MES-1 08 Element 3-węzłowy. Całkowanie numeryczne

Transkrypt

1 MES- 8 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne Elementy drugiego rzędu (kwdrtowe) Co nm dje interpolcj kwdrtow liniow kwdrtow Interpolcj kwdrtow pozwl n lepsze odzwierciedlenie nie tylko funkcji, le i jej pochodnej. Mmy mniejsze skoki pochodnej, więcej cudownych punktów. Element prętowy drugiego rzędu u N (x) u N (x) u N (x) u u u x u = x + bx + c = u N (x) + u N (x) + u N (x) N (x) = (x )(x ), N (x) = 4 x(x ), N (x) = x(x ) B = [(4x ) (4 8x) (4x )]. Brk symetrii zkresu [, ] powoduje brk symetrii we wzorch n funkcji ksztłtu i ich pochodne.. Już widzimy, że łtwo nie będzie: pochodne funkcji ksztłtu są funkcjmi x, więc cłkownie przy obliczeniu mcierzy sztywności nie sprowdzi się tylko do obliczeni objętości elementu. To smo w ukłdzie loklnym N (ξ) N (ξ) N (ξ) - ξ

2 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne N (ξ) = ξ( ξ), N (ξ) = ξ( + ξ), N (ξ) = ( ξ)( + ξ) B ξ = [ ξ ξ ξ + ] Mcierz sztywności AE B T xb x dx = AE B T ξb ξ dξ N B T B = N [ N N N ] (N ) N N N N = N N (N ) N N N N N N N (N ) Terz widzimy dlczego mcierz sztywności jest symetryczn. Dltego, że N N = N N, itd (ξ k = AE ) ξ(ξ ) (ξ )(ξ + ) ξ(ξ ) (ξ) ξ(ξ + ) (ξ )(ξ + ) ξ(ξ + ) (ξ + dξ ) k = AE = AE Włściwości kwdrtowego elementu Mcierz sztywności k = k gdzie k = AE/ 8 7 Włściwości. Mcierz jest symetryczn. Sum elementów w wierszu/kolumnie =. Wyzncznik = Sens fizyczny współczynników mcierzy sztywności F = k P = k P = k x δ = k k k k k k = F P = k F + P + P = k k k k P k k + k + k = Przesuńmy pierwszy węzeł elementu n odległość δ = przy zmocownych pozostłych węzłch. W tym przypdku sił F jest liczbowo równ loklnej sztywności elementu k (F = k δ = k ). Z innej strony wrtości zrówno siły F jk i rekcji w pozostłych węzłch R, R łtwo wyznczyć z pomocą mnożeni mcierzy sztywności n odpowiedni wektor przemieszczeń węzłowych. Przedstwiony wyżej wynik pokzuje, że będą oni liczbowo równe elementom pierwszej kolumny tej mcierzy. Z wrunku równowgi ukłdu wynik również, że sum elementów tej kolumny ( z powodu symetrii mcierzy i pierwszego wiersz też) musi być równ zero. Niefizyczny wynik (niezerow rekcj w węźle ) wynik z tego, że przemieszczeni przy tkim obciążeniu elementu określne są przez pokzn n rysunku funkcję ksztłtu. Zgodnie z nią przemieszczeni pomiędzy węzłmi i są niezerowe. P = k F = k P = k δ = I.Rokch, 8 8

