Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie. W prcy przedstwiono pewne metody cłkowni numerycznego. W szczególności omówione zostły ogólne pojęcie kwdrtury orz wzory pierwszego i drugiego rzędu dl kwdrtur Newton Cotes. Wzory te dzielą się n proste i złożone. Przedstwione w tej prcy rozwżni teoretyczne oprte zostły n konkretnym przykłdzie, który pokzuje, z jkim błędem mmy do czynieni w kżdej z metod. Abstrct. In this work some methods of numericl integrtion re presented. In prticulr, generl concept of qudrture nd formuls of first nd second ctegory for Newton Cotes qudrtures re discussed. It is worth to mention tht these formuls fll into two ctegories: the simple nd the complex ones. Theoreticl knowledge is bsed on specific exmple, which shows the error which we encounter in ech method. 1. Wstęp Zpewne wielu z ns, obliczjąc różnego rodzju cłki, czy to nieoznczone, czy też oznczone, npotkło niejednokrotnie jkiś problem. Njczęstszym utrudnieniem rozwiązni, n które osobiście też się ntknęłm, było znlezienie funkcji pierwotnej. Dl niektórych funkcji cłki po prostu nie istnieją, dl innych nie dją się zpisć z pomocą stndrdowych funkcji mtemtycznych. Mm tu n myśli klsę cłek nieelementrnych, jk np. e x dx, sin x dx, cos x dx, dx ln x czy 1 x4 dx. Ale gdybyśmy dodtkowo chcieli obliczyć cłki oznczone, to pojwi się jeszcze większy kłopot. Bdcze pordzili sobie z nim w nstępujący sposób: Aby obliczyć tkie cłki, używ się tzw. kwdrtur, czyli metod cłkowni numerycznego, które dją przybliżony wynik. AMS 010) Subject Clssifiction: 65D3. Słow kluczowe: cłkownie numeryczne, kwdrtury, wzór trpezów, wzór Simpson.
[] Bet Gwron. Kwdrtury N początek rozwżmy cłki oznczone funkcji jednej zmiennej postci: I p f) = fx)px) dx, gdzie [,b] jest przedziłem cłkowni, funkcj f: [, b] R jest ciągł w swej dziedzinie, ntomist p: [, b] [0, ) jest funkcją wgową, cłkowlną w przedzile [, b]. Funkcj wgow jest dobiern tk, by dobrze przybliżć cłkę. Dl uproszczeni przyjmiemy tutj, że px) = 1. Wróćmy do pojęci kwdrtury. Wzór ogólny kwdrtury wyrż się sumą: n A k fx k ), gdzie A k są współczynnikmi kwdrtury, punkty x k są węzłmi wyznczjącymi podził przedziłu [, b], tzn. = x 0 < < x n = b []. Przypomnę tutj, że metod t jest metodą przybliżoną, dltego obrczon jest błędem. Jk nietrudno zuwżyć, błędem będzie w tym przypdku różnic, włściwie wrtość bezwzględn różnicy pomiędzy dokłdną wrtością cłki wynikiem przybliżonym, więc: Ef) = If) Qf). Omówię terz szczególny przypdek kwdrtur, minowicie kwdrtury Newton Cotes. Jeżeli węzły x k są równoodległe, to funkcję f możemy zstąpić wielominem Lgrnge ztem L n x) = If) = n fx k ) fx) dx n j=0, j k x x j x k x j, L n x) dx. Tki sposób przybliżni funkcji podcłkowej nzywmy włśnie kwdrturą Newton Cotes []. Węzły tej kwdrtury wyznczne są ze wzoru: x k = x 0 + b n k. Ogólny wzór n kwdrturę Newton Cotes m ndl postć sumy: n A k fx k ), z tym, że współczynniki A k dne są wzormi: A k = n j=0, j k x x j x k x j dx.
