Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Transkrypt

1 Cłkownie numeryczne przy użyciu kwdrtur Pln wykłdu:. Kwdrtury ewton-cotes ) wzory: trpezów, prol etc. ) kwdrtury złożone. Ekstrpolcj ) Ekstrpolcj Richrdson ) Metod Romerg c) Metody dptcyjne. Kwdrtury Guss ) Guss-Legendre' ) Guss-Hermitte' c) Guss-Lguerre'. Cłkownie funkcji wielu zmiennych

2 Cłkownie numeryczne ozncz zstosownie metod numerycznych w celu wyznczeni przyliżonej wrtości cłki oznczonej. C f (x)dx Skoro funkcję podcłkową możemy interpolowć to wielomin interpolcyjny możn wykorzystć do cłkowni. Dl dnego ciągu wrtości funkcji podcłkowej f(x 0), f(x),...,f(x) definiujemy wielomin interpolcyjny Lgrnge': '(x) L (x) k (x)f (xk ) Y x xj (x x0 )(x x ) : : : (x xk )(x xk+ ) : : : (x x ) k (x) (xk x0 )(xk x ) : : : (xk xk )(xk xk+ ) : : : (xk x ) xk xj j0 j6k

3 Podstwimy wielomin interpolcyjny w miejsce funkcji podcłkowej: F (x)dx ¼ Ak '(x)dx Ak F (xk ) Jeśli funkcj podcłkow posid osoliwości (np. jest nieogrniczon, lu przedził cłkowni jest nieskończony) wówczs powyższy schemt cłkowni uleg modyfikcji funkcję podcłkową zstępujemy iloczynem funkcji wgowej i nowej głdkiej funkcji: F (x) p(x)f (x) k (x)dx Powyższe wzory definiują tzw. kwdrturę. A k są współczynnikmi kwdrtur. Jeśli spełniony jest wrunek jf (x) '(x)j < "; x [; ] To wtedy F (x)dx Ak F (xk ) (F (x) '(x))dx 6 "( ) Dokłdność wyznczonej wrtości cłki jest ogrniczon dokłdnością przyliżeni funkcji podcłkowej wielominem (lu inną funkcją). Funkcj wgow p(x) zwier wszystkie osoliwości funkcji F(x) lu jej doór wynik z zstosownych wielominów ortogonlnych: F (x)dx p(x)f (x)dx ¼ ¼ 0 Ak p(x)'(x)dx 0 Ak f (xk ) p(x) k (x)dx

4 Chcemy wyznczyć wrtość cłki: I(f ) Stosując wzór S(f ) Kwdrtury ewton-cotes p(x)f (x)dx Ak f (xk ); x [; ] Powyższy wzór nosi nzwę kwdrtury, punkty x,x...,x węzłmi kwdrtury. Błąd przyliżeni cłki kwdrturą (łąd metody): Kryterium dokłdności kwdrtury możn przyjąć zgodność I(W) z S(W), gdy W jest wielominem. Wówczs mówimy że dn kwdrtur jest rzędu r (r ) jeśli I(W ) S(W ) dl wszystkich wielominów stopni mniejszego niż r. Kwdrtur jest zieżn dl kżdej funkcji f C([,]) wtedy gdy: ) Jest on zieżn dl kżdego wielominu ) Istnieje licz M niezleżn od tk że B ja k j 6 M; f (xi ) L (xi ); L (x) i 0; ; ; : : : ; f (xk ) k (x) E(f ) I(f ) S(f ) Rozwżmy przypdek z węzłmi równoodległymi xi+ih, i0,,,...,. Jeśli końce przedziłu są również węzłmi wówczs kwrdtury noszą nzwę kwdrtur zmkniętych. Przyliżmy funkcję podcłkową wielominem Lgrnge' stopni conjwyżej ; ; : : : Y x xj k (x) xk xj j0 j6k Błąd przyliżeni (interpolcji) R + (x) f (x) L (x)! + (x)f ( +) (») ( + )!» (; ) Wprowdzmy nową zmienną t x + ht Y tj k (t) kj j0 j6k