3 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne k k k P k P + F + P = k k k = F = k k k k P k k + k + k = Anlogicznie lokln sztywność w drugim węźle wyznczon przy zmocowniu węzłów i jest równ k siły rekcji wynikjące przy tkim obciążeniu w zmocownich są liczbowo równe odpowiednim elementom drugiej kolumny (lub, z powodu symetrii, drugiego wiersz) mcierzy sztywności. Generlnie zobczyliśmy, że kżdy współczynnik mcierzy sztywności m klrowny sens fizyczny. Element k ij jest rekcją w i-tym węźle n jednostkowe przemieszczenie przyłożone w j-tym węźle. Czy wrtości współczynników mcierzy sztywności są poprwne? F = k = 7 k = k F = k = k = 5 k δ = F = k k δ = F = 4k W pierwszym przypdku (po lewej) relnie odksztłceniu uleg tylko połow pręt, któr m sztywność k. Przemieszczeni wewnątrz cłego pręt mją ksztłt czerwonej linii łmnej. Nie d się dokłdnie proksymowć ją prbolą, więc proksymcj MES (lini niebiesk) jest nieco niefizyczn. Dltego i sztywność elementu w węźle jest niedokłdn ( /k zmist k). W drugim przypdku (po prwej ponownie mmy relne przemieszczeni w elemencie w ksztłcie linii łmnej (czerwonej). MES ponownie może nm zoferowć tylko njbliższą do tej linii prbole (lini niebiesk). Brk dokłdnej proksymcji utomtycznie prowdzi do niedokłdnej wrtości sztywności w węźle środkowym. Problem ten znik, jeżeli modelujemy pręt z pomocą kwdrtowych elementów skończonych. Wnioski prktyczne. Mł liczb elementów = duży błąd nwet w njprostszych sytucjch. Stref zmocowni modelu nigdy nie może kończyć się n węzłch środkowych (nie możn zmocowć połowę grnicy elementu D/D) Co z tym wszystkim stoi? dokłdn sztywność sztywność modelu MES Aproksymcj przemieszczeń = nłożenie dodtkowych ogrniczeń n model Kżde ogrniczenie co njmniej nie zmniejsz sztywności modelu Przy siłowym obciążeniu przemieszczeni w modelu MES będą rczej mniejsze od dokłdnych. Przy obciążeniu w postci przemieszczeń rekcji w zmocowniu będą w modelu MES będą większe od dokłdnych. Siły węzłowe dl rozłożonego obciążeni F i = N i (x)q(x) dx I.Rokch, 8 8

4 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne q q 4q q σ Siły węzłowe dl obciążeni rozłożonego q = const P = q N (x) dx = q = q P = q P = q N (x) dx = q = 4q N (x) dx = q = q Wniosek. Dl elementów wyższych rzędów MES już nie jest przesdnie intuicyjnie prosty. Widzimy, że zwykły rozkłd równomiernie rozłożonego obciążeni jest modelowny przez nierównomierny rozkłd sił węzłowych (:4:). Życie to nie bjk! Zdnie domowe. Wyznczyć rozkłd przemieszczeni, nprężeni i odksztłceni w elemencie kwdrtowym w tym przypdku. Poprwn odpowiedź: u(x) = q AE x( x ), ε(x) = q ( x), AE σ(x) = q ( x), czyli zgodnie z teorią. Proszę A zwrócić uwgę, że ponownie MES nie jest już intuicyjnie prosty mmy niezerową siłę węzłową n końcu elementu i zerowe nprężenie w tym że węźle. Cłkownie numeryczne. Nme Of The Gme Jk cłkowć numerycznie? Njprostsz sytucj. Chcemy obliczyć I = b f(x) dx. Zstępujemy funkcję f(x) wielominem interpolcyjnym f(x) = c + c x c n x n b b. Cłkujemy wielomin nlitycznie, czyli I f(x) dx = c dx+c x dx+ b... + c n x n b b n+ n+ dx = c (b ) + c c n n + b Uwgi Określenie cłkownie numeryczne jest trochę oszustwem. Relnie cłkujemy nlitycznie, metody numeryczne używmy tylko do interpolcji Zmist poszukiwć przybliżonego rozwiązni dokłdnego zgdnieni, używmy dokłdnego rozwiązni przybliżonego zgdnieni W czym się mierzy moc metod cłkowni numerycznego?. Poniewż zstępujemy relną funkcję wielominem interpolcyjnym, to porównujemy dokłdność różnych metod cłkowni przez cłkownie wielominów. Możliwości tej lub innej metody ocenine są przez mksymlny stopień wielominu, który z pomocą tej metody może być scłkowny dokłdnie orz ilość opercji rytmetycznych, których trzeb w tym celu wykonć I.Rokch, 8 8 4

