WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład 0 Wprowadzenie ( ) ( ) dy x dx ( )

Transkrypt

1 Rówaia óżiczkowe zwyczaje Rówaie postaci: Wykład Wpowadzeie dy x dx ( x y ( x) ) = f () Gdzie f ( x y ) jest fukcją dwóch zmieych okeśloą i ciągłą w pewym obszaze płaskim D azywamy ówaiem óżiczkowym zwyczajym zędu piewszego Ogóliej ówaiem óżiczkowym zwyczajym zędu piewszego azywamy ówaie postaci: F ( x y y ') = Gdzie F jest fukcją tzech zmieych x y y okeśloą i ciągłą w pewym obszaze pzestzeym Rozwiązaiem lub całką ówaia () azywamy każda fukcję y(x) óżiczkowalą w pewy pzedziale I któe wykes leży w obszaze D i któa spełia wauek: y ' x = f x y x dla każ deg o x I Kzywą y=y(x) azywamy kzywą całkowa lub kócej całką ówaia óżiczkowego () Rozwiązać lub scałkować ówaie () zaczy zaleźć wszystkie jego całki Rozwiązać ówaie: Fukcja y Pzykład ' = 3x 3 y = x x W pzedziale < x < jest całką tego ówaia Podobie fukcje pzy dowolych watściach c Istieje więc odzia kzywych całkowych Rozwiązać ówaie: Fukcja W pzedziale Rozwiązać ówaie: Pzykład xy ' + 3x y = y = cx + 3x 3 y x x c < x < jest całką tego ówaia pzy dowolych watościach c Pzykład 3 = + sa całkami

2 x y ' = y Fukcja y = x i y = x W pzedziale < x < są całkami tego ówaia gdzie jest dowolą stała dodatią Ogólie ówaia w postaci: F x y y ' y = () Gdzie F jest fukcją + zmieych x y y y okeśloą i ciągłą w pewym obszaze (+) d y wymiaowym i gdzie y ozacza pochodą azywamy ówaie óżiczkowym zwyczajym dx zędu Całkę tego ówaia okeślamy podobie jak w pzypadku = Rozwiązać ówaie: Fukcja Pzykład 4 xy '' + y ' = y = c l x + c W pzedziale < x < i < x < y jest całką tego ówaia pzy dowolych watościach c i c Pzykłady zagadień powadzących do ówań óżiczkowych Pzedstawioe zostaą tzy zagadieia któych ozwiązaie powadzi do całkowaia ówań óżiczkowych Zadaie Ciało stałe o masie m zauzoe w cieczy ozpuszcza się jak uczy doświadczeie z pędkością popocjoalą do ilości ciała ieozpuszczoego Niech y=y(t) ozacza ilość ciała ozpuszczoego w czasie t Pytaie jak y zależy od czasu t? Ilość ciała ie ozpuszczoego po upływie czasu t ówa się m-y pędkość ozpuszczaia jest dy szukamy więc fukcji y=y(t) spełiającej ówaie óżiczkowe zwyczaje: dy ( m = λ Gdzie λ jest stałym współczyikiem popocjoalości Rozwiązaie ówaia ma postać:

3 Gdzie c jest dowolą stałą y = m ce λt Załóżmy że ozpuszczaie zaczęło się w chwili t= wiec dla t= mamy y= skąd m-c= czyli c=m Pzy tym wauku początkowym ozwiązaie ma postać: λt y = m e dla t Zadaie II Na pukt mateialy m pouszający się po osi x iech działa siła spężysta popocjoala do odległości puktu m od puktu stałego Pytaie jaki uch odbywa pukt m po wychyleiu z położeie ówowagi do puktu A gdzie A =d Niech x=x(t) będzie odległością puktu m od puktu w chwili t Siła działajaca a pukt m ówa się iloczyowi masy m pzez pzyspieszeie óżiczkowe: Gdzie λ jest pewą stałą dodatią Ozaczając a λ = otzymujemy: m d x więc szukamy fukcji x=x(t) spełiającej ówaie d x m = λx d x + a x = Jest to ówaie óżiczkowe zwyczaje zędu dugiego Czytelik może spawdzić że fukcja x = ca siαt + ca cosαt spełia to ówaie pzy dowolych stałych watościach c i c Załóżmy teaz że czas liczymy od chwili ajwiększego wychyleia tj że dla t= mamy x=d zatem d c = Pędkość uchu : a Niech ówa się zeu w chwili t= więc c = Zatem dx = ca cosαt + ca siαt x = d cosαt Pukt m odbywa więc uch okesowy hamoiczy o amplitudzie d i okesie T π = a Zadaie III

