/ Błd! Niezy rgumet przełczi. To zerie twierdze i defiicji zostło wyoe podstwie podrczi demiciego W. owsiego i iych, ez zgody utor (i moliwe, e przy jego sprzeciwie, poiew zostł wyo w celu stworzei wygodej cigi egzmi :-) (w dym rzie pewo p Hery Smpłwsi yły ie zdowoloy, le poo jest lepy i ie widzi j si cig :-) ). Jo eletroiczy sry prcowł: Mrci Orszewsi orsz@vlo.ids.gd.pl. http://www.vlo.ids.gd.pl/~orsz/ Te uło w stro rci w iedoli zjł mi tylo 9 miut. Miłego cigi :-))) Wszyscy s upowiei do rozpowszechii tego doumetu, coy studetom yło lej :-))) Szczególe podziowi dr Heryowi Smpłwsiemu - o gdyy ie egzmi, to ie chciłoy mi si tworzy tego doumetu ;-) mojemu omputerowi, wszczególoci: lwiturze - z wytrzymie wepywi tylu zów. myszce - z współprc z rdzo toporym edytorem rów moitorowi - z wywietlie tych zdur procesorowi - e mimo wieliego ociei testem tył wstie mi jeszcze umil czs muzy mp3. dysowi twrdemu - e ie pdł i ie zgiły wszystie de. moim oczom - ze wytrzymły ptrzy te ijowy er, choci pod oiec ju dwły o soie z.
Spis treci: 2 / Błd! Niezy rgumet przełczi. RACHUNEK RÓNICZKOWY I CAŁKOWY...3 GRANICA CIGU...3 TWIERDZENIA O CIGACH...3 GRANICA FUNKCJI...4 CIGŁO FUNKCJI LICZBOWYCH...5 WŁASNOCI FUNKCJI CIGŁYCH...5 POCHODNA FUNKCJI...6 RÓNICZKA FUNKCJI...6 OBLICZANIE POCHODNYCH...6 TWIERDZENIE ROLLE A...6 TWIERDZENIE L HOSPITALA...7 TWIERDZENIE O PRZYROSTACH...7 EKSTREMUM FUNKCJI...7 TWIERDZENIE I WZÓR TAYLORA...7 WYPUKŁO I WKLSŁO WYKRESU FUNKCJI. PUNKT PRZEGICIA...7 RACHUNEK CAŁKOWY JEDNEJ ZMIENNEJ...8 WARUNKI R-CAŁKOWALNOCI...8 WŁASNOCI CAŁKI OZNACZONEJ...8 TWIERDZENIA PODSTAWOWE RACHUNKU CAŁKOWEGO...9 ZASTOSOWANIE CAŁKI OZNACZONEJ... CAŁKA NIEWŁACIWA W PRZEDZIALE NIESKOCZONYM... CAŁKA NIEWŁACIWA FUNKCJI NIEOGRANICZONEJ... CAŁKI NIEWŁACIWE ZALENE OD PARAMETRU... SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE....2 SZEREG LICZBOWY...2 SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH...2 SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH...3 SZEREGI FUNKCYJNE...3 SZEREGI POTGOWE...5 SZEREG TAYLORA...5 TWIERDZENIA BANACHA...6 RACHUNEK RÓNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH...7 ZBIORY W PRZESTRZENI R N...7 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH...8 GRANICA I CIGŁO FUNKCJI...8 CIGŁO FUNKCJI N ZMIENNYCH...8 POCHODNE CZSTKOWE...9 FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ...2 PŁASZCZYZNA ZESPOLONA OTWARTA I DOMKNITA...2 CIGI I SZEREGI LICZBOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH...2 FUNKCJA ZESPOLONA ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ...2 FUNKCJA ZESPOLONA ZMIENNEJ ZESPOLONEJ...2 POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ...2 FUNKCJA HOLOMORFICZNA...2 CIGI I SZEREGI FUNKCJI ZESPOLONYCH...2 FUNKCJE WIELOZNACZNE...22 CAŁKA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ...22 TWIERDZENIE PODSTAWOWE CAUCHY EGO...22 WZÓR CAŁKOWY CAUCHY EGO...23 SZEREG TAYLORA...23 SZEREG LAURENTA...24 PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE...24 RESIDUUM FUNKCJI...24 PRZEKSZTAŁCENIA CAŁKOWE...26 WZÓR CAŁKOWY FOURIERA...26 PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE A...26 RACHUNEK OPERATOROWY...26 WŁASNOCI PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE A...27
3 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Relcje Def. Produtem rtezjsim ziorów X i Y zywmy ziór wszystich pr uporzdowych <x, y>, gdzie x X i y Y. [<x, y> XxY] [(x X) (y Y)] Def. Relcj ir w z. X jest:. reflesyj (zwrot) jeeli x x ϕ x 2. symetrycz jeeli x, y X (x ϕ y y ϕ x) 3. trzytyw (przechodi) jeeli x, y, z X ( x ϕ y orz y ϕ z x ϕ z ) 4. sło tysymetrycz jeeli ( x ϕ y orz y ϕ x x = y ) gdy spełioe - 3 to relcj jest relcj rówowo ci w X. Def. Relcj ( ) w X, tór jest reflesyj, trzytyw orz sło tysymetrycz zywmy porzdiem. Porzde spójy zywmy porzdiem liiowym. Def. (Tw. Dirichlet) Ziór A jest rówoliczy ze ziorem B, jeeli istieje ijecj f: A B A ~ B. Def. Mówimy, e ziory rówolicze, A i B mj t sm moc. Tw. Jeeli (R, +, *,,, ) jest ciłem uporzdowym i m włso ci resu, to systemy (R, +, *,, ) i (R, +, *,,, ) s izomorficze, tz. istieje ijecj f: R R, tóry zchowuje wszystie dziłi struturle. Lemt Adm Kd licz x R moe y gric pewego cigu licz wymierych. Rchue róiczowy i cłowy Gric cigu Def. Licz g zywmy gric cigu ( ), jeeli dl dego ε > istieje t licz δ, e dl dego > δ spełio jest ierówo - g < ε. Piszemy przy tym lim = g. lim = g ε> δ >δ - g < ε Def. Licz g zywmy gric cigu ( ), jeeli w dowolym otoczeiu putu g osi liczowej le prwie wszystie wyrzy tego cigu. Def. Mówimy, e cig ( ) jest roziey do plus (mius) iesoczooci wtwg M δ >δ > (<) M i piszemy lim = +(-) Twierdzei o cigch Tw. Cig ziey jest ogriczoy. Tw. (Bolzo-Weierstrss) Kdy cig ogriczoy zwier podcig ziey. Tw. (o trzech cigch) Jeeli lim = lim c = g, podto istieje t licz δ, e dl dego > δ spełio jest ierówo c, to lim = g. Tw. (o zchowiu ierówo ci słej) Jeeli lim = i lim = orz istieje t licz δ, e dl dego > δ spełio jest ierówo, to. Tw. (Wrue Cuchy ego zieo ci cigu) Cig ( ) jest ziey wtedy i tylo wtedy, gdy dl dej liczy ε > istieje licz δ t, e dl dych dwóch licz turlych r i s wiszych od δ spełio jest ierówo r - s < ε. ( ) z. ε> δ r,s>δ r - s < ε Tw. Cig mootoiczy i ogriczoy jest ziey. Tw. (o dziłich rytmetyczych gricch cigów zieych) Jeeli cigi ( ) i ( ) s ziee, lim =, lim =, to cigi ( ± ), ( * ), ( / ) s te ziee, przy czym: lim ( ± ) = ±, lim ( * ) = *, lim ( / ) = / ( i ). Def. Mówimy, e cig ( ) putów przestrzei metryczej X d jest ziey do elemetu g przestrzei X d wtwg ε> δ >δ d(<, g>) < ε.
