Onsaga Rozważmy pzwodnictwo cipła w pęci w stani staconanym pzy I0 Mnożąc (*) pzz /d otzymumy: d 1 κ dφ d Kozystaąc z zasady Onsaga i ównania (***) dostamy: κ ( ) 1 11 Natomiast pzy d/0 z pawa Ohma otzymumy, ż -σ Można więc wyazić tzy nizalżn współczynniki kintyczn 11, 1, pzz tzy mizaln wilkości fizyczn: σ, Πσ, Π σ κ