KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

Transkrypt

1 KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuow bezpłtie Dostęp stroie: Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

2 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystie wzorów;. Przeksztłcie do tej smej podstwy potęgi w celu wykorzysti wzorów;. Wyłączie czyik spod zku pierwistk;. Usuwie iewymierości.. Wyrżei lgebricze... W tym:. Wykorzystie wzorów;. Zmi sumy iloczy z pomocą wzorów skrócoego możei;. Zmi sumy iloczy z pomocą wyłączi czyik przed wis.. Procety... 7 W tym:. Wykorzystie wzoru (procet skłdy);. Typy zdń z procetmi (proporcj), obliczie procetu z liczby;. Pukty procetowe;. Procety z procetów.. Zbiory i przedziły... 9 W tym:. Pojęcie zbioru/przedziłu i sposoby ich przedstwii;. Precyzowie zbiorów/przedziłów zpisych z pomocą formuły logiczej;. Dziłi zbiorch/przedziłch.. Wrtość bezwzględ... W tym:. Istot wrtości bezwzględej;. Zpis wyrżeń z pomocą wrtości bezwzględej;. Opuszczie wrtości bezwzględej wyrżeń (z pierwistkmi, ze zmieą x );. Rówi z wrtością bezwzględą;. Nierówości z wrtością bezwzględą;. Specyficze przypdki rówń i ierówości (z zerem lub liczbą ujemą).. Przybliżei... W tym:. Przybliżeie z dmirem i iedomirem;. Błąd bezwzględy i względy przybliżei. 7. Fukcje... W tym: 7.Wektor w ukłdzie współrzędych; 7. Przyjęte ozczei orz sposoby prezetcji fukcji; 7. Określie dziedziy podstwie wzoru; 7. Obliczie miejsc zerowego ze wzoru fukcji; 7. Odczytywie włsości fukcji z wykresu; 7. Symetri puktu w ukłdzie współrzędych; 7.7 Trsformcje wykresu fukcji; 7.8 Rysowie fukcji w postci f(x ) + b. 8. Geometri litycz (fukcj liiow, rówie okręgu)... W tym: 8. Postci fukcji liiowej; 8. Wykres i włsości fukcji liiowej; 8. Rówi prostej; 8. Wzjeme położeie prostych (wruek rówoległości i prostopdłości); 8. Pukt wspóly dwóch prostych; 8. Określie wzoru prostej; 8.7 Zdi z prmetrem; 8.8 Wzory: długość odcik, środek odcik, odległość puktu od prostej; 8.9 Rówie okręgu. 9. Fukcj kwdrtow... 9 W tym: 9. Postć ogól (wyróżik, miejsc zerowe, wierzchołek prboli); 9. Postci fukcji kwdrtowej; 9. Wykres fukcji kwdrtowej (prbol); 9. Włsości fukcji kwdrtowej (D, ZW, mi/ mx, mootoiczość); 9. Rówi kwdrtowe.; 9. Nierówości kwdrtowe.. Wielomiy... W tym:. Dziłi wielomich (stopień wielomiu);. Zdi z prmetrem;. Rozkłd wielomiu czyiki;. Rówi wielomiowe;. Pierwistek wielomiu.. Fukcj wykłdicz... 8 W tym:. Wyrżei wykłdicze;. Rówi wykłdicze;. Wykres fukcji wykłdiczej;. Włsości fukcji wykłdiczej.. Logrytmy... W tym:. Istot logrytmu (sposób trudiejsze przypdki);. Wzory i ich wykorzystie;. Rówi logrytmicze.. Wyrżei wymiere... W tym:. Dziedzi wyrżei;. Uprszczie wyrżei;. Dziłi wyrżeich wymierych;. Rówi wymiere.. Fukcj wymier... W tym:. Wykres;. Włsości.. Ciągi... 8 W tym:. Podstwowe iformcje (pojęcie ciągu, wzór, wykres);. Mootoiczość ciągu;. Podstwowe pyti (który wyrz ciągu m dą wrtość?...);. Ciąg rytmetyczy (wzór ogóly, mootoiczość, sprwdzie czy dy cig jest rytmetyczy lub dl jkiej wrtości prmetru jest rytmetyczy, określie wzoru ciągu, średi rytmetycz, sum wyrzów ciągu);. Ciąg geometryczy (wzór ogóly, sprwdzie czy dy cig jest geometryczy lub dl jkiej wrtości prmetru jest geometryczy, określie wzoru ciągu, średi geometrycz, sum wyrzów ciągu).

3 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie. Fukcje trygoometrycze... W tym:. Fukcje trygoometrycze w trójkącie prostokątym;. Wrtości fukcji trygoometryczych;. Wzory (związki między fukcjmi tego smego kąt);. Tożsmości trygoometrycze. 7. Plimetri (figury płskie)... 7 W tym: 7. Wzory dl figur płskich (obwody, pol i ie); 7. Njwżiejsze twierdzei (Pitgors, Tles); 7. Podobieństwo figur płskich; 7. Cechy przystwi i podobieństw trójkątów; 7. Wzjeme położeie: dwóch okręgów, prostej i okręgu; 7. Kąty; 7.7 Wielokąty; 7.8 Okrąg wpisy i opisy figurch. 8. Stereometri (bryły)... W tym: 8. Podził i zewictwo brył; 8. Kąty i odciki w bryłch; 8. Pole powierzchi cłkowitej i objętość brył; 8. Podobieństwo brył. 9. Rchuek prwdopodobieństw... W tym: 9. Podstwowe pojęci i ozczei; 9. Prwdopodobieństwo klsycze; 9. Proste przypdki (rzut moetą/kostką); 9. Elemety kombitoryki (zsd możei, permutcje, wricje bez powtórzeń, wricje z powtórzeimi); 9. Drzew zdrzeń; 9. Włsości prwdopodobieństw.. Sttystyk... 9 W tym:. De sttystycze i sposoby ich prezetcji;. Prmetry dych sttystyczych (średi rytmetycz, średi wżo, medi, wricj i odchyleie stdrdowe, mod, rozstęp).

