Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i Robotka sem I, rok ak 2008/2009 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R n def = {( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R } Funkcją n miennch określoną na biore D R n o wartościach w R nawam prporądkowanie każdemu punktowi e bioru D dokładnie jednej licb recwistej Funkcję taką onacam pre f : D R lub w = f ( 1, 2,, n ), gdie ( 1, 2,, n ) D Wartość funkcji f w punkcie ( 1, 2,, n ) onacam pre f ( 1, 2,, n ) Dla n = 2 mam funkcję dwóch miennch = f(, ) R 2 (, ) = f(, ) R R 2 D (, ) R = f(, ) Dla n = 3 mam funkcję trech miennch w = f(,, ) R 3 (,, ) w = f(,, ) R D R 3 R w = f(,, ) 1
Automatka i Robotka 1 Diedina, wkres i warstwice funkcji wielu miennch Zbiór wsstkich punktów prestreni R n, dla którch funkcja f jest określona nawam diediną funkcji f i onacam pre D f Jeżeli dan jest wór określając funkcję, to biór punktów prestreni R n, dla którch wór ten ma sens, nawam diediną naturalną funkcji Prkład 11 (Prkład funkcji dwóch miennch) Niech f(, ) = arc sin Wówcas D f = {(, ) : 1 1 0} Prkład 12 (Prkład funkcji trech miennch) Niech g(,, ) = 1 2 2 2 Wówcas D g = {(,, ) : 2 + 2 + 2 1} Wkresem funkcji n-miennch nawam biór {( 1,, n, w) : ( 1,, n ) D f w = f( 1,, n )} R n R Dla n = 2 {(,, ) : (, ) D f = f(, )} R 3 = f(, ) D f 2 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Poiomicą wkresu funkcji dwóch miennch = f(, ) odpowiadającą poiomowi h R nawam biór {(, ) : (, ) D f f(, ) = h} R 2 = f(, ) f(, ) = h poiomica wkresu funkcji f Warstwicą wkresu funkcji f : D f R, n 3 odpowiadającą warstwie h R nawam biór {( 1,, n ) D f : ( 1,, n ) D f f( 1,, n ) = h} R n 11 Wkres ważniejsch funkcji dwóch miennch f : R 2 R Wkresem funkcji = A + B + C jest płascna o wektore normalnm n = [ A, B, 1], prechodąca pre punkt (0, 0, C) Wkresem funkcji = a( 2 + 2 ) jest paraboloida obrotowa, tj powierchnia obrotowa powstała obrotu paraboli = a 2 (lub = a 2 ) wokół osi O a > 0 3 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Wkresem funkcji = ± R 2 2 2 współrędnch i promieniu R jest górna lub dolna półsfera o środku w pocątku układu = R 2 2 2 = R 2 2 2 Wkresem funkcji = k 2 + 2 jest stożek, tj powierchnia powstała obrotu półprostej = k, = 0, dla 0 wokół osi O k > 0 ( ) Wkresem funkcji = h 2 + 2 jest powierchnia obrotowa powstała obrotu wkresu funkcji = h(), = 0, dla 0 wokół osi O Wkresem funkcji = g() lub = k() jest powierchnia walcowa powstała presunięcia wkresu funkcji = g(), dla = 0 równolegle do osi OY lub wkresu funkcji = k(), dla = 0 równolegle do osi OX 4 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Wkres funkcji = f( a, b) + c powstaje wkresu funkcji = f(, ) pre presunięcie o wektor v = [a, b, c] v = [a, b, c] Wkres funkcji = f(, ) powstaje wkresu funkcji = f(, ) pre smetrcne odbicie wględem płascn OXY 12 Funkcje f : R n R m Jeżeli funkcja prjmuje wartości w biore R m f : R n R m to obok n miennch nieależnch ( 1,, n ) będiem mieli m miennch ależnch 1,, m Taką funkcję możem opiswać: 1 = f 1 ( 1,, n ) f 1 ( 1,, n ) = f() = m = f m ( 1,, n ) f m ( 1,, n ) Prkład 13 Niech (, ) R 2 Niech r będie odległością punktu P (, ) od pocątku układu współrędnch (0, 0), aś ϕ będie kątem jaki twor odcinek P O dodatnią półosią OX r P = r cos ϕ Wted równanie ϕ definiuje funkcję = r sin ϕ f : 0, + ) 0, 2π) R 2, gdie f(r, ϕ) = = r cos ϕ r sin ϕ mienne, są miennmi ależnmi od miennch r i ϕ 5 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 13 Funkcje f : R R n Funkcje adane na biore licb recwistch (lub jego podbiore) można uważać a opis parametrcne krwch w R n Niech f : 0, 2π) R 2, gdie f(t) = = a cos t a sin t Wted f jest opisem parametrcnm okręgu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu a a a Niech g : R R 3, gdie t g(t) = = t t Wted g jest opisem parametrcnm prostej prechodącej pre pocątek układu współrędnch (0, 0, 0) i równoległej do wektora [ 1, 1, 1] ( 1, 1, 1) (0, 0, 0) 6 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 2 Powierchnie obrotowe Krwa obracająca się dookoła prostej ataca powierchnię obrotową Obróćm krwą o równaniu = (t), = (t), = (t), t a, b dookoła osi OZ Wówcas punkt P ((t 0 ), (t 0 ), (t 0 )) krwej atoc okrąg o równaniu ( ) 2 + 2 = [(t 0 )] 2 + [(t 0 )] 2 leżąc na płascźnie = (t 0 ) Po eliminacji t 0 ( ) otrmujem równanie powierchni obrotowej atacane j pre krwą Prkład 21 (Prkład powierchni obrotowch) Niech linia prosta = t, = t, = 2t, t R obraca się dookoła osi OZ Wówcas punkt P (t 0, t 0, 2t 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) 2 + 2 = 2(t 0 ) 2 leżąc na płascźnie = 2t 0 Po eliminacji t 0 ( ) otrmujem równanie 2 + 2 = 2 2 < równanie stożka powierchni obrotowej atacanej pre daną prostą 7 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Niech okrąg = a + r cos t, = 0, = r sin t, t R obraca się dookoła osi OZ Wówcas punkt P (a + r cos t 0, 0, r sin t 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) 2 + 2 = (a + r cos t 0 ) 2 Po eliminacji t 0 ( ) otrmujem równanie ( 2 + 2 a) 2 + 2 = r 2 < równanie torusa; powierchni