1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

Transkrypt

1 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i), (ii) 5 12i, (iii) ( ) 2 1+2i 3i Narysować zbiór tych punktów płaszczyzny zespolonej, które spełniają warunek: (i) { z : 1 < Re(z) < 2 }, (ii) { z : z 1 i = 2 }, (iii) { z : z 1 2i = Re(z) + 1 }, (iv) { z : z = z } Za pomocą liczb zespolonych opisać poniższe zbiory Im (3, 2) ( 1, 2) Im Re Re ( 1, 2) (3, 2) 1.5. ( 3 + i) Znaleźć sumę kątów α, β, γ, gdzie kąty te są argumentami liczb zespolonych odpowiednio 1 + i, 2 + i, 3 + i granicę ciągu liczb zespolonych (a) lim n (4n + n 2 i)/(5n 2 2i), (b) lim n (4 + 2n 2 + 5in)/(1 4n + n 2 in 2 ), (c) lim n ((2 i)/3) n 1 Paweł Mleczko (212)

2 1.8. Zbadaj zbieżność szeregów (i) ) n, ( 3+i 4 (ii) in n, (iii) i n n 2 +i Niech P będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Pokazać, że P (z) = wtedy i tylko wtedy, gdy P (z) =. D.1.1. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone 1/(4 + 3i), 6, i. D.1.2. Narysować zbiory punktów { z : 1 < Im(z) < 2 }, { z : z a = z b, a b, a, b R }, { z : Im(z) = Re(z) }, { z : Re(iz) < 1 }. D.1.3. Udowodnić, że jeżeli z 1 = z 1 (cos α + i sin α) oraz z 2 = z 2 (cos β + i sin β), to z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(α + β) + i sin(α + β)) oraz z 1 = z 1 (cos(α β) + i sin(α β)). z 2 z 2 Wyprowadzić stąd wzór z n = z n (cos nα + i sin nβ). D.1.4. Podać w postaci a + bi liczby (1 + i) 31 (1 i 3), (1 i) ( 3 + i). 1 D.1.5. Zbadaj zbieżność ciągów (jeśli to możliwe policz granice) lub szeregów lim n 3n + i 5n 4i, lim n ( ) n 4 + 3i, 5 (1 + 3i) n, n! 1 (1 i) n. D.1.6. Niech u, v, w będą liczbami zespolonymi o module równym 1. Uzasadnić, że u + v + w = 1, o ile 1 u + 1 v + 1 w = 1. 2 Paweł Mleczko (212)

3 2. Funkcje holomorficzne 2.1. Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną funkcji: (i) f(z) = z 2, (ii) f(z) = Re(z)/z Opisać działanie funkcji f(z) = 1 z okrąg jednostkowy? wewnątrz koła jednostkowego oraz na zewnątrz. Na co ta funkcja przekształca 2.3. Zbadać, czy istnieje funkcja ciągła Γ: taka, że Γ \{} = f, gdzie (i) f(z) = z/ z, (ii) (zre(z))/ z Korzystając z definicji uzasadnić, że funkcja f : jest holomorficzna na Zróżniczkować funkcję (i) f(z) = 1/z, (ii) f(z) = z Udowodnić, że funkcja f(z) = f(x + iy) = xy, określona w pewnym otoczeniu zera, nie jest różniczkowalna w z =, ale spełnia w tym punkcie warunki auchy ego-riemanna Znaleźć funkcję holomorficzną f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) na, wiedząc, że u(x, y) = x 3 6x 2 y 3xy 2 + 2y 3 oraz f() = zy holomorficzna w pewnym obszarze D funkcja f = u + iv może przyjmować wartości wyłącznie rzeczywiste? Opisać wszystkie takie funkcje Przypuśćmy, że f = u + iv H(D), gdzie D jest pewnym obszarem. Zdefiniujmy funkcję g wzorem g(z) = f(z). Podać warunki jakie musi spełniać funkcja f, aby g H(D) Pokazać, że jeżeli f jest holomorficzna w obszarze D oraz f jest funkcją stałą, to f jest stała Udowodnić, że jeżeli u(x, y) jest częścią rzeczywistą funkcji f = u + iv, holomorficznej w pewnym obszarze D, oraz jeżeli pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe, to 2 u x u y 2 =. 3 Paweł Mleczko (212)

