Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo przyjmuje skończoe wrtości. m m + d x( t) + dt d x( t) d u( t) d u( t) + + x( t) b b b u( t) o m + m m + m o dt dt dt Trsmitcj opertorow tego ukłdu m postć: b s G( s) s m m m + bms + + bs + b + s + + s + Stąd jego rówie chrkterystycze L( s) M ( s) () () ( M s) s + s + + s + () W ujęciu mtemtyczym wrukiem koieczym i dostteczym to, Ŝeby ukłd zmkięty był stbily jest, by pierwistki rówi chrkterystyczego () miły ujeme części rzeczywiste. Rozwiązie tego rówi wystrczy, więc dl stwierdzei czy dy ukłd liiowy jest stbily. Jedk w prktyce t metod ie zwsze jest dogod i wystrczjąc. Z tego względu zostły oprcowe metody pozwljące bdie stbilości bez rozwiązywi rówi chrkterystyczego są to tzw. kryteri stbilości. Kryteri te dzielą się : lgebricze do, których leŝą kryteri Routh i Hurwitz orz częstotliwościowe Michjłow i Nyquist. JeŜeli pierwistki rówi chrkterystyczego mogą być wyrŝoe jko I ich części rzeczywiste są ujeme (leŝą lewej półpłszczyźie) to ukłd jest stbily. Metod wymg obliczeie pierwistków r.chr, stąd pojwiły się jej odpowiediki (wymgjące miej obliczeń rytmetyczych) Wruki stbilości: Re(s i )< dl i,,,... stbily symptotyczie Re(s i ) dl dowolego i, pozostłe Re(s i )< - gric stbilości Re(s i )> dl dowolego i ukłd iestbily
Dl pierwistków rzeczywistych sσ
Dl pierwistków zespoloych: sσ±jω
Przykłdy fukcji:.. Kryterium Hurwitz Wrukiem koieczym i dostteczym stbilości ukłdu liiowego i stcjorego jest, Ŝeby wszystkie współczyiki wielomiu chrkterystyczego trsmitcji tego ukłdu istiły i były dodtie, podto Ŝeby wyzczik () zwy wyzczikiem Hurwitz orz jego podwyzcziki,,, były dodtie. JeŜeli którykolwiek współczyik jest ujemy lub rówy zeru lbo którykolwiek podwyzczik jest ujemy to ukłd jest iestbily. Jeśli dowoly z podwyzczików jest rówy zeru to ozcz, Ŝe rówie chrkterystycze ukłdu m między iymi pierwistki urojoe i wtedy ukłd jest gricy stbilości. N jego wyjściu występują drgi o ustloej mplitudzie. 5 () 5
5 5 Przykłd Z pomocą kryterium Hurwitz zbdć stbilość ukłdu zmkiętego, którego rówie chrkterystycze m postć: 7 6 ) ( 5 + + + + + s s s s s s M ZuwŜmy, Ŝe spełioy jest wruek koieczy stbilości, poiewŝ wszystkie współczyiki rówi chrkterystyczego są dodtie. Wyzczik Hurwitz utworzoy ze współczyików wielomiu tego rówi m postć: 7 6 7 6 7 6 5 Obliczmy wrtość wyzczik z pomocą polecei det, które wprowdzmy w okie poleceń MATLAB- według poiŝszej skłdi. Argumetem polecei det zpisym w wisch okrągłych jest mcierz współczyików wyzczik Hurwitz, któr z kolei zpis jest w wisch kwdrtowych. Poszczególe elemety wierszy tej mcierzy oddzieloe są odstępmi, tomist wiersze oddzieloe są średikmi.» delt_5det([6 7 ; ; 6 7 ; ; 6 7 ]), delt_5-586 Ujem wrtość wyzczik Hurwitz wskzuje to, Ŝe bdy ukłd jest iestbily. Kryterium Routh Pierwszym krokiem w uproszczeiu kryterium Hurwitz, zywym kryterium Routh, jest umieszczeie współczyików rówi w dwóch wierszch. Pierwszy wiersz skłd się z ieprzystych współczyików, tomist drugi wiersz z przystych współczyików licząc od jwyŝszej potęgi wielomiu chrkterystyczego. Dl rówi tego pierwsze dw wiersze tblicy są
stępujące: Nstępym krokiem jest wypełieie stępych wierszy tblicy Routh w stępujący sposób: i tk dlej. Kolum z lewej stroy tblicy Routh jest kolumą odiesiei i słuŝy do idetyfikcji obliczeń. Ostti wiersz tblicy Routh m zwsze w tej kolumie elemet s. Po skompletowiu tblicy Routh osttim krokiem jest określeie zków spółczyików pierwszej kolumy tblicy, któr zwier iformcje o pierwistkch rówi. Przyjęte zostło stępujące złoŝeie: Wszystkie pierwistki rówi chrkterystyczego zjdują się w lewej półpłszczyźie jeśli wszystkie elemety pierwszej kolumy tblicy Routh mją te sm zk. Liczb zmi zków w elemetch pierwszej kolumy rów jest liczbie pierwistków w prwej półpłszczyźie.