obrotowej atacanej pre okrąg = a + r cos t, = 0, = r sin t, t R 3 Pregląd powierchni stopnia drugiego Definicja 31 Powierchnią stopnia drugiego nawam biór punktów prestreni trójwmiarowej, które spełniają równanie: A 2 + B 2 + C 2 + D + E + F + G + H + I + K = 0, (1) gdie A, B,, K są stałmi Ponadto prnajmniej jedna e stałch A, B, C, D, E, F musi bć różna od era Równanie (1) to równanie ogólne powierchni stopnia drugiego Prkład 32 Prkład powierchni stopnia drugiego Równanie 2 + 2 + 2 = 1 opisuje sferę o środku w punkcie O(0, 0, 0) i promieniu 1 Równanie 2 + 2 + 2 + 2 6 + 6 = 0 opisuje sferę o środku w punkcie S( 1, 0, 3) i promieniu 2 Twierdenie 33 Każdą powierchnie stopnia drugiego można tak obrócić i presunąć, ab miała ona jedno następującch równań: 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 1 < elipsoida 2 a 2 + 2 b 2 2 = 1 < hiperboloida jednopowłokowa c2 2 a 2 2 b 2 2 c 2 = 1 < hiperboloida dwupowłokowa 2 a 2 + 2 b 2 = 2 c 2 < stożek = 2 a 2 + 2 b 2 < paraboloida eliptcna = 2 a 2 2 b 2 < paraboloida hiperbolicna 2 a 2 + 2 b 2 = 1 < walec eliptcn 2 a 2 2 = 1 < walec hiperbolicn b2 = a 2 < walec parabolicn 8 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Równania 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 1, 2 a 2 + 2 b 2 2 c 2 = 1, 2 a 2 2 b 2 2 c 2 = 1, 2 a 2 + 2 b 2 = 2 c 2, = 2 a 2 + 2 b 2, = 2 a 2 2 b 2, 2 a 2 + 2 b 2 = 1, 2 a 2 2 b 2 = 1, = a2, nawam równaniami kanonicnmi powierchni stopnia drugiego (niedegenerowanch) Uwaga 1 W niektórch prpadkach ogólne równanie powierchni stopnia drugiego może predstawiać biór punktów prestreni, będąc biorem pustm, biorem jednopunktowm, prosta, suma dwóch prostch, płascna, suma dwóch płascn Powierchnie takie nawam degenerowanmi Kstałt powierchni opisanch w twierdeniu można ocenić na podstawie ich prekrojów płascnami równoległmi do płascn układu współrędnch Rsunki podstawowch powierchni stopnia drugiego patr osobna kartka Powierchnię utworoną pre rodinę prostch równoległch do danej prostej i prechodącch pre punkt krwej L nawam powierchnią walcową Krwą L nawam kierownicą, a każda prostą tej rodin - tworąca powierchni walcowej Prkład 34 Równanie 2 a 2 + 2 b 2 = 1 na płascźnie OXY opisuje elipsę, w prestreni równanie to opisuje powierchnię walcowa, której kierownicą jest elipsa a tworące sa równoległe do osi OZ Powierchnie ta nawam walcem eliptcnm 4 Granice funkcji wielu miennch Niech (P k ( k1,, kn )) ki N będie ciągiem punktów w Rn Definicja 41 Mówim, że ciąg (P k ) dąż do punktu P 0 ( 01,, 0n ) R n, jeżeli lim k i = 0i, dla każdego i = 1, 2,, n, k i + onaca to bieżność dla każdej współrędnej ( ) 1 Prkład 42 Niech P n ( n, n ) = n, ( 1)n ciąg punktów w prestreni R 2 n Wówcas Niech f : R n R będie funkcją n-miennch lim ( n, n ) = (0, 0) n + Niech P 0 ( 01,, 0n ) R n ora niech funkcja f będie określona prnajmniej na S(P 0 ) def { = ( 1,, n ) R n : (1 01 ) 2 + + ( n 0n ) 2 < r} \ {P 0 }, gdie r > 0 jest pewną licbą ( k1,, kn ) ki 0i i = 1, 2,, n lim f( 1,, n ) = g P P 0 def [ lim k i = 0i, i = 1,, n k i ] lim f( k 1,, kn ) = g k i 9 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 41 Własności granic funkcji wielu miennch Twierdenie 43 Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie P 0 R n, to lim [f(p ) ± g(p )] = lim f(p ) ± lim g(p ) P P 0 P P 0 P P 0 lim c f(p ) = c lim f(p ) P P 0 P P 0 lim [f(p ) g(p )] = lim f(p ) lim g(p ) P P 0 P P 0 P P 0 f(p ) lim P P 0 g(p ) = lim f(p ) P P 0 lim g(p ), o ile P P 0 lim g(p ) 0 P P 0 Twierdenie 44 Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,, n i f spełniają warunki: lim ϕ i (T) = 0i, T T 0 T R m T S(T 0 ) (ϕ 1 (T),, ϕ n (T)) ( 01,, 0n ) lim f(p ) = g, P P 0 to lim f (ϕ 1 (T),, ϕ n (T)) = g T T 0 5 Ciągłość funkcji wielu miennch Niech f : R n R będie funkcją n-miennch Twierdenie 51 Funkcja jest ciągła w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) def lim f( 1,, n ) = f( 01,, 0n ) P P 0 Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie P 0 ( 01,, 0n ), to w tm punkcie ciągłe są także funkcje f + g, f g, c f, c R, f g, f g, o ile g(p 0) 0 Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,, n są ciągłe w punkcie T 0 R m ora f jest ciągła w punkcie P 0 = (ϕ 1 (T 0 ),, ϕ n (T 0 )), to funkcja f (ϕ 1 (t 1,, t m ),, ϕ n (t 1,, t m )) jest ciągła w T 0 10 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 6 Pochodne cąstkowe Niech f onaca funkcję n-miennch określoną w otoceniu O punktu P 0 ( 01,, 0n ) Smbolem i onacam prrost miennej nieależnej i, 1 n n, różn od era i taki, żeb punkt P ( 01,, 0i 1, 0i + i, 0i+1,, 0n ) należał do otocenia O Granicę właściwą f(p ) f(p 0 ) lim i 0 i nawam pochodną cąstkową rędu pierwsego funkcji f wględem miennej i w punkcie P 0 i onacam smbolem (P 0 ) i 61 Pochodne cąstkowe funkcji dwóch miennch Dla funkcji dwóch miennch f(, ) definicje pochodnch cąstkowch rędu pierwsego wględem miennch i w punkcie P 0 ( 0, 0 ) są następujące (P 0) def f( 0 +, 0 ) f( 0, 0 ) = lim 0 ora (P 0) def f( 0, 0 + ) f( 0, 0 ) = lim 0 62 Interpretacja geometrcna pochodnch cąstkowch dla