4 2.12. Udowodnić, że jeżeli funkcja f = u + iv H(D), gdzie D jest obszarem, to dla x + iy D mamy f (x + iy ) = u x (x, y ) + i v x (x, y ) = v y (x, y ) i u y (x, y ) Niech f(x + iy) = y 2 3ix 2. Znaleźć punkty, w których f istnieje oraz obliczyć pochodną w tych punktach W jakich punktach płaszczyzny zespolonej różniczkowalna jest funkcja f(z) = e iz + z 2? Udowodnić, że jeżeli f, g H(D), gdzie D jest obszarem oraz f(z ) = g(z ) = i g (z ), gdzie z D, to f(z) lim z z g(z) = f (z ) g (z ). D.2.1. Niech f(x + iy) = 2xy + 2iy. Znaleźć punkty, w których f istnieje oraz obliczyć pochodną w tych punktach. D.2.2. Znaleźć wszystkie funkcje całkowite f = u + iv takie, że u(x, y) = x 2 + y 2. D.2.3. Sprawdzić, że funkcja f(z) = zim(z) jest różniczkowalna tylko w punkcie z =. D.2.4. Wskazać punkty, w których funkcja f(z) = z 2 jest różniczkowalna. D.2.5. Niech f(z) = x 3 y 2 + ix 2 y 3, z = x + iy. W których punktach płaszczyzny funkcja f jest różniczkowalna? D.2.6. Znaleźć funkcję całkowitą f = u + iv wiedząc, że (i) u(x, y) = x 3 6x 2 y 3xy 2 + 2y 3, f() =, (ii) u(x, y) = y/(x 2 + y 2 ), f(1) = i. D.2.7. Określić punkty, w których różniczkowalna jest funkcja f(x + iy) = 2x 2 + y + i(y 2 x). D.2.8. Dla jakich liczb a, b, c R funkcja f(x = iy) = x + ay + ibx + icy jest różniczkowalna? D.2.9. Znaleźć wszystkie funkcje całkowite f = u + iv, spełniające równość u(z) = v 2 (z) dla każdego z. D.2.1. Udowodnić, że jeżeli f H(D) (D jest obszarem) oraz f (z) = dla z D, to f jest funkcją stałą. D Udowodnić, że jeżeli f, g H(D), gdzie D jest obszarem oraz f (z) = g (z) dla z D, to f g jest funkcją stałą. 4 Paweł Mleczko (212)

5 D Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną funkcji f(z) = z z. D (i) lim z 2+i z 2 4z+5 z 3 z 1i ; (ii) lim z e z 1 z. 3. Szeregi potęgowe. Szeregi Taylora 3.1. Pokazać, że szereg n= zn jest zbieżny bezwzględnie w kole otwartym z < 1, nie jest natomiast zbieżny na okręgu jednostkowym Pokazać, że szereg n= zn /n 2 jest zbieżny bezwzględnie w kole otwartym z < 1 oraz jest zbieżny na okręgu jednostkowym Pokazać, że szereg n= zn /n jest zbieżny bezwzględnie w kole otwartym z < 1 oraz jest zbieżny na okręgu jednostkowym poza punktem Znaleźć promień zbieżności poniższych szeregów potęgowych: (i) (ii) (iii) (iv) (v) 2 n z n ; n= z 2n n! ; n! n n z n ; ( ) 1 + ( 1) n n z n ; n= n!z n. n= 3.5. Wyznaczyć koło zbieżności szeregu potęgowe: (i) (2i)n (z i) n! ; (ii) ( 1) n n2 (z 1 + i) n. n 3.6. Przypuśćmy, że szereg a n z n ma promień zbieżności r >. Jakie promień zbieżności będzie miał szereg n d a n z n? n= 3.7. Rozwinąć daną funkcję w szereg Taylora w punkcie z, gdzie (i) 1/z w punkcie z = i, (ii) 1/(z 5) w punkcie z = 1, (iii) 1/z 2 w punkcie z = 3, (iv) 1/ [ (z + 1)(z + 2) ] w punkcie z =. 5 Paweł Mleczko (212)