4 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Gric fucji Def. Ziór Q(x ; r) = {x X: d(<x, x>) < r} zywmy otoczeiem putu x. Licz r zywmy promieiem otoczei. Def. Ziór S(x ; r) = Q(x ; r) - {x } zywmy ssiedztwem putu x X. Def. Put x X zywmy putem supiei zioru A X wtwg do dego otoczei Q(x ; r) ley co jmiej jede róy od x put x A. ε> x A x S(x ; ε). Tw. Put x przestrzei metryczej X d jest putem supiei zioru A X wtwg istieje cig (x ) o wyrzch lecych do zioru A - {x } i ti, e. Def. Put X przestrzei metryczej X d zywmy putem izolowym zioru A X wtwg x A orz gdy x ie jest putem supiei zioru A. Def. (Heiego) Mówimy, e fucj f m w pucie x g gric g i piszemy lim f ( x) = g wtwg dl dego cigu (x ) o wyrzch ze zioru D f - {x } i zieego do putu x cig (f(x )) jest ziey do putu g. Def. (Cuchy ego) Mówimy, e fucj f m w pucie x gric g i piszemy lim f ( x) = g wtwg ε> δ x D f < d x (<x, x >) < δ d y (<f(x), g>) < ε. Tw. (o dziłich rytmetyczych gricch fucji) Jeeli lim f ( x) = g, lim h( x) = p i x jest putem supiei D f D h, to lim [f(x)±h(x)]=g±p, lim [f(x)*h(x)]=g*p, lim [f(x)/h(x)]=g/p (p ) Tw. (o gricy fucji złooej). Jeeli lim f ( x) = g, przy czym g jest putem supiei x x zioru f(x) i g ie ley do zioru f(x-{x }), orz lim h( y) y g x x x x x x x x = p, to lim h[ f( x) ] = p. grice iewłciwe. Def. (Heiego) Mówimy, e fucj f posid w pucie x gric iewł ciw +(-) i piszemy lim f ( x) = + ( ) wtwg dl dego cigu (x ) o wyrzch ze zioru D f - {x } i x x zieego do putu x cig (f(x )) jest ziey do +(-). Def. (Cuchy) lim f ( x) = + ( ) M δ x D f < d x (<x, x >) < δ f(x) <(>) M. x x grice w iesoczooci Def. (Heiego) Fucj f posid w +[-] gric g / gric iewł ciw -(+), jeeli dl dego cigu (x ) rozieego do +[-], cig (f(x )) jest ziey do g / roziey do -(+). Piszemy wtedy lim f( x) = g / ( + ). x + [ ] Def. (Cuchy) lim f( x) = g ε> δ x D f x >[<] δ ( f(x) - g < ε) x + [ ] lim f( x) = + ( ) M δ x D f x >[<] δ f(x) <(>) M. x + [ ] Niesoczeie młe. Def. Fucj f(x) zywmy iesoczeie mł w dym przej ciu griczym, jeeli lim f(x) =. Def. Niesoczeie młe f(x) i h(x) zywmy iesoczeie młymi tego smego rzdu w f dym przej ciu griczym, jeeli istieje gric wł ciw lim ( x ) =. h( x) Def. Z dwóch iesoczeie młych f(x) i h(x), f(x) zywmy iesoczeie mł wyszego f rzdu w dym przej ciu griczym, jeeli lim ( x ) h( x ) =. x x
5 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Def. Fucj f(x) zywmy iesoczeie mł rzdu ( N), gdy x x, jeeli fucje: f(x) i (x-x ) s iesoczeie młymi tego smego rzdu, gdy x x. Def. Dwie iesoczeie młe f(x) i h(x) zywmy rówowymi w dym przej ciu f griczym i piszemy f(x) ~ h(x), gdy lim ( x ) h( x ) =. Def. Fucj f(x) zywmy iesoczeie wiel w dym przej ciu griczym, jeeli lim f(x) =. Cigło fucji liczowych Def. (Heiego) Mówimy, e fucj f jest cigł w pucie x wtwg dl dego cigu (x ) o wyrzch ze zioru D f i zieego do putu x cig (f(x )) jest ziey do putu f(x ). Tw. Fucj f jest cigł w pucie x dcym putem supiei dziedziy D f wtwg lim f ( x) = f ( x ) x x Def. (Cuchy ego) Mówimy, e fucj f jest cigł w pucie x wtwg ε> δ> x D f x - x < δ f(x) - f(x ) < ε. Def. Mówimy, e fucj jest cigł wtwg jest cigł w dym pucie swej dziedziy. Def. Mówimy, e fucj jest cigł ziorze A D f, A, wtwg f A jest fucj cigł. Def. Put x D f, w tórym fucj f ie jest cigł zywmy putem iecigłoci tej fucji. Włsoci fucji cigłych Tw.. (o cigło ci fucji odwrotej) Jeeli fucj f jest cigł i rosc (mlejc) przedzile A R, to f(a) jest przedziłem orz fucj f - jest cigł i rosc (lo odpowiedio mlejc) przedzile f(a). Tw. 2. (o cigło ci fucji złooej) Jeeli fucj wewtrz f jest cigł w pucie x i fucj zewtrz h jest cigł w pucie u = f(x ), to fucj złoo h f jest cigł w pucie x. Tw. 3. (o wprowdzeiu gricy do rgumetu fucji cigłej). Jeeli istieje gric wł ciw lim f ( x) = g i fucj h jest cigł w pucie u = g, to x x lim h[ f( x) ] = h lim f( x) h( g) x x =. x x Tw. 4. (o lolym zchowiu zu) Jeeli fucj f jest cigł w pucie x orz f(x ) > lo f(x ) < to istieje tie otoczeie Q putu x, e dl dego x Q D f spełio jest ierówo f(x) > lo odpowiedio f(x) <. Tw. (Weierstrss) Jeeli fucj f jest cigł przedzile domitym <; >, to. f jest ogriczo przedzile <; > 2. istiej tie liczy c, c 2, e f( c ) if f( x), f( c ) sup f( x) = x 2 = x Tw. (Ctor) Jeeli fucj f jest cigł przedzile domitym <; >, to dl dego ε > istieje tie δ >, e dl dych dwóch licz x i x 2 z tego przedziłu, spełijcych wrue x - x 2 < δ, spełio jest ierówo f(x ) - f(x 2 ) < ε. Def. Fucj f jest jedostjie cigł przedzile X wtwg ε> x X δ> x 2 X ( x - x 2 ) ( f(x ) - f(x 2 ) < ε). Tw. (Droux) Jeeli fucj f jest cigł przedzile domitym <; >, f() f() orz licz q jest zwrt midzy f() i f(), to istieje ti put c (; ), e f(c) = q. Def. (wr. Lipschitz) Fucj f: X Y spełi wrue Lipschitz jeeli L> x, x 2 D ρ(f(x ), f(x 2 )) L d(x, x 2 ); L - stł Lipschitz.
6 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Tw. (Ctor, Hie, Dii?) Fucj cigł w dziedziie zwrtej jest cigł jedostjie. Pochod fucji Def. Ilorz róicowy fucji f w pucie x i dl przyrostu x zmieej iezleej jest to stosue f ( x x f x + ) ( ) x Def. Gric wł ciw ilorzu róicowego, gdy x, zywmy pochod fucji f w def f x x f x pucie x i ozczmy symolem f (x ). f'( x) lim ( ) ( ) + = x x Róicz fucji Tw. (o przedstwieiu przyrostu fucji) jeeli dziedzi fucji f zwier pewe otoczeie Q putu x orz istieje pochod f (x ), to dl dego przyrostu x tiego, e x + x Q, przyrost fucji) mo przedstwi stpujco f = f (x ) x + α x, przy czym α, gdy x dy do zer w dowoly sposó. wiose Jeeli fucj f m pochod w pucie x, to jest w tym pucie cigł. Def. Fucj f zywmy róiczowl w pucie x, jeeli jej przyrost f = f(x + x) - f(x ) mo dl dego x dostteczie lisiego zeru przedstwi w postci f = A x + o( x), gdzie A jest stł, o( x) jest iesoczeie mł rzdu wyszego i x, gdy x. Def. Róicz fucji f w pucie x i dl przyrostu x zmieej iezleej x zywmy iloczy f (x ) x. Ozczmy j symolem df(x ), d te róto df lu dy. Oliczie pochodych Tw. (o pochodej fucji odwrotej). Jeeli fucj x = g(y) jest ci le mootoicz i posid fucj pochod g (y), to fucj y = f(x) odwrot do iej posid fucj pochod f (x), przy czym f'( x) =, gdzie y = f(x). g'( y) Tw. (o pochodej fucji złooej) Jeeli fucj h m pochod w pucie x, fucj f m pochod w pucie u = h(x), to fucj złoo f g m w pucie x pochod (f g) (x) = f [h(x)]*f (x). Def. Pochod logrytmicz fucji f zywmy pochod jej logrytmu turlego f'( x) [ l f( x) ] =. f( x) Tw. (o pochodej fucji ore loej prmetryczie) Jeeli fucj y - h(x) jest ore lo prmetryczie x = f(t), y = g(t), t (; ), przy czym istiej pochode dy dt i dx, to istiej dt dy te pochod dy = dt. dx dx dt Twierdzeie Rolle Tw. (Rolle ) Jeeli fucj f jest cigł przedzile <; >, róiczowl przedzile (; ) orz f() = f(), to istieje ti put c (; ), e f (c) =.