funkcji dwóch miennch Niech f : R 2 R, = f(, ) Załóżm, że f ma pochodne cąstkowe rędu pierwsego w punkcie P 0 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) = tg α ( 0, 0 ) = tg β α β ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcji f wględem miennej pr ustalonej wartości miennej ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcji f wględem miennej pr ustalonej wartości miennej Uwaga 2 Nie ma wiąku międ ciągłością funkcji wielu miennch a istnieniem pochodnch cąstkowch 11 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Prkład 61 (Prkład funkcji nieciągłej i mającej pochodne cąstkowe) Funkcja wielu miennch może mieć w punkcie obie pochodne cąstkowe pierwsego rędu i może nie bć ciągła w tm punkcie, 1, dla = 0 np funkcja f(, ) = nie jest ciągła w punkcie (0, 0), ale f ma pochodne cąstkowe w 0, dla 0 punkcie (0, 0): i f(, 0) f(0, 0) (0, 0)= lim 0 1 1 = lim 0 = 0 f(0, ) f(0, 0) 1 1 (0, 0)= lim = lim 0 0 = 0 Prkład 62 (Prkład funkcji ciągłej nie mającej pochodnch cąstkowch) Niech f(, ) = 2 + 2 Funkcja f jest ciągła w punkcie (0, 0), gdż 2 + 2 = 0 = f(0, 0), ale lim (,) (0,0) (0, 0)= lim 2 + 0 2 0 = lim 0 0 nie istnieje i 0 (0, 0)= lim 2 + 2 0 = lim 0 0 nie istnieje Jeżeli funkcja ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w każdm punkcie bioru otwartego D R n, to funkcje 1 ( 1,, n ), 2 ( 1,, n ),, n ( 1,, n ), gdie ( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi pierwsego rędu funkcji f na biore D i on 1, Prkład 63 Niech f(, ) = 2,, n lub f 1, f 2,, f n e ln( + ) Niech g(,, ) = 3 arc tg( + e ) 7 Pochodna kierunkowa funkcji f : D R n R Niech f onaca funkcję n-miennch określoną w otoceniu O punktu P 0 ( 01,, 0n ) D Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P 0 w kierunku wersora v = [v 1, v 2,, v n ] określam worem df d v (P 0) def f( 01 + tv 1,, 0n + tv n ) f( 01,, 0n ) = lim t 0 t 12 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Pochodna kierunkowa df d v Dla f : D R 2 R funkcji f w kierunku v jest też onacana następująco Dla f : D R 3 R v lub f v df d i =, df d j = Prkład 71 Niech f(,, ) = 2 2, P 0 (1, 0, 1) i v = df d v (P 0) def = lim t 0 df d i =, [ 1 3 3, 3, ( 1 + 1 ) ( 2 ) ( ) 3 5 3 t 2 0 3 t 1 + 3 t 1 1 + 2 lim 3 t + 1 9 t2 2 3 t 0 t 2 3t + 15t 2 1 9 = 2 t 3 Prkład 72 Niech f(,, ) = e ++, P 0 (0, 0, 0) i v = [1, 1, 1] Wówcas df d v (P 0) def e 3t 1 [ 0 0 = lim = ] 3e 3t lim t 0 t t 0 1 = 3 df d j =, ] 5 Wówcas 3 = ( 1 ) 3 df d k = 71 Interpretacja geometrcna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch miennch Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu ( 0, 0 ) Ponadto niech γ onaca kąt nachlenia do płascn XOY półstcnej do krwej otrmanej w wniku prekroju wkresu funkcji f = 0, półpłascną prechodącą pre prostą ora równoległą do wersora v Wted = 0 df d v ( 0, 0 ) = tg γ ( 0, 0, 0) v γ Pochodna kierunkowa określa sbkość mian wartości funkcji f w kierunku v 8 Gradient funkcji Niech f : D R n R Gradientem funkcji f w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wektor określon worem f(p 0 ) def = [ (P 0 ), (P 0 ),, ] (P 0 ) 1 2 n 13 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Gradient w punkcie P 0 jest również onacan pre gradf(p 0 ) lub f (P 0 ), tak jak pochodna jednej miennej Prkład 81 Niech f(, ) = 3 2 + 3 i P 0 ( 2, 1) Wówcas [ f=, ] = [3 2 2 + 3, 2 3 1], więc f( 2, 1)=[15, 17] 81 Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Twierdenie 82 (wór do oblicania pochodnej kierunkowej) Niech pochodne cąstkowe 1,, n będą ciągłe w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) ora niech v będie dowolnm wersorem Wted df d v (P 0) = f(p 0 ) v Prkład 83 Niech f(, ) = 3 2 + 3, P 0 ( 2, 1) i v = [ 1 2, 1 2 ] Wówcas [ df 1 d v ( 2, 1) = f( 2, 1) v = [15, 17] 2, 1 ] = 32 2 2 i, i = Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie licona w kierunku gradientu ma wartość najwięksą spośród wsstkich pochodnch kierunkowch liconch w różnch kierunkach i df d f(p 0 ) (P 0) = f(p 0 ) 82 Interpretacja geometrcna gradientu funkcji dwóch miennch Gradient funkcji w punkcie wskauje kierunek najsbsego wrostu funkcji w tm punkcie ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) Gradient funkcji w punkcie jest prostopadł do poiomic funkcji prechodącej pre ten punkt 0 ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) 0 14 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 9 Pochodne cąstkowe drugiego rędu Niech funkcja f ma pochodne cąstkowe i, i = 1, 2,, n, na obsare D R n ora niech P 0 ( 01, 02,, 0n ) D Pochodne cąstkowe drugiego rędu funkcji f w punkcie P 0 określam worami: dla i, j = 1, 2,, n 2 ( ( )) f 2 (P 0 ) = (P 0 ), i i i ( ( )) (P 0 ) = (P 0 ), i j i j Powżse pochodne onacam także odpowiednio pre f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) lub f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) Jeżeli funkcja f ma pochodne cąstkowe drugiego rędu w każdm punkcie obsaru D R n, to funkcje 2 ( 1,, n ), i i j ( 1,, n ), i, j = 1, 2,, n gdie ( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi drugiego rędu funkcji