6 3.8. Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = { sin z z, jeżeli z, 1, jeżeli z =. D.3.1. Sprawdzić, czy szereg jest zbieżny (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) n= n= n= n= ( sin 1 n + i cos n n 2 ; log n n! i n ; ( 1+4i ) n; 4 (1+3i) n n! ; (1+3i) n (n+41) 2 ; n 2 +i n 3 ; n n+1 ) 4n 2 i n. D.3.2. promień zbieżności oraz podać obszar, w którym zbieżny jest każdy z poniższych szeregów potęgowych (i) (ii) (iii) (iv) (v) n!z n ; 3 n (z + 1) n ; n(n!)z n 1 ; nz n+1 n+1 ; (z 1) n 2 n. D.3.3. Wyznaczyć koło zbieżności szeregu potęgowe: (i) 1 (1 2i) (z 2i) n ; n+1 (ii) i n n(1+i) (z + 3i)n ; (iii) n! (2i) z 3n. n 6 Paweł Mleczko (212)

7 D.3.4. Przypuśćmy, że szereg a n z n ma promień zbieżności r >. Jakie promienie zbieżności będą miały szeregi na n z n 1 oraz a nz 2n? D.3.5. Wyznaczyć szereg Taylora funkcji f(z) = 1 1 z o środku w z = 3i. D.3.6. Wyznaczyć szereg Taylora funkcji f(z) = 1 (1 z) 2 o środku w z =. D.3.7. Nie rozwijając funkcji f(z) = z 7 z 2 2z 3 w szereg Taylora, stwierdzić jaki jest promień zbieżności tego szeregu. D.3.8. Rozwinąć w szereg Taylora o środku w punkcie funkcję f(z) = z 2 e z3. D.3.9. Niech f(z) = n= z2n (2n!). Pokazać, że f (z) = f(z). D.3.1. Opisać wszystkie ciągłe funkcje f : spełniające warunek f(z) = f(2z) dla wszystkich z. D Opisać wszystkie funkcje holomorficzne na takie, że f(z) = 1 f(2z) dla wszystkich z ałka krzywoliniowa 4.1. Znajdź wartość całki krzywoliniowej z funkcji f(z) = 3z liczonej wzdłuż krzywej 1 oraz 2, gdzie Im Im (1, 1) (1, 1) 1 Re 2 Re 4.2. z dz, gdzie 7 Paweł Mleczko (212)

8 Im 1 Re 4.3. Uzasadnij, że {, k 1, (z z ) k dz = 2πi, k = 1, gdzie jest dodatnio zorientowanym okręgiem jednostkowym o środku w punkcie z Udowodnij, że jeżeli jest krzywą gładką z punktu z 1 do z 2, to dz = z 2 z Udowodnij, że całka krzywoliniowa może zależeć od wyboru krzywej. Niech f(z) = Rez, a i będą dwiema liniami łączącymi i 1 + i. niech ma parametryzację z = (1 + i)t, a składa się z dwóch odcinków sparametryzowanych następująco: z = t dla t 1 oraz z = 1 + is dla s 1. Udowodnij, że Rezdz Rezdz Korzystając z wzoru całkowego auchy ego obliczyć (i) e z z =1 z dz; (ii) z 1 =2 z 2 2z dz; (iii) z 2 =4 cos z z 2 +4 dz Pokazać, że nie istnieje taka funkcja f holomorficzna na \, że f (z) = cos z z. D.4.1. z Re z dz, gdzie 8 Paweł Mleczko (212)

