TEORIA LICZB WYKŁAD 1

Transkrypt

1 TEORIA LICZB WYKŁAD Zsd iducji Liczby postci,,,.. zywmy liczbmi turlymi. Zbiór tych liczb ozczmy symbolem N. podstwow włso liczb turlych podje stpujce twierdzeie: Twierdzeie. W dym iepustym zbiorze X złooym z liczb turlych istieje liczb jmiejsz. Twierdzeie to przyjmujemy bez dowodu. Ztem jeli istiej liczby turle posidjce włso W to istieje jmiejsz liczb turl posidjc t włso. Podobie, jeeli ie d liczb turl posid włso W to istieje te jmiejsz liczb turl tej włsoci iespełijc. Twierdzeie. Zsd iducji) Jeeli X jest zbiorem liczb turlych spełijcych dw stpujce wrui: ) ley do zbioru X b) jeli m ley do X, to m te ley do zbioru X to X zwier wszystie liczby turle. Przypumy, e istiej liczby turle ielece do X i iech Y bdzie zbiorem wszystich tich liczb czyli X Yφ). Z twierdzei. wyi, e w zbiorze Y istieje jmiejsz liczb turl 0. Liczb t ie moe by rów, gdy z złoei ley do X. Liczb 0 - jest liczb miejsz od 0, ztem ie moe lee do zbioru Y, ley wic do zbioru X. Z złoei b) wyi, e 0 0 -) X. Ztem 0 X Y), to jest iemoliwe, gdy X Yφ. Twierdzeie. mo sformułow w wersji. Twierdzeie. Jeeli twierdzeie T o liczbch turlych ) jest prwdziwe dl b) z prwdziwoci tego twierdzei dl wyi prwdziwo dl to twierdzeie T jest prwdziwe dl dej liczby turlej. Niech X bdzie zbiorem tych liczb turlych, dl tórych twierdzeie T jest prwdziwe. Wówczs z złoei ) wyi, e liczb ley do X. Dlej, jeli liczb turl X, to liczb te ley do X. N mocy twierdzei. zbiór X zwier wówczs wszystie liczby turle. Poiew do zbioru X le wszystie liczby turle, dl tórych twierdzeie T jest prwdziwe to twierdzeie T jest prwdziwe dl wszystich liczb turlych. Przyłd: Niech T bdzie twierdzeiem: ) N * L P LP ) Złoeie: N ) ) Tez:.. ) ) ) ).. ) ) ) ) ) ALGEBRA..

2 iducj oczy dowód PODZIELNO Przedmiotem bd teorii liczb s włsoci liczb cłowitych tj. liczb 0,,-,,-, itd. Defiicj: Liczb cłowit b jest podziel przez liczb cłowit jeeli istieje t liczb cłowit, e: b* Piszemy wtedy b i wysłwimy stpujco: i) dzieli b ii) jest podzieliiem b iii) b jest podziele przez Jeli b ie jest podziele przez, to piszemy b ie dzieli b). Dl liczby 0 dzieliiem jest d liczb cłowit, gdy 00*b, b Z. Liczb 0 jest dzieliiem tylo jedej liczby cłowitej zer, gdy *00,,b,0 Twierdzeie. Niech,b,c Z ) jeli b to b*c ) jeli b i b c to c przechodio) ) jeli b i c to b*xc*y) dl x,y Z ) jeli b i b to b lub -b ) jeli b i >0,b>0 to b ) jeli m 0 Z i [ b, to *m b*m) orz jeli *m b*m to b)] Dowód ) Z zł. b i b c. Ozcz to, e istiej liczby cłowite, tie, e B*, cb* std Cb* * )* * * ). Ozczmy * Z. Ztem istieje Z, e c*, wic c. Dowód ) Soro b orz c to istiej liczby cłowite, tie, e c* orz b*. Niech x,y Z. Wtedy b*xc*y* *x *y *x *y). Ztem b*xc*y*l, l *x *y, wic b*xc*y). Włso ) mo rozszerzy soczoy zbiór: jeli,,, Z, x x Z to x x x ). Twierdzeie. Dl dowolych dwóch liczb cłowitych,b tich, e >0 istiej dwie liczby cłowite q i r tie, e bqr 0 r<. Jeli ie dzieli b to spełio jest ierówo ostr 0<r<. Rozwmy cig rytmetyczy: b-, b-, b-, b, b, b, b, Njmiejsz liczb ieujem w tym cigu ozczymy symbolem r. Wtedy dl pewego q Z b-qr Std *) bqr Porzemy terz jedozczo istiei liczb q orz r. W tym celu przypumy, e istiej liczby cłowite q orz r tie, e **) bq r, gdzie 0 r <. Njpierw poemy, e r r. przypumy, e t ie jest i e r<r. Odejmujc stromi *) i **) otrzymujemy ***) r -rq-q ) 0 r -r <. Ozcz to, e liczb dzieli liczb r -r r -r) co jest iemoliwe mocy twierdzei.). Ztem r r. Z rówoci ***) wyi, e 0q-q ), le 0, ztem q-q 0, wic qq Twierdzeie. zostło wyze przy wruu, e >0. To złoeie ie jest oiecze. Wyłd Tw.. Dl dowolych liczb cłowitych, b 0 istiej liczby cłowite orz r tie, e b*r 0r< ALGEBRA..