f na obsare D i onacam odpowiednio pre 2 f 2 i, i j lub f i i, f j i 10 Pochodne cąstkowe wżsch rędów Jeżeli funkcja f ma pochodne cąstkowe rędu k 2 prnajmniej na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) D R n, to gdie s + p = k k+1 ( ( f k )) f i s (P 0 ) = j p l i s (P 0 ), j p l Twierdenie 101 (Twierdenie Schwara) Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i j, i j, j i istnieją na otoceniu punktu P 0 j i, będą ciągłe w punkcie P 0 Wted i j (P 0 ) = 2 f j i (P 0 ), i j i i, j = 1, 2,, n Uwaga 3 Prawdiwe są analogicne równości dla pochodnch miesanch wżsch rędów 11 Różnickowalność funkcji n-miennch Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) ora niech istnieją pochodne cąstkowe i (P 0 ), i = 1,,, n Funkcja f jest różnickowalna w punkcie P 0 wted i tlko wted, gd spełnion jest warunek: lim ( 1,, n) (0,,0) gdie P = ( 01 + 1,, 0n + n ) f(p ) f(p 0 ) 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) n =0, ( 1 ) 2 + + ( n ) 2 15 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Twierdenie 111 (Warunek koniecn różnickowalności funkcji) Jeżeli funkcja jest różnickowalna w punkcie, to jest ciągła w tm punkcie Uwaga 4 Twierdenie odwrotne nie jest prawdiwe Świadc o tm prkład funkcji f(, ) = 2 + 2, która jest ciągła w punkcie (0, 0), ale nie jest w tm punkcie różnickowalna, gdż nie istnieją pochodne cąstkowe tej funkcji, patr Prkład 62 Twierdenie 112 (Warunek wstarcając różnickowalności funkcji) Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i, i = 1,, n istnieją na otoceniu punktu P 0 i, i = 1,, n będą ciągłe w punkcie P 0 Wted funkcja f jest różnickowalna w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnickowalność funkcji f w punkcie ( 0, 0 ) onaca, że istnieje płascna stcna (niepionowa) do wkresu tej funkcji w punkcie ( 0, 0, f( 0, 0 )) = f(, ) płascna stcna ( 0, 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcji Niech funkcja f będie różnickowalna w punkcie P 0 ( 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcji f w punkcie ( 0, 0, 0 ), gdie 0 = f( 0, 0 ), ma postać: 12 Różnicka funkcji n-miennch 0 = ( 0, 0 )( 0 ) + ( 0, 0 )( 0 ) Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcja f ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnicką funkcji f w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam funkcję miennch 1, 2,, n określoną worem: df(p 0 )( 1, 2,, n ) def = n i=1 i (P 0 ) i, Różnickę funkcji f onaca się także pre df( 01, 02,, 0n ) lub krótko df 16 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 121 Zastosowanie różnicki funkcji n-miennch Niech funkcja f będie różnickowalna w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) Wted f( 01 + 1,, 0n + n ) f(p 0 ) + df(p 0 )( 1,, n ), pr cm błąd δ( 1, 2,, n ) powżsego prbliżenia dąż sbciej do 0 niż ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + + ( n ) 2, tn lim ( 1,, n) (0,,0) δ( 1, 2,, n ) ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + + ( n ) 2 = 0 Prkład 121 Wkorstując różnickę oblicm wartość prbliżoną wrażenia 2,1 8,05 Definiujem funkcję f(, ) = Prjmujem 0 =2 0 =8 =0,1 i =0,05 Ponieważ = 1 2 i = 1 2,więc 1 2, 1 8, 05 2 8 + 1 0,1 + 0,05 = 4,1125 4 122 Zastosowanie różnicki funkcji do sacowania błędów pomiarów Niech wielkości ficne 1, 2,, n, będą wiąane ależnością = f( 1, 2,, n ) Ponadto niech i, i = 1, 2,, n onacają odpowiednio błęd bewględne pomiaru wielkości 1, 2,, n Wted błąd bewględn obliceń wielkości wraża się worem prbliżonm n i i=1 i Prkład 122 Pr pomoc menurki można mierć objętość ciała dokładnością V = 0,1 cm 3, a pr pomoc wagi sprężnowej można ustalić jego masę dokładnością 1 g Objętość ciała mierona tm sposobem wnosi V = 25 cm 3, a masa M = 200 g Z jaką w prbliżeniu dokładnością można oblicć gęstość ρ tego ciała? Ponieważ ρ(m, V ) = M V, więc ρ M = 1 V i ρ V = M V 2, więc 123 Różnicka upełna ρ ρ M M + ρ V V = 1 25 1 + 200 25 2 0,1 = 0,072 Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcja f ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) Prrost 1, 2,, n nawam różnickami miennch nieależnch 1, 2,, n, odpowiednio i onacam smbolami d 1, d 2,, d n Różnicką upełną funkcji f w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wrażenie: df(p 0 ) def = n i=1 i (P 0 )d i 17 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 13 Różnickowanie funkcji łożonch Twierdenie 131 Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cąstkowe i, i = 1,, n, na obsare D R n, funkcje 1 = 1 (t), 2 = 2 (t),, n = n (t), będą różnickowalne na prediale (a, b) R ora ( 1 (t),, n (t)) D dla każdego t (a, b) Wted funkcja łożona F (t) = f( 1 (t), 2 (t),, n (t)) jest różnickowalna na prediale (a, b) ora df n dt = d i i dt Prkład 132 Niech F (t) = f((t), (t)), gdie f(, ) = 2, = e t i = e 2t Wówcas i=1 df dt (t)= 2 (t)e t + (2(t)(t) 1)2e 2t = e 3t + 2(2e t 1)e 2t Dla t 0 = 0 mam (0) = 1 i (0) = 1, więc Twierdenie 133 Niech df dt (0)=1 funkcja f ma ciągłe pochodne cąstkowe i, i = 1,, n, na obsare D R n, funkcje 1 = 1 (t 1,, t m ),, n = 2 (t 1,, t m ), mają pochodne cąstkowe k = 1,, m na obsare