5 f (x)dx '(x)dx fk h fk h k (x)dx 'k (t)dt 0 fk Ak Osttecznie otrzymujemy: S(f ) Ak fk 0 gdzie: fk f ( + kh) h E(f ) Cr f (r) (»);» [; ] współczynnik Cr nie zleży od f. ) Dl dużych oszcownie łędu jest trudne ze względu n pochodne wysokich rzędów lu ze względu n numeryczne ksownie się współczynników Ak ) Współczynniki Ak zleżą od. W szczególności (wzór n Ak) zchodzi () k Ak h k!( k)! Włsności: ) Gdy jest nieprzyste wówczs kwdrtur jest rzędu (+) (dokłdn dl wielominów stopni ), dl przystego rząd kwdrtury wynosi (+) ) Jeżeli funkcj podcłkow jest r-krotnie różniczkowln, wówczs łąd metody możn przedstwić w postci: t(t ) : : : (t ) (t k) lim jak j! dltego metod kwdrtur ewton-cotes nie jest zieżn w klsie funkcji ciągłych. W prktyce przedził cłkowni dzieli się n m podprzedziłów. W kżdym podprzedzile określ się (,,) i przeprowdz cłkownie. Tk procedur prowdzi do uzyskni kwdrtur złożonych. 5

6 Kwdrtury dl,,...,6 (cłkownie w podprzedzile) (wzór prol Simpson) (wzór trpezów) h A0 h (t )dt h 0 A h tdt h 0 S(f ) h(f0 + f ) A h h A0 h S(f ) A h h(f0 + f + f ) Poniewż jest przyste więc kwdrtur jest dokłdn dl wielominów stopni + i jest rzędu +. Dlczego? godnie z wzorem n łąd wzoru interpolcyjnego dostjemy E(f )» µ + (x ) x (x )dx 0 z powodu nieprzystości funkcji podcłkowej. e wzoru n łąd interpolcji wynik, że kwdrtur jest + rzędu, dokłdnie przyliż wielomin stopni. Dodjmy więc dodtkowy węzeł w x(+)/, który nie zmieni wrunku interpolcji. Wówczs stopień wielominu czynnikowego rośnie o : tem łąd wyznczeni przyliżonej wrtości cłki wynosi E(f )! (x )(x )f () (»)dx h f () (»);» [; ] f () (» ) E(f )! h5 f () (») 90 µ + (x ) x (x )dx (funkcj podcłkow terz jest przyst)» [; ] 6

7 w A0/w A/w A/w A/w A/w A5/w (/)h (/)h (/8)h (/90)h (5/88)h (6/80)h A6/w łąd wzór h (/) f(» trpezów h5 (/90) f(» prol h5 (/80) f(» /8 h7 (8/95) f(6» Milne' h7 (75/096) f(6» h9 (9/00) f(8» Weddle' Kwdrtury złożone ewton-cotes Kwdrtury wyższych rzędów są rzdko stosowne. tomist łąd kwdrtur niższych rzędów jest proporcjonlny do długości przedziłu cłkowni w odpowiedniej potędze. tem niski rząd kwdrtury może nie zpewinić wymgnej dokłdności. Prolemu tego możn uniknąć, dzieląc przedził cłkowni n m podprzedziłów, w których przeprowdz się cłkownie kwdrturmi niższych rzędów wyniki cłkowni sumuje się. 7

8 Wzór złożony trpezów Wyrz Przedził cłkowni dzieli się n m poprzedziłów: m () f (»k ) f () (»); m h m S(f ) m h Gdzie µ fk f ( + k h) kłdmy że f C ([; ]) Błąd złożonego wzoru trpezów E(f ) jest średnią rytmetyczną wrtości drugiej pochodnej w przedzile cłkowni. Możn więc zpisć h(fk + fk+ ) f0 + f + : : : + fm + fm» [; ] ( ) () E(f ) f (») m Błąd zleży od potęgi długości przedziłu. Ale zwiększjąc m możn istotnie ogrniczyć jego wrtość. m h () f (»k ) m ( ) () f (»k ) m m»k ( + kh; + (k + )h) 8

9 Wzór złożony prol. Przedził cłkowni [,] dzielimy n m podprzedziłów (m jest przyste). W podprzedziłch [,+h],..., [+(m-)h,] stosuje się wzór prol wyniki cząstkowe sumuje: S(f ) m h (fk + fk + fk ) k + h [f0 + fm + (f + f + : : : + fm ) (f + f + : : : + fm )] e względu n ciągłość pochodnej istnieje tki punkt że: m () f (»k ) f () (») m k Wówczs łąd złożonego wzoru prol wyrż się wzorem ( )5 () E(f ) f (») 80m kłdmy f C ([; ]) m h5 () E(f ) f (»k ) 90 k»k ( + (k )h; + kh) 9