4 . POTĘGI I PIERWIASTKI WZORY z tblic mtemtyczych (dostępych podczs mtury): - dl : ( ) s r s r - dl : m m s r s r + s r s r - dl > : m m ( ) r r r b b r r r b b..wykorzystie wzorów. N przykłdch: ( ) 8 ( ) Wszystkie wzory dziłją w obie stroy. Przykłdowo: dl wzoru :: Podto powiiśmy pmiętć wzór: ( ) Przykłd:( ). Przeksztłcie do tej smej podstwy potęgi w celu wykorzysti wzorów. Mmy trzy podstwowe metody postępowi: Zmiejszie podstwy przy wykorzystiu wzoru: ( ) s r s r. 8 ( ) ( ) ( ) ( ) Szukmy jmiejszego wspólego dzielik podstw potęg. Tutj dl kilku z ich będzie to liczb. bo Zpisujemy podstwy potęg z pomocą wspólego dzielik Wykorzystujemy wzór: ( ) Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie

5 m Zmi pierwistk potęgę zgodie ze wzorem:. Przykłd: Obrcie podstwy potęgi zgodie ze wzorem, czyli zmieijąc zk potęgi. Przykłd: Przykłd przedstwijący wykorzystie wszystkich trzech metod: (,) ( ) m ( ). Wyłączie czyik spod zku pierwistk. Aby to zrobić, leży jpierw zmieić liczbę zjdującą się pod pierwistkiem iloczy dwóch liczb, tk by jedą z liczb moż było spierwistkowć. Nstępie wykoujemy pierwistkowie tej liczby. Njwiększą trudość w wyciągiu liczby spod zku pierwistk sprwi ustleie liczb, których iloczy leży zpisć, tk by jed z ich dł się spierwistkowć. Aby sobie to ułtwić, moż zstosowć metodę, którą przedstwimy przykłdzie. Przykłd: Dzielimy liczbę zjdującą się pod pierwistkiem przez koleje liczby turle, zczyjąc od liczby (,,,...) tk długo, ż uzyskmy liczbę, którą moż spierwistkowć. Dl przykłdu: : ie d się spierwistkowć :, - ie d się spierwistkowć :8 ie d się spierwistkowć : d się spierwistkowć ( 8), dltego zpisujemy liczbę jko iloczy liczb i : 8. Usuwie iewymierości. Możemy wyróżić dw stopie trudości: Gdy w miowiku mmy tylko pierwistek lub pierwistek przemożoy przez jkąś liczbę. W tkim przypdku usuwmy iewymierość, możąc liczik i miowik przez pierwistek z miowik. UWAGA! Gdy możymy przez siebie dw pierwistki kwdrtowe, otrzymujemy wrtość pod pierwistkiem; p.: Przykłdy: Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Obrcmy ułmek i zmieimy zk potęgi ( -). ( + ) Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

6 Gdy w miowiku mmy sumę lub różicę. W tki przypdku usuwmy iewymierość możąc liczik i miowik przez cłe wyrżeie z miowik, le ze zmieioym zkiem. Nstępie w miowiku wykoujemy możeie zgodie z trzecim wzorem skrócoego możei. Przykłd: Możymy liczik i miowik przez wyrżeie z miowik ze zmieioym zkiem:. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE ( ) ( + )( ) + WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA): ( ) Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie ( + b) + b+ b ( + b) ( b) b+ b ( b) Wykorzystujemy wzór skrócoego możei: ( + b)( - b) - b stępy podrozdził + b+ b b+ b + b b 7 b b + b ( b)( + b) ( b)( + b+ b ) ( + b)( b+ b ). Wykorzystie wzorów Pierwsze cztery wzory dziłją w te sm sposób. Przedstwimy to przykłdzie wymgjącym skorzysti z drugiego wzoru: (z b ). We zworze mmy:. Nszym w przykłdzie jest wyrżeie : z, tk więc: (z ) z b We zworze mmy: b. Nszym b w przykłdzie jest wyrżeie : b, tk więc: (b ) 9b ( z b ) ( z ) z b + ( b ) z b z + 9b We zworze mmy: b. Nszym w przykłdzie jest wyrżeie : z. Nszym b w przykłdzie jest wyrżeie : b, tk więc: z b b z Trzy osttie wzory 7 wymgją ieco iego podejści. Ich wykorzystie w tkim kieruku jk zostł pody (pmiętjmy, że wszystkie wzory skrócoego możei możemy wykorzystć w obie stroy ), umożliwi zmię sumy iloczy (stępy podrozdził). Sposób wykorzysti tych trzech wzorów przedstwimy przykłdzie, wymgjącym skorzysti z siódmego wzoru: 8b UWAGA: wybór wzoru jest zdetermiowy przez zk orz przez potęgi symboli (dl piątego wzoru muszą być podziele przez, dl szóstego orz siódmego muszą być podziele przez ). Pierwsze wyrżeie to podiesioe do potęgi trzeciej. Jeżeli 8 b, to b [poiewż (b ) 8 b ]. b 9 8 b Drugie wyrżeie to b podiesioe do potęgi trzeciej. Jeżeli b 7 9, to b [poiewż ( ) 7 9 ]. ( b + )( b b 9 ) (b ) b b b b b ( ) 9 Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

7 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie. Zmi sumy iloczy z pomocą wzorów skrócoego możei W tym celu możliwe jest wykorzystie wszystkich siedmiu wzorów skrócoego możei. Trzy osttie wzory 7 wykorzystujemy, tk jk przedstwiliśmy to w poprzedim podpukcie. Cztery pierwsze wzory wykorzystujemy w drugą stroę (główie chodzi o wzory i, bo z dwom pozostłymi w ujęciu zmiy sumy iloczy się rczej ie spotkmy).wykorzystie czterech pierwszych wzorów w drugą stroę przedstwimy przykłdzie: 9 z +z. Ustlmy, z którego wzoru możemy skorzystć. Sum skłd się z trzech wyrżeń, co ogricz sz wybór do pierwszego i drugiego wzoru. Podto zki między wyrżeimi wskzują jedozczie wzór drugi: ( b) b +b we wzorze mmy trzy wyrżei i tkie sme zki jk w podej sumie (9 z + z ). ( z ) 9 z + z Ustlmy i b : Poiewż w podym przykłdzie 9 to, wyrżeie z to b, to -, - b z. Sprwdzmy, czy środkowe wyrżeie jest zgode ze wzorem. Powio wyosić b, czyli: z z, co ozcz, że otrzymliśmy poprwy zpis. Gdyby środkowe wyrżeie się ie zgdzło, ozczłoby to, że ie możemy zmieić podej sumy iloczy z pomocą wzoru skrócoego możei.. Zmi sumy iloczy z pomocą wyłączi czyik przed wis Przedstwimy przykłdzie: b b + b b c. Zczymy od ustlei wyrżei, jkie będzie zjdowło się przed wisem. Osobo ustlmy jk będzie wrtość liczbow, osobo poszczególe symbole liter i ich potęgi. Wrtość liczbow: szukmy jwiększego wspólego dzielik tutj. Aby wystwić dy symbol przed wis, musi się powtórzyć w kżdym wyrżeiu. Gdy te wruek jest spełioy, wybiermy jego jiższą potęgę tutj: - symbol powtrz się w kżdym wyrżeiu, jego jmiejsz potęg wyosi, - symbol b powtrz się w kżdym wyrżeiu, jego jmiejsz potęg wyosi b, - symbol c ie powtrz się w kżdym wyrżeiu, więc ie możemy wystwić go przed wis. Ostteczie wyrżeie, które wystwimy przed wis m postć: b Nstępie ustlmy wyrżei w wisie. Wyrżei w wisie będą miły tkie sme zki jk pierwote wyrżei. Ich wrtości liczbowe i symbole muszą mieć tką wrtość, by cłe wyrżeie po przemożeiu przez wyrżeie wystwioe przed wis dło m z powrotem wrtość pierwotą. 8b bo b 8b b bo b b b - b + b - b c b (8b bc) bo b b bc bo b bc b c Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