3 Jeli <0 to >0 i mocy poprzediego twierdzei T. istiej liczby cłowite q, r tie, e: bq* r 0r< le - ztem bq*-)r-qr Połómy q. Wtedy: br 0r< Liczb r zywmy reszt z dzielei liczby b przez. Defiicj: Liczb cłowit zywmy wspólym dzieliiem liczb cłowitych b i c wtedy i tylo wtedy, gdy b i c Przyłd: 8,,,,9,8 Jeeli liczb cłowit jest ró od zer, to istieje tylo soczo liczb jej dzieliów, ztem istieje liczb wspólych dzieliów liczb b i c z wyjtiem przepdu bc0. Jeeli przyjmiej jed z liczb b i c jest ró od zer to wród wspólych dzieliów liczb b ic istieje liczb jwisz. T jwisz liczb zywmy jwiszym wspólym dzieliiem liczb b i c i ozczmy symbolem b,c). W podoby sposób defiiujemy jwiszy wspóly dzieli b.b ie wszystich rówych 0 i zpisujemy b.b ). Przyłd:,7) 00,),,0) Tw.. Jeli gb,c) jest jwiszym wspólym dzieliiem liczb cłowitych b i c, to istiej liczby cłowite x 0,y 0 tie, e gb,c)bx 0 cy 0 Iymi słowy jwiszy wspóly dzieli b,c) jest ombicj liiow liczb b i c. Rozwmy zbiór A{bxcy, x,y le do Z}. Do zbioru A le liczby dodtie, ujeme orz zero. Wyemy x 0,y 0 t by bx 0 cy 0 było jmiejsz liczb turl w zbiorze A. Ozczmy t liczb symbolem l. Wtedy lbx 0 cy 0 Udowodimy, e l b i l c. Przypumy, e l ie dzieli b. Istiej wtedy mocy twierdzei. liczby orz r tie, e blr, 0r<l -cłowite, -turle z powyszego wyi, e rb-lb-bx 0 cy 0 )b-x 0 )-cy 0 b-x 0 )-y 0 )c Z powyszej rówoci wyi, e r b-x 0 )-y 0 )c jest elemetem zbioru A, miejszym i l. A przecie l jest jmiejszym elemetem zbioru A. Mmy wic sprzeczo. Ztem l b. Przypde l c dowodzimy logiczie. Dlej, poiew g jest jwiszym wspólym dzieliiem liczb b orz c to bgb, cgc, B,Ccłowite i std lbx 0 cy 0 )gbx 0 Cy 0 ). Widzimy wic, e g l. Ztem mocy tw... gl. Nierówo g<l jest iemoliw, gdy g jest jwiszym wspólym dzieliiem liczb b i c. Wic glbx 0 cy 0. Tw.. Njwiszy wspóly dzieli g liczb cłowitych b i c moe by schrteryzowy w dwoji sposób:. Jo jmiejsz liczb turl lec do zbioru A{bxcy, x,y-cłowite}. Jo wspóly dzieli liczb b i c podziely przez dy iy wspóly dzieli liczb b i c.. Wyi z twierdzei.. Zuwmy, e jeli d jest wspólym dzieliiem liczb b,c to d g Tw..)).d b i d c to d bxcy). Co wicej ie istiej dwie róe liczby cłowite g,g, gdy, jeli g g i g g i g,g >0, to mocy tw..) otrzymujemy g g. Twierdzeie. Dl dowolej liczby turlej m m,mb)m,b) ALGEBRA..

4 Njwiszy wspóly dzieli m,mb) z tw.. jest rówy jmiejszej liczbie turlej ze zbioru A{mxmby, x,y-cłowite} m,mb)jmiejsz liczb turl lec do zbioru A{mxmby, x,y-cłowite}mjmiejsz liczb turl lec do zbioru{xby, x,y-cłowite})m,b). Algorytm Eulides. Tw.. Niech b,c bd dwiem liczbmi cłoitymi, przy czym c>0. Njwiszy wspóly dzieli liczb b i c moe by policzoy przy pomocy serii rów: b cr, 0<r <c c r r, 0<r <r r r r, 0<r <r r r r, 0<r <r. i -cłowite, r i -turle r j- j r j- r j, 0<r j <r j- r j- j r j i j -cłowite Ostti reszt r j jest jwiszym wspólym dzieliiem liczb b i c. Dzielc b przez c otrzymujemy: b cr, 0<r <c c r r, 0<r <r r r r, 0<r <r r r r, 0<r <r. r j- j r j- r j, 0<r j <r j- r j- j r j Poiew cig reszt {r j } jest mlejcy o wyrzch dodtich, wic ie moe o by iesoczoy. Istieje, ztem jwiszy ws i, ti, e r j 0, r j 0. Liczb r j zywmy ostti reszt. Wyemy, e ostti reszt jest jwiszym wspólym dzieliiem liczb b i c. Istotie z osttiej rówoci wyi, e r j r j-, z przedosttiej rówoci wyi, e r j r j- i t dlej. Otrzymujemy, e r j b i r j c. Ztem r j jest wspólym dzieliiem liczb b i c. Poemy, e jeli d jest wspólym dzieliiem b i c to r j >d i d r j. Rzeczywicie, jeli d jest dzieliiem liczb b i c to d dzieli r. Jeli dzieli r to dzieli r itd.. Otrzymujemy ocu, e d dzieli r j. Poiew r j >0 to r j d. Czyli r j jest jwiszym wspólym podzieliiem liczb b i c. Przyłd b c,) *07 *07 07* * *,)x 0 y 0 gb,c)--07-*)*-07*-07)-07*-*07*-- *)0*-**-)*0 *-)*0 WYKŁAD Zstosowie lgorytmu Eulides dl rozwiji liczb wymierych ułmi łcuchowe. Zstosujmy lgorytm Eulides do liczb,b Z, b 0 br b rr r r r ALGEBRA..

5 .. r i- i r i- r i- r i- i r i- r i r i- i r i r i b b r r r ) r i r i Z lgorytmu Eulides wyi, e d liczb wymier mo rozwi ułme łcuchowy soczoy. Przyłd : 9 b * * * * 9 LICZBY PIERWSZE. LICZBY WZGLDNIE PIERWSZE. Defiicj: Jeli poz dzieliiem trywilym liczb turl > ie posid iych dzieliów turlych, to zywmy j liczb pierwsz. Np.,,,7,,,7,9,9,, Liczby turle,b zywmy wzgldie pierwszymi jeli ich jwiszy wspóly dzieli jest rówy jede. Np. 9,),) Twierdzeie. zsdicze twierdzeie rytmetyi liczb turlych) Jeli,b) i b*c) to c. Z złoei i z twierdzei. wyi istieie liczb cłowitych x,y, dl tórych *) xby Pomómy obie stroy rówoci *) przez c. Wówczs: xcbyc c xcbcy c Poiew i z złoei b*c) to xcby), ztem c. Uwg: c Jeli d,c), to liczby, ) s wzgldie pierwsze). Rzeczywicie, gdyby d d c c c, ) b, to b ) i b ), co ozcz, e b i b. Ztem d d d d d d db cdb db > d Poiew db > d to d ie mogłoby by jwiszym wspólym dzieliiem liczb i c. RÓWNANIA NIEOZNACZONE PIERWSZEGO STOPNIA O DWÓCH NIEWIADOMYCH Twierdzeie. N to eby rówie *) xbyc,b,c Z Miło rozwizie w liczbch cłowitych x,y potrzeb i wystrcz by,b) c. ALGEBRA..