9 Im 1 Re D.4.2. ze z2 dz, gdzie jest odcinkiem łączącym punkty 1 + i oraz 1 i. D.4.3. Znajdź wartość całki krzywoliniowej z funkcji f liczonej wzdłuż krzywej, gdzie (i) f(z) = Rez, górnym półokręgiem zorientowanym dodatnio o środku w zerze i promieniu 3; (ii) f(z) = f(x + iy) = x + 2iy, jest okręgiem jednostkowym o środku w zerze zorientowanym dodatnio. D.4.4. całkę e z z(z 1) dz, gdzie jest kwadratem o wierzchołkach w punktach ±(2 ± 2i) zorientowanym dodatnio. D.4.5. całkę z z 4 1 dz, gdzie jest zorientowanym dodatnio okręgiem z 2 = 2. D.4.6. z =2 z (z 2 9)(z + i) dz. D.4.7. Udowodnić, że wartość średnia funkcji f H(U), U = {z : z < 1} liczona po okręgu z = re it, t 2π i r < 1, nie zależy od r, tzn. obliczyć całkę 1 2π 2π f(re it )dt i uzasadnić, że wartość tej całki nie zależy od r. D.4.8. z =2 z 2 3z + 4 dz. z + i 9 Paweł Mleczko (212)

10 D.4.9. z =1 z + 2 z 4 + 2iz 3 dz. D.4.1. z i =3 z 2 (z 3i) 2 dz. D ( z + iz 2 + Re z ) dz, T gdzie T jest dodatnio zorientowanym trójkątem o wierzchołkach w punktach, 1, 1 + 2i. D z 1 =2 ( 5z sin z + z ) dz. z i 5. Zastosowanie całki krzywoliniowej w analizie zespolonej 5.1. całkę x 2 (x 2 + 4) 2 dx całkę niewłaściwą e ix x dx Opierając się na poprzednim zadaniu znaleźć wartość całek niewłaściwych cos x x dx oraz sin x x dx Znaleźć wartość całki 2π dθ a + cos θ, 1 Paweł Mleczko (212)

11 gdzie a > 1. D.5.1. całki 2π e cos θ sin(nθ sin θ)dθ oraz 2π e cos θ cos(nθ sin θ)dθ. Wskazówka: można scałkować funkcję f(z) = e z z (n+1) wzdłuż okręgu jednostkowego o środku w zerze. D.5.2. x 2 x 4 + x dx. D.5.3. x (x 2 + 2x + 2)(x 2 + 4) dx. D π cos 2θ 1 cos θ + 1/2. D.5.5. Uzasadnić, że x 2 dx (x 2 + 4) 2 = π 16. D.5.6. Uzasadnić, że 2π dθ sin θ = 3 2π. 2 D.5.7. Uzasadnić, że 2π 3dθ 3 sin θ = 3π Paweł Mleczko (212)

12 D.5.8. Udowodnić, że 1 x dx = π Funkcje całkowite 6.1. Udowodnić, że jeżeli f H() oraz f(z) A + z k dla z, A > i k N, to f jest wielomianem. Wywnioskować stąd twierdzenie Liouville a Pokazać, że jeśli część rzeczywista funkcji całkowitej jest ograniczona z góry, to funkcja jest stała o można powiedzieć o funkcji całkowitej f, jeżeli wiadomo, że dla dowolnych z spełnione są jednocześnie równości: (i) f(z + 1) = f(z), (i) f(z + i) = f(z)? D.6.1. zy może istnieć funkcja całkowita f taka, że f(z) = z z+2 dla z > 3? D.6.2. Wyliczyć całkę f(z)dz (z a)(z b), gdzie f H(), jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w zerze i promieniu R >, a, b oraz a < R, b < R. Wyciągnąć wniosek, że gdy f jest funkcją ograniczoną na całej płaszczyźnie, to f jest stała (prawdziwe jest zatem tzw. twierdzenie Liouville a). D.6.3. Wykazać, że jeżeli część urojona funkcji całkowitej f jest ograniczona z dołu, to funkcja ta jest stała. D.6.4. o można powiedzieć o funkcji całkowitej f, jeżeli wiadomo, że lim z f(z) = 1? D.6.5. Wykazać, że jeżeli f jest funkcją całkowitą oraz lim z ( ) 2 f(z) =, z to funkcja f jest stała. D.6.6. o można powiedzieć o funkcji całkowitej f, jeżeli wiadomo, że 1 f(z) dla z? 12 Paweł Mleczko (212)