8 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie. PROCENTY WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: CIĄGI): Procet skłdy: K K + p. Wykorzystie wzoru (procet skłdy) Objśieie poszczególych wielkości we wzorze: K kpitł końcowy K kpitł początkowy liczb wszystkich kpitlizcji. Liczbę wszystkich kpitlizcji otrzymmy możąc liczbę lt przez liczbę kpitlizcji w roku: liczb lt liczb kpitlizcji w roku p oprocetowie. Do wzoru podstwimy oprocetowie, jkie uzyskmy po uwzględieiu liczby kpitlizcji w roku (kpitlizcj jest dolicziem odsetek do kpitłu). W tym celu dzielimy de w zdiu oprocetowie przez liczbę kpitlizcji: Przykłd: zł zostło złożoe lokcie trzy lt. Oprocetowie lokty wyosiło %, odsetki były kpitlizowe co sześć miesięcy. Oblicz wrtość kpitłu lokcie po trzech ltch. Jk wrtość odsetek zostł zgromdzo w tym czsie? rozwiązie: de: K zł liczb lt: liczb kpitlizcji w roku: de oprocetowie p liczb kpitlizcji w roku p %,% liczb lt liczb kpitlizcji w roku K K K K + liczb de kpitlizcji oprocetowie w roku p % zł(+,) zł + zł, zł,% % zł(,) Odsetki obliczymy, odejmując od kpitłu końcowego kpitł początkowy. K K zł zł zł Odpowiedź: Kpitł po trzech ltch wyosi zł. Zgromdzoo zł odsetek.. Typy zdń z procetmi (proporcj), obliczie procetu z liczby Typy zdń (proporcj) Włściwy zpis proporcji w zdich z procetmi opier się, ogólie rzecz ujmując, prwidłowym określeiu, której wielkości będzie odpowidć %. Zwsze będzie to wielkość stowiąc pukt odiesiei. Dl ułtwiei, zdi z procetmi podzieliliśmy trzy podstwowe typy: p de oprocetowie Podstwimy de (K, p, ) do wzoru i obliczmy kpitł końcowy (K). I cłość/część cłości II wrtość początkow / wrtość końcow cłość % wrtość % początkow część % wrtość cłości końcow % III wrtość podstwow / wrtość porówyw wrtość % podstwow wrtość % porówyw Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 7

9 Przykłd: W koszu zjduje się owoców, z czego owoców to gruszki. Jki procet wszystkich owoców stowią gruszki. W tym zdiu cłość stowią wszystkie owoce, częścią tej cłości, któr s iteresuje, są gruszki. Zpisujemy więc proporcje: wszystkim owocom () odpowid %, gruszkom () odpowid iez wrtość procetow, którą mmy obliczyć, więc ozczmy ją jko x%. % x% % x % % Odpowiedź: Gruszki stowią % wszystkich owoców. Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Przykłd: Pewie produkt w sklepie zostł przeceioy o % i obecie jego ce wyosi zł. Ile kosztowł te produkt przed przeceą? Wrtością początkową będzie ce produktu przed przeceą ( więc przed zmią), któr jest iewidomą i musimy ozczyć ją jko x. Wrtością końcową jest obec ce (zł). Tk więc ce przed przeceą (x), będzie odpowidć %. Zim zpiszemy drugą liijkę proporcji, leży ustlić, jki procet przyrówmy do cey po przeceie. Jeżeli ce spdł o %, to ce którą mmy obecie, stowi 8% cey początkowej. Tk więc obecej ceie (zł) odpowid 8%. UWAGA: W zdich tego typu, zzwyczj musimy pody procet dodwć (gdy coś rośie) lub odejmowć (gdy coś mleje) od %. x % 8% % x zł 8% Odpowiedź: Produkt kosztowł wcześiej zł. Uwg: Wrtość podstwow to t, do której porówujemy. Przykłd: Koszt pewego produktu w sklepie A wyosi zł, w sklepie B. O ile procet droższy jest te produkt w sklepie B, iż w sklepie A? W tym zdiu wrtością podstwową (wrtością do której porówujemy) jest ce w sklepie A, wrtością porówywą jest ce w sklepie B. Dltego wrtości cey w sklepie A (zł) będzie odpowidć %, wrtości cey w sklepie B (zł) będzie odpowidć iez wrtość procetow, którą ozczymy jko x%. % x% % x % % UWAGA: Tu leży ziterpretowć wyik. Skoro wrtość cey w sklepie B stowi % wrtości cey w sklepie A %, to gdy odpowidmy pytie: o ile procet droższy jest produkt w sklepie B od cey w sklepie A, leży jeszcze odjąć wrtości procetowe (% - % %). Odpowiedź: Ce w sklepie B jest o % wyższ od cey w sklepie A. Obliczie procetu z liczby Aby obliczyć procet z liczby, leży procet zmieić ułmek, stępie pomożyć go przez tę liczbę. Jest to podejście uproszczoe, którego możemy używć zmist proporcji w prostych przypdkch. Przykłd: W wgoie zjduje się pczek. % z ich zostło uszkodzoych podczs trsportu. Ile jest uszkodzoych pczek? % Zmieimy procety ułmek, dzieląc przez %. % % Możymy ułmek przez liczbę. Odpowiedź: W wgoie zjduje się uszkodzoych pczek.. Pukty procetowe Pukty procetowe to różic dwóch wrtości procetowych. Obliczmy ją odejmując większą wrtość procetową od miejszej Przykłd: W wyborch prezydeckich kdydt A otrzymł % głosów, kdydt B 8% głosów. O ile puktów procetowych głosów więcej otrzymł kdydt B? Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 8