6 Ozczmy symbolem d jwiszy wspóly dzieli liczb i b. Złómy, e rówie *) posid rozwizie w liczbch cłowitych. Wtedy, jeli p,q Z stowi rozwizie *) to pbqc. Poiew d i d b to d pbq), wic d c. W drug stro. Niech terz d,b) c. wówczs istieje tie Z, e cd. W myl twierdzei. istiej liczby cłowite x 0,y 0 tie, e x 0 by 0 d std x 0 )by 0 )dc Ztem rówie *) m rozwizie postci xx 0, yy 0. Uwg: Jeli,b) to rówie xbyc,,b,c Z posid rozwizie w liczbch cłowitych, gdy,b) c. Przyłd: xy0,) wic rówie posid rozwizie Twierdzeie. Jeeli liczby x 0,y 0 s pewym cłowitym rozwiziem rówi *), to wszystie rozwizi tego rówi w liczbch cłowitych de s wzormi: xx 0 b t yy 0 - t t Z gdzie b b, b), b) Złómy, e rówie *) posid rozwizie w liczbch cłowitych. Niech x 0,y 0 ) orz x,y ) bd dwom rozwizimi rówi *) w liczbch cłowitych. Wówczs: x 0 by 0 x by std: x -x 0 )-by -y 0 ) Podzielmy obie stroy rówoci przez d,b), otrzymujemy:.) x -x 0 )-b y -y 0 ), d, b d b J wyi z poczyioej wczeiej uwgi,b ). Wobec tego: y -y 0 ) i b x -x 0 ) le z.) y y0 x x0 b, wic istieje t Z tie, e Z tego mmy y -y 0 - t x -x 0 b t y y 0 - t x x 0 b t. y y 0 x x0 t b Niech terz t bdzie dowol liczb cłowit. Pr liczb x,y ) jest rozwiziem *) o ile pr x 0,y 0 ) jest rozwiziem *). Rzeczywicie, poiew: b -b d b -db 0 wic x by x 0 by 0 b -b )tc. xbyc xx 0 b t yy 0 - t x 0,y 0 ) rozwizi szczególe Twierdzeie. Niech,,, Z,, N. Istiej liczby cłowite x,x,..,x tie, e ) x x x. Twierdzeie. ALGEBRA..

7 N to eby rówie x x x b,,,, Z, b Z posidło rozwizi w liczbch cłowitych potrzeb i wystrcz, by,,, ) b Przyłd: 8xy x 0, y 0 - xt y--8t t Z. Wyłd Przyłd. Rozwiz w liczbch cłowitych wyorzystujc lgorytm Eulides stpujce rówie: ) 9xy rówie posid rozwizie, bo 9,) 9* * * * -*-*-*)*-*9-)-*9-* 9*-* 9*)*-*)* 9*-)* xt y--9t t Z b) xy-z x 0,y 0,z 0 spełij to rówie xy-z) xy)-z Ozczmy y-zs Ozczmy xyu xs u-z x 0,s 0 u 0 7, z 0 xt u7t s-t t Z zt t Z x t y z t x y 7 t z t yt -t s st y, y Z s-t x t y z t t, t, t Z Twierdzeie. Jeeli i,c) i,, i,c Z to,,,c) dowód w dlszej czci wyłdu) Twierdzeie. Niech,,, m N, gdzie m, i, j ) dl i j, i,j m. Jeli r,r,,r m Z to istiej liczby x x m Z, dl tórych: x r x r m x m r m Dowód iducyjy) Sprwdzmy, czy dl,, ) i r,r d si dobr x,x tie, e x r x r x - x r -r Powysze rówie posid rozwizie w liczbch cłowitych, gdy, ). Ztem istiej liczby cłowite x,x, dl tórych twierdzeie jest prwdziwe w przypdu m. ALGEBRA.7.

8 Złómy terz, e twierdzeie jest prwdziwe dl pewego m turlego, wiszego od. Czyli, e prwdziw jest rówo: *) x r x r m x m r m i, j ), m Z,r r m Z,x x m Z. Tez: Z złoei iducyjego wyi, e istiej liczby cłowite x..x, dl tórych zchodzi wzór*). Poiew d z liczb jest wzgldie pierwsz, w szczególoci z to mocy wczeiej sformułowego twierdzei:,,, ) Istiej wic liczby t,u Z tie, e **) * * * m )t *ur - x -r Z osttiej rówoci wyi, e * * * m )t m ur m - x -r m Połómy x i * t xi i, m i x m u x i s to liczby cłowite wyijce z ich ostrucji Pomómy x i przez i i x i m tx i Dodmy do obu stro powyszej ierówoci r i i x i r i m tx i r i Z rówoci **) otrzymmy r i i x i m x m r m - x -r i x i r i ztem r i i x i m x m i m c.b.d.u. Twierdzeie. chisie o resztch uogólieie twierdzei.) Jeeli de dwie sporód liczb turlych m, gdzie m s wzgldie pierwsze to istieje liczb cłowit M, tór przy dzieleiu przez te liczby dje odpowiedio reszty r r m, tz.: M x r x r m x m r m x x m Z Przyłd: 7,,,) r, r, r M*7** NAJMNIEJSZA WSPÓLNA WIELOKROTNO 0, 0 [0,]****80 0 Defiicj. Liczby cłowite,,, gdzie i 0, i{, } posidj wspól wieloroto b jeeli i b. Njmiejsz ze wspólych wielorotoci dodtich zyw si jmiejsz wspól wielorotoci liczb,, i ozczmy j {,, ] lub NWW,, ). Twierdzeie. Kd wspól wieloroto liczb,,, jest podziel przez ich jmiejsz wspól wieloroto [,, ]. Przypumy, e wspól wieloroto W liczb ie jest podziel przez ich jmiejsz wieloroto N. Z twierdzei. wyi, e istiej ilorz q orz reszt r 0<r<N tie, e : WqNr Zpowyszego: rw-qn Poiew W orz N wic istiej liczby, tie, e W N Policzmy: R -q -q ). Widzimy, e r I logiczie mo poz, e r, r. Liczb r jest wspól wielorotoci liczb,,, miejsz od N co jest sprzecze z złoeiem, e N jest jmiejsz wspól wielorotoci liczb,,,. Twierdzeie. Iloczy jwiszego wspólego dzieli dwóch liczb turlych przez ich jmiejsz wspól wielorotoc rów si iloczyowi tych liczb. *b,b)*[,b] ALGEBRA.8.