Przykłd RozwŜmy rówie w którym ie brkuje elemetów i wszystkie współczyiki są tego smego zku. Spełioy jest wruek koieczy dotyczący współczyików, jedk wruek dostteczy musi zostć jeszcze sprwdzoy. Pierwszą czyością jest ziicjowie tblicy, w kolumie z lewej stroy zjdują się potęgi s, tomist współczyiki wielomiu rozdziel się pomiędzy pierwszy drugi wiersz w sposób pokzy poiŝej. W pierwszym wierszu zjdują się w kolejości współczyiki ieprzyste, tomist w drugim przyste Tblic kompletow jest poczyjąc od góry wiersz po wierszu, obliczjąc elemety stępego wiersz. KŜdy obliczy elemet wyprowdzy jest podstwie czterech elemetów zjdujących się w dwóch wyŝszych wierszch, dw z ich są w lewej kolumie i dw w kolumie zjdującej się prwo od obliczego elemetu. W kŝdym przypdku, obliczy elemet m ujemy wyzczik z czterech zjdujących się wyŝej elemetów, podzieloy jest przez lewy doly elemet wyzczik. Dl przykłdu, pierwszy elemet wiersz s drugi elemet wiersz s pierwszy elemet wiersz s i tk dlej.
Skompletow tblic Routh pokz jest poiŝej. Liczb pierwistków wielomiu M(s) zjdując się w prwej półpłszczyźie jest rów liczbie zmi zków lewej kolumy tblicy, przesuwjąc się z góry dół. W tym przykłdzie są dwie zmiy zków w lewej kolumie co ozcz, Ŝe wielomi M(s) m dw pierwistki w prwej półpłszczyźie. Tblic Routh przypdki szczególe Zero w pierwszej kolumie tblicy Routh W pierwszym przypdku, jeśli zero pojwi się w pierwszym elemecie wiersz, wówczs wszystkie elemety w stępym wierszu mją wrtości rówe ieskończoości i dlsze wypełiie tblicy ie jest moŝliwe. Aby pordzić sobie z tą sytucją zstępuje się pierwszy elemet w pierwszej kolumie przez brdzo mł liczbę dodtią ε i kotyuuje się obliczie pozostłych elemetów. Przypdek te zostie zilustrowy przez stępujący przykłd. RozwŜmy stępujące rówie chrkterystycze ukłdu liiowego Nie wszystkie współczyiki mją te sm zk, czyli pewo występują pierwistki w prwej półpłszczyźie. Sprwdźmy przy uŝyciu kryterium Routh ile pierwistków zjduje się w prwej półpłszczyźie. Przy kompletowiu tblicy Routh dw pierwsze wiersze
uzyskuje się bezpośredio ze współczyików wielomiu. Brkujące współczyiki uzupełi się zermi. Współczyiki drugiego wiersz moŝ podzielić przez, co pozwoli uproszczeie obliczeń. Tblic t ie moŝe być dlej kompletow w zwykły sposób, poiewŝ ie moŝ dzielić przez zero. W pierwszej kolumie pojwiło się zero, przy czym ie cły wiersz jest zerowy. Sytucj z zerem w pierwszej kolumie rozwiązyw jest w te sposób, Ŝe zmist zer wprowdz się brdzo młą liczbę dodtią ε. Dl powyŝszego wielomiu zstępując zero w pierwszej kolumie przez ε i po wyzczeiu kolejych elemetów tblicy w zleŝości od ε otrzymuje się Dl wszystkich wyrŝeń w pierwszej kolumie zwierjących ε wyzcz się gricę ε, przy złoŝeiu dodtiej wrtości ε, przykłd dl