U R m i t k, i = 1,, n, Wted funkcja łożona F (t 1,, t m ) = f( 1 (t 1,, t m ),, n (t 1,, t m )) ma na obsare U następujące pochodne cąstkowe I-ego rędu: F n i =, k = 1,, m t k i=1 i t k Prkład 134 Niech F (u, v) = f((u, v), (u, v)), gdie f(, ) = 2 + 2, = u + v i = u v Wówcas F u (1, 1)= (2(u, v) (u, v)) + ( (u, v) + 2(u, v)) (1,1) = (4 0) + ( 2 + 0) = 2, F v (1, 1)= (2(u, v) (u, v)) + ( (u, v) + 2(u, v)) ( 1) (1,1) = (4 0) + ( 2 + 0) ( 1) = 6 18 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 14 Różnickowalność odworowania f : R n R m Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem, P 0 D ora f = (f 1,, f m ) : D R m Odworowanie f = (f 1,, f n ) : D R m nawam różnickowalnm w punkcie P 0, gd istnieje macier taka że a 11 a 1n, a m1 a mn a 11 a 1n 1 f(p ) f(p 0 ) = + ε(p 0, 1,, n ), a m1 a mn n gdie = ( 1 ) 2 + + ( n ) 2, P = ( 01 + 1,, 0n + n ) D, P 0 = ( 01,, 0n ) D i lim 0 ε(p 0, 1,, n ) = 0 141 Pochodna odworowania f : R n R m Macier taką że a 11 a 1n A =, a m1 a mn f(p ) f(p lim 0 ) A 0 = 0, gdie = ( 1 ) 2 + + ( n ) 2, = P =( 01 + 1,, 0n + n ) D, P 0 =( 01,, 0n ) D, nawam 1, n macierą Jacobiego (pochodną) odworowania f w punkcie P 0 i onacam Df( 0 ) albo (f 1,, f m ) ( 1,, n ) lub D(f 1,, f m ) D( 1,, n ) 1 1 df(p 0, )=A =Df(P 0) n n nawam różnicką odworowania f w punkcie P 0 dla prrostu Twierdenie 141 Odworowanie f różnickowalne w punkcie P 0 ma tlko jedną macier Jacobiego Twierdenie 142 Odworowanie f różnickowalne w punkcie P 0 jest ciągle w tm punkcie 19 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Twierdenie 143 Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem, P 0 D ora f = (f 1,, f m ) : D R m będie różnickowalne w P 0 Wted funkcje f i : D R, i = 1,, m mają pochodne cąstkowe i (P 0 ), i = 1,, m, k = 1,, n k ora macier 1 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) A = m 1 (P 0 ) m n (P 0 ) jest macierą Jacobiego (pochodną) odworowania f w punkcie P 0, Jeżeli m = n, to 1 1 det Df = det n 1 nawam jakobianem odworowania f i on J 1 n 1 = n n n 1 n n n 1 1 142 Pochodna funkcji łożonej Niech f : R n R m ora g : R p R n Wówcas F = (f g) : R p R m i DF = D(f g) = Df Dg ( Prkład 144 Niech f(, ) = 2 ln i g(t 1, t 2, t 3 ) = t 1 + t ) 2, t 1 + t 2 + t 3 t 3 [ ] Wówcas Df = 2 ln 2, Dg = 1 1 t 2 t 3 t 2 3 ora 1 1 1 DF = D(f g) = Df Dg = [ 2 ln ] 2 1 1 t 2 t 3 t 2 3 = 1 1 1 Prkład 145 Wkaać, że funkcja u = sin + F (sin sin ) spełnia równanie różnickowe cąstkowe u u cos + cos = cos cos Niech g(, ) = (sin, sin sin ) i f(a, b) = a + F (b) Wówcas u(, ) = (f g)(, ) Ponieważ [ ] df Df = 1, Dg = cos 0 ora db cos cos Zatem L = u u cos + Du = D(f g) = Df Dg = cos = Du cos = cos cos df cos db [ cos df db cos cos cos + df db df ] db cos cos cos = cos cos = P 20 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 143 Prkład odworowań i ich pochodne Prkład 146 Niech f : 0, 2π) R 2 i f(t) = a cos t Wted b sin t Df(t 0 ) = a sin t 0 b cos t 0 R t = a cos t = b sin t R 2, t 0, 2π) 1 + t = 1 + t Prkład 147 Niech f : R R 3 i f(t) = 2 + 2t Wted = 2 + 2t t = t 1, t R Df(t 0 ) = 2 1 R 3 R t Prkład 148 Niech f : R R 3 i f(t) = a sin t 0 a cos t 0 b a cos t a sin t Wted bt = a cos t = a sin t, t R Df(t 0 ) = = bt R 3 R t 21 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 0 + u 1 t 1 + v 1 t 2 Prkład 149 Niech f : R 2 R 3 i f(t 1, t 2 ) = 0 + u 2 t 1 + v 2 t 2 Wted 0 + u 3 t 1 + v 3 t 2 = 0 + u 1 t 1 + v 1 t 2 = 0 + u 2 t 1 + v 2 t 2 = 0 + u 3 t 1 + v 3 t 2, (t 1, t 2 ) R 2 Df(t 1, t 2 ) = u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 Prkład 1410 Niech f : D R 2, D = 0, + ) 0, 2π) R 2 i f(ϱ, ϕ) = ϱ cos ϕ Wted ϱ sin ϕ = ϱ cos ϕ, (ϱ, ϕ) D R 2 Df(ϱ, ϕ) = cos ϕ = ϱ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ϱ sin ϕ J = sin ϕ ϱ cos ϕ = ϱ ϱ sin ϕ ϱ cos ϕ Prkład 1411 Niech f : D R 2, D = 0, 1 0, 2π) R 2 aϱ cos ϕ i f(ϱ, ϕ) = Wted bϱ sin ϕ = aϱ cos ϕ, (ϱ, ϕ) D R 2 = bϱ sin ϕ Df(ϱ, ϕ) = a cos ϕ b sin ϕ aϱ sin ϕ a cos ϕ J = bϱ cos ϕ b sin ϕ aϱ sin ϕ bϱ cos ϕ = abϱ 22 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka ϱ cos ϕ Prkład 1412 Niech f : D R 3, D = 0, + ) 0, 2π) R R 3 i f(ϱ, ϕ, t) = ϱ sin ϕ Wted t = ϱ cos ϕ = ϱ sin ϕ, (ϱ, ϕ) D R 3 = t cos ϕ ϱ sin ϕ 0 cos ϕ ϱ sin ϕ 0 Df(ϱ, ϕ, t) = sin ϕ ϱ cos ϕ 0 J = sin ϕ ϱ cos ϕ 0 = ϱ 0 0 1 0 0 1 Prkład 1413 Niech f : D R 3, D = 0, + ) 0, 2π) π 2, π ϱ cos ϕ cos ψ 2 R3 i f(ϱ, ϕ, ψ) = ϱ sin ϕ cos ψ ϱ sin ψ Wted = ϱ cos ϕ cos ψ = ϱ sin ϕ cos ψ, (ϱ, ϕ) D R 3 = ϱ sin ψ cos ϕ cos ψ ϱ sin ϕ cos ψ ϱ cos ϕ sin ψ Df(ϱ, ϕ, ψ) = sin ϕ cos ψ ϱ cos ϕ cos ψ ϱ sin ϕ sin ψ J = ϱ2 cos ψ sin ψ 0 ϱ cos ψ 23 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 15 Ekstrema funkcji wielu miennch 151 Ekstrema lokalne Niech f : D f R, D f R n będie funkcją n-miennch Niech U D f będie biorem otwartm i P 0 ( 01,, 0n ) U Definicja 151 Funkcja f ma w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) minimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktu P 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p ) f(p 0 ) Funkcja f ma w punkcie P 0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktu P 0, takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p ) > f(p 0 ) Definicja 152 Funkcja f ma w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktu P 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p ) f(p 0 ) Funkcja f ma w punkcie P 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktu P 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p ) < f(p 0 ) Minima i maksima lokalne nawam EKSTREMAMI LOKALNYMI 152 Ekstrema globalne Definicja 153 Licba m jest najmniejsą wartością funkcji f na biore A D f, jeżeli istnieje punkt P 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 ) = m i dla każdego punktu P A f(p ) f(p 0 ) = m Licbę m nawam minimum globalnm funkcji f na biore A Definicja 154 Licba M jest najwięksą wartością funkcji f na biore A D f, jeżeli istnieje punkt P 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 ) = M i dla każdego punktu P A f(p ) f(p 0 ) = M Licbę M nawam maksimum globalnm funkcji f na biore A Minimum i maksimum globalne nawam EKSTREMAMI GLOBALNYMI 24 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 153 Warunki na istnienie ekstremów funkcji wielu miennch Twierdenie 155 (Warunek koniecn istnienia ekstremum) Jeżeli to f ma ekstremum w punkcie P 0, istnieją pochodne i, i = 1,, n cąstkowe w punkcie P 0, 1 (P 0 ) = 0, 2 (P 0 ) = 0,, n (P 0 ) = 0 f(p 0 ) = [0, 0,, 0] = 0 Uwaga 5 Z twierdenia tego wnika, że funkcja może mieć ekstrema tlko w punktach, w którch wsstkie jej pochodne cąstkowe są równe 0 albo w punktach, w którch prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje Zerowanie się pochodnch cąstkowch nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego Na prkład funkcje f(, ) = 3, f(, ) = 2 2 spełniają warunki (0, 0) = 0, (0, 0) = 0 i nie mają ekstremów w punkcie (0, 0) Definicja 156 Punkt P 0 R n, w którm prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje lub w którm wsstkie pochodne cąstkowe są równe ero nawam punktem krtcnm funkcji f Punkt krtcn P 0, w którm jest spełnion warunek f(p 0 ) = 0 nawam punktem stacjonarnm funkcji f Definicja 157 Macier Hf := 2 1 2 1 n 1 1 2 2 2 n 2 2 f 1 n 2 n 2 n nawam HESJANEM funkcji f Hesjan jest macierą ależną od tch samch miennch, od którch ależ funkcja Roważm funkcję f : R n R ora definiujm funkcje i := 2 1 2 1 i 1 1 2 2 2 i 2 1 i 2 i 2 i, i = 1,, n Zauważm, że 1 := 2 f 2 1 i n = dethf 25 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Twierdenie 158 (Warunek wstarcając istnienia ekstremum) Załóżm, że (P 0 ) = 0, (P 0 ) = 0,, (P 0 ) = 0 (punkt P 0 jest punktem stacjonarnm funkcji 1 2 n f) Jeżeli i (P 0 ) > 0, dla i = 1, 2,, n, to w punkcie P 0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe 1 (P 0 ) < 0, 2 (P 0 ) > 0, 3 (P 0 ) < 0,, ( 1) i i (P 0 ) > 0, i = 1,, n, to w punkcie P 0 funkcja f ma maksimum lokalne właściwe Uwaga 6 Niech P 0 będie punktem krtcnm funkcji f : R 2 R Jeżeli 2 (P 0 ) < 0, to w punkcie P 0 funkcja f nie ma ekstremum Np dla f(, ) = 2 2 mam (0, 0) = 0, (0, 0) = 0 i 2 0 2 = dethf = 0 2 = 4 < 0, więc funkcja f nie ma ekstremum w punkcie krtcnm (0, 0) Prkład 159 Niech f : R 3 R i f(,, ) = 2 + 2 + 2 + + 2 Wted = 2 + 1, = 2, = 2 + 2 Ponieważ 2 + 1 = 0 2 = 0 = 2 3 = 1 3, 2 + 2 = 0 = 1 więc P 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) jest punktem krtcnm funkcji f Ponadto i 2 1 0 Hf = 1 2 0 0 0 2 1 (P 0 ) = 2 > 0, 2 (P 0 ) = 3 > 0, 3 (P 0 ) = 6 > 0, więc funkcja f ma w punkcie P 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) minimum lokalne, które wnosi f min = f(p 0 ) = 4 3 26 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Prkład 1510 Niech f : R n R, n 2 i Wted f( 1, 2,, n ) = 2 1 2 2 2 n i = 2 i, i = 1,, n Ponieważ 2 1 = 0 1 = 0, 2 n = 0 n = 0 więc P 0 (0,, 0) jest punktem krtcnm Ponadto 2 0 0 0 2 0 Hf = 0 0 2 i 1 (P 0 ) = 2 < 0, 2 (P 0 ) = 4 > 0,, n (P 0 ) = ( 2) n, ( 1) i i (P 0 ) = ( 1) i ( 2) i = 2 i > 0, dla i = 1, 2,, n Zatem funkcja f ma w punkcie P 0 (0,, 0) maksimum lokalne, które wnosi f ma = f(p 0 ) = 0 Niech A R n i f : A R Jeżeli A jest domknięt i ogranicon, a f jest funkcją ciągłą, to funkcja f osiąga w biore A wartość najmniejsą i najwięksą 1531 Algortm najdowania ekstremów globalnch funkcji na obsare domkniętm Znajdujem wsstkie punkt krtcne wewnątr bioru A i oblicm wartości funkcji w tch punktach Znajdujem punkt krtcne na bregu obsaru A i oblicm wartości funkcji w tch punktach Porównujem otrmane wartości funkcji najdując wartość najmniejsą i najwięksą 27 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Prkład 1511 Niech f : A R 2 R i f(, ) = 2 + 2 4 + 8, gdie A jest trójkątem ograniconm prostmi = 0, = 0 i + = 4 Prkład 1512 Niech f : A R 2 R i gdie A = { (, ) : 2 + 2 9 } f(, ) = 2 2 + 18, 16 Ekstrema warunkowe Definicja 161 Ekstrema funkcji f : D R n R ograniceniem g( 1, 2,, n ) = 0 nawam ekstremami warunkowmi lub wględnmi Jeżeli potrafim wlicć równania ( ) g( 1, 2,, n ) = 0 jedną e miennch, np n = φ( 1, 2,, n ), to możem podstawić tę ależność amiast miennej n do woru badanej funkcji, redukując w ten sposób licbę miennch o jeden