9 Niech,b bd dwiem liczbmi turlymi. Niech d,b), N[,b]. Mmy ztem d i d b. Istiej wic liczby turle i l tie, e *) d i bld Std l.ld i bld Ozczmy Wld, W jest wspól wielorotoci i b. N mocy twierdzei. N W. Ztem istieje liczb turl t t, e WtN. Ale N i b N. Std istiej p,s turle tie, e **) Npsb Wobec rówoci *) Npdsld Z **) wyi, e Wtpdtsld, Wld Ztem ldtpd i ldtsld ltp i ts Wobec rówoci *) tsd, btpd td)s, btd)p Liczb td jest wspólym dzieliiem i b. Poiew d jest jmiejszym wspólym dzieliiem liczb i b to tdd, czyli t. Ze wzoru **) wyi, e WN Ze wzoru *) wyi, e A*bld ld)dwdnd czyli z N[,b] i d,b) *b[,b]*,b). c.b.d.u. WYKŁAD LICZBY PIERWSZE Liczb turl p > zyw si liczb pierwsz, jeeli jej jedyymi dzielimi s liczby orz p. pozostłe liczby turle wisze od zywmy liczbmi złooymi. Przyłdy l. pierwszych:,,,7,,,7,9, Przyłdy l. złooych:,,8,9,,,,,0 Twierdzeie. Jeeli liczb pierwsz dzieli iloczy to dzieli przyjmiej jede z czyiów tego iloczyu. Czyli, jeeli p-pierwsz i p b, gdzie,b Z to p lub p b. Niech p bdzie liczb pierwsz i iech p b, gdzie,b Z. Istieje liczb Z t, e bp. Poiew jedyymi dzielimi turlymi liczby p s i p wic moe zj jed z dwóch moliwoci:,p)p,p) W pierwszym przypdu p, w drugim przypdu mocy zsdiczego twierdzei rytmetyitw..) p b, wic twierdzeie jest prwdziwe. Twierdzeie. Jeeli p jest l. pierwsz i p Z, i,.., to istieje tie i {,..}, e p. Twierdzeie. twierdzeie podstwowe rytmetyi) Kd liczb turl > dje si przedstwi w postci iloczyu liczb pierwszych, to przedstwieie jest jedozcze z dołdoci do olejoci czyiów tz., jeli de s dw rozłdy p p p p orz q q q q l tej smej liczby czyii pierwsze to l i mo czyii p j i q s t uporzdow by odpowidjce sobie czyii były rówe. iducyjy) Dl liczby turlej twierdzeie jest prwdziwe. Złómy, e twierdzeie jest prwdziwe dl wszystich liczb turlych miejszych od pewej liczby turlej. Jeeli jest liczb pierwsz to oczywicie twierdzeie jest prwdziwe jeli pierwsz ). Jeeli jest liczb złoo, to, gdzie < < i < <. N podstwie złoei iducyjego p p p j p j p j p, gdzie p p j p s pierwsze. Ztem liczb rów p p p j p j p i j wid rozłd si czyii pierwsze. Nley wyz jedozczo tego rozłdu. Niech, wic q q q l bdzie rozłdem liczby, gdzie q q q l s liczbmi pierwszymi. Wtedy: *) p p p - p q q q l- q l ALGEBRA.9.

10 Z powyszej rówoci wyi, e p q q q ). N mocy twierdzei. liczb p dzieli jede z czyiów wystpujcych po prwej stroie rówoci p. q i. Poiew p > i p jest liczb pierwsz to p q l. Z rówoci *) wyi, e bp p p - q q q l- < Otrzym liczb b jest miejsz od liczby, wic z złoei iducyjego wyi, e -l-, wic l. Podto moemy przyporzdow liczby p p p - liczb q q q l- t, by odpowidjce sobie liczby były rówe. Poiew p p l, wic przyporzdowie rozszerz si p, p, p -,p orz q,q, q l-,q l c.b.d.u. Twierdzeie. Jeli,c) orz b,c) to *b,c). Przypumy, e iloczy b orz c posidj wspóly dzieli d>. Moemy przyj, e d jest liczb pierwsz wyi z tw..). Wtedy soro d b to d lub d b. Ztem d c i d lub d b), czyli d c i d ) lub d c i d b). Wic,c)> lub b,c)>, gdy d jest dzieliiem wiszym od. Ztem otrzymlimy sprzeczo z złoeiem. c.b.d.u. Twierdzeie. Jeeli i,c) i,, to,,,c). Przyłdy: Tw..:,7),7) > *,7) Tw.. :,),),) 9,) >***9,) Twierdzeie. Njmiejszy wiszy od dzieli liczby turlej > jest liczb pierwsz. Niech bdzie liczb turl wisz od. Liczb m oczywicie dzieli turly wiszy od, sm liczb. Niech p bdzie jmiejszym dzieliiem turlym liczby wiszym od. Udowodimy, e p jest liczb pierwsz, bo gdyby p ie było liczb pierwsz to pb <<p, <b<p. Ale soro p i p to z przechodioci tej relcji i jedoczeie <<p. Ztem jest dzieliiem turlym liczby miejszym od p i wiszym od, co jest sprzecze z defiicj liczby p jo jmiejszego dzieli turlego wiszego od. c.b.d.u. Wiose.: Kd liczb turl > m co jmiej jede dzieli pierwszy. Twierdzeie. Kd liczb złoo m dzieli pierwszy Przypumy, e liczb turl jest złoo, e wic b gdzie << orz <b< Jeli b to b, std Jeli b to b b, std b Poiew i b s dzielimi liczby >, wyi std, e d liczb złoo m dzieli wiszy od i ie wiszy od. Ale te dzieli jo > m mocy wiosu. dzieli pierwszy < i jest o dzieliiem liczby. c.b.d.u. Przyłd: 0 0 <. d z liczb 0 ie jest dzieliiem liczby 0. Liczb 0 jest wic liczb pierwsz. WYKŁAD Sito Erstotees We my pod uwg cig liczb:,,,,, ALGEBRA.0.