7 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Twierdzeie l Hospitl Tw. (de l Hospitl) Jeeli:. dziedziy fucji f g i f ' g' zwierj pewe ssiedztwo S putu x. 2. lim f ( x) = lim h( x) = lo lim h( x) = ± x x x x x x f 3. istieje gric lim '( x ) (wł ciw lo iewł ciw), x x h'( x) f to istieje te gric lim ( x ) f, przy czym lim ( x ) f lim '( x = ). x x h( x) x x h( x) x x h'( x) Twierdzeie o przyrostch Tw. (o przyrostch, Lgrge ) Jeeli fucj f jest cigł przedzile domitym o occh x i x, orz m pierwsz pochod wewtrz tego przedziłu, to istieje ti put c lecy midzy x i x, e f(x) - f(x ) = f (c)(x - x ). Estremum fucji Def. Mówimy, e fucj f m w pucie x msimum (miimum) lole, jeeli istieje t licz dodti δ, e dl dego x S(x ; δ) spełio jest odpowiedio ierówo f(x) f(x ) (lo f(x) f(x )). Dl ierówo ci mocych otrzymmy msimum i miimum wł ciwe Tw. (Fermt) Jeeli fucj f m w pucie x estremum i m w tym pucie pierwsz pochod, to f (x) =. Twierdzeie i wzór Tylor Tw. (Tylor) Jeeli fucj f m cigłe pochode do rzdu (-) włczie przedzile domitym, o occh x i x orz m pochod rzdu wewtrz tego przedziłu, to istieje ( ) ( ) f ( x ) f ( c) ti put c, lecy midzy x i x, e f( x) f( x ) = ( x x ) + ( x x )!! Wypuło i wlsło wyresu fucji. Put przegici. Def. Mówimy, e rzyw y = f(x) jest wypuł (wlsł) w pucie x, wtwg istieje t licz r >, e róic y A - y B = f(x) - f(x ) - f (x )(x - x ) jest dodti (ujem) dl dego x S(x, r ). =
8 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Rchue cłowy jedej zmieej σ = f ( ξ ) x = Def. Jeeli dl dego cigu ormlego podziłów przedziłu <; > cig sum cłowych (σ ) jest ziey do tej smej gricy wł ciwej, iezleej od wyoru putów ξ, to t gric zywmy cł ozczo fucji f przedzile i ozczmy symolem: f( x) dx ; f( x) dx = lim f( ξ ) x def σ = Wrui R-cłowloci Tw. Jeeli fucj f jest R-cłowl przedzile <; >, to jest fucj ogriczo tym przedzile. (wr. oieczy, le ie wystrczjcy) Tw. (o R-cłowlo ci fucji cigłej). Fucj cigł przedzile domitym jest R- cłowl tym przedzile. (wr. wystrczjcy, le ie oieczy) Def. Mówimy, e podziór A zioru R jest miry zero wtedy i tylo wtedy, gdy dl dego ε > istieje porycie zoru A tim cigiem przedziłów otwrtych, tórego długo jest miejsz od ε. Tw. Kdy podziór przeliczly zioru R m mir zero. Tw. Kdy podziór zioru miry zero m mir zero. Tw. (Leesgue ). Fucj f ogriczo przedzile <; > jest R-cłowl tym przedzile wtedy i tylo wtedy, gdy ziór putów iecigło ci fucji f przedzile <; > jest miry zero. Tw. Fucj mootoicz przedzile <; > jest R-cłowl tym przedzile. Włsoci cłi ozczoej Tw.. Jeeli fucje f i h s R-cłowle przedzile <; >, to: ) fucj g+h jest R-cłowl przedzile <; >, przy czym [ f( x) + h( x)] dx = f( x) dx + h( x) dx 2) fucj Af, gdzie A - dowol stł, jest R-cłowl przedzile <; >: Af ( x) dx = A f( x) dx Tw. 2. Je li fucj f jest R-cłowl przedzile <; >, to: ) f 2 jest R-cłowl <; > 2) f jest R-cłowl <; > Tw. 3. Jeeli fucje f i g s R-cłowle przedzile <; >, to fucj f*g jest R- cłowl tym przedzile. Tw. 4. Jeeli fucj f jest R-cłowl <; > i przedził <α; β> <; >, to fucj f jest R-cłowl przedzile <α; β>, przy czym: β α * * f( x) dl x < α; β > f( x) dx = f ( x) dx ; f ( x) = dl x < ; > < α; β > Tw. 5. Jeeli fucj f jest R-cłowl przedzile <; > i c (; ), to
9 / Błd! Niezy rgumet przełczi. c f( x) dx = f( x) dx + f( x) dx c Tw. 6. Jeeli ogriczo fucj f jest cigł przedzile <; >, z wyjtiem putów zioru A miry zero, i dl dego x <; >-A fucj f przyjmuje wrto zero, to f( x) dx wiose: Jeeli dwie ogriczoe fucje f i h, z tórych jed jest R-cłowl <; >, rói si tylo ziorze soczoym, to drug z tych fucji jest R-cłowl i f( x) dx = h( x) dx Tw. 7. Jeeli fucje f i g s R-cłowle przedzile <; > i spełij wrue: x < ; > f ( x) g( x) to f( x) dx g( x) dx wiose: Jeeli fucj f jest R-cłowl <; > i ogriczo <; > z góry licz M, z dołu z licz m, to m( ) f( x) dx M( ) Tw. 8. (tw. cłowe o wrto ci rediej). Je li fucj f jest cigł przedzile <; >, to istieje ti put c <; >, e: f ( x ) dx = f ( c ) Tw. 9. Jeeli f jest fucj R-cłowl przedzile <; >, to f( x) dx f( x) dx Twierdzei podstwowe rchuu cłowego Tw.. Jeeli f jest fucj R-cłowl przedzile <α; β>, α z dowolie ustlo x licz w tym przedzile, to fucj F, ore lo wzorem F( x) = f( t) dt ; x < ; >, jest cigł w przedzile <; >. Tw. (pierwsze twierdzeie główe rchuu cłowego). Jeeli fucj f jest R-cłowl przedzile <; > i α <; >, to fucj F ore lo tym przedzile wzorem: x F( x) = f( t) dt ; x < ; > m pochod F (x) = f(x), czyli: d dx f ( t ) dt = f ( x ) α Def. Fucj F zywmy fucj pierwot fucji f przedzile X, jeeli dl dego x X spełioy jest wrue F (x) = f(x) lu df(x) = f(x)dx. Jeeli przedził X jest jedo- lu oustroie domity, to pochod F (x) w dym z lecych do iego oców rozumiemy jo odpowiedi pochod jedostro. Tw. (podstwowe twierdzeie o fucjch pierwotych). Jeeli F jest fucj pierwot fucji f przedzile X, to:.fucj Φ = F + C, gdzie C ozcz dowol fucj stł, jest te fucj pierwot fucji f przedzile X, 2.d fucj pierwot Φ fucji f przedzile X mo przedstwi w postci sumy F + C, gdzie C jest stosowie do Φ i F dor stł fucj. α x α
/ Błd! Niezy rgumet przełczi. Def. Cł ieozczo fucji f: <; > R zywmy ziór wszystich fucji pierwotych f, co ozczmy f( x) dx f. Tw. (o istieiu fucji pierwotej). Jeeli fucj f jest cigł przedzile X, to posid tym przedzile fucj pierwot. Tw. (drugie twierdzeie główe rchuu cłowego, tw. Newto-Leiiz). Jeeli fucj f jest cigł przedzile <; >, F z jest jolwie fucj pierwot fucji f tym przedzile, to f( x) dx = F( ) F( ) Tw. Cłowie przez czci Jeeli fucje u i v m w pewym przedzile cigłe pochode u i v, to u( x) v'( x) dx = uv v( x) u'( x) dx tym przedzile. Cłowie przez podstwieie Tw.. (o cłowiu przez podstwieie t = h(x)). Jeeli:.fucj h jest róiczowl przedzile X i przesztłc go przedził T, 2.fucj g m przedzile T fucj pierwot G, 3.f = (g h)*h przedzile X, to: f( x) dx = G h + C przedzile X. Tw. 2. (o cłowiu przez podstwieie x = ϕ(t)). Jeeli:.fucj ϕ jest róiczowl i róowrto ciow przedzile T i przesztłc go przedził X, 2.fucj f m przedzile X fucj pierwot F, to prwdziw jest tym przedzile rówo f( x) dx = [ f[ ( t)]* '( t) dt] Zstosowie cłi ozczoej pole pod wyresem P = f ( x ) dx ojto ryły orotowej V = π f 2 ( x) dx długo łuu l = β α dx dy + dt dt z 2 2 dt ϕ ϕ ϕ Cł iewłciw w przedzile iesoczoym Def. Jeeli fucj f(z) jest cłowl w sesie Riem w przedzile <; T> dl dego T T > orz istieje gric wł ciw lim f( x) dx, to zywmy j cł iewłciw fucji T f(z) w przedzile od do plus iesoczooci i ozczmy symolem + f( x) dx. Jeeli gric istieje i jest wł ciw, to mówimy, e cł iewł ciw fucji f(z) w przedzile do plus iesoczoo ci istieje lu e jest zie. Jeeli gric ie istieje, lo jest iewł ciw, to mówimy, e cł iewł ciw ie istieje lu e jest zie. Alogiczie dl mius iesoczoo ci i przedziłu (-; +) (tu dwie cłi (-, >, i <, ) ).