5 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne Kwdrtury Newton-Cotes. Metod trpezów Metod trpezów wzory f() f(b) h h h h h n = b n = 4 b. Zwykł geometri I (f() + f(b))h gdzie h = b. Interpolcj grnge dje to smo f(x) = f() b x h b (b x) dx = h b (x ) dx = h h h + f(b)x h Wzór złożony dl n przedziłów, x =, x,..., x n = b, h = (b )/n I h [ f() + f(x ) ] + h [ f(x ) + f(x ) ] h [ f(xn )) + f(b) ] = = h ( ) f() + f(x ) f(b) = h ( n ) f() + f(x i ) + f(b) i= Metod trpezów dokłdność h h h h n = 4 b (b )h ε = f sr(x) (b ) n f sr(x) Tu f sr(x) jest średnią wrtością drugiej pochodnej f(x), x [, b]. Uwg Metod jest dokłdn dl funkcji njwyżej liniowej, poniewż jeżeli f(x) jest stłą lub funkcją liniową, to f (x) Uwg -krotny wzrost n powoduje 4-krotny spdek błędu obliczeniowego, czyli 4-krotny wzrost dokłdności Uwg Zstępując f sr(x) przez mx x [,b] f (x) i orz min x [,b] f (x) uzyskujemy oceny błędu z góry i od dołu Łtwo przekonć się, że wzór n ε dził. Dl f(x) = x wrtość drugiej pochodnej jest stł f (x) =. Dokłdn wrtość cłki x dx = /. Metod trpezów dje wrtość przybliżoną /( + ) = /. Różnic / / = / jest dokłdnie tk sm, jk wynik ze wzoru ε = (b )h f ( ) sr(x) = = Metod trpezów prosty przykłd Przykłd: π sin(x) dx =. I = π (sin + sin π) = błąd mks. tego wyrzu ε mx = (π ) =.9 (b ) n. I = π 4 (sin + sin π + sin π) =.578 błąd mks. tego wyrzu ε mx = (b ) n (π mx x [,π] sin ) (x) = 4 =.459 mx x [,π] sin (x) = I.Rokch, 8 8 5

6 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne Uwg Relnie obliczeni możn przyspieszyć z pomocą tzw. wzoru rekursywnego.. Inne podejście, kwdrtury Guss Interpolcj specjln tylko do cłkowni Metod Newton-Cotes. Obliczmy wrtości funkcji w punktch zdnych ze stłym krokiem Metod Guss. Dobiermy punkty interpolcji w celu uzyskni mksymlnej dokłdności cłkowni Cłkownie wielominu w przedzile symetrycznym + x n dx = n+ - n + ( ( )n+ ) = n niep. n+ n + n prz. 4 x + x + x + x + x + x + x + x + Wnioski (tylko dl symetrycznego przedziłu cłkowni!). Przy cłkowniu wielominu p(x) człony x, x, x 5,... dją zerowy wkłd do wrtości cłki. Dl obliczeni cłki wielominu stopni n potrzebujemy wrtości tylko n jego współczynników.5.5 Ciężko w to uwierzyć, le pol pod tymi 4 krzywymi są identyczne. Metod prostokątów Metod prostokątów h/ (x + b) dx = b h/ h/ h/ dx = bh b Ozncz to, że wyrz f(x) dx = (b )f( + b ) jest dokłdny, jeżeli f(x) jest stłą lub funkcją liniową f( x 4 ) f( x ) f( x ) f( x ) h h h h Wzór ogólny n I h f( x i ), gdzie x i = x i + x i i= Błąd ε = (b )h f (b ) 4 sr(x) = 4n f sr(x) x x x x 4 x x x x x I.Rokch, 8 8

7 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne Przykłd: π sin(x) dx = W tym przypdku brdzo łtwo ocenić dokłdność obliczeń, poniewż mx( sin (x) ) =. I = π(sin π/) =,4, błąd mks. nie przekrcz ε mx =,99 (π ) π 4 =. I = π (sin π 4 + sin π 4 ) =,4, ε mx = π(π/) 4 =,98. I = π 4 (sin π 8 + sin π 8 + sin 5π 8 + sin 7π 8 ) =,5, ε mx =, I 4 = π 8 (sin π π 5π + sin sin ) =,9, ε mx =,9 Ten sm przykłd le politycznie poprwny Wszystkie wzory cłkowni metodą Guss formlnie zostły wyprowdzone dl cłek z przedziłu [-, ]. Więc formlnie wypd w kżdej cłkę njpierw zmienić przedził cłkowni. Zmin przedziłu [, π] [, ]. Wprowdzmy zmienną ξ = π π x. Wtedy x = π (ξ + ) orz dx = π dξ, Osttecznie π sin(x) dx = g(ξ) {}}{ sin( π (ξ + ))π dξ = g(ξ) dξ ( x π ) = Dl tej cłki I = g() = π sin(π ) =,4 czyli mmy ten sm wyrz, co wcześniej..4 Metody wyższych rzędów Kwdrtur dwupunktow W przypdku metody prostokątów chodziło nm o wybrnie punktu cłkowni numerycznego wewnątrz zkresu tk, żeby wynik tego cłkowni był dokłdny nie tylko dl funkcji stłych le i dl liniowych. Jeżeli obliczmy wrtość funkcji nie w jednym lecz w dwóch punktch wewnątrz zkresu, to wynik cłkowni numerycznego będzie zwsze dokłdny dl funkcji liniowej. Przy optymlnym doborze punktów cłkowni możn zrobić ten wynik dokłdnym dl funkcji kwdrtowej, lbo nwet wielominu stopni (człon x i tk nic nie wnosi do wrtości cłki). f(x) = x + f( ξ) f(ξ) - ξ ξ W wielominie stopni p(x) = x + x + x + tylko współczynniki (pokzne kolorem niebieskim) dją niezerowy wkłd do wrtości cłki. Czyli wystrczy wrtości p(x), żeby wyznczyć cłkę. Dokłdn nlityczn wrtość cłki: ( x + x + x + ) dx = ( x + ) dx = x + x = ( / + ) Wyzncznie ξ Numeryczn wrtość cłki to sum pół niebieskich prostokątów: f( ξ)+ f(ξ) = f(ξ), gdzie f( ξ) = f(ξ) = ξ I.Rokch, 8 8 7