11 Usuwmy z szego cigu wszystie liczby wisze od p podziele przez. Pierwsz liczb wisz od p jest liczb p. Usuwmy z szego cigu wszystie liczby wisze od i podziele przez. Pierwsz liczb wisz od p jest liczb p. Usuwmy z szego cigu wszystie liczby wisze od i podziele przez. Powtrzmy sze postpowie i z -tym rzem otrzymujemy -liczb pierwsz p i usuwmy z szego cigu wszystie liczby wisze od p i podziele przez. Njmiejsz liczb ieusuit z szego cigu bdzie liczb pierwsz p. Jeli sz cig jest soczoy,,,,n to postpowie moemy zoczy otrzymwszy jwisz liczb pierwsz p. Wszystie wisze od tej liczby pozostłe w tym cigu bd pierwsze. Przyłd: 00,,, 00. Wyrelmy z tego cigu wszystie rotoci liczby wisze od. Njmiejsz iesrelo liczb jest rów. Wyrelmy rotoci liczby wisze od. Wyrelmy rotoci liczby wisze od. Wyrelmy rotoci liczby 7 wisze od 7. Poiew 7 jest jwisz liczb pierwsz miejsz od 0 to pozostłe liczby w tym cigu bd liczbmi pierwszymi. mocy tw..),,,7,,,7,9,,9,,7,,,7,,9,,7,7,7,79,8,89,97. Fucj Euler Guss zdefiiowł fucj :N->N ):{ilo liczb turlych wzgldie pierwszych z }. Fucj zywmy obecie fucj Euler. N{,..} ), ), ), ), ), ), 7), 8), 9), 0), )0, ). Twierdzeie.7 Jeli i b s liczbmi turlymi, wzgldie pierwszymi, timi, e,b), to *b))*b). Twierdzeie.8 Jeli liczby turle,, m s prmi wzgldie pierwsze tz. i, j ) ij i i,j { m}, to * * * m ) )* )* * m ). Twierdzeie.9 Niech bdzie fucj Euler, N, wówczs ) *,gdzie p,p,,p s liczbmi pierwszymi timi, e p p p α α α p * p p, α, α,, α s wyłdimi potg. α α p p p. W szczególoci ) ) Przyłd: 98* 98) 98 98* * 7 7 Fucj x) :N->N x){ilo liczb pierwszych miejszych rówych x}, x N )0, ), )), 7)0), 00), 000)8, 0000)9, 0 0 )0. Włsoci: Π x) * l x) ) >, dl x > x Π ) ) > 0, dl ) )-)>0 dl >, N ) )-) dl >, N ALGEBRA..

12 Kogruecje O dwóch liczbch cłowitych i b mówimy, e przystj do siebie modulo m lub moduł m), m N, jeeli ich róic jest podziel przez m i piszemy wtedy: bmod m). bmod m) Z b m Z b m Twierdzeie 7. Niech,b,c,d Z, m N. Wtedy: ) mod m) zwroto ) bmod m) to bmod m) symetryczo ) bmod m) i bcmod m) to cmod m) przechodio ) bmod m) to -b)0mod m) ) bmod m) i cdmod m) to cbdmod m) ) bmod m) i d m, d>0 to bmod d) 7) bmod m) to cbcmod mc), c>0 8) bmod m) I cdmod m) to b)cd)mod m) Dowód ): bmod m) wtedy i tylo wtedy, gdy istieje, e b m bcmod m) wtedy i tylo wtedy, gdy istieje, e bc m c m mc )mcm,, Z cm, wic cmod m) Dowód ): bmod m) wtedy i tylo wtedy, gdy istieje Z, e bm d m wtedy i tylo wtedy, gdy istieje s Z, e msd bsd s) Z, st btd wtedy i tylo wtedy, gdy bmod d) Dowód 7): bmod m) wtedy i tylo wtedy, gdy bm cbccm wtedy i tylo wtedy, gdy cbcmod cm) Twierdzeie 7. Niech f ozcz wielomi o współczyich cłowitych. Jeeli bmod m) to f)fb)mod m) We my wielomi fx)c x c - x - c xc 0, c i Z bmod m) cdmod m) cbdmod m) c, bd b mod m) bmod m) to b mod m), N dlej c i c i mod m) c c bmod m) c c b mod m)... C c b mod m) mocy włsoci 8) C c c 0 c b c b c bc 0 mod m) f)fb) mod m) c.b.d.u Twierdzeie 7. Jeli b mod m), to zbiór wszystich wspólych dzieliów liczb i m jest rówy zbiorowi wszystich wspólych dzieliów liczb b i m. Soro bmod m) tz., e istieje Z, e bm Jeeli c Z jest dzieliiem liczb b i m to c. Jeeli d Z jest dzieliiem liczb i m to d b i z tego wyi tez. ALGEBRA..