4 Pzykłady ozwiązań zadań dwuwymiaowych w opaciu o apoksymację Dupuit Zagadieia pzepływu ustaloego pzy zasilaiu boczym - pzepływ wody pzez goblę Gobla zbudowaa z gutu jedoodego i izotopowego o współczyiku filtacji k spoczywa a poziomo ułożoym stopie wastwy iepzepuszczalej (ys ) Rys Schemat zadaia pzepływ wody pzez goblę Szeokość gobli wyosi m atomiast długość l Poziom wody po jedej stoie gobli wyosi H atomiast po dugiej H Pzepływ wody pzez goblę jest ustaloy Wyzaczymy poziom zwieciadła wody w gobli oaz wydatek pzepływającej pzez goblę wody Liie pądu w tym pzypadku wyglądają tak jak to pokazao a (ys ) Rys Liie pądu i powiezchie pzekoju

5 Widać więc że podział obszau filtacji pzekojami pioowymi postopadłymi do bzegu iepzepuszczalego odpowiada założeiom teoii Dupuit Pędkość filtacji w odległości x od początku układu współzędych wyiesie: dh v = k (3) dx Wydatek pzypadający a mb gobli jest ówy: dh q Fv kh cos = = dx= (4) Rozwiązując powyższe ówaie óżiczkowe zwyczaje metodą ozdzieleia zmieych otzymamy: H q = x + c (5) k Uwzględiając wauek bzegowy: dla x = ; H = H oaz x = l; H = H wyzaczymy stałe c oaz wydatek q w ówaiu (5): c = H k q = l (6) Rówaie opisujące powiezchię swobodą zwieciadła wody ma więc w postać:

6 x H = + H (7) l Rozkład pędkości filtacji wzdłuż dogi pzepływu pzedstawia się astępująco: k H H v = (8) l H x l Dopływ do studi w wastwie o zwieciadle swobodym pzy zasilaiu boczym Rozwiążemy dopływ do studi o zwieciadle swobodym (ys3) pzy astępujących założeiach: Rys 3 Schemat zadaia dopływ cieczy ieściśliwej do studi studia o pomieiu leży a śodku wyspy o pomieiu R wastwa wodoośa o współczyiku filtacji k jest jedooda i izotopowa stop wastwy iepzepuszczalej jest ułożoy poziomo studia sięga spągu wastwy pzepuszczalej (studia zupeła) i jest do iej postopadła pzed pompowaiem zwieciadło cieczy jest poziome a bzegach wyspy poziom wody względem stopu wastwy iepzepuszczalej wyosi H w studi H pzepływ jest ustaloy i lamiay Zazaczmy a ys 4 pzebieg liii pądu dla ozwiązywaego zadaia

7 Rys 4 Pzebieg liii pądu Obsza filtacji w tym pzypadku podzielimy pioowymi współosiowymi ze studią powiezchiami Pędkość filtacji w odległości od osi studi wyiesie: dh v = k d wydatek atomiast będzie ówy: dh Q = πhk d Rozwiązując powyższe ówaie óżiczkowe metodą ozdzieleia zmieych otzymamy: Q H = l + c (9) πk Wauki bzegowe dla ozpatywaego pzypadku są astępujące: dla = ; H = H oaz = R; H = H

8 Uwzględiając powyższe wauki uzyskujemy ówaie opisujące powiezchię zwieciadła wody w postaci: H l R l = H () oaz wzó a wydatek dopływającego do studi: Q k = π () l R atomiast pędkość filtacji wyazi się wzoem: 3 Rówaia óżiczkowe cząstkowe Fukcje tzech lub więcej zmieych v = () R l k H R l R l Fukcje tzech zmieych f(xyz) i ogólie fukcję o zmieych f x x x3 x okeślamy w zbioze pzestzeym E podobie jak fukcje jedej czy dwu zmieych Aalogiczie też okeślamy gaicę i ciągłość tych fukcji Zachowują ważość twiedzeia o gaicy i ciągłości sumy óżicy iloczyu i iloazu dwu fukcji Defiicja pochodej cząstkowej Niech f(xyz) będzie fukcją okeśloą w otoczeiu puktu ( ) fukcji względem x w pukcie ( x y z ) azyway pochoda fukcji ( ) x w pukcie x Okeślamy ją pzez : x y z Pochodą cząstkowa tej f x y z jedej zmieej x ( ) f x y z lub x