10 8% - % % Odpowiedź: Kdydt B otrzymł puktów procetowych więcej głosów.. Procety z procetów Obliczie procetu z wrtości procetowych, może wydwć się skompilowe i iejse. Możemy zczie ułtwić sobie obliczie tego typu zdń, jeżeli wrtości procetowe, z których liczymy procet lub wrtości procetowe, które porówujemy (o ile procet się różią), będziemy trktowć ie jk procety, le jk wrtości liczbowe. Wszelkie zsdy dziłń procetch orz ukłdie proporcji (iezleżie od typu zdń z procetmi) pozostją iezmiee. Zdi obliczmy w te sm sposób jk zwykłe zdi z procetmi. Nleży smym wstępie ustlić, które wrtości procetowe, będziemy trktowć jk liczby. Przykłd: W wyborch przewodiczącego klsy Ksi otrzymł % głosów, Tomek % głosów. O ile procet głosów więcej od Tomk otrzymł Ksi. UWAGA! Gdy mmy pytie : o ile procet ie mylmy go z pytiem o pukty procetowe. Tu ie wystrczy odjąć jedej wrtości procetowej od drugiej. Wrtości procetowe, trktujemy jk liczby i ukłdmy proporcję. Mmy do czyiei z trzecim typem zdń z procetmi (wrtość podstwow wrtość porówyw). Wrtością podstwową w zdiu jest %, wrtością porówywą %. % % % x% % % x % % Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Aby obliczyć różicę puktów procetowych, odejmujemy większą wrtość procetową od miejszej. Tu leży jeszcze ziterpretowć wyik. Jeżeli głosy Tomk ozczoo jko %, głosy Ksi w rezultcie wyoszą % w porówiu do głosów Tomk, to zczy, że otrzymł o % głosów więcej. % - % % Odpowiedź: Ksi otrzymł o % głosów więcej od Tomk.. ZBIORY I PRZEDZIAŁY. Pojęcie zbioru/przedziłu i sposoby ich przedstwii Zbiór przedstwi grupę kokretych liczb. Zpis zbioru skłd się z jego zwy (zbiory ozczmy dużymi litermi) orz jego elemetów zpisych w klmrze. Poszczególe elemety zbioru oddzielmy przecikmi lub średikmi. Do zbioru leżą cztery zpise w klmrze liczby:,,,. A,,, Przykłd: { } Zbiory dzielimy : - skończoe, To zbiory, które mją skończoą liczbę elemetów. Przykłd tkiego zbioru zostł przedstwioy powyżej. - ieskończoe. To zbiory mjące ieskończoą liczbę elemetów. W przypdku tkiego zbioru, w klmrze zpisujemy kilk pierwszych elemetów zbioru i trzykropek ozczjący, że zbiór ciągie się do ieskończoości. Przykłdem tkiego zbioru jest zbiór liczb turlych N + (cłkowitych dodtich): N + {,,,... } Do zbioru leżą wszystkie liczby cłkowite dodtie. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 9

11 Przedził ilustruje pewie zkres liczb. Przedziły liczbowe możemy przedstwić przy użyciu trzech podstwowych sposobów [przedstwimy je z pomocą przykłdu przedziłu zwierjącego liczby od - (łączie z -) do ieskończoości]: - z pomocą zków ierówości; < > Dl przykłdu: x miejszy większy miejszy większy lub rówy lub rówy - osi liczbowej; Gdy mmy pody przedził zpisy z pomocą zku ierówości, ustlmy kieruek przedziłu, zgodie ze zwrotem zku ierówości w przykłdzie przedził zwier się od mius - do ieskończoości. Możemy rówież zstosowć pewe uproszczeie. Zk ierówości jest jk grot strzłki, który wskzuje kieruek rysowi liii. Podto, leży ustlić czy kropk przy liczbie wyzczjącej jede z końców przedziłu, będzie zkolorow lub ie. Gdy liczb gricz leży do przedziłu (zk lub ), kropk będzie zkolorow; gdy ie leży do przedziłu (zk > lub <), kropk będzie pust. Dl przykłdu: - w wisie (do tego zpisu dążymy). Zpis przedziłu skłd się z ozczei iewidomej (x), zku, który odczytujemy: leży do orz przedziłu dwóch liczb lub liczby i ieskończoości/-ieskończoości. Altertywie przedził może być rówież zwy (ozczoy) dużą literą lfbetu. Gdy do zpisu przedziłu ie używmy zmieej x, le dużej litery lfbetu (p: A), zmist zku Є (leży do) używmy zku rówości (tk jk w zbiorch). Podto wis może być: okrągły ( ), gdy osi liczbowej kropk jest pust (czyt. przedził otwrty), co ozcz, że d liczb ie leży do przedziłu. UWAGA: Przy ieskończoości wis zwsze jest okrągły. trójkąty < > jeżeli osi kropk jest zkolorow (czyt. przedził domkięty), co ozcz, że d liczb leży do przedziłu. Dl przykłdu: x, ) Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Zk ierówości skierowy w prwo. Liczby zwierją się w zkresie od - do ieskończoości. - (mius ieskończoość) - ogriczoe, Są to przedziły, którego końce do dwie kokrete liczby. Przykłd: A, 8 - Przedziły dzielimy : Liczby mją być większe lub rówe od liczby - - łączie z -, dltego wybiermy zk, ie zk >. Zk ierówości, więc kropk jest zkolorow. (ieskończoość) Lewy wis trójkąty (domkięty), bo kropk w przykłdzie jest zkolorow (liczb - leży do przedziłu). Prwy wis okrągły (otwrty), bo przy ieskończoości zwsze jest otwrty. - ieogriczoe. Są to przedziły, w których jede z końców to ieskończoość lub mius ieskończoość. Przykłd: C, ). Precyzowie zbiorów/przedziłów zpisych z pomocą formuły logiczej W zdich zbiory i przedziły są często przedstwioe w brdziej skomplikowy sposób, z pomocą formuły logiczej. Nleży wtedy uprościć zpis dego zbioru/przedziłu, iterpretując pode wruki i określjąc jego zwrtość. Przykłd. { x C: x } A < W klmrze mmy zpise dw wruki (rozdzieloe dwukropkiem): - x Є C (liczby cłkowite); - x < (liczby z zkresu, łączie z, le bez ). A {,,,, 7, 8, 9} LICZBY SPEŁNIAJĄCE OBA WARUNKI:,,,, 7, 8, 9. Poiewż ob wruki spełi kilk liczb, używmy zpisu zbioru. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