13 Twierdzeie 7. Jeli bmod m) to,m)b,m). Twierdzeie jest wiosiem z twierdzei 7. Wyłd 7 Twierdzeie Liczb turl A dzieli si przez 9 wtedy i tylo wtedy, gdy sum jej cyfr dzieli si przez 9. Niech olejymi cyfrmi liczby A w ułdzie dziesitym bd liczby,. Wówczs A Rozptrujemy wielomi fx) x - x - - x, Af0). Zuwmy, e 0mod9). Z udowodioego wczeiej twierdzei wyi, e f0)f)mod9), le f0)a, f). Ztem A )mod 9). A )*9. Z powyszego wyi, e A jest podziele przez 9, jeli ) jest podziele przez 9. podobie jest z ) Rozwizywie ogruecji Defiicj Jeli fx) x - x - x 0, 0 Z, to d liczb c Z, dl tórej fc)0mod m) zywmy pierwistiem ogruecji fx)0mod m). Z twierdzei 7. wyi, e jeli c jest pierwistiem ogruecji fx)0mod m) i dcmod m) to d jest pierwistiem tej ogruecji. Rzeczywicie, jeli dcmod m) to fd)fc)mod m). Jedoczeie z złoei fc)0mod m). Z ftu, e relcj przystwi jest przechodi wyi, e fd)0mod m), co ozcz, e d jest pierwistiem szej ogruecji. Przyjto ie rozrói pierwistów tich, tóre s ze sob w ogruecji. Czyli ie rozróimy pierwistów c i d, jeli cdmod m). Trtujemy te pierwisti jo jedo rozwizie ogruecji fx)0mod m). T wic mówic, e ogruecj m dw pierwisti mmy myli dwie róe lsy liczb modulo m. Poiew ze zbioru liczb {o m-} d ley do dołdie jedej lsy reszt modulo m, wic dl wyzczei wszystich pierwistów ogruecji fx)omod m) wystrczy sprwdzi, tóre sporód liczb {o,,,m- } spełij t ogruecj. Przyłd. Rozwiz ogruecj: x 0mod ) x, Z Przyłd. Rozwiz ogruecj: 00 x mod ) x t, {,,,}, t Z Twierdzeie Lgrge Niech fx) x - x - x 0, 0 Z. Jeeli p jest liczb pierwsz I 0 ie przystje do 0 modulo p, to ogruecj fx)0mod p) m co jwyej pierwistów. Twierdzeie Wilso Jeli p jest liczb pierwsz, to p-)!-)mod p) Twierdzeie Euler Dl dej liczby cłowitej, wzgldie pierwszej z m N zchodzi ogruecj: ϕ ) m mod m), gdzie jest fucj Euler. ALGEBRA..

14 Twierdzeie Fermt Dl dej liczby cłowitej ie podzielej przez liczb pierwsz p zchodzi ogruecj: p- mod p). Liczebii, podstwy umercji. Defiicj: Rozłdem liczby turlej A, według potg liczby turlej q zywmy wielomi: fx) 0 x x - - x, w tórym i i0,,,) s liczbmi cłowitymi ieujemymi, miejszymi od q i timi, e fq)a * * * 0 * 0 0* 0 * 0 0* 0 * ALGEBRA ABSTRAKJCYJNA Defiicj: Dl dowolego zbioru A iepustego, dziłiem wewtrzym zywmy dowol fucj º:AxA- >A. º,b) ºb,b) b Dziłie º zywmy łczym, gdy, ), b c A ºbºc)ºb)ºc; Elemet e A zywmy elemetem eutrlym dziłi º jeeli ) A ºeeº Jeeli A i dziłie º posid elemet eutrly e A i istieje b A tie, e ) ºbbºe to elemet b zywmy elemetem odwrotym do elemetu. Dziłie º zywmy przemieym, gdy ), b A ºbbº. Twierdzeie. Dl dowolego dziłi º w zbiorze istieje co jwyej jede elemet eutrly. Jeli dziłie º jest łcze i elemet eutrly istieje to dy elemet A posid elemet odwroty co jwyej jede). Niech º bdzie dziłiem w zbiorze A. Przypumy, e e,e A s dwom elemetmi eutrlymi dziłi º. Wtedy z wruu ) wyi, e e e ºe e co dje sprzeczo. Podobie, jeli b,b s elemetmi odwrotymi do elemetu, e jest elemetem eutrlym dziłi łczego º, to ºb b ºe b b ºeb ººb )b º)ºb eºb b ºb b ºe czyli w rezultcie b b. Defiicj: Jeli dziłie º jest przemiee, wewtrze to ogół zywmy je dodwiem i ozczmy symbolem. Jeli dziłie ie jest przemiee to czsto ozczmy je.,º, lub iczej. Defiicj: Symboli, w tórej dziłie º ozczmy symbolem zywmy symboli ddytyw. Symboli, w tórej dziłie º ozczmy symbolem. zywmy symboli multiplityw. Elemet eutrly w symbolice ddytywej ozczmy symbolem 0. Elemet eutrly w symbolice multiplitywej ozczmy symbolem. Elemet odwroty od w symbolice ddytywej ozczmy symbolem. Elemet odwroty do w symbolice multiplitywej ozczmy symbolem ALGEBRA..

15 Dl dowolych, iepustych zbiorów P i A przesztłceie rtezjsie PxA->A zywmy dziłiem zewtrzym w A p. moeie wetor przez liczb). Defiicj: Przez strutur lgebricz rozumiemy ułd złooy ze zbioru A i soczoego zbioru dził zewtrzych, wewtrzych) tym zbiorze. Defiicj: grupy) Niech º bdzie dziłiem wewtrzym w zbiorze iepustym A. 0) º : AxA->A, ), b c A ºbºc)ºb)ºc grup ) e A A ºeeº ) A b A ºbbºe grup Abelow ), b A ºbbº Wyłd 8 Przyłdy: )Q, R, Z, C grypy ze wzgldu dodwie )C\{0} grup ze wzgldu moeie ){, -, i, -i},*}) grup Defiicj: Rzdem grypy zywmy ilosc jej elemetów. Jeli ilo jej elemetów jest iesoczo to mówimy, e grup jest iesoczo lbo iesoczoego rzdu. Defiicj: Niepusty zbiór H A zywmy podgrup grupy A,º) jeli zbiór te z dziłiem º HxH jest grup. Ozczmy symbolem e H elemet eutrly podgrupy H. Ozczmy symbolem e A elemet eutrly grupy A. Jeli H to º - - ºe X Z drugiej stroy poiew : H A to A, wic º - - ºe A Widzimy wic, e e A e H grup i jej podgrup posidj te sm elemet eutrly) Z powyszego wyi, e elemet odwroty do dego elemetu podgrupy H jest ti sm j e grupie A. Twierdzeie: Niech A,º) bdzie grup i H A, i H iepusty. Zbiór H jest podgrup grupy A wtedy i tylo wtedy gdy dl dowolych elemetów, b H, ºb H. Złómy, e H jest podgrup A i e,b H. Jeli b H, to b - H bo H jest grup. Dziłie º HxH jest dziłiem wewtrzym w HxH ztem ºb - H. Złdmy, e dl dowolych,b H,b - ) H. Chcemy wyz, e H,º HxH) jest grup. Poemy, e º HxH jest dziłiem wewtrzym w H. Niech,b H. Wówczs eº - H Dlej b - eºb - H Zuwmy, e b - ) - b. 0) ºbºb - ) - H ) Soro dziłie º jest łcze w grupie A to w szczególoci jest łcze w H. ) e H. Poiew e jest elemeetm eutrlym w A to w szczególoci soro e H to e jest elemetem eutrlym w H. ) Elemetem odwrotym do jest elemet -. Jeli ilo elemetów grupy jest soczo to grup zywmy grup soczo. Defiicj: Niech X bdzie zbiorem iepustym. Róowrtociowe przesztłceie zbioru X siebie zywmy permutcj zbioru X. p.:fx)x, fx)x. Zbiór permutcji zbioru X ozczmy symbolem SX). Permutcje mo słd ze sob. Słdie permutcji czsto zyw si moeiem permutcji. ALGEBRA..