Kwdrtury Newton Cotes [3] Wyróżni się kwdrtury proste, powstłe n bzie jednego przedziłu cłkowni, orz kwdrtury złożone [1]..1. Kwdrtury proste Dl kwdrtury prostej rozwżmy przypdek n = 1. Wtedy węzłmi są punkty: x 0 =, x n = b. Po odpowiednim podstwieniu dostniemy wzór trpezów: b f) + fb)). Dl przypdku n = otrzymmy w podobny sposób wzór Simpson postci: b 6.. Kwdrtury złożone f) + 4f + b ) ) + fb). Kwdrtury złożone budowne są w nstępujący sposób: 1. Dzielimy przedził [, b] n N równych przedziłów [x i, x i+1 ], i = 0,..., N.. Wyznczmy węzły: x ij = x i + xi+1 xi n j, j = 0,..., n. 3. W kżdym z przedziłów stosujemy kwdrturę Newton Cotes. Wzór ogólny n złożoną kwdrturę Newton Cotes wygląd nstępująco: i=0 Q i f) = b n i=0 j=0 n A j fx ij ). Wyróżnimy tutj, podobnie jk dl prostych wzorów, wzór złożony trpezów i wzór złożony Simpson. Wzór złożony trpezów wyrż się poprzez funkcję: x k+1 x k Wzór złożony Simpson zpisuje się tk: x k+1 x k 6 fx k ) + 4f fx k ) + fx k+1 )). xk + x k+1 W przypdku obu tych wzorów węzły mją postć: x i = + b N ) ) + fx k+1 ). i, i = 0,..., N.
[4] Bet Gwron.3. Przykłd zstosowni Po teoretycznym wprowdzeniu obliczymy czterem sposobmi cłkę 1 e x dx. Korzystjąc z jk njdokłdniejszego przybliżeni tej cłki wyliczonym z pomocą progrmu Wolfrm Alph), spróbuję podć wrtości błędów, zdefiniownych wcześniej jko moduł różnicy wrtości dokłdnych i przybliżonych. Wyniki przedstwi poniższ tbel: Metod Wrtość Błąd Wzór trpezów 1,86 0,39735 Wzór Simpson 1,476 0,01335 Złożony wzór trpezów 1,466 0,00335 Złożony wzór Simpson 1,463 0,00035 Tbel 1: Wyniki Wzory złożone zstosowne zostły dl przedziłu podzielonego n 10 podprzedziłów. Przy obliczniu błędu, z progrmem Wolfrm Alph zostło przyjęte 1 złożenie, iż: e x dx 1, 4665. 0.4. Uwgi Nie sposób nie zuwżyć, że njmniejszym błędem zostł obrczony złożony wzór Simpson. Istotnie, okzuje się, że t metod liczeni cłek jest njdokłdniejsz spośród czterech przeze mnie wymienionych. Gdy dodtkowo jeszcze przedził cłkowni podzielimy n odpowiednio dużą liczbę podprzedziłów, to możemy liczyć n dokłdniejszy wynik. Wynik to z fktu, iż w metodzie Simpson funkcję przybliżmy wykresem prboli n dnym podprzedzile, ntomist w metodzie trpezów, jk nzw wskzuje, liczymy pole przybliżonego do wykresu funkcji trpezu. Podobne wzory istnieją dl n = 3, 4, 5, 6 i n ogół są jeszcze dokłdniejsze od przytoczonych w tym rtykule. Możn je znleźć w [3]. Pominęłm je w swoich rozwżnich, gdyż moim celem nie było prezentownie wzorów, lecz zwrócenie uwgi czytelnik n zgdnienie kwdrtur Newton Cotes. Mimo istnieni wielu metod cłkowni numerycznego, poszukiwnie jk njdokłdniejszej metody liczeni cłek nieelementrnych jest niekończącym się wyzwniem dl mtemtyków. 0 Litertur [1] E. Dudek, L. Dutkiewicz, K. Grobler-Dębsk, J. Wąs, Metody numeryczne. Wybrne zgdnieni, Wydwnictwo Nukowe AGH, Krków, 011. [] Z. Fortun, B. Mcukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, WN-T, Wrszw, 1993. [3] J. Stoer, Wstęp do metod numerycznych, Tom 1, PWN, Wrszw, 1979.
Kwdrtury Newton Cotes [5] 1 Instytut Mtemtyczno-Przyrodniczy PWSZ Trnów ul. Mickiewicz 8, 33-100 Trnów E-mil: bgwron@wp.pl Przysłno:.04.014; publikcj on-line:.09.014.