10 Przykłd. 0

11 Ekstrpolcj Richrdson (przypdek dl różniczkowni le zstosownie ogólne) Rozwijmy funkcję f(x) w szereg Tylor w otoczeniu punktów x h f (x + h) f (x h) k (k) h f (x) k! f (x + h) f (x h) ()k hk f (k) (x) k! h () f (x) + hf (x) + f (x) + h () () f (x) hf (x) + f (x) () h () f (x) + : : : 6 h () f (x) + : : : 6 i odejmujemy od sieie o wyrżeni f (x + h) f (x h) hf () (x) + () h f (x) + h5 f (5) (x) + : : :! 5! nstępnie przegrupowujemy wyrzy y oliczyć pierwszą pochodną f (x + h) f (x h) f () (x) h f () (x) + h f (5) (x) + h6 f (7) (x) + O(h8 ) h! 5! 7!

12 Powyższ formuł w postci ogólnej Lh; Á (h) + h + h + 6 h6 + : : : co możn interpretowć jko przyliżenie f()(x). h podstwimy h/ L ( Lh; Lh; )( ) 6 h h6 Ã Ã(h) 6 Ã(h) : : : h h h h6 Lh; Á : : :Podstwijąc do L h '(h) Ã Ã(h) i oliczmy różnicę 5 5 L ( Lh; Lh; )( ) Otrzymujemy h h h6 Á Á(h) 56 ::: Lh; '(h) + c6 h6 + c8 h8 + : : : 6 tem L przyliż f()(x) z dokłdnością O(h) (wyrzów rzędu h). Dokonujemy podstwieni h Ã(h) Á Á(h) Powtrzjąc M-krotnie powyższy proces dostniemy corz lepsze przyliżenie pierwszej pochodnej tzn. dokłdność jej przyliżeni jest n poziomie O(hM). (o ile h<<). w L Lh; Ã(h) + h + 6 h6 + : : : Lh; h h h6 Ã

13 Algorytm dl powyższej procedury jest nstępujący Algorytm ten definiuje tzw. ekstrpolcję Richrdson. Generlnie jest to proces. Wyiermy h i liczymy rekurencyjnego wyznczni pewnej wielkości (pochodnej, cłki), co możn zdefiniowć przy h pomocy wzoru Dn;0 Á ; n 0; ; ; : : : ; M n Dn;k L +. stępnie oliczmy Dn;k k n k D Dn;k n;k k k ; ; : : : ; M k; k + ; : : : ; M Oliczjąc rekurencyjnie wyrzy wg dostjemy przyliżeni Dn;0 Dn; L + O(h ) L + O(h ) 6 Dn; Dn; L + O(h ) L + O(h8 ) ::: ::: :::::: L + O(hk ); Dn;k Ajk jk µ h n j co w połączeniu z pkt. dje szukne przyliżenie Dm,m. Kolejne kroki lgorytmu możn zpisć w postci tlicy D0;0 D;0 D;0... D; D;... D;... DM;0 DM; DM;... ::: DM;M h!0

14 Metod Romerg Łtwo zuwżyć, że do oliczeni Tn możn wykorzystć już oliczone Tn Korzytmy z wzoru trpezów h Sn h n à n i0 Jeśli f ( + ih) f () + f ()! x [0; ] to dl kolejnych wrtości n dostjemy poniższy ciąg przyliżeń wrtości cłki S0 S S S6 S S 0 + S S + S6 S + ½ ¾ f ½ ¾ f +f ½ ¾ 5 7 f +f +f +f co ogólnie dl przedziłu cłkowni [,] możn zpisć jko Sn n S(n) + hn f ( + (i )h) i f (0) + f () ½ ¾ f (0) + f + f () ½ ¾ f (0) + f +f +f + f () 8 8 ½ f (0) + f +f +f +f ¾ 5 7 +f +f +f + f () hn n

15 W metodzie Romerg zkłdmy, że odległość między (n+) węzłmi wynosi hn n Do oliczeni cłki wykorzystujemy rekurencyjną formułę z wzorem trpezów Metody dptcyjne Liczymy numerycznie cłkę np. wzorem prol ( )5 () f (x)dx S(; ) f (») 90» [; ] R0;0 ( ) [f () + f ()] ½ µ ¾ + n S(; ) f () + f + f () µ Rn;0 Rn;0 + n f + (i ) n i Rn;m m Rn;m Rn;m Rn;m + m Dzielimy przedził [,] n n podprzedziłów i stosujemy wzór prol w kżdym z nich n f (x)dx (Si + ei ) i Wrtości kolejnych przyliżeń możn uporządkowć w postci tlicy podonie jk w przypdku ekstrpolcji Richrdson. gdzie: ei jest loklnym łędem przyliżeni wrtości cłki w i-tym podprzedzile [xi-,xi]. Oliczeni przeryw się gdy spełniony jest wrunek łóżmy że jego wrtość możemy oszcowć zgodnie z poniższym wzorem jrk;k Rk;k j "; " R lu po osiągnięciu zdnej liczy itercji k. Metod Romerg jest przykłdem kwdrtury dptcyjnej. jei j " xi xi 5