12 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Przykłd. A { x R : x< 7} W klmrze mmy zpise dw wruki (rozdzieloe dwukropkiem): - x Є R (liczby rzeczywiste); - x < 7 (liczby miejsze od 7 bez 7) A (, 7) LICZBY SPEŁNIAJĄCE OBA WARUNKI: liczby z zkresu od mius ieskończoości do 7 (wyłączjąc liczbę 7). Poiewż ob wruki spełi zkres liczb, używmy zpisu przedziłu.. Dziłi zbiorch/przedziłch Opertory: - zwier się w - sum - części wspól \ - różic - zwier się w - ozcz że jede zbiór/przedził zwier się w drugim. Przykłd: De są zbiory: A {,,, } B {,,,,,,, } Możemy stwierdzić, że zbiór A zwier się w zbiorze B, poiewż wszystkie elemety ze zbioru A zjdują się rówież w zbiorze B. Zpisujemy to przy pomocy przedstwioego symbolu: A B UWAGA: Gdy jede zbiór/przedził ie zwier się w drugim, stosujemy symbol przekreśloego zku zwier się w": A B Koleje trzy zki reprezetują określoe dziłi zbiorch/przedziłch. W przypdku przedziłów, dl ułtwiei rysujemy ob osi. - zbiorów, to owy zbiór zwierjący jedocześie elemety obu zbiorów. Przykłd: A B A B {,,, } {,,,, } Sumą zbiorów A i B jest zbiór, zwierjący elemety obu zbiorów. {,,,,,, } - sum: - przedziłów, to przedził łączący ob przedziły. Po rysowiu przedziłów osi, kreskujemy ob przedziły. Przykłd: A, 8 B (, ) Zzczmy ob przedziły wspólej osi. Sum przedziłów A i B to ob przedziły łączie. Kreskujemy więc ob przedziły. Odczytujemy zkreskowy przedził: A B, ) - zbiorów, to owy zbiór zwierjący elemety, zjdujące się jedocześie w pierwszym i drugim zbiorze. A Przykłd: B A B {,,, } {,,,, } Częścią wspólą zbiorów A i B jest zbiór zwierjący elemety, leżące jedocześie do zbioru A i B (-, -). {, } UWAGA: Zbiory iemjące części wspólej, zywmy zbiormi rozłączymi. - części wspól - przedziłów, to przedził będący wspólym frgmetem obu przedziłów. Przykłd: A, 8 B (, ) Zzczmy ob przedziły wspólej osi. Część wspól przedziłów A i B to ich wspóly frgmet. Kreskujemy więc frgmet od do 8, bo leży jedocześie do obu przedziłów. Odczytujemy zkreskowy przedził: A B (, 8 Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

13 - zbiorów, to zbiór zwierjący elemety pierwszego zbioru, które ie zjdują się w drugim zbiorze. Przykłd: A \ B A B {,,, } {,,,, } {, } Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Różic zbioru A i B, to te elemety pierwszego zbioru, które leżą tylko do zbioru A (-, -). Liczby: - orz - leży wykluczyć, bo leżą jedocześie do zbioru B. \ - różic - przedziłów, to przedził zwierjący te frgmet pierwszego przedziłu, który ie leży do drugiego przedziłu. Przykłd: A, 8 B (, ) Zzczmy ob przedziły wspólej osi. Różic przedziłów A i B, to te frgmet przedziłu A (od - do ), który ie zwier się jedocześie w przedzile B. Różic zbioru B i A, to te elemety, które leżą tylko do zbioru B (,, ). Liczby: - orz - leży wykluczyć, bo leżą jedocześie do zbioru A. B \ A {,, } UWAGA Mjąc do czyiei z różicą przedziłów w pukcie, w którym zczy się drugi przedził (który jest jedocześie jedą z gric rozwiązi), wis wybiermy przeciwie, iż wskzuje to kropk! Odczytujemy zkreskowy przedził: A \ B, W zdich dotyczących dziłń zbiorch i przedziłch, możemy trfić przypdki, w których rozwiąziem jest zbiór pusty, zbiór liczb rzeczywistych lub których rozwiąziem ie jest jede przedził. Wszystkie przypdki, jkie możemy trfić, są omówioe szej stroie: Przykłd: Sum przedziłów (,, B (, ) A jest zbiorem liczb rzeczywistych (R). Zzczmy ob przedziły wspólej osi. Sum przedziłów A i B to ob przedziły łączie. Kreskujemy więc ob przedziły. Zkreskowy jest cły przedził liczb, od mius do plus ieskończoości. Mmy więc do czyiei ze zbiorem liczb rzeczywistych.. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA A B R WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA): x x - x dl x dl x<. Istot wrtości bezwzględej Większość wzorów dotyczących wrtości bezwzględej, zmieszczoych w tblicch mtemtyczych, ie jest istot dl ucziów zdjących egzmi poziomie podstwowym. Te, który uwzględiliśmy i zmieściliśmy w rmce powyżej, jest w rzeczywistości opisem istoty wrtości bezwzględej i ie wykorzystujemy go w sposób, jk to robimy z iymi wzormi. Wrtość bezwzględ: - z liczb dodtich, ie zmiei ich zku, - z liczb ujemych, zmiei ich zk przeciwy. Przykłdy:, Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

14 . Zpis wyrżeń z pomocą wrtości bezwzględej Wyrżeie możemy zpisć z pomocą wrtości bezwzględej, gdy m postć:, bo wtedy możemy wykorzystć wzór: Przykłdy: (przedstwioy zostł w pierwszym rozdzile: stro )., ( x z) x z Niektóre wyrżei leży jedk jpierw przeksztłcić do postci: W przypdku liczb jest to stosukowo proste. Przykłd: 9 W przypdku wyrżeń lgebriczych, musimy je jpierw przeksztłcić z pomocą wzorów skrócoego możei. Mow tu tylko o dwóch wzorch: + b + b+ b, b b+ b, z których korzystmy oczywiście w ( ) ( ). drugą stroę (podrozdził.). Przykłd: + ( ). Opuszczie wrtości bezwzględej wyrżeń (z pierwistkmi, ze zmieą x ) Wykoujemy dwie czyości: Ustlmy zk wyrżei, Opuszczmy zk wrtości bezwzględej zgodie z ustloym zkiem: - gdy wyrżeie jest dodtie, po opuszczeiu wrtości bezwzględej, przepisujemy je bez zmi, - gdy wyrżeie jest ujeme, po opuszczeiu wrtości bezwzględej, zmieimy wszystkie zki. Wyrżei z pierwistkmi (iewymiere) Wyrżei ze zmieą x Ustlmy zk wyrżei. Szcujemy jki zk miłby wyik dziłi, gdybyśmy mogli je wykoć. Przykłd: - pierwistek z dwóch dje wrtość miejszą iż, co po przemożeiu przez, dłoby wrtość miejszą od. W związku z tym wrtość dodti ( ) jest miejsz od wrtość ujemej (-), dltego wyik byłby ujemy. WYRAŻENIE UJEMNE Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Oprócz smego wyrżei pojwi się przedził, do którego leży x. Aby ustlić zk wyrżei, jprostszym sposobem jest obliczeie wrtości wyrżei dl wybrej wrtości x (musi leżeć do przedziłu). Przykłd: x+ 8 dl x (, Wybiermy przykłdowy x z przedziłu my wybrliśmy liczbę. Obliczmy wrtość wyrżei dl wybrej liczby: Wyik okzł się dodti, co ozcz, że wyrżeie dl podego przedziłu jest dodtie. WYRAŻENIE DODATNIE Opuszczmy zk wrtości bezwzględej zgodie z ustloym zkiem. Poiewż wrtość wyrżei okzł się ujem, opuszczjąc wrtość bezwzględą, zmieimy wszystkie zki. + Poiewż wrtość wyrżei okzł się dodti, opuszczjąc wrtość bezwzględą, ie zmieimy zków. x + 8 x + 8. Rówi z wrtością bezwzględą Omówioe poiżej metody służą do rozwiązywi typowych rówń, to zczy tkich, w których po prwej stroie zjduje się liczb dodti. Istieją dwie metody ich rozwiązywi. Pierwsz z ich (iterpretcj grficz) dje się jedyie do rozwiązywi rówń, w których x m współczyik liczbowy (czyli przed x ie m żdej liczby i mius). Drug metod dje się do wszystkich typowych rówń. Obie metody przedstwimy przykłdch: Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