Cęsto jednak nie potrafim rowikłać równania ( ), wówcas będiem stosowali tw metodę mnożników Lagrange a 28 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 161 Metoda mnożników Lagrange a wnacania ekstremów warunkowch Funkcję L(λ, 1,, n ) = f( 1,, n ) + λ g( 1, 2,, n ) nawam funkcją Lagrange a Załóżm, że g( 01, 02,, 0n ) = 0 i g( 01, 02,, 0n ) [0,, 0] Twierdenie 162 Jeżeli P 0 ( 01, 02,, 0n ) jest punktem ekstremalnm, to istnieje λ, taka że ( λ, P 0 ) L jest punktem krtcnm funkcji Lagrange a, tn λ ( λ, L P 0 ) = 0, ( λ, P 0 ) = 0, i = 1,, n i Macier 0 g g HL = 1 2 g n g 1 2 L 2 1 2 L 2 1 2 L n 1 g g n 2 2 L 1 2 2 L 2 L 2 2 1 n 2 n 2 L 2 L n 2 2 L 2 n jest hesjanem funkcji Lagrange a Zdefiniujm 0 g g W i := g 1 2 i g 1 2 L 2 1 2 L 2 1 2 L i 1 g g i 1 i 2 i 2 2 L 1 2 2 L 2 L 2 2 2 L 2 L i 2 2 L 2 i, i = 2, 3,, n Twierdenie 163 (Warunek wstarcając istnienia ekstremum warunkowego) Załóżm, że L λ ( λ, L P 0 ) = 0, ( λ, P 0 ) = 0, i = 1,, n (( λ, P 0 ) jest punktem krtcnm funkcji Lagrange a) i Jeżeli W i (P 0 ) < 0, dla i = 2, 3,, n, to w punkcie P 0 funkcja f osiąga minimum lokalne warunkowe pr warunku g( 1, 2,, n ) = 0 ( 1) i W i (P 0 ) > 0, dla i = 2, 3,, n, to w punkcie P 0 funkcja f osiąga maksimum lokalne warunkowe pr warunku g( 1, 2,, n ) = 0 29 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Wniosek 164 Niech n = 2 i niech ( λ, 0, 0 ) będie punktem krtcnm funkcji Lagrange a L(λ,, ) = L f(, ) + λ g(, ), tn λ ( λ, L 0, 0 ) = 0, ( λ, L 0, 0 ) = 0, ( λ, 0, 0 ) = 0 Jeżeli dethl( λ, 0, 0 ) < 0, to w punkcie ( 0, 0 ) funkcja f osiąga minimum lokalne warunkowe pr warunku g(, ) = 0 dethl( λ, 0, 0 ) > 0, to w punkcie ( 0, 0 ) funkcja f osiąga maksimum lokalne warunkowe pr warunku g(, ) = 0 Prkład 165 Wnacm ekstrema lokalne funkcji f : R 2 R i pr ograniceniu 2 + 2 1 = 0 f(, ) = 2 + 3 + 2 Prkład 166 Wnacm ekstrema lokalne funkcji f : R 2 R i pr ograniceniu 2 2 = 1 f(, ) = 2 + 2 30 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 17 Funkcje uwikłane Definicja 171 Funkcją uwikłaną określoną pre warunek F (, ) = 0 nawam każdą funkcję = ϕ(), spełniającą równość F (, ϕ()) = 0 dla wsstkich pewnego prediału I R Podobnie określa się funkcję uwikłaną = ψ(), gdie J R Wówcas F + F = 0 = F F Prkład 172 Funkcja = 1 2 jest funkcją uwikłaną określoną w prediale 1, 1 a pomocą równania 2 + 2 1 = 0 ponieważ dla każdego 1, 1 spełnion jest warunek 2 + ( 1 2) 2 1 = 0 Równanie 2 + 2 + 1 = 0 nie określa żadnej funkcji Twierdenie 173 (o istnieniu i różnickowalności funkcji uwikłanej) Jeżeli funkcja F ma ciągłe pochodne cąstkowe pierwsego rędu na otoceniu punktu ( 0, 0 ) i spełnia warunki 1 F ( 0, 0 ) = 0 2 F ( 0, 0 ) 0, to na pewnm otoceniu O punktu 0 istnieje jednonacnie określona funkcja uwikłana = ϕ() spełniająca warunki: F (, ϕ()) = 0 dla każdego tego otocenia, ϕ( 0 ) = 0, F (, ϕ()) = ϕ () = F, dla każdego O (, ϕ()) Prkład 174 Niech + sin = Oblic (0) i (0) 31 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Niech = + ln Oblic i Napis równanie stcnej do krwej określonej równaniem + 3 = 3 + 5 w punkcie A(1, 1) Twierdenie 175 (o ekstremach funkcji uwikłanej) Niech funkcja F będie określona na otoceniu punktu ( 0, 0 ) i niech ma tam ciągłe pochodne cąstkowe rędu drugiego Ponadto niech 1 F ( 0, 0 ) = 0 2 F ( 0, 0 ) = 0, F ( 0, 0 ) 0, 2 F 3 A = 2 ( 0, 0 ) 0 F ( 0, 0 ) Wted funkcja uwikłana = ϕ() określona pre równanie F (, ) = 0 ma w punkcie ( 0, 0 ) ekstremum lokalne właściwe: minimum, gd A > 0 maksimum, gd A < 0 2 F Uwaga 7 Równość F ( 0, 0 ) = 0 jest warunkiem koniecnm, a nierówność 2 ( 0, 0 ) 0 jest warunkiem wstarcającm istnienia ekstremum funkcji uwikłanej Prawdiwe jest także analogicne twierdenie o ekstremach funkcji uwikłanej postaci = ψ() 171 Algortm najdowania ekstremów lokalnch funkcji uwikłanej 1 Punkt, w którch funkcja uwikłana może mieć ekstrema, najdujem korstając warunku koniecnego istnienia ekstremum W tm celu rowiąujem układ warunków: F (, ) = 0, F F (, ) = 0, (, ) 0, 2 W otrmanch punktach ( 0, 0 ) sprawdam warunek wstarcając istnienia ekstremum, tj określam nak wrażenia A = 2 F 2 ( 0, 0 ) 0 Na podstawie naku tego wrażenia ustalam rodaj ekstremum F ( 0, 0 ) Prkład 176 Wnacć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej = ϕ() określonej pre warunek 3 + 3 8 = 0 32 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka 18 Informacje o równaniach różnickowch cąstkowch Definicja 181 Równaniem różnickowm cąstkowm nawam równanie postaci F (,,, u, u, u,, 2 u 2, 2 ) u, w którm niewiadomą jest funkcja u = u(,, ) dwóch lub więksej licb miennch i w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna castkowa tej funkcji Prkład 182 (Prkład równań różnickowch cąstkowch) Równania są równaniami różnickowmi cąstkowmi u u = u 2 u t 2 = 2 u 2 2 u 2 + 2 u 2 = 0 Definicja 183 Licbę n 1 nawam rędem równania różnickowego cąstkowego jeżeli wstępuje w tm równaniu pochodna castkowa rędu n funkcji niewiadomej, natomiast nie wstępuje pochodna cąstkowa rędu wżsego niż n Definicja 184 Rowiąaniem scególnm lub całką scególną równania różnickowego cąstkowego