/ Błd! Niezy rgumet przełczi. Cł iewłciw fucji ieogriczoej fucj f(x) jest ore lo w przedzile <, ): ε = ε + Def. Jeeli istieje gric wł ciw lim f( x) dx f( x) dx to zywmy j cł iewłciw fucji f(z) w przedzile <; > (cł iewł ciw drugiego rodzju). Def. Cł iewł ciw zie drugiego rodzju zywmy ezwzgldie zie, jeeli jest zie cł f( x) dx. Def. Cł zie zywmy wruowo zie, jeeli cł Cłi iewłciwe zlee od prmetru Def. Cł K( x, t) dx < ε f( x) dx jest rozie. K( x, t) dx zywmy zie w przedzile T jeeli ε> t T A A>A Def. Cł zywmy jedostjie zie w przedzile T, jeeli ε> A t T A>A K( x, t) dx < ε Testy zieoci cłi iewłciwej Tw. (A. Cuchy) Jeeli f: <; +) C jest lolie cłowl, to rówowe s wrui:. cł iewł ciw f( x) dx jest zie β 2. f( x) dx, α, β α Tw. (test porówwczy) Jeeli. f: <, +) C jest lolie cłowl 2. g: <, +) R, g, g 3. f(x) g(x) w <, +) β α jest zie f( x) dx jest zie (ezwzgldie) orz zchodzi oszcowie f( x) dx g( x) dx. Tw. (Dirichlet) Jeeli f: <, +) R jest cigł i m ogriczo pochod (tz. <, α> m F górej gricy cłowi ogriczo) i g: <; +) R jest lsy C orz g(x) mleje do zer, x to cł iewł ciw fg = F( ) g'( ) F( x) g'( x) dx. fg jest zie orz zchodzi rówo
2 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Szeregi liczowe i fucyje. Szereg liczowy Def. Cig (S ) sum S = = = zywmy szeregiem liczowym i ozczmy symolem Szereg liczowy zywmy zieym, jeeli cig jego sum cz ciowych jest ziey do gricy wł ciwej lim S = S, tomist rozieym w wypdu przeciwym. Gric zywmy sum szeregu. Szereg ziey m sum, tomist szereg roziey ie m sumy. Piszemy te = S = = = Def. = = Def. Szereg ( + ) zywmy sum szeregów Wrue oieczy zieo szeregu. Jeeli szereg i = = = jest ziey, to lim = Szeregi o wyrzch ieujemych Tw. Jeeli cig sum cz ciowych szeregu o wyrzch ieujemych jest ogriczoy z góry, to szereg te jest ziey. ryteri porówwcze. Jeeli wyrzy cigów = orz = s ieujeme, podto istieje t licz turl N, e dl dego > N jest spełio ierówo, to:. zieo drugiego szeregu zpewi zieo szeregu pierwszego 2. rozieo szeregu pierwszego zpewi rozieo szeregu drugiego ryterium Dirichlet (porówwcze w postci griczej). Szereg α jest roziey = dl α, tomist ziey dl α >. + ryterium d Alemert. Jeeli istieje gric (wł ciw lo iewł ciw) g = lim, to szereg o wyrzch dodtich = jest ziey, gdy g <, tomist roziey, gdy g >. ryterium pierwistowe (Cuchy ego-hdmrd). Jeeli istieje gric (wł ciw lo iewł ciw) g = lim to szereg o wyrzch ieujemych jest ziey, gdy g <, tomist ziey, gdy g >. ryterium cłowe Niech m ozcz dowol licz turl. Jeeli fucj f(x) jest ierosc i ieujem w przedzile <m; +), to cł jedocze ie ziee, lo roziee.. + m = f( x) dx orz szereg f( ) s = m
3 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Szeregi o wyrzch dowolych Def. Szereg ( ) + > zywmy szeregiem przemieym. = ryterium Leiiz. Jeeli cig ( ) jest ieroscy orz 2...... orz lim =, to szereg przemiey jest ziey. ryterium Dirichlet. ( ) ( i dowole) mootoiczie mleje do zer orz cost N, to szereg jest ziey. = Def. Szereg ziey = Def. Szereg ziey roziey Tw. Jeeli szereg Def. Szereg szeregów. = = = c = i = = zywmy ezwzgldie zieym, jeeli jest ziey szereg zywmy wruowo zieym, jeeli szereg jest ziey, to jest ezwzgldie ziey szereg + = = = o wyrzch c = N zywmy iloczyem Cuchy ego. Tw. (Cuchy ego-mrtes o iloczyie szeregów). Jeeli szeregi = i = jest. s ziee, przy czym co jmiej jede z ich jest ezwzgldie ziey, to ich iloczy jest ziey, przy czym c = * Szeregi fucyje = = = Def. Cig. (S (x)) sum S ( x) = f ( x) zywmy szeregiem fucyjym i ozczmy symolem f ( x). = = Def. Szereg fucyjy zywmy zieym w ziorze X, jeeli cig jego sum cz ciowych jest ziey w tym ziorze S ( x) S( x) tomist rozieym w przeciwym przypdu. X Fucj gricz S(x) zywmy sum szeregu fucyjego w ziorze X i piszemy f ( x) = S( x) = X Def. Cig fucyjy (f (x)) zywmy zieym (putowo) w ziorze X do fucji griczej f(x) i piszemy lim f ( x) = f( x) ε > x X δ > ( f ( x) f( x) < ) δ ε.