16 wówczs oszcownie łędu cłkowitego od góry jest nstępujące n n n " ei jei j (xi xi ) " i i i co pozwl oszcowć wrtość ezwzględną łędu cłki wyznczonej numerycznie n f (x)dx Si " i Wniosek: przy złożonej wrtości, odpowiednio niski poziom łędu wrtości cłki osiągniemy zwiększjąc liczę węzłów cłkowni. 6

17 Przykłd. Wyniki dl metody Romerg mł zmin wyniku Di, Di,i zieżność 7

18 Kwdrtury Guss dl rozptrujemy kwdrtury typu: S(f ) Tw.. Wielominy ortogonlne mją tylko pierwistki rzeczywiste, leżące w przedzile [,]. Tw.. ie istnieje kwdrtur Guss rzędu wyższego niż (+). Kwdrtur Guss jest rzędu (+) wtedy i tylko wtedy, gdy węzły xk są pierwistkmi wielominu P+(x). Tw.. Wszystkie współczynniki Ak w kwdrturch Guss są dodtnie. Ak f (xk ) Ak p(x) k (x)dx le nieco zmienimy metodologię postępowni. Ustlmy funkcję wgową p(x) orz liczę węzłów (+). Szukmy: ) położeni węzłów ) współczynników Ak tk y rząd kwdrtury ył jk njwyższy. Kwdrtur tego typu nosi nzwę kwdrtury Guss. Do wyznczeni kwdrtur Guss używ się wielominów ortogonlnych. Ciąg wielominów Dlczego rząd kwdrtury Guss jest tk wysoki? Musimy ustlić położeni + węzłów orz współczynniki komincji liniowej + wielominów ortogonlnych. Dje to n+ rząd. Metod kwdrtur Guss jest zieżn do kżdej funkcji ciągłej w [,]. Kwdrtury te są dokłdne dl wielominów stopni +. f'n (x)g f'0 (x); ' (x); : : : ; ' (x)g zywmy ortogonlnymi w przedzile [,] jeśli zchodzi pomiędzy nimi związek: ('r ; 's ) p(x)'r (x)'s (x)dx 0 r 6 s 8

19 Korzystmy z tożsmości Christoffel-Droux n 'k (x)'k (y) k k k+ k Korzystmy terz z definicji wielominu interpolcyjnego Lgrnge' 'n+ (x)'n (y) 'n (x)'n+ (y) n n (x y) k f (x) lj (x) p(x)'k (x)dx!n (x) 'n (x) orz korzystmy z fktu Podstwmy z y zero wielominu n-tego stopni '0 (x) y dj 'k (x)'k (dj ) 'n (x)'n+ (dj ) k n n (x dj ) p(x)'0 (x) Po wykonniu mnożeni nstępnie cłkowni otrzymmy '0 (dj ) 'n+ (dj ) 0 0 n n!n (x) (x j )!n0 (j ) Wyiermy oczywiście przypdek tki że: k współczynnik stojący w wielominie jk przy zmiennej w njwyższej potędze f (xj )lj (x) j0 n n '0 (x)'n (x) p(x) dx x dj 'n+ (dj ) n n 0 'n+ (dj )'n (dj ) n n 0 p(x) 'n (x) dx x dj p(x)lj (x)dx 'n+ (dj )'n (dj ) Aj n n 9

20 Współczynniki Ak: Ak 0 ( + )P + (xk )P + (xk ) Błąd kwdrtury: + (( + )!) E(f ) f ( +) (») ( + )(( + )!) <» < P0 (x) P (x) P (x) P (x) x x 5x x Węzły xk stnowią pierwistki wielominu P +(x). (jk je znleźć? > metody poszukiwni zer wielominów) Dl kwdrtur niskiego rzędu węzły i współczynniki A k są stlicowne. Ay zstosowć wzory z przedziłu [-,] w przedzile [,] nleży dokonć trnsformcji liniowej zmiennej niezleżnej: x [; ]; t [; ] + + x f (t)dt g(x)dx µ + g(x) f + x t