8 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne Przyrównmy nlityczną i numeryczną wrtości: ( ξ + ) = ( / + ) ξ = ξ =,577 Osttecznie p(x) dx p( ) + p( ) = p( ) + p( ) Kwdrtur dwupunktow (c.d.) I = h n [ f(x i ) + f(x+ i )], x ± i = x i + h ( ± ), ε = i= Przykłd ulubiony : π sin(x) dx = (b )h4 f (4) sr (x) = 4 (b )5 4n 4 f(4) sr (x). Mmy przedził [, π]. Środek go jest w punkcie π /. Długość kżdej połówki przedziłu π /, więc musimy odstąpić od środk n odległość ± π i w tych punktch obliczyć wrtość funkcji. I = π (sin(π ( ))+sin( π (+ ))) =,958, ε mx = π π4 =,78 4. Mmy przedziły: [, π /], [ π /, π]. Środek pierwszego przedziłu jest w punkcie π /4. Długość kżdej połówki pierwszego przedziłu π /4, więc musimy odstąpić od środk n odległość ± π 4 i w tych punktch (czyli x = π 4 ( ) orz x = π 4 ( + )) obliczyć wrtość funkcji. Środek drugiego przedziłu jest w punkcie π /4. Długość kżdej połówki pierwszego przedziłu π /4, więc musimy odstąpić od środk n odległość ± π 4 i w tych punktch (czyli x = π 4 π 4 = π 4 ( ) orz x = π 4 ( + )) obliczyć wrtość funkcji. I = π 4 (sin(π 4 ( ))+sin( π 4 (+ ))+sin( π 4 ( ))+sin( π 4 (+ ))) =,999, ε mx =,44 Ten sm przykłd jeszcze rz, ukłd loklny Zmin przedziłu [, π] [, ]. Wprowdzmy zmienną ξ = π π x. Wtedy x = π (ξ + ), dx = π dξ orz π sin(x) dx = g(ξ) {}}{ sin( π (ξ + ))π dξ = g(ξ) dξ ( x π ) = Dl tej cłki I = g( ) + g( ) Osttecznie mmy ten sm wyrz, co wcześniej I = π [ sin( π ( )) + sin( π ( + ] )) =,958 Cłkownie przy obliczeniu mcierzy sztywności elementu w ukłdzie loklnym I.Rokch, 8 8 8