4 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Def. (Cuchy) Cig fucyjy (f (x)) zywmy jedostjie zieym w ziorze X do fucji griczej f(x) i piszemy f ( x) f ( x) ε > δ x X > ( f ( x) f( x) < ) X δ ε Jeeli cig (S (x)) jest jedostjie ziey w ziorze X, to szereg fucyjy zywmy jedostjie zieym w tym ziorze. Jeeli szereg fucyjy jest ziey w ziorze X i ziey jest szereg f ( x), to zywmy go ezwzgldie zieym w ziorze X. = ryterium Weierstrss. Jeeli istieje t licz turl N, e dl dego N i dl dego x X spełio jest ierówo f (x) przy czym szereg liczowy = = ziey, to szereg fucyjy f ( x) jest ziey w ziorze X jedostjie i ezwzgldie. Tw. (Leiiz) Dy jest cig fucyjy (f (x)) ziorze D o wrto cich R. Jeeli f (x) mleje do zer jedostjie (ew. lolie jedostjie) D ( ) f ( x ) jest ziey jedostjie (ew. lo. jed.) D. Mo oszcow s(x) - s (x) f + (x). Tw. (o cłowiu szeregu fucyjego (wyrz po wyrzie)) Jeeli szereg f ( x) o wyrzch cigłych w przedzile <; > jest w tym przedzile jedostjie ziey, to f ( x) dx = f ( x) dx. = = Tw. (o róiczowiu szeregu fucyjego (wyr. po wyr.)) Jeeli wyrzy szeregu fucyjego mj cigłe pochode f (x) w przedzile <; >, szereg fucyjy jest ziey w tym przedzile, podto szereg f ' ( x) jest jedostjie ziey w przedzile <; >, to = ' f ( x) = f ( x) dl dego x <; >. = = Def. Fucj f C (U x, δ) zywmy litycz w pucie x, jeeli w otoczeiu U x, δ f( x) = ( x x ) jest o sum swojego szeregu Tylor. ( x) x - x < δ f ( x ) =! Tw. Jeeli f lsy C (U x, δ) m ogriczoe pochode, tz. M> x U x, δ < δ f () (x) ( x) f ( x ) M, to f jest litycz w x, czyli f( x) = ( x x ), = x U x, δ.! Tw. (N.H. Ael) Jeeli szereg potgowy x jest ziey w pucie x =, to jego sum jest w tym pucie f cigł: tz. jeeli szereg m R = i jest ziey w co jmiej jedym pucie x, to lim x x =. = jest
5 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Szeregi potgowe = Def. Szereg fucyjy ( x x ) licz x s tu de, tomist x jest zmie. Lemt. (o szeregu potgowym). Jeeli szereg zywmy szeregiem potgowym. Liczy,,... orz = x jest ziey dl x = ρ, to jest ziey (ezwzgldie) dl dego x spełijcego wrue x < ρ. Def. Promieiem zieoci szeregu potgowego zywmy res góry zioru wrto ci ezwzgldych wszystich licz x (Z), dl tórych te szereg jest ziey. R = sup Z. Tw. (o zieo ci szeregu potgowego) Jeeli promie zieo ci szeregu potgowego R, to dl dego dodtiego r < R szereg te jest ziey ezwzgldie i jedostjie w przedzile <-r; +r>. wiose. Szereg potgowy jest ziey ezwzgldie i jedostjie w dym przedile domitym <; >, połooym wewtrz przedziłu zieo ci. wiose 2. Szereg potgowy jest ziey ezwzgldie w cłym wtrzu (-R; +R) przedziłu zieo ci. wiose 3. Sum szeregu potgowego jest fucj cigł w cłym wtrzu (-R; +R) przedziłu zieo ci. + Tw. (o promieiu zieo ci). Jeeli istieje gric lim = λ, to promie zieo ci szeregu potgowego R = / λ. Tw. (o cłowiu sz. potgowego) Jeeli x ley do wtrz przedziłu zieo ci szeregu x + potgowego, to t dt = t + = = Tw. (o róiczowiu sz. potgowego) Jeeli x ley do wtrz przedziłu zieo ci szeregu potgowego, to d x = x. dx = = Szereg Tylor Tw. (Tylor) Jeeli fucj f m cigłe pochode do rzdu (-) włczie przedzile domitym o occh x i x orz m pochod rzdu wewtrz tego przedziłu, to istieje ( ) ( ) f ( x ) f ( c) ti put c, lecy midzy x i x, e f( x) f( x ) = ( x x ) + ( x x ). =!! Jeeli fucj m w pewym otoczeiu Q putu x wsztstie pochode, to dl dego ( ) ( ) f ( x ) f ( c) x Q-{x } i dego N f( x) = ( x x ) + ( x x ), gdzie c jest =!! licz z wtrz przedziłu o occh x i x. Jeeli istieje otoczeie Q, w tórym lim R ( x) = (R (x) - -t reszt wzoru Tylor), to ( ) f ( x ) f( x) = ( x x ), dl dego x Q. =! Lemt. (o reszcie wzoru Tylor) Jeeli istieje t licz M >, e dl dego x Q (x ; δ) i dl dego turlego spełio jest ierówo f () (x) M, to dl dego x Q spełioe jest lim R ( x) =.
6 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Twierdzei Bch (przestrzeie metrycze) Def. Ziór X zywmy przestrzei metrycz, jeeli dej prze (, ) jego elemetów jest przyporzdow dołdie jed licz ieujem ρ(, ) t, e:. ρ(, ) = = 2. ρ(, ) = ρ(, ) 3. ρ(, ) ρ(, c) + ρ(c, ) Fucj ρ(, ), ore lo ziorze wszystich pr putów przestrzei X, zywmy metry tej przestrzei. Wrto fucji ρ(, ), czyli wrto metryi, zywmy odległoci putu od putu ; Lemt (Schwrz-Cuchy ego) Dl dych dwóch ułdów (u, u 2,..., u ) i (v, v 2,..., v ) licz rzeczywistych prwdziw jest ierówo u v u v = 2 2 *. = = Nierówo t zywmy ierówo ci Schwrz-Cuchy ego. Def. (zieo w sesie metryi) Cig (x ) putów przestrzei X zywmy zieym w tej przestrzei, jeeli istieje ti put x X, e lim ρ( x, x) =. Piszemy wówczs lim x = x. Def. Mówimy, e cig (x ) putów przestrzei metryczej X spełi wrue Cuchy ego w sesie metryi ρ(, ) tej przestrzei, jeeli dl dej liczy dodtiej ε istieje t licz δ, e dl dych dwóch licz turlych r, s spełijcych wrue mi(r,s)>δ, spełio jest ierówo ρ(x r, x s ) < ε. Lemt. Jeeli cig (x ) putów przestrzei metryczej X jest ziey w tej przestrzei, to spełi wrue Cuchy ego w sesie jej metryi. Def. Cig podstwowy putów przestrzei metryczej X jest to cig spełijcy wrue Cuchy ego w sesie metryi tej przestrzei. Def. Przestrze zupeł jest to przestrze metrycz, w tórej jest ziey dy cig podstwowy jej putów. Tw. (Bch o pucie stłym) Jeeli opercj A jest ore lo putch przestrzei metryczej i zupełej X, przy czym:. jeeli x X, to A(x) X, 2. istieje t licz dodti α <, e dl dego y X i dl dego z X spełio jest ierówo ρ[a(y), A(z)] α * ρ(y, z) to w przestrzei X istieje dołdie jede put x * spełijcy rówie x = A(x); put x * jest putem griczym cigu olejych przylie x + = A (x ), =,, 2,..., przy czym x jest dowolym putem przestrzei X. 2