21 f (t)dt ¼ S(f ) Ak f (tk ) Poszukiwnie zer wielominów Legndre' tk Mjąc ustlony stopień wielominu (n) i numer jego zer (k), njpierw wyznczmy jego przyliżone położenie (Tricomi) + + xk W prktyce nie używ się kwdrtur wysokiego rzędu. O wiele lepszym rozwiązniem jest zstosownie kwdrtur złożonych tj. kwdrtur niskiego rzędu w kżdym podprzedzile wyniki sumuje się. k xk Ak 0, (-/+) , (-/+) /9 8/9 0,, (-/+)0.866 (-/+) ,, (-/+) (-/+) xk ½ µ ¾ n 8 9 8n 8n sin Ák cos(ák ) + O(n5 ) gdzie: Ák ¼(k ) n + nstępnie itercyjnie poprwimy je metodą ewton z zdną dokłdnością.

22 Kwdrtury dl przedziłu jedno- i oustronnie nieskończonego Relcj rekurencyjn dl stowrzyszonych wielominów Lguerre' Kwdrtur Guss-Lguerre' [; ] [0; ) p(x) e wówczs funkcj wgow m postć: x p(x) x ex Ciąg wielominów ortogonlnych stnowią wielominy Lguerre': dn Ln (x) ()n ex L0 (x) L (x) L (x) L (x) n x (x e ) dxn (n + )L (n + x)l nl n+ n n x x x + x + 9x 8x + 6 6

23 Węzły xk są pierwistkmi wielominu L+(x). Ciąg wielominów ortogonlnych stnowią wielominy Hermite' n x Hn (x) () e (( + )!) Ak 0 L + (xk )L + (xk ) (( + )!) ( +) E(f ) f ( ) ( + )! dn x e dxn Relcj rekurencyjn Hn+ xhn nhn (0; ) Wzór cłkowni: 0 ex f (x)dx ¼ S(f ) Kwdrtur Guss-Hermite' p(x) e Ak f (xk ) x (; ) (; ) H0 (x) H (x) H (x) H (x) x x 8x x

24 Przykłd kwdrtur Guss-Hermite' kwdrtur Guss-Legendre' 6

25 Cłkownie funkcji wielu zmiennych Przy cłkowniu funkcji wielu zmiennych pojwiją się prolemy: ) Konstrukcj wielominów interpolcyjnych jest możliw tylko dl odpowiednio położonych węzłów i regulrnych oszrów cłkowni ) Czs oliczeń rośnie rdzo szyko wrz z liczą zmiennych. W prktyce licz zmiennych nie przekrcz. kłdmy, że oszr cłkowni możn opisć ukłdem nierówności: ½ RM (x ) :::::: M (x ; x ; : : : ; xm ) ::: x x (x ) ::::::::::::::: xm M (x ; x ; : : : ; xm ) Szukmy wrtości cłki wielokrotnej: I(f ) : : : f (x ; x ; : : : ; xm )dx : : : dxm {z } 7

26 I(f ) dx (x ) dx : : : (x ) M (x ;x ;:::;xm ) f (x ; x ; : : : ; xm )dxm M (x ;x ;:::;xm ) Wrtość cłki wielokrotnej olicz się poprzez M-krotne zstosownie kwdrtur jednowymirowych. Przykłd dl dwóch wymirów. I(f ) I (g) g(x )dx g(x ) f (x ; x )dx ;n An g(x;n ) n0 g(x;n ) ¼ I ;n (fn ) Bº;n f (x;n ; x;º ) º0 Po złożeniu ou kwdrtur otrzymujemy: I(f ) f (x ; x )dx dx ;n An Bº;n f (x;n ; x;º ) + R (g) + n0 º0 ;n + n0 An R ;n (fn ) 8

27 gdzie: R (g) -reszt kwdrtury R;n (fn ) I (g) -reszt kwdrtury I;n (fn ) Uwgi: ) Przedził cłkowni po zmiennej x może się zmienić wrz z wrtością x ) Licz węzłów kwdrtur I;n (fn ) może yć różn dl kżdego węzł x,n ) Licz użytych węzłów (;n + ) n0 Jeśli licz w kżdej kwdrturze yły jednkow i równ (+) wówczs oliczenie wrtości cłki w M wymirowej przestrzeni wiązłoy się z wykonniem (+) M oliczeń. Przykłd. Jeśli 0 i M0 wówczs (+)M > Przy dużej liczie wymirów (M>) lepiej jest posługiwć się zncznie wydjniejszą metodą Monte Crlo. 9