15 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Iterpretcj grficz Przykłd: x + I. Rysujemy oś liczbową i zzczmy iej liczbę zwrtą w wyrżeiu, umieszczoym w wrtości bezwzględej, le ze zmieioym zkiem. x + W wrżeiu mmy liczbę, dltego osi zzczmy liczbę: - (pmiętjmy o zmiie zku). Metod obliczeiow Przykłd: x Metod poleg rozwiąziu dwóch rówń, rozdzieloych słowem lub lbo zkiem zstępującym to słowo v. W efekcie otrzymujemy dwie liczby, które są rozwiąziem rówi: Pierwsze rówie przepisujemy bez zmi, omijjąc jedyie wrtość bezwzględą. W drugim rówiu zmieimy zk liczby po prwej stroie (zmist zpisujemy -). II. Szukmy dwóch liczb, których odległość od zzczoej osi liczby, rów się wrtości po prwej stroie rówi. N osi szukmy dwóch liczb, których odległość od - wyosi. x v x + x / x 7 v x x + x / x III. Zpisujemy rozwiązi łącząc je słowem lub lbo zkiem v. x 8 v x Uprszczie złożoych rówń. Czsmi rówi z wrtością bezwzględą są pode w miej przyjemej formie. Aby było możliwe ich rozwiązie (jedą z dwóch powyżej opisych metod), koiecze jest ich przeksztłceie, do postci, w jkiej pode były dotychczs przedstwioe rówi. Przykłd: x + + x x + Podstwow zsd podczs przeksztłci, to trktowie wrtości bezwzględej jko cłości i obliczie jej zgodie z regułmi przeksztłci rówń. Wrtość bezwzględą trktujemy jko cłość. Rówie przeksztłcmy w tki sposób, jkby cł wrtość bezwzględ wyosił x: x + x x x+ + x x+ x+ + 8 x+ + 8 x+ 8 x+ 8 x+ x+ 8 / Dodjemy wyrżei z wrtością bezwzględą ( x+ orz x+ ), tk jkbyśmy mieli do czyiei z wyrżeimi x i x: x+ + x+ 8 x+ Przeosimy wyrżei z wrtością bezwzględą lewo, liczby prwo (ze zmieioym zkiem). UWAGA - ie zmieimy zków wewątrz wrtości bezwzględej. Dodjemy wyrżei z wrtością bezwzględą ( x+ orz 8 x+ ), tk jkbyśmy mieli do czyiei z wyrżeimi x i -8x: x+ - 8 x+ x+ Dzielimy cłe rówie przez. Otrzymujemy rówie w odpowiediej formie. To rówie moż rozwiązć tylko metodą obliczeiową, przedstwioą w poprzedim pukcie.. Nierówości z wrtością bezwzględą Podobie jk w przypdku rówń mmy dwie metody dl typowych przypdków, (gdy po prwej stroie zjduje się wrtość dodti). Pierwsz metod tylko dl rówń o współczyiku x rówym, drug dl wszystkich rówń. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

16 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Iterpretcj grficz Przykłd: x I. Rysujemy oś liczbową i zzczmy iej liczbę zwrtą w wyrżeiu, umieszczoym w wrtości bezwzględej, le ze zmieioym zkiem. x II. Szukmy dwóch liczb, których odległość od zzczoej osi liczby, rów się wrtości po prwej stroie rówi. III. Zzczmy przedził lub przedziły. Mmy dwie możliwości: - gdy zk ierówość jest skierowy w prwo (>), to zzczmy dw przedziły: od mius ieskończoość do pierwszej liczby orz od drugiej liczby do ieskończoości; - gdy zk ierówości jest skierowy w lewo (<), to zzczmy jede przedził, łączący dwie wyzczoe liczby. IV. Odczytujemy przedził lub przedziły. (, 7 ) x, W wyrżeiu mmy liczbę -, dltego osi zzczmy liczbę: (pmiętjmy o zmiie zku). N osi szukmy dwóch liczb, których odległość od wyosi. Tu mmy do czyiei z pierwszą możliwością, bo zk ierówości jest skierowy w prwo ( ). Rysujemy więc dw przedziły: - od mius ieskończoości do liczby -, - od liczby 7 do ieskończoości. Poiewż rozwiąziem są dw przedziły, zpisujemy je ob, łącząc zkiem sumy. Metod obliczeiow Przykłd: x + < Metod poleg rozwiąziu dwóch ierówości. W efekcie otrzymujemy dwie liczby, które zzczmy osi liczbowej. Pierwszą ierówość przepisujemy bez zmi, omijjąc jedyie wrtość bezwzględą. x+ < x< x< x< / x+ > x> x> x> / Zzczmy przedził lub przedziły. Odbyw się to tej smej zsdzie, jk w przypdku metody dl prostszych przykłdów. Zzczmy uzyske liczby osi, stępie zzczmy przedził lub przedziły, zgodie z przedstwioą wcześiej regułą (dw przedziły, gdy zk ierówości jest skierowy w prwo; jede przedził, gdy zk ierówości jest skierowy w lewo). Odczytujemy przedził lub przedziły. x, ( ) W drugiej ierówości zmieimy zk liczby po prwej stroie (zmist zpisujemy -) i obrcmy zk ierówości. Tu mmy do czyiei z drugą możliwością, bo zk ierówości jest skierowy w lewo (<). Rysujemy więc jede przedził: od - do.. Specyficze przypdki rówń i ierówości (z zerem lub liczbą ujemą). Gdy po prwej stroie rówi lub ierówości z wrtością bezwzględą zjduje się liczb ujem lub zero, ie rozwiążemy ich przedstwioymi w poprzedich podrozdziłch metodmi. Musimy do ich podejść logikę. Przykłd: x + Obliczjąc wrtość bezwzględą, zwsze otrzymmy liczbę większą od zer lub rówą zero. Tk więc kżd liczb po podstwieiu z x będzie spełić tę ierówość. Rozwiąziem jest zbiór liczb rzeczywistych x R Wszystkie przypdki rówń i ierówości z wrtością bezwzględą, jkie możemy trfić, są omówioe szej stroie: : MATERIAŁ MATURALNY wrtość bezwzględ rówi ierówości Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