7 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Rchue róiczowy fucji wielu zmieych Ziory w przestrzei R Przestrze R Ziór wszystich uporzdowych ułdów (x, x 2,..., x ), licz rzeczywistych ( ), zywmy przestrzei -wymirow R. Ułdy (x, x 2,..., x ) zywmy putmi przestrzei R, liczy x, x 2,..., x - współrzdymi prostotymi tych putów. Odległo d AB putów A(, 2,..., ) i B(, 2,..., ) przestrzei R jest ore lo 2 wzorem: d = ( ) + ( ) +... + ( ) 2 2 AB 2 2 Otoczeie i ssiedztwo putu. Niech r ozcz dowol licz dodti. Def. Otoczeie Q(P ; r) putu P (, 2,..., ) o promieiu r jest to ziór wszystich putów P(x, x 2,..., x ), dl tórych: d r P P < Def. Ssiedztwo S(P ; r) putu P (, 2,..., ) o promieiu r jest to ziór wszystich putów P(x, x 2,..., x ), dl tórych: < d P < r P Def. Ziór Z R zywmy ogriczoym, jeeli istieje t licz r >, e Z Q(; r), tomist ieogriczoym, gdy licz t ie istieje. Def. Ziór zywmy soczoym, jeeli ley do iego dołdie N putów. Def. Ziór zywmy iesoczoym, jeeli ie jest i pusty i soczoy. Ziory otwrte i domite. Def. Put P Z zywmy putem wewtrzym zioru Z, jeeli ziór te zwier pewe otoczeie putu P. Def. Ziór, tórego dy put jest putem wewtrzym, zywmy ziorem otwrtym. Def. Łu zwyły w przestrzei R jest to ziór wszystich putów P(x, x 2,..., x ) o współrzdych x = x (t), x 2 = x 2 (t),..., x = x (t), gdzie x i (t), i N, s to fucje cigłe, ore loe w przedzile <α; β>, przy czym róym wrto ciom prmetru t (α; β) odpowidj róe puty P. Łu zwyły zywmy otwrtym, jeeli ie jest spełio co jmiej jed z rówo ci x i (α) = x i (β), i N, tomist zmitym lu zwył rzyw zmit, jeeli d z tych rówo ci jest spełio. dx i Jeeli fucje x i (t) mjc cigłe pochode w przedzile <α; β> orz > dl i= dt t <α; β> to łu zwyły zywmy głdim (regulrym). Jeeli tomist przedził <α; β> mo podzieli soczo licz podprzedziłów t, ey w dym z ich oddzielie fucje x i (t) miły cigłe pochode ( occh - pochode jedostroe) orz spełioy ył powyszy wrue, to łu zwyły zywmy włmi głdim. Def. Oszr jest to ti ziór otwrty, tórego de dw puty mo połczy łuiem zwyłym (p. łm) cłowicie w im zwrtym. Def. Put P zywmy putem supiei zioru Z, jeeli w dym ssiedztwie putu P zjduje si put tego zioru. Def. Ziór domity jest to ziór, do tórego le wszystie jego puty supiei. (F X domity dopełieie jest ziorem otwrtym) Def. Domicie A - zioru A to przerój wszystich ziorów domitych A F: A - = { F A F F - dom.}. A - jest jmiejszym ziorem domitym zwrtym w A. 2. A jest domity A = A - 3. x A - w dowolym otoczeiu putu x istiej puty zioru A: ε> A K(x, ε). 2
8 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Def. Podziór A X zywmy gstym w X, jeeli jego domicie jest idetycze z X, czyli A - = X. Def. Put P Z, tóry ie jest putem supiei zioru zywmy Z, zywmy putem osoliwym tego zioru. Def. Put P zywmy putem rzegowym zioru Z, jeeli w dym otoczeiu tego putu zjduje si zrówo put zioru Z j i put, tóry do tego zioru ie ley. Def. Brzeg zioru Z jest to ziór wszystich putów rzegowych tego zioru. Ziory jedospóje i wielospóje. Def. Krzyw Jord jest to zwył rzyw zmit w przestrzei R 2. Krzyw Jord dzieli płszczyz dw oszry. Jede z oszrów jest ogriczoy i zywmy go wtrzem rzywej Jord. Drugi z tych oszrów jest ieogriczoy. Def. Oszr w przestrzei R 2 zywmy jedospójym, jeeli ley do iego wtrze dej lecej w im rzywej Jord. Oszr tóry ie jest jedosójy, zywmy oszrem wielospójym. Jeeli rzeg oszru w przestrzei R 2 słd si z rozłczych rzywych Jord, łuów zwyłych otwrtych i putów, to ich łcz licz zywmy rzdem spójoci i oszr zywmy -spójym. Fucje wielu zmieych Def. Fucj zmieych x, x 2,..., x, ore lo w ziorze Z R, jest to przyporzdowie demu putowi P(x, x 2,..., x ) Z dołdie jedej liczy z R. Piszemy przy tym: z = f (x, x 2,..., x ) dl (x, x 2,..., x ) Z lu z = f (P), P Z. Def. Fucj f(p) zywmy ogriczo w ziorze Z, jeeli istieje t licz M, e dl dego P Z spełio jest ierówo f(p) M. Gric i cigło fucji Gric fucji zmieych. Def. Mówimy, e cig putów (P ), N, przestrzei R jest ziey do puu P i piszemy P P wtedy i tylo wtedy, gdy lim, lim ( ) ( d ) P P = m m N x m = x m Def. (Heiego) Licz g zywmy gric fucji f(p) w pucie P, jeeli dl dego cigu putów (P ), P Z, P P, zieego do P, cig (f(p )) jest ziey do g. Jeeli licz g jest gric fucji f(p) w pucie P, to piszemy: lim f( P) = g. P P Def. (Cuchy) lim f( P) = g ε > δ > P Z < d < δ f( P) g < ε P P Cigło fucji zmieych. Def. Fucj f(p) jest cigł w pucie P lim f( P) = f( P ) P P Def. Fucj f(p) zywmy cigł w pewym ziorze, jeeli jest cigł w dym pucie tego ziour. Tw. (o lolym zchowiu zu). Jeeli fucj f(p), ore lo w pewym otoczeiu putu P, jest w tym pucje cigł i f(p o ) >(<), to istieje tie ssiedztwo S putu P, e dl dego putu P S jest spełio ierówo f(p) >(<). Tw. (o ogriczoo ci fucji)l Jeeli fucj f(p) jest cigł w oszrze domitym i oriczoym D, to jest w tym oszrze ogriczo. PP
9 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Tw. (Weierstrss, o osigiu resów) Jeeli fucj f(p) jest cigł w oszrze domitym i ogriczoym D, to istieje ti put P D, e : f(p ) = sup f(p) orz istieje ti put P 2 D, e f(p ) = if f(p) 2 P D Tw. (Ctor, o cigło ci jedostjej) Jeeli fucj f(p) jest cigł w oszrze domitym i ogriczoym D, to dl dej liczy ε > istieje t licz δ >, e dl dych dwóch putów P D i P 2 D, tórych odległo d P P 2 spełi wrue: d P P 2 < δ to spełio jest ierówo f(p ) - f(p 2 ) < ε. Wł ciwo ci fucji cigłej w oszrze domitym i ogriczoym D, o tórej mówi powysze twierdzeie, zywmy jedostj cigłoci. Pochode czstowe f Def. Gric wł ciw lim ( P ) f ( P ) zywmy pochod czstow rzdu pierwszego xi x i f fucji f(p) wzgldem zmieej x i w pucje P i ozczmy symolem P D x P Tw. (Schwrz) Jeeli fucj f(x, x 2,..., x ) m w pewym oszrze Ω R cigłe 2 2 f pochode czstowe miesze rzdu drugiego x x orz f to w dym pucie x x tego oszru f x x f = x x 2 2 i j j i i j j i.
2 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Fucje zmieej zespoloej Płszczyz zespolo otwrt i domit. Def. Płszczyz zespolo domit (płszczyz Guss) jest to ziór utworzoy ze wszystich putów płszyczyzy zespoloej otwrtej orz z putu. Cigi i szeregi liczowe o wyrzch zespoloych Def. (gric wł ciw) lim z = g ε > δ > δ z g < ε ; g = + i ; z g = ( x ) + ( y ) 2 2 ; (lim z = g) (lim x = ) (lim y = ) Def. (gric iewł ciw) (lim z = ) M δ > δ z > M Def. {z } jest ogriczoy M z M Def. Cig z zywmy szeregiem liczowym o wyrzch zespoloych i ozczmy = = = = symolem z = x + i y (i jest ziey wtwg o szeregi słdowe s ziee). Def. Szereg ziey zywmy ezwzgldie zieym, jeeli ziey jest szereg Tw. Jeeli ziey jest szereg z = Fucj zespolo zmieej rzeczywistej z = z(t) dl t T lu z = x(t) + iy(t). z x y pochod: z'( t) = = + i = x'( t) + iy( t) t t t β cł ozczo z( t) dt = x( t) dt + i y( t) dt α Fucj zespolo zmieej zespoloej β α to rówie jest ziey szereg β α z = z = Def. Fucj zespolo f(z) zmieej zespoloej z ore lo w dziedziie Ω jest to przyporzdowie dej liczie z Ω dołdie jedej liczy zespoloej w. Piszemy przy tym: w = f(z) dl z Ω. z = x + iy; w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) gric fucji zmieej zespoloej. Def. (Cuchy) lim f( z) = g ε > δ > z Ω ( < z z < ) ( f( z) g < ) z z δ ε lim f( z) = g lim u( x, y) = lim v( x, y) z z x x = x x y y y y Def. (Heiego). Licz g zywmy gric fucji f(z) w pucie z, jeeli dl dego cigu {z } zieego do z, o wyrzch z z i lecych do dziedziy Ω fucji f(z), cig {f(z )} jest ziey do g.. Def. f(z) jest cigł w pucie z lim f ( z) = f ( z ) z z.