13 7. Twierdzenie o jednoznaczności. Zasada maksimum 7.1. o można powiedzieć o funkcji holomorficznej na kole z < 1, dla której f ( ) i = i, gdzie n = 2, 3, 4,.... n 7.2. zy istnieje funkcja analityczna na kole z < 2, która w punktach 1, 1/2, 1/3,... przyjmuje odpowiednio wartości 1,, 1/3,, 1/5,...? 7.3. zy istnieje funkcja analityczna na kole z < 2, dla której (i) f(1/n) = f( 1/n) = 1/n 2, (ii) f(1/n) = f( 1/n) = 1/n 3? 7.4. o można powiedzieć o funkcji analitycznej na z < 3, jeżeli f(i + i/n) = 3 dla n = 1, 2, 3,...? 7.5. Znaleźć różną od stałej funkcję f H(U), gdzie U =: {z : z < 1} taką, że jej ciąg zer ma punkt skupienia w U. D.7.1. o można powiedzieć o funkcji f holomorficznej na z < 1, jeżeli wiadomo, że 1 f(z) oraz f() = 1. Opierając się na powyższym zadaniu sformułować tzw. zasadę minimum. Przedyskutować założenia, jakie powinny pojawić się o funkcji f. D.7.2. Wyznaczyć maksimum funkcji f(z) = 2z i w zbiorze {z : z 2}. D.7.3. Wyznaczyć maksimum oraz minimum funkcji f(z) = 2iz w zbiorze {z : z 1}. D.7.4. o można powiedzieć o funkcji analitycznej f na z < 1, jeżeli f(z) 3 dla każdego z < 1 oraz f(i/2) = 3i? D.7.5. Niech f będzie funkcją holomorficzną w dysku jednostkowym. Pokazać, że jeśli Ref przyjmuje ekstremum lokalne w pewnym punkcie wewnętrznym dysku jednostkowego, to f jest stała. D.7.6. Przypuśćmy, że f H(U), f jest ciągła na U, f(z) > 1 gdy z = 1 oraz f() = 1. zy istnieje taki punkt z U, że f(z ) =? 8. Szeregi Laurenta oraz osobliwości funkcji holomorficznych 8.1. Znaleźć szereg Laurenta z funkcji f(z) = 3 2z z + 9 w pierścieniach 13 Paweł Mleczko (212)

14 (i) S = {z : 2 < z < 3}, (ii) G = {z : z > 3}, (iii) D = {z : z < 2} Rozwinąć funkcję f(z) = 3 (2z + 4) (3z + 9) 2 w szereg potęgowy w pierścieniach z poprzedniego zadania Znaleźć szereg Laurenta funkcji exp(1/z) dla z > Wyznaczyć obszar, w którym zbieżny jest dany szereg Laurenta oraz znaleźć sumę tego szeregu (funkcję do jakiej zbieżny jest niemal jednostajnie). 1 n= z n 2 n 1 z n. n= 8.5. Rozwinąć funkcję f(z) = ez z 4 w szereg Laurenta o środku w z = Określić krotność zera z funkcji f (i) f(z) = z exp(z), z =, (ii) f(z) = z 2 sin z, z =, (iii) f(z) = ( π 2 z)2 cos z, z = π Określić punkty osobliwości oraz określić ich rodzaj dla funkcji f: (i) f(z) = ez z, (ii) f(z) = 1 cos z z 2, (iii) f(z) = z 2 exp ( 1 z ), (iv) f(z) = 1 (z 1) 2 (v) f(z) = e2z z 4, (vi) f(z) = e iz z 2 +6iz 9. D.8.1. Udowodnić, że jeżeli f (k) w obszarze D, dla pewnego k, oraz f jest holomorficzna na D, to f jest wielomianem stopnia co najwyżej n. 14 Paweł Mleczko (212)