17 . PRZYBLIŻENIA. Przybliżeie z dmirem i iedomirem Przybliżeie z dmirem powstje, gdy podczs zokrągli liczby, zwiększmy osttią pozostwioą cyfrę o jede. Przykłd: Zokrąglmy liczbę,997 do pierwszego miejsc po przeciku.,997,. Błąd bezwzględy i względy przybliżei Błąd bezwzględy, to wrtość bezwzględ z różicy przybliżei i dej liczby. Wzór błąd bezwzględy m więc postć: b d liczb b przybliżeie liczby Przybliżeie z iedomirem powstje, gdy podczs zokrągli, ostti pozostwio cyfr ie zmiei się. Przykłd: Zokrąglmy liczbę,99 do drugiego miejsc po przeciku.,99,9 Błąd względy, pokzuje jką częścią dej liczby jest wrtość, o jką zmiejszyliśmy lub powiększyliśmy liczbę: b Przykłd: Zokrągliliśmy liczbę, do części dziesiętych:,,,, b, - błąd bezwzględy: b,, b, 7. FUNKCJE, - błąd względy: b,,,,, WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: GEOMETRIA ANALITYCZNA): Wektor: AB [ x x, y y ] B A B A 7. Wektor w ukłdzie współrzędych Wzór (zpisy powyżej) służy do obliczi współrzędych przesuięci wektor. Określją oe, o ile jedostek i w którą stroę leży wykoć przesuięcie w poziomie i w pioie, by z puktu zczepiei (A) dojść do puktu końcowego (B). A x, Pukt zczepiei (pukt początkowy wektor): ( y ) A A Pukt końcowy: B ( x, ) B y B Grficzie wektor w ukłdzie współrzędych m postć strzłki. Przykłd: A (, ); B (7, ) [ 7, ] [, ] AB Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Pierwszą cyfrę po przeciku () musieliśmy zwiększyć o jede, poiewż stęp cyfr był większ od (9). W efekcie liczb uległ zwiększeiu. Drugą cyfrę po przeciku () pozostwiliśmy bez zmi, poiewż zjdując się z ią cyfr jest miejsz od (). W efekcie liczb uległ zmiejszeiu o obciętą wrtość. Błąd względy może być wyrży w procetch: b % Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

18 7. Przyjęte ozczei orz sposoby prezetcji fukcji Ozczei przyjęte w opisie fukcji - Dziedzi (zbiór rgumetów): ozczmy z pomocą liter: x, X, D lub Df, - Zbiór wrtości: ozczmy z pomocą liter: y, Y, ZW, Zf lub zpisu f(x) (gdy zpisujemy wzór fukcji). Dziedzi i zbiór wrtości mogą, w zleżości od zkresu leżących do iego liczb, zostć przedstwioy z pomocą zbioru lub przedziłu, co przedstwimy przykłdch. Przykłd. Złóżmy, że do dziedziy leżą liczby: -,,,,, do zbioru wrtości leżą liczby,,,,. Mmy tu do czyiei ze zbiormi liczb. Dziedzię możemy zpisć kilk sposobów: {,,, } {,,, } {,,, } X, D, Df, Zbiór wrtości możemy zpisć: Y ZW Zf {,,,, } {,,,, } {,,,, } Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Przykłd. Złóżmy, że do dziedziy leżą liczby z zkresu od liczby - do ieskończoości (łączie z -), do zbioru wrtości liczby z zkresu od do (włączie z liczbą, le bez liczby ). Mmy tu do czyiei z przedziłmi liczb. Dziedzię możemy zpisć: x, ) X, ) D, Df, ) ) Zbiór wrtości możemy zpisć: y (, Y (, ZW (, Zf (, Njwżiejsze sposoby prezetcji fukcji Grf Sposób zy już z podstwówki, stosowy tylko dl fukcji, których dziedzią i zbiorem wrtości są skończoe zbiory liczb. Przykłd: Wykres Przykłd: Tbel Tk jk w przypdku grfu, tym sposobem możemy przedstwić tylko te fukcje, których dziedzią i zbiorem wrtości są skończoe zbiory liczb. Tbeli używmy często dl fukcji, które ie spełiją tego wruku, le jest to fukcj zledwie pomocicz (w tbeli zpisujemy współrzęde puktów, które obliczmy, by rysowć wykres fukcji). Przykłd: Wzór Zdecydow większość fukcji z jkimi mmy do czyiei, jest przedstwio w postci wzoru. Wzór fukcji może być przedstwioy dw sposoby, w zleżości od tego, jki symbol wykorzystmy do ozczei wrtości fukcji: y czy f(x). Przykłd: Fukcję o wzorze: x+, możemy zpisć: y x + f(x) x + Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 7

19 7. Określie dziedziy podstwie wzoru Jeżeli dziedzi ie jest z góry ogriczo do zbioru lub przedziłu, musimy smi stwierdzić czy leży do zbioru liczb rzeczywistych (R), czy istieją we wzorze dziłi, które ją ogriczją. Dziedzi fukcji będzie ogriczo w dwóch przypdkch: - gdy we wzorze pojwiją się pierwistki przystego stopi (drugiego, czwrtego ); Poiewż pod pierwistkiem przystego stopi, ie mogą pojwić się liczby ujeme, leży zpisć, że wyrżeie pod pierwistkiem musi być większe lub rówe zero, stępie rozwiązć otrzymą ierówość. Przykłd: f (x) x+ 8 Wyrżeie pod pierwistkiem (x + 8) powio być dodtie, czyli większe lub rówe zero. Zpisujemy ierówość: x+ 8 x 8 x / Wyik ierówości to przedził, który jest dziedzią szej fukcji. Df, ) - gdy zmie x pojwi się w miowiku jkiegoś ułmk. Wyrżeie w miowiku musi być róże od zer (poiewż ie moż dzielić przez zero). Zpisujemy więc ietypowe rówie z przekreśloym zkiem rówości. Przykłd: x x x x f (x) x x / Iterpretujemy otrzymy wyik. Ozcz o, że z dziedziy leży wykluczyć otrzymą liczbę. Df R \ We wzorze fukcji może pojwić się więcej ogriczeń iż jedo. Kżde ogriczeie leży rozptrzyć osobo. Dziedzi będzie częścią wspólą otrzymych przedziłów i zbiorów. x+ Przykłd: f (x) x + x 9 x x x+ x x / x 9 x x, ) x, ) x R \{ 9} Df, ) \{ 9} 7. Obliczie miejsc zerowego ze wzoru fukcji Aby obliczyć miejsce zerowe fukcji leży podstwić z y wrtość zero i rozwiązć otrzyme rówie. Otrzym liczb to miejsce zerowe. W zleżości od rodzju fukcji, możemy otrzymć róże rodzje rówń, co jest przedstwioe w rozdziłch dotyczących poszczególych typów fukcji. Przedstwimy tu jede przykłd, dl fukcji liiowej (stępy rozdził). y x x x / ( ) x Miejsce zerowe fukcji: x Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Rozwiąziem ierówości są liczby większe lub rówe -, dltego dziedzi fukcji, to przedził od - (domkięty) do ieskończoości. Wyrżeie w miowiku (x -) powio być róże od zer. Zpisujemy więc rówie z przekreśloym zkiem rówości: 9 { } Otrzymliśmy liczbę. Dziedzią jest więc zbiór liczb rzeczywistych (R) mius zbiór jedoelemetowy, zwierjący liczbę. Część wspól z dwóch powyższych przedziłów, to przedził od do ieskończoości. Trzecie ogriczeie, to wykluczeie liczby 9, co zpisujemy obok utworzoego przedziłu (\9). Podstwimy z y, wrtość i rozwiązujemy rówie. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 8