2 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Def. (gr. iewł ciw) lim f( z) = M δ > z Ω ( < z z < δ ) ( f( z) > M) Def. lim f ( z) = lim f z z z z z z Pochod fucji zmieej zespoloej Def. Gric wł ciw ilorzu róicowego gdy z zywmy pochod fucji f(z) w f z z f z pucie z i ozczmy symolem f (z). f'( z ) lim ( ) ( ) + =. z z u v v u f'( z ) = + i = i x x y y Tw. Jeeli fucj f(z) = u(x, y) + iv(x, y) m w pucie z pochod f (z ), to pochode czstowe u u u u,,, istiej i spełij wrui Cuchy ego-riem x y x y u u x y orz u u = = y x Tw. (wrue wystrczjcy istiei pochodej f (z )) Jeeli fucje u(x, y) i v(x, y) s róiczowle w pucie (x ; y ), podto pochode czstowe spełij w tym pucie wrui Cuchy ego-riem, to fucj f(z) = u(x, y) + iv(x, y) m pochod f (z ). Fucj holomorficz Def. Fucj f(z) zywmy holomorficz w pucie z, jeeli m pochod f (z) w pewym otoczeiu tego putu. Def. Dwie fucje hrmoicze u(z, y) i v(x, y) zywmy sprzoymi ze so, jeeli spełij ułd rów Cuchy ego-riem. Cigi i szeregi fucji zespoloych Def. Cig fucyjy {f (z)} ore loy w ziorze Ω jest to przyporzdowie dej liczie turlej dołdie jedej fucji f (z) ore loej w tym ziorze. Def. (zieo ) f ( z) f( z) ε > z Ω δ > δ f ( z) f( z) < ε, gdzie f(z) Ω zywmy fucj gricz. Def. (zieo jedostj) f ( z) f( z) ε > δ z Ω > δ f ( z) f( z) < ε Ω Tw. (o cigło ci fucji griczej). Jeeli f ( z) f( z) orz f (z) C o (Ω), to f(z) C o (Ω) Def. Cig f ( z) zywmy szeregiem fucyjym i ozczmy symolem f ( z). = = Def. Szereg ziey w ziorze Ω zywmy ezwzgldie zieym w tym zorze, jeeli dl dego z Ω ziey jest szereg f ( z) = Ω
22 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Kryterium Weierstrss. Jeeli dl dego N i dl dego z Ω jest spełio ierówo f (z), przy czym szereg liczowy ziey w ziorze Ω jedostjie i ezwzgldie. szereg potgowy. = Def. Szereg fucyjy ( z z ) = jest ziey, to szereg f ( z) jest = zywmy szeregiem potgowym. Liczy zespoloe,,... orz licz z s tu de, tomist z jest zmie. Def. Promie zieoci R szeregu jest to res góry zioru X. R = sup z - z z Ω + lim! = λ R = / λ. Tw. (o holomorficzo ci sumy szeregu potgowego). Sum S(z) szeregu potgowego ( z z ) = jest fucj holomorficz wewtrz oł zieo ci ( cłej płszczyie, gdy R = ), przy czym d ( z z ) = ( z z ), podto szereg pochody m dz = = ti sm promie zieo ci j szereg dy (czyli szereg potgowy mo róiczow wyrz po wyrzie wewtrz oł zieo ci). Tw. (o zieo ci ieml jedostjej) Szereg potgowy jest jedostjie ziey w dym ziorze domitym i ogriczoym, zwrtym wewtrz oł zieo ci. Def. Fucj cłowit jest to sum szeregu potgowego zieego cłej płszczyie otwrtej. Fucje wielozcze Def. Fucj f(z) zmieej zespoloej zywmy oresow, jeeli istieje t licz zespolo p, e dl dej liczy z z dziedziy fucji f licz z + p te ley do tej dziedziy orz f(z + p) = f(z). Licz p zywmy oresem fucji f. Cł fucji zmieej zespoloej Def. Jeeli dl dego ormlego cigu przedziłów przedziłu <α, β> cig sum cłowych = f ( ζ ) z jest ziey do tej smej gricy soczoej, iezleie od wyorów putów ζ, to t gric zywmy cł fucji f(z) wzdłu łuu AB i ozczmy symolem AB def = δ = f( z) dz lim f( ζ ) z (δ ozcz redic podziłu przedziłu <α, β> cz ci) Tw. (o zmiie cłi cł ozczo). Jeeli fucj f(z) jest cigł zwyłym luu głdim AB: z = z(t), t <α, β>, sierowym zgodie ze wzrostem prmetru, to AB β [ ] f( z) dz = f z( t) z'( t) dt α Twierdzeie podstwowe Cuchy ego Tw. (podstwowe Cuchy ego) Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze jedospójym, D, C z jest włmi głd rzyw Jord lec w tym oszrze, to C f( z) dz =
23 / Błd! Niezy rgumet przełczi. wiose. Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze jedospójym D, to cł po włmi głdim łuu D ie zley od sztłtu tego łuu, jedyie od jego pocztu A i oc B. Tw. Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze jedospójym D i z D, to fucj φ(z) ore lo w tym oszrze wzorem φ( z) = f ( ζ) dζ m pochod φ (z) = f(z) Def. Fucj F(z) zywmy fucj pierwot fucji f(z) w oszrze D, jeeli dl dego z D jest spełioy wrue F (z) = f(z) Tw. Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze jedospójym D, F(z) z jest jolwie jej fucj pierwot w tym oszrze, orz z D i z 2 D, to z2 z f ( z) dz = F( z ) F( z ) 2 wiose 2. Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze D - D, to f ( z) dz = f ( z) dz z z C C2 ( D D, o. jedospóje; C i C 2 włmi głdie rzywe Jord, C 2 D, C wewtrz C 2 i D ley wewtrz C ) wiose 3. Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze jedospójym D z wyjtiem C putów z, z 2,..., z, to f( z) dz = f( z) dz (gdzie D - o. jedospójy; C - włmi = K głd rzyw Jord połoo w oszrze D i zwier puty z ( N), K - orgi o rodch z i wspólym promieiu ρ t młym, y de orgi si ie styły) Wzór cłowy Cuchy ego Tw. (o wzorze cłowym Cychy ego) Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze jedospójym D, z C D jest włmi głd rzyw Jord, tór zwier put z w f( z) dz swym wtrzu D c, to f( z ) =. 2πi z z C Tw. (pochode wyszych rzdów) Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze D, to m w tym oszrze pochod dego rzdu, przy czym dl dego turlego i dl dego (! f( z) dz z D f ) ( z ) = +, gdzie K ozcz dowoly org o rodu z lecy ze 2πi ( z z ) swym wtrzem w oszrze D. K Szereg Tylor Tw. (o rozwiiciu fucji holomorficzej w szereg potgowy) Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze D, to mo j rozwi woół dego putu z D w szereg ( f potgowy f( z) = ) ( z ) ( z z ) o współczyich = przy czym promie! = zieo ci R tego szeregu jest ie miejszy i d = if z z, gdzie Γ ozcz rzeg oszru Γ D. Def. Peł fucj litycz zywmy fucj holomorficz wrz ze wszystimi jej przedłueimi lityczymi. Lemt (o putch zerowych fucji holomorficzej) Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze D, to jest w tym oszrze tosmo ciowo rów zeru lo dy jej put zerowy z