16 X x G x f X f,g SX), g:x - > X ), f:x - > X ) x X fºg)x) fgx)). Jeli f:x - > Y jest wzjemie jedozcze to moemy zdefiiow zbiorze Y f - :Y - > X w stpujcy sposób: f - y) x fx) y. f - zywmy fucj odwrot do f. Mj miejsce wzory: f - ºf)x) f - fx)) x fºf - )y) ff - y)) fx) y Przyłdy: fx)x, x R, gx)x, x R fºg)x)fgx))fx)x) gºf)x)gx )x fºg) róe od gºf) Twierdzeie Niech X bdzie zbiorem iepustym. Zbiór wszystich permutcji zbioru X stowi grup ze wzgldu słdie permutcji. Poemy jpierw, e złoeie dwóch przesztłce wzjemie jedozczych zbioru X siebie jest przesztłceiem jedozczym zbioru X siebie. Niech f,g odwzorowuj X X, ozcz to, e x, ) ) x f x f x x X x i x ) ) x g x g x x X x. Złómy, e: gºf)x )gºf)x ) gfx ))gfx )) le jest róowrtociow fx )fx ) le jest rózowrtociow x x czyli gºf jest róowrtociow. g jest g x y f jest y X x X ) z X y X f y) z z X y X z f y), le ygx) dl pewego x X. Ztem: z X x X z f g x)) f g x). Ztem fºgx) jest. Czyli jest wzjemie jedozcze gdy jest i róowrtociowe Dziłie jest łcze. Niech f,g,h:x->x bd permutcjmi. Chcemy poz, e fºg)ºhfºgºh). Niech h bdzie dowolym elemetem zbioru X: fºg)ºh)x)fºg)hx))fghx))) fºgºh))x)fgºh)x))fghx))) LP dl dego x X Elemet eutrly: Ozczmy symbolem e odwzorowie tosmociowe zbiorux siebie. Dl dego x X ex)x. Poemy, e e jest eutrle. Jeeli: f:x->x jest permutcj to fºe)x)fex))fx), czyli fºef z drugiej stroy eºf)x)efx))fx), czyli eºff. Elemetem odwrotym do permutcji f jest permutcj f - gdy: f - ºf)x)f - fx))xex) fºf - )x)ff - x))xex) gdzie x X fºf - f - ºfe c.b.d.u Wyłd 9 Niech X{,,,}. Grup symetrycz zbioru {,,} ozcz bdziemy symbolem S, elemety ozcz bdziemy młymi litermi grecimi:,,,. Słdie permutcji bdziemy zyw moeiem permutcji. Permutcje zbioru soczoego wygodie jest zpisyw w postci dwuwierszowej:, ), ), ), ), ), ) ALGEBRA..

17 ALGEBRA.7. ) ) ) ) ) ), - ) ) ) ) Permutcj idetyczociow tosmociow): - * - * Słdie permutcji ie jest przemiee. Jeli i s elemetmi tej smej grupy to * )) )) )) ) ) ) * ) ) ) τ τ τ τ τ τ Kde s,*) stowi grup i jest w iej! elemetów. Np.: S Defiicj: Permutcj S zywmy permutcj cylicz rzdu, lbo cylem -wyrzowym, jeli istieje w zbiorze X podzbiór Y, Y{,,, } ti, e ), ),, - ), ). Jeeli i ie ley do Y to i ) i. Permutcj tosmociow jest cylicz rzdu zero. W tym przypdu Yφ. Cyl -wyrzowy ozczmy symbolem,,, ). Przyłdy: ) ) jest cylem b) ) 7 7 jest cylem c) ) ) ie jest cylem Zuwmy, e zgodie z def. cylu,,, -, ),,,, - ). Twierdzeie: Kd permutcj jest cylem lub moe by przedstwio w postci iloczyu cyli. dowód iducyjy) Dl twierdzeie jest prwdziwe, gdy jedy permutcj zbioru jedostowego jest tosmo, t jest cylem rzdu zero. Niech terz >. Złómy, e twierdzeie jest prwdziwe dl <. Wyemy, e twierdzeie jest prwdziwe dl. Niech S, X{,,}. Utworzymy cig iesoczoy b 0, b ), b b ) )) ), b b ) ),, b p b p- ) p ), Zbiór wyrzów tego cigu jest zwrty w X. Poiew cig b p ) jest iesoczoy, zbiór wyrzów tego cigu jest soczoy, to pewe jego wyrzy musz si powtrz. Niech r bdzie jmiejsz liczb, e b r jest rówy wyrzowi poprzedzjcemu go. Poemy, e b r b 0. Rzeczywicie, bo gdyby b r b 0 to wtedy istiłoby 0<s<r tie, e b s b r, le z defiicji tego cigu: b s- )b s b r b r- ). Permutcj jest odwzorowiem róowrtociowym, wic b s- b r-, co przeczy defiicji liczby r. Ztem b r b 0.