rędu n w obsare D nawam funkcję mającą ciągłe pochodne cąstkowe do rędu n włącnie w obsare D ora spełniająca dane równanie w każdm punkcie obsaru D Prkład 185 Funkcja u = 2 jest całką scególną równania u u = u w dowolnm obsare D R 2, ponieważ ma ciągle pochodne cąstkowe w obsare D ora dla każdego punktu (, ) D (2 ) (2 ) = 2, Definicja 186 Rowiąaniem ogólnm lub całką ogólną równania różnickowego cąstkowego nawam biór wsstkich całek scególnch tego równania Całka ogólna równania różnickowego cąstkowego ależ od pewnej licb funkcji dowolnch, dostatecnie regularnch, którch każda jest funkcją tej samej licb argumentów o jeden mniejsej od licb argumentów rowiąania = 0, 33 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Prkład 187 Weźm pod uwagę równanie 2 u = 0 Posukujem całki ogólnej tego równania Ponieważ ( ) u = 0, więc pochodna u nie ależ od miennej Wnika stąd, że u = g(), gdie g jest dowolną funkcją różnickowalną w sposób ciągł w prediale (, + ) Onacm pre G dowolną funkcją pierwotną funkcji g w R ora pre h() dowolną funkcję mającą ciągłe pochodne do rędu drugiego w R Wówcas u(, ) = h() + G() Znaleiona całka ogólna ależ od dwóch dowolnch, ale dostatecnie regularnch funkcji, którch każda jest funkcją jednej miennej 181 Równania różnickowe cąstkowe liniowe rędu drugiego Równaniem różnickowm cąstkowm liniowm rędu drugiego funkcją niewiadomą u = u( 1, 2,, n ) nawam równanie n n 2 u n A ij (P ) + B i (P ) u + C(P )u + F (P ) = 0, i=1 j=1 i j i=1 i pr cm A ij (P ), B i (P ), C(P ) i F (P ) są danmi funkcjami mającmi ciągłe pochodne cąstkowe do rędu drugiego i określonmi w każm punkcie P ( 1, 2,, n ) pewnego obsaru D 182 Klasfikacja równań różnickowch cąstkowch liniowch rędu drugiego funkcją niewiadomą u = u(, ) Definicja 188 Mówim, że równanie różnickowe cąstkowe A(, ) 2 u 2 + 2B(, ) 2 u + C(, u ) 2 + a(, ) u 2 jest w biore D tpu hiperbolicnego wted i tlko wted, gd + b(, ) u + c(, )u + d(, ) = 0, δ(, ) = A(, )C(, ) B 2 (, ) < 0 dla każdego (, ) D parabolicnego wted i tlko wted, gd δ(, ) = A(, )C(, ) B 2 (, ) = 0 dla każdego (, ) D eliptcnego wted i tlko wted, gd δ(, ) = A(, )C(, ) B 2 (, ) > 0 dla każdego (, ) D 34 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Prkład 189 2 u Równanie fali płaskiej (równanie strun) 2 2 u = 0, funkcją niewiadomą u = u(, t), jest t2 równaniem tpu hiperbolicnego w dowolnm obsare płaskim Równanie prewodnictwa 2 u 2 u = 0, funkcją niewiadomą u = u(, t), jest równaniem tpu t parabolicnego w dowolnm obsare płaskim Równanie Laplace a na płascźnie 2 u 2 + 2 u = 0, jest równaniem tpu eliptcnego w dowolnm 2 obsare płaskim Twierdenie 1810 Jeżeli wsstkie współcnniki A ij w równaniu ( ) n n A ij i=1 j=1 2 u + i j n i=1 B i (P ) u i + C(P )u + F (P ) = 0, są stałe, to istnieje prekstałcenie sprowadić do postaci kanonicnej ξ = n b ki i, k = 1, 2,, n a mocą którego równanie ( ) można i=1 n i=1 λ i 2 u ξ 2 i + n i=1 B i1 (P ) u ξ i + C 1 u + F 1 = 0, gdie wsstkie współcnniki λ i są równe ±1 lub 0, B i1 = n B j b ij, i = 1, 2,, n, C 1 = C, F 1 = F Definicja 1811 Mówim, że równanie j=1 ( ) n n 2 u n A ij (P ) + B i (P ) u + C(P )u + F (P ) = 0, i=1 j=1 i j i=1 i jest w punkcie P 0 ( 01, 02,, 0n ) D tpu hiperbolicnego wted i tlko wted, gd po sprowadeniu równania ( ), o współcnnikach A ij (P 0 ) do postaci kanonicnej wsstkie współcnniki λ i są różne od era i wsstkie wjątkiem jednego mają ten sam nak parabolicnego wted i tlko wted, gd po sprowadeniu równania ( ), o współcnnikach A ij (P 0 ) do postaci kanonicnej wsstkie współcnniki λ i wjątkiem jednego λ k są różne od era i mają ten sam nak ora współcnnik pr u ξ k jest różn od era eliptcnego wted i tlko wted, gd po sprowadeniu równania ( ), o współcnnikach A ij (P 0 ) do postaci kanonicnej wsstkie współcnniki λ i są różne od era i mają ten sam nak 35 Opracowała: Małgorata Wrwas
Automatka i Robotka Prkład 1812 Równanie drgań membran 2 u 2 + 2 u 2 2 u t 2 = 0, funkcją niewiadomą u = u(,, t), która predstawia wchlenie punktu (, ) płaskiej membran w chwili t, jest równaniem tpu hiperbolicnego w dowolnm obsare tw casoprestreni Ot Równanie fal sfercnch 2 u 2 + 2 u 2 + 2 u 2 2 u t 2 = 0, funkcją niewiadomą u = u(,,, t), która predstawia amplitudę fali w punkcie (,, ) w chwili t, jest równaniem tpu hiperbolicnego w dowolnm obsare prestreni Ot Równanie prewodnictwa na płascźnie 2 u 2 + 2 u 2 u t = 0, funkcją niewiadomą u = u(,, t), która predstawia temperaturę środowiska w punkcie (, ) w chwili t, jest równaniem tpu parabolicnego w dowolnm obsare casoprestreni Ot Równanie prewodnictwa w prestreni 2 u 2 + 2 u 2 + 2 u 2 u t = 0, funkcją niewiadomą u = u(,,, t), która predstawia temperaturę środowiska w punkcie (,, ) w chwili t, jest równaniem tpu parabolicnego w dowolnm obsare prestreni Ot Równanie Laplace a w prestreni 2 u 2 + 2 u 2 + 2 u 2 = 0, funkcją niewiadomą u = u(,, ), jest równaniem tpu eliptcnego w dowolnm obsare prestreni O Równanie takie spełnia np potencjał elektrostatcn wtworon pre ładunki elektrcne w obsare nie awierającm tch ładunków 36 Opracowała: Małgorata Wrwas