24 / Błd! Niezy rgumet przełczi. z D jest odosoioy (tz. w pewym jego ssiedztwie ie m ju iych putów zerowych fucji f(z)). wiose Fucj holomorficz w oszrze D i mjc w im put zerowy, tóry ie jest odosoioy jest w tym oszrze tosmo ciowo rów zeru. Tw. (o idetyficji fucji holomoficzych) Jeeli fucje f(z) i g(z) s holomorficze w oszrze D i przyjmuj jedowe wrto ci w iesoczoym cigu {z } putów z D, to fucje te s rówe w oszrze D. Tw. (zsd msimum modułu) Moduł fucji holomorficzej i róej od stłej w oszrze D ie osig msimum w dym pucie tego oszru. wiose Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w oszrze ogriczoym D i cigł w oszrze domitym D = D C, to moduł f(z) przyjmuje wrto jwisz, miowicie sup f ( z ) rzegu C tego oszru. D Tw. (Liouville ) Fucj cłowit i ogriczo jest stł. Szereg Luret Tw. (Luret) Jeeli fucj f(z) jest holomorficz w pier cieiu D: r < z - z < R, r, + = R, to mo j rozwi w tym pier cieiu w szereg Luret f( z) = ( z z ) przy czym = πi f ( z) dz ( z z ) 2 K + ; Z, gdzie K D jest dowolym orgiem o rodu z -. Puty osoliwe odosoioe Def. Jeeli fucj f(z) ie jest holomorficz w pucie z, jest tomist holomorficz w pewym jego ssiedztwie, to z zywmy putem osoliwym odosoioym fucji f(z). Niech f(z) ozcz fucj holomorficz w ssiedztwie S(z ; r) putu z. Korzystjc z rozwiici w szereg Luret mmy wówczs dl dego z S(z ; r) stpujc rówo f( z) = ( z z ) +. = = ( z z ) Pierwszy szereg zyw si czci regulr, tomist drugi - czci osoliw (lu głów) rodzje putów osoliwych. pozorie osoliwy - cz osoliw rozwiici jest rów zero. Istieje wówczs gric soczo f(z) gdy z z i rów si. 2. -roty put ieguowy - cz osoliw rozwiici zwier soczo licz wyrzów. Istieje t licz >, e - i dl > wsp. - =. 3. put istotie osoliwy - cz osoliw rozwiici zwier iesoczeie wiele wyrzów. Tw. (Sochociego) Jeeli z jest putem istotie osoliwym fucji f(z), to dl dej liczy zespoloej A istieje ti cig {z } ziey do z, e lim f(z ) = A. Residuum fucji Def. Licz res f( z ) = f( z) dz 2πi K( z ; r) res f(z ) = - wrto ci residuum w putch osoliwych.. pozorie osoliwy: res f(z ) = zywmy residuum fucji f(z) w pucie z.
25 / Błd! Niezy rgumet przełczi. ( )! lim ( )( ) ( ) z z 2. -roty put ieguowy: res f( z ) = ( f z z z ) 3. istotie osoliwy: res f(z ) = - Tw. (Cuchy; cłowe o residuch) Jeeli f(z) jest fucj holomorficz w oszrze jedospójym D z wyjtiem co jwyej putów z D, N, C z jest włmi głd rzyw Jord lec w tym oszrze, dodtio sierow i zwierjc puty z, z 2,..., z w swym wtrzy, to f( z) dz = 2π i res f( z ) C =
26 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Przesztłcei cłowe Wzór cłowy Fourier Tw. (tw. Fourier) Jeeli fucj f(t) spełi pierwszy i drugi wrue Dirichlet w dym przedzile soczoym (, ), podto cł iewł ciw + f( t) dt dego t prwdziw jest rówo f( t) = dω f( τ) cos ω( t τ) dτ, π + ( ω) = f( τ) cosωτdτ π f( t) = [ ( ω) cos ωt + ( ω) siωt] dω, gdzie + ( ω) = f( τ) siωτdτ π + jest zie, to dl Przesztłceie Lplce Def. Orygił jest to fucj f(t) o stpujcych włso cich. t> f(t) = 2. w dym otwrtym przedzile soczoym spełioy jest pierwszy i drugi wrue Dirichlet 3. M> ρ t f(t)\ Me ρt Wzór Lplce -Melli. Jeeli f(t) jest orygiłem, to iloczy f(t)e -xt, gdzie x > ρ, jest ezwzgldie cłowly w przedzile (-, ), przy czym + xt xt ( x ρ) t M f( t) e dt = f( t) e dt M e dt = x ρ x+ i st sτ dl dego t: f( t) = e ds f( τ) e dτ πi + 2 x i Przesztłceie Lplce Tw. (o ezwzgldej zieo ci cłi Lplce ) Jeeli cł Lplce jest ezwzgldie zie w pucje s orz Re s > Re s, to jest to te ezwzgldie zie w pucie s. Tw. (o zieo ci cłi Lplce ) Jeeli cł Lplce jest zie w pucie s, orz Re s > Re s, to jest te zie w pucie s. Liiowo przesztłce L i L -. L[A f (t) + A 2 f 2 (t)] = A L[f (t)] + A 2 L[f 2 (t)], orz - - - L [A f (t) + A f (t)] = A L [f (t)] + A L [f (t)] 2 2 2 st Tw. (o holomorficzo ci L-trsformty) Trsformt f( s) = f( t) e dt orygiłu f(t) jest fucj holomorficz w półpłszczyie Re s > x z, przy czym df ( s ) ds Rchue opertorowy 2 = tf ( t) e Tw. (o L-trsformcie pochodej) Jeeli f(t) jest orygiłem i m w przedzile (, +) cigł pochod f (t), to istieje L-trsformt tej pochodej, przy czym L[ f'( t)] = sf ( s) f( + ). st dt.
27 / Błd! Niezy rgumet przełczi. Tw. (o L-trsformcie pochodej rzdu ) Jeeli fucj f(t) orz jej pochode do rzdu (- ) włczie s orygiłmi, podto istieje w przedzile (, +) cigł pochod f () (t), to = ( ) ( ) istieje L-trsformt tej pochodej, przy czym L[ f ( t)] = s f ( s) s f ( + ). t f( s) Tw. (o L-trsformcie cłi) Jeeli f(t) jest orygiłem, to L f ( τ) dτ =. s Włsoci przesztłcei Lplce Tw. (o podoiestwie) Jeeli f(t) jest orygiłem orz >, to L f t f s [ ( )] =. Z tego wyi L f ct c f t = [ ( )] c, c > Tw. (o przesuiciu w rgumecie orygiłu) Jeeli f(t) jest orygiłem orz t, to [ ] L f( t t ) ( t t ) = e t s f( s). Tw. (o przesuiciu w rgumecie orzu). Jeeli f(t) jest orygiłem orz α jest licz αt L e f( t) = f( s + α) zesplo, to [ ] Tw. (tw. Borel) Jeeli f (t) i f 2 (t) s orygiłmi to istieje L-trsformt ich splotu, przy czym L[ f( t) f2 ( t) ] L[ f( t) ] L[ f2 ( t) ] =. Def. s (s ; α) -α < rg(s-s ) < α Tw. (o gricy orzu w iesoczoo ci) Jeeli f(t) jest orygiłem, to dl dego setor (s ; α) tiego, e Re s > ρ, jest spełioy wrue lim f ( s) =. s s ( s ; α) Tw. (o gricy orygiłu w iesoczoo ci). Jeeli f(t) jest orygiłem, tórego cł Lplce istieje dl Re s >, orz jeeli istieje gric lim f( t) =, to dl dego setor (; α) istieje te gric lim sf ( s) =. s s ( ; α) Tw. (o gricy orygiłu w zerze) Jeeli f(t) jest orygiłem, orz lim f( t) =, to dl t t + dego setor (s ; α) tiego, e Re s > x z istieje gric lim sf( s) = s s ( s ; α)