9 Aalogiczie okeślamy pochode cząstkowe f x x x fukcji y i z fukcji f ( ) x y z oaz pochode czastkowe Pzykład Niech 3 f x y z = x xy + 4yz Obliczamy pochode cząstkowe: f = 6x y x f = xy + 4z y f = 4y z Pochode cząstkowe pochodych cząstkowych azywamy pochodymi cząstkowymi wyższych zędów Pzez p+ q+ f x y z p q Lub f p q x y z ( x y z ) ozaczamy pochodą cząstkowa zędu p+q+ fukcji f(xyz) otzymaą óżiczkowaiem ajpiew azy względem z astępie q azy względem y i weszcie p azy względem x Jeżeli wszystkie pochode zędu są ciągłe to poządek óżiczkowaia ie ma wpływu a watość tych pochodych Fukcję u ( x y z ) klasy C spełiającą w pewym obszaze ówaie: uxx + u yy + uzz = Nazywamy fukcją hamoiczą tzech zmieych Pochode cząstkowe fukcji złożoej Niech fukcje u = φ ( x i v ψ ( x = będą okeśloa jest fukcja z=f(uv) Wówczas wzó: ( ) ψ ( ) z = f φ x y x y (3) Okeśla w obszaze D fukcję złożoą zmieych x i y Możemy wykazać że :

10 Jeżeli fukcje φ ( x i ( x fukcja f ( u v ) ma w otoczeiu puktu (uv) gdzie u = φ ( x v ψ ( x ψ maja pochode cząstkowe w pukcie P o współzędych xy oaz = pochode cząstkowe ciągłe to fukcja złożoa (3) ma w pukcie P pochode cząstkowe wyażoe wzoami: z u v z u v = + = + x u x v x y u y v y (4) Jeżeli fukcje f φ ψ mają dugie pochode cząstkowe wówczas wzoy (4) moża stosować do z x z i obliczyć z z z Np: i y Niech Gdzie u=3x-y xx yy xy z = f u + f u v + f v + f u + f v xx uu x uv x x vv x u xx v xx Pzykład obliczeiowy z = u l v v = x + y W myśl wzou (4) mamy: Różiczki fukcji dwu lub więcej zmieych z u 3x y = 3l v + x = 3l ( x + y ) + x x v x + y z u 3x y = l v + y = l ( x + y ) + y y v x + y Niech f(x będzie fukcją okeśloą w otoczeiu puktu ( ) pukcie Iloczyy: P x y i óżiczkowalą w tym dx x dy y Gzie dx i dy są dowolymi pzyostami a pochode są obliczoe w pukcie P azywamy óżiczkami cząstkowymi fukcji f(x w pukcie P Sumę óżiczek cząstkowych ozaczamy pzez df: df = dx + dy x y (5) I azywamy óżiczką zupełą fukcji f w pukcie P Różiczkę zupełą fukcji zmieych óżiczek cząstkowych: f x x x okeślamy aalogiczie jako sumę df = dx + dx + dx + + dx x x x x 3 3 (6) Wzó Tayloa dla fukcji dwu i więcej zmieych

11 Niech f ( x y ) będzie fukcją klasy A( x y ) i B( x + h y + k ) Na odciku AB zajduje się taki pukt C ( x θh y θk ) f ( x + h y + k ) wyaża się wzoem: C w pewym obszaze zawieającym odciek o końcach + + że df d f d f f x + h y + k = f x y R!!! ( ) (7) Gdzie ν I gdzie pochode fukcji f w wyażeiach d f pochode zędu w eszcie Maksima i miima Fukcja f ( ) p df = h+ k R = h+ k x y! x y dla ν < są obliczoe w pukcie ( x y ) R są obliczoe w pukcie ( x θ h y θ k ) + + x y óżiczkowala w pewym obszaze może mieć ekstemum (maksimum lub miimum) tylko w takich puktach obszau w któych: f x y = i f x y = (8) x Twiedzeie powyższe łatwo ozszezyć a fukcje tzech i więcej zmieych Wauek wystaczający dla ekstemum Niech fukcja f ( x y ) ma w otoczeiu puktu ( ) ciągłe Wyażeie: Nazywamy wyóżikiem fukcji f ( ) W pukcie ( ) x y w któym f i f jeżeli x y x y piewsze i dugie pochode cząstkowe W x y = f f f (9) xx yy xy x y Moża wykazać że: = = fukcja f ( ) y x y ma ekstemum: W x y > osiąga maksimum gdy w tym pukcie f < miimum gdy w tym pukcie f xx > W x y < wówczas ie ma ekstemum jeżeli xx