Uzyske zki elemetów pierwszej kolumy tblicy Routh W tym przypdku są trzy zmiy zku w pierwszej kolumie, więc bdy wielomi m trzy pierwistki w prwej półpłszczyźie. Zerowy wiersz w tblicy Routh - świdczy o jedym z przypdków.rówie m przyjmiej jedą prę pierwistków o przeciwych zkch. Rówie m jedą lub więcej pr pierwistków sprzęŝoych osi urojoych Rówie m pry pierwistków tworzących symetrie wokół początku ukłdu W sytucji gdy pojwi się cły wiersz zerowy w tblicy Routh, tworzy się rówie pomocicze p(s), które formuje się ze współczyików wiersz zjdującego się powyŝej wiersz zerowego w tblicy Routh. Rozwiązując rówie pomocicze otrzymuje się rówieŝ pierwistki rówi orygilego. Aby dlej wypełić tblicę Routh wykouje się stępujące kroki:. Tworzy się rówie pomocicze p(s) przez uŝycie współczyików z wiersz zjdującego się powyŝej wiersz zerowego.. Wyzcz się pochodą rówi pomociczego względem s;. Zstępuje się wiersz zerowy współczyikmi wielomiu
. Kotyuuje się wypełiie tblicy Routh z uŝyciem owo utworzoego wiersz współczyikmi zstępującymi wiersz zerowy. 5. Iterpretuje się zmię zków współczyików w pierwszej kolumie tblicy Routh w zwykły sposób. Przykłd RozwŜmy stępujące rówie chrkterystycze ukłdu liiowego z bdi współczyików widć, Ŝe w wielomiie występują pierwistki z prwej półpłszczyzy.tblic Routh zczy się stępująco: współczyiki wiersz s moŝ podzielić przez : Pojwił się wiersz zerowy. Wprowdzmy rówie pomocicze ze współczyików zjdujących się d wierszem zerowym w wierszu s RóŜiczkując wielomi p(s) względem s otrzymuje się Otrzymymi współczyikmi orz zstępujemy wiersz zerowy. Współczyiki rówi dp(s)/ds. Współczyiki uzyskego wiersz moŝ podzielić przez. Pozostł część tblicy Routh jest stępując Wielomi pomociczy jest czwrtego rzędu, czyli w rówiu M(s) występują dwie pry
pierwistków. Z bdi pierwszej kolumy tblicy Routh uzyskej dl rówi M(s) widć,ŝe występuje jed zmi zku, czyli jed pr pierwistków jest o przeciwych zkch. Dw pozostłe pierwistki muszą zjdowć się osi urojoej. Z lizy tblicy Routh dl tego przykłdowego wielomiu wyzczyliśmy stępujące typy pierwistków: Lew półpłszczyz LP Prw półpłszczyz PP Oś urojo IA Ukłd ze strojoym prmetrem rówie chrkterystycze: Tblic Routh dl rówi N podstwie powyŝszej tblicy uzyskuje się dw wruki stbilości: z wiersz s, otrzymym wrukiem stbilości jest K >, z wiersz s wruek (K + 6)/(K) >, tomist dl s wruek K >. Z rozwŝei tych dwóch wruków otrzymy zkres stbilości dl prmetru K < K <.79