18 ALGEBRA.8. ) Jeli r, to jest cylem, gdy b 0, b b 0 ),,b r b b 0. b) Jeli r<, to we my pod uwg zbiór B wszystich elemetów zbioru X, tóre ie le do zbioru {b 0,b,,b r- }. Permutcj mo zpis w postci iloczyu cylu : b 0,b,,b r- ) i pewej permutcji, tór jest orelo tylo zbiorze B. Poiew liczb elemetów zbioru B jest miejsz i to mocy złoei iducyjego mo przedstwi w postci iloczyu cyli, ztem cł permutcj mo przedstwi w postci iloczyu cyli. c.b.d.u Przyłd: ) ) b) ) ) ) Defiicj: Cyl dwuwyrzowy zywmy trspozycj. Twierdzeie: Kd permutcj S, >, dje si rozłoy iloczy trspozycji. Udowodioe zostło, e d permutcj mo rozłoy iloczy cyli. Wystrczy, ztem udowodi, e dy cyl mo przedstwi w postci iloczyu trspozycji. Poemy, e:,,,, -, ), ), - ), ), ). Jeeli to cyl m post, ) i jest trspozycj. Złómy, e > i, e twierdzeie jest prwdziwe dl. Wyemy prwdziwo dl.,,,, -, ) ) ) N mocy złoei iducyjego:, ), ), ). Uwg: Rozłd permutcji iloczy trspozycji ie jest jedozczy. Przyłd:,,),),),),),),),),),) Wyłd 0 Twierdzeie Iloczy dowolych -trspozycji jest permutcj, tórej przysto jest zgod z przystoci liczby, czyli -) sgilo -trspozycji). Przyłd:,7 ), ), ),),),7 ),,,, ) 7 7 -) - Twierdzeie Przy dym rozłdzie trspozycje przysto liczby czyiów jest t sm i rów przystoci permutcji. Twierdzeie Iloczy dwóch permutcji przystych jest permutcj przyst.

19 Iloczy dwóch permutcji ieprzystych jest permutcj przyst. Iloczy permutcji przystej przez ieprzyst jest permutcj ieprzyst. Iloczy permutcji ieprzystej przez przyst jest permutcj ieprzyst. Twierdzeie Dl w S liczb permutcji przystych jest rów liczbie permutcji ieprzystych. Homomorfizmy grup Niech bd de dwie grupy G,º) i G,º ). Odwzorowie h:g->g zywmy homomorfizmem grupy G w grup G jeli: h B) h ) ' h ), b G b Odwzorowie h zywmy moomorfizmem, jeli jest róowrtociowe. Odwzorowie h zywmy epimorfizmem, jeli odwzorowuje zbiór G G. Homomorfizm h zywmy izomorfizmem, jeli jedoczeie jest moomorfizmem i epimorfizmem. Z defiicji homomorfizmu wyi, e przesztłc o elemet jedostowy grupy G elemet jedostowy grupy G. Rzeczywicie iech e G bdzie elemetem jedostowym grupy G. Wówczs: he)heºe)he)º he). Std he)he)º he), wic he) musi by elemetem jedostowym grupy G, gdy moc otrzym rówo przezhe)) - dostjemy: e he)º he)) - he)º he))º he)) - he)º he)º he)) ) e he)º e he) e he). Elemet odwroty - do elemetu G homomorfizm h przesztłc h)) -. Mmy wzór h - )h)) -. Rzeczywicie: e he)hº - )h)º h)) - std e h)º h - ). Pomómy obie stroy otrzymej rówoci przez h)) - : h)) - º e h)) - º h)º h - ))h)) - ºh))º h - ) Ztem h)) - h - ). Twierdzeie Odwzorowie odwrote do izomorfizmu grupy G G jest izomorfizmem grupy G G. Niech h:g->g bdzie izomorfizmem grupy G,º) G,º ). We my dw elemety,b G. Istiej tie elemety,b G, e h) i hb)b. Policzmy: h - º b )h - h)º hb))h - hºb))i d ºb)ºbh - )ºh - b), std: h - º b )h - )ºh - b). Relcj izomorfizmu grup jest zwrot, symetrycz I przechodi. Dzieli o ztem zbiór wszystich grup rozłcze lsy bstrcji grup izomorficzych. Grupy izomorficze w lgebrze si idetyfiuje. Z putu widzei lgebry grupy izomorficze iczym si ie rói. Ilorz grupy przez jej podgrup G,º), H G. Jeeli, b H b H, wtedy H jest podgrup grupy G. Niech G,º) bdzie grup, H jej podgrup. Orelimy w grupie G relcj w sposób stpujcy: Rb b H Rb b ) H, b G, b G Relcj R jest zwrot, symetrycz i przechodi. Niech,b,c G ) R gdy º - e G ) Rb to br, gdy, jeli Rb to ºb - H le G jest grup, wic ºb - ) - H std b - ) - º - bº - H, czyli br. ) Rb i brc, ztem ºb - H i bºc - H. Moc ºb - ) przez bºc - ) otrzymujemy: ºb - )ºbºc - )ºb - ºb)ºc - ºeºc - ºc -, wic Rc. Zbiór ls bstrcji relcji R zywmy ilorzem prwostroym grupy G przez jej podgrup H i ozczmy G p /H. Defiicj: Wrstw prwostro elemetu G zywmy zbiór: ALGEBRA.9.

20 H {c; c H} Wrstw lewostro elemetu G zywmy zbiór: H{c; c H} Zuwmy, e e H, bo jeli eº to ce. Włsoci: ) Rb [] R [b] R )Rb H H b Elemetmi zbioru G p /H s wrstwy prwostroe postci H, G. Jed z wrstw jest HH e. W logiczy sposób moemy oreli relcj S, miowicie: Sb - ºb H. Otrzymmy wtedy ilorz lewostroy. Ilo elemetów grupy soczoej zywmy rzdem grupy. Twierdzeie Lgrge rzd grupy soczoej) Rzd podgrupy grupy soczoej jest dzieliiem rzdu tej grupy. Niech G bdzie grup soczo, H bdzie dowol podgrup. Ozczmy liter ilo elemetów grupy G, liter ilo elemetów podgrupy H. Ozczmy dlej symbolmi,, elemety podgrupy H. Niech terz bdzie dowolym elemetem grupy G. Utwórzmy wrstw prwostro H. H {,,, } Wszystie iloczyy i s midzy sob róe dl i.., bo gdyby i j, i j, to moc obustroie przez - mmy i - ) j - ), wic i j i mmy sprzeczo. Kd wrstw prwostro słd si z -elemetów, le wrstwy s rozłcze i ich sum mogociow dje cłe G, ztem musi zchodzi rówo m, gdzie m ozcz ilo róych midzy sob wrstw wzgldem podgrupy H. Std. c.b.d.u. ALGEBRA.0.