15 D.8.2. Znaleźć szereg Laurenta dla funkcji f(z) = w pierścieniach 6z + 8 (2z + 3)(4z + 5) (a) {z : 5/4 < z < 3/2}, (b) {z : z > 3/2}, (c) {z : z < 5/4}. D.8.3. W pierścieniu 2 < z 2 < 4 rozwinąć w szereg Laurenta funkcję f(z) = 6 z(z 2) 5 (z 6). D.8.4. Określić krotność zera z funkcji f (i) f(z) = z 4 (1 cos z), z =, (ii) f(z) = e z 1 z + 1, z = 1, (iii) f(z) = z4 sin z, (iv) f(z) = (1 e iz ) sin 2 z, z =. D.8.5. Określić rodzaj osobliwości funkcji f w punktach osobliwych (i) f(z) = sin2 z z 3, (ii) f(z) = z e z 1, (iii) f(z) = z 3 sin 1 z Residua, twierdzenie o residuach 9.1. Znaleźć bieguny, określić ich rzędy i obliczyć residuum danej funkcji (i) (ii) f(z) = e2z z 4, f(z) = e iz z 2 + 6iz Udowodnić, że jeżeli z jest biegunem pierwszego rzędu funkcji f, to res(f, z ) = lim z z (z z )f(z). 15 Paweł Mleczko (212)

16 9.3. całki (i) (ii) (iii) z =2 z =2 z 1 =2 e 2z z 4 dz, e z z 2 1 dz, z 2 exp ( 1 z ) dz Udowodnić, że jeżeli funkcje h = f/g ma w z biegun pierwszego rzędu oraz g (z ), to res(h, z ) = f(z ) g (z ) z =1 e z+4 sin z dz Znaleźć rozwinięcie w szereg Laurenta funkcji f(z) = exp(z + z 1 ) w obszarze D = {z : < z < } oraz obliczyć residuum res(f, ). Następnie obliczyć całkę exp(z + z 1 )dz. z =1 D.9.1. Znaleźć wartość residuum funkcji f w punkcie, jeżeli (i) f(z) = (z 2 + 1)/z, (ii) f(z) = (z 2 + 3z 5)/z 3, (iii) f(z) = e z / sin z. D.9.2. Znajdź wartość residuum funkcji f w punkcie 1, jeśli (i) f(z) = (z 3 1)(z + 2)/(z 4 1) 2, 1 (ii) f(z) = (z 1)(z+1). 16 Paweł Mleczko (212)

17 D.9.3. residua funkcji f w punktach osobliwych (i) f(z) = x2 2z (z 1)(z+1), (ii) f(z) = 1 z z 3. D.9.4. Udowodnić, że jeżeli f jest holomorficzna w punkcie z, to funkcja g określona wzorem g(z) = { f(z) f(z) z z, gdy z z, f (z ), gdy z = z, ma w punkcie z osobliwość pozorną (jest w punkcie z holomorficzna). D.9.5. całki (i) γ dz sin z, gdzie γ(t) = 5 cos t + 3i sin t, t 2π (Uwaga indeks krzywej γ względem każdego z trzech[!] punktów osobliwych jest równy 1 porównaj wykład). (ii) ctg z dz. z =3 (iii) z 3 =15 z 2 +1 z 2 dz, (iv) z =1 sin 1 z dz. D.9.6. Scharakteryzować rodzaj osobliwości funkcji f(z) = z cos(1/(z 1)) w punkcie z = 1 oraz oblicz res(f, 1) oraz z cos 1 z 1 dz, gdzie jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie i promieniu Zastosowanie twierdzenia o residuach 1.1. Korzystając z twierdzenia o residuach pokazać, że 1 x dx = π π gdzie n N. sin 2n θdθ, 1.3. Policzyć transformatę Hilberta dla funkcji f(x) = cos x oraz g(x) = sin x. 17 Paweł Mleczko (212)

18 1.4. n= ( ) 2n 1 n 5 n. D.1.1. Znaleźć wartość całki (i) dx x (ii) e ix dx x (iii) x 2 dx x (iv) x 1 x 5 1 dx. (v) π dθ 1 + sin 2 θ. (vi) π dθ cos θ. (vii) 2π dθ (a + b cos θ) 2. (viii) 2π ( cos θ ) ndθ. (ix) x sin ax x 2 dx, a, k >. + k2 18 Paweł Mleczko (212)