9 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne k = AE Metod prostokątów. Po zminie (ξ ) (ξ )ξ (ξ )(ξ + ) ξ(ξ ) (ξ) ξ(ξ + ) (ξ + )(ξ ) (ξ + )( ξ) (ξ + dξ ) f(ξ) dξ f() mmy... totlną klęskę. Dlczego? Bo wzór prostokątów jest dokłdny tylko dl funkcji liniowych, my mmy kwdrtowe. k = AE Mówiąc uczciwie, wynik nie jest ż tk głupi. Kiedyś już mieliśmy mcierz sztywności z członmi ±. I ogóln sztywność pręt w węzłch końcowych jest poprwn, tylko węzeł środkowy nm wypdł... Uproszczone cłkownie (dokłdne tylko dl funkcji liniowych) zrobiło nm z elementu kwdrtowego element liniowy. Zbieg ten m nzwę kondenscji sttycznej i czsmi jest brdzo przydtny przy nlizie relnych konstrukcji. Metod Guss -punktow. Przyjmujemy,577. Po zminie f(ξ) dξ f(,577) + f(,577) mmy brdzo dobry wynik. Dlczego? Bo wzór -punktowy jest dokłdny dl wielominów do stopni włącznie, tu mieliśmy tylko zwykłą prbolę. k = AE,,,, 5,7,,,, k = AE / / / / 5 / / / / / Po lewej mmy wynik przybliżony (tylko dltego, że zokrągliliśmy do,577, bez tego metod Guss dje wrtość dokłdną), po prwej dokłdny. Wnioski końcowe. Prętowy element kwdrtowy m węzły i proksymuje niewidomą funkcję z pomocą prboli.. Pochodne funkcji ksztłtu są funkcjmi liniowymi, więc procedur obliczeni mcierzy sztywności wymg prwdziwego cłkowni.. Cłkownie numeryczne opier się o zstąpienie funkcji podcłkowej przez prost (stł, linow, itp.) funkcję interpolcyjną i obliczeni dokłdnej wrtości cłki dl przybliżonej funkcji. 4. Dwupunktow metod Guss jest dokłdną dl wielominów do stopni włącznie, więc pozwl n dokłdne obliczenie elementów mcierzy sztywności dl elementu kwdrtowego. Dodtek. Powtórne wytłumczenie dlczego metod Guss prcuje Z punktu widzeni cłkowni funkcj liniow jest stlą, le specjlnie dobrną. Dlczego? Bo człon liniowy i tk nie dje wkłdu do wrtości cłki n przedzile symetrycznym. Jeżeli z dwu-prmetrycznej funkcji (x + b) zostje nm tylko jeden prmetr b, to jest to klrown podpowiedź, że wrtość cłki będzie zleżeć od jednego prmetru. A to ozncz, że do dokłdnego obliczeni cłki wystrczy policzyć wrtość funkcji w jednym cudownym (dl osób preferujących religijne tłumczenie wszystkiego) lbo optymlnym (tk to nzyw nuk) punkcie. Dlczego nie w dwóch? Bo wtedy wynik zleżłbym od dwóch wrtości, od współrzędnych dwóch punktów. Złóżmy, że chcemy policzyć cłkę od wielominu trzeciego stopni x + bx + cx + d. Które ze skłdników tego wielominu będą mieć wpływ n wrtość cłki I.Rokch, 8 8 9

10 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne n przedzile symetrycznym? Tylko człon stły d i kwdrtowy bx. Od jkiej liczby prmetrów będzie zleżeć dokłdną wrtość cłki? Od dwóch. Czyli ile jest tych cudownych/optymlnych punktów, w których trzeb policzyć wrtość funkcji? Tylko dw. Dodtek. Cłkownie numeryczne dl wyjątkowo opornych. Wersj łoptologiczn We wszystkich przypdkch wyznczmy przybliżoną wrtość Wspólny pierwszy krok b f(x) dx. We wszystkich metodch njpierw dzielimy przedził cłkowni [, b] n n części. Teoretycznie nie muszą być jednkowe, le tu dl uproszczeni uwżmy, że podził jest równomierny i długość kżdej części to h = b n Metod trpezów Dl kżdego (np. i-go) odcink wyzncz pole odpowiedniego trpezu S i = /(f(x i )+ f(x i+ ))h, i =... n Metod prostokątów (lub Guss, -punktow). Dl kżdego odcink [x i, x i+ ] wyzncz środek x sr = /(x i + x i+ ). Oblicz pole prostokąt S i = hf(x sr ) Metod Guss, -punktow. Dl kżdego odcink [x i, x i+ ] wyzncz środek x sr = /(x i + x i+ ) orz wrtość x = h. Wyzncz współrzędne punktów cłkowni x = x sr x, x + = x sr + x. Oblicz pol prostokątów: S = h f(x ), S = h f(x +) i dodj je S i = S + S Wspólny osttni krok Dodj wszystkie obliczone wrtości S i. Sum n S i i jest przybliżoną wrtością cłki. Wykłd zostł oprcowny w ATEXe z pomocą klsy BEAMER, grficznego pkietu PGF/TikZ i pkietu do tworzeni wykresów PGFPOTS. i= Znim wydrukujesz pomyśl o środowisku. Jedn krtk = ml wody + g drewn + r CO Before printing think bout environment. One pge ml wter + g wood + g CO I.Rokch, 8 8