20 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 7. Odczytywie włsości fukcji z wykresu Powiiśmy potrfić określić jwżiejsze włsości: dziedzię fukcji, zbiór wrtości, przedziły mootoiczości, miejsc zerowe, pukty przecięci z osimi, rgumety, dl których fukcj jest dodti/ujem, 7 rgumety, dl których fukcj przyjmuje dą wrtość, 8 rgumety, dl których fukcj spełi dą ierówość, 9 sprwdzić czy dy pukt leży do wykresu fukcji, miimum i mksimum. Określie wymieioych włsości przedstwimy przykłdzie zmieszczoym po prwej. Dziedzią fukcji jest przedził lub przedziły w jkich rozciąg się wykres wzdłuż osi X: Dziedzi dl rozptrywego przykłdu, to dw przedziły: od -8 do - orz od - do. O ksztłcie wisu decydują kropki końcch frgmetów wykresu. D 8, ), ) Zbiór wrtości stowi przedził lub przedziły, w jkich rozciąg się wykres wzdłuż osi OY: Zbiór wrtości to jede przedził. N wykresie widć, że zbiór wrtości to zkres od - do. ZW (, Przedziły mootoiczości - zpisujemy przedziły, w których fukcj jest mlejąc (jej wykres ptrząc od lewej do prwej idzie w dół), rosąc (wykres idzie w górę) i stł (wykres jest poziomy). Nwisy dl rgumetów griczych, w których fukcj zmiei swoją mootoiczość są trójkąte: Zpisujemy przedziły, w których fukcj jest mlejąc. Tm gdzie wykresie kropk jest zkolorow (przy -8), wis jest trójkąty, tm gdzie jest pust (- orz ), wis jest okrągły, tm gdzie fukcj zmiei swoją mootoiczość (), wis jest trójkąty. f (x) w przedziłch 8, ) i, ) Zpisujemy przedził, w którym fukcj jest rosąc. Przy liczbie - wis jest trójkąty, bo kropk jest zkolorow. Przy liczbie, wis też jest trójkąty, bo jest to pukt, w którym fukcj zmiei swoją mootoiczość. f(x) w przedzile, Zpisujemy przedził, w którym fukcj jest stł. Przy obu liczbch ( orz ) wis jest trójkąty, bo są to pukty, w których fukcj zmiei swoją mootoiczość. f (x) w przedzile, Miejsce zerowe to rgumet (x), dl którego wrtość (y) wyosi zero. Określeie miejsc zerowego, sprowdz się do odczyti rgumetów (x) w puktch, w których wykres przeci oś odciętych (oś X). Tu mmy dw miejsc zerowe: x x 7 Pukty przecięci z osimi - osobo zpisujemy pukty przecięci z osią X i pukt przecięci z osią Y (zwsze jest tylko jede).pukty przecięci z osią X zjdują się w miejscch zerowych, opisych w poprzedim podpukcie. Pukt przecięci z osią Y zjduje się w miejscu, w którym wykres przeci oś Y. Pukty przecięci z osią X: (, ); (7, ) Pukt przecięci z osią Y: (, ) Argumety dl których fukcj jest dodti/ujem Argumety dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie: f(x) > Są to przedziły rgumetów (x), tych części wykresu, które zjdują się d osią X. Nwisy przy puktch leżących osi X, będą okrągłe, poiewż w tych puktch wrtość fukcji wyosi zero, chodzi m o wrtości dodtie (wyłączie większe od zer). Przy liczbie -8 wis jest trójkąty, poiewż kropk jest zkolorow. Przy liczbie -, wis jest okrągły, poiewż kropk jest pust. Przy liczbch orz 7 wisy są okrągłe, poiewż są to rgumety puktów, leżących osi X. f (x) > dl x 8, ) (, 7) Argumety dl których fukcj przyjmuje wrtości ujeme: f(x) < Są to przedziły rgumetów (x), tych części wykresu, które zjdują się pod osią X. f (x) < dl x, ) ( 7, ) Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 9

21 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 7 Argumety dl których fukcj przyjmuje dą wrtość. W zleżości od podej wrtości, rozwiązie może być: jedym rgumetem, kilkom rgumetmi, przedziłem rgumetów, jk rówież może się okzć, że dl dej wrtości ie m rozwiązń. Zilustrujemy to czterech przykłdch: f (x), f (x), f (x), f (x) Odczytujemy z wykresu rgumety (x), dl których wrtości (y) są rówe dej liczbie. Moż sobie to ułtwić przykłdjąc poziomo liijkę dej wysokości (czyli dl dej wrtości). Dl wrtości - istieje jede pukt wykresie o rgumecie 8,. f (x ) dl x 9, Dl wrtości - istieją dw pukty wykresie, o rgumetch orz 8. Rozwiąziem jest więc dwuelemetowy zbiór liczb. f (x) f (x) dl x dl x, { ; 8} Dl wrtości istieje przedził rgumetów (od do ) łączie z tymi wrtościmi griczymi (dltego wisy są trójkąte) orz dodtkowo rgumet -7,. Rozwiąziem jest więc sum przedziłu i jedoelemetowego zbioru. f (x) Brk rgumetów { 7,} N wykresie ie m żdego puktu o wrtości, dltego piszemy: brk rgumetów. 8 Argumety dl których fukcj spełi dą ierówość. Postępujemy podobie jk w wypdku określi rgumetów, dl których fukcj jest dodti lub ujem. Puktem odiesiei ie jest już jedk oś X, le poziom prost zjdując się wysokości zgodej z wrtością podą w ierówości. Nleży zwrócić podto uwgę zk ierówości. Co mmy myśli, przedstwimy porówując dwie brdzo podobe ierówości: f (x) <, f (x) Pomociczo możemy rysowć poziomą prostą wysokości - lub przyłożyć w tym miejscu liijkę. Nwisy dl puktów, przy których są kropki (- orz ), są zwsze zgode z tym, czy są oe zkolorowe lub ie. W przypdku rgumetów griczych ( orz 8), wis zleży jest od zku ierówości. Dl zku miejsze wisy są okrągłe, dl miejsze lub rówe wisy są trójkąte. f (x) < f (x) dl x dl x,, ) ( 8, ) 8, ) 9 Sprwdzeie czy dy pukt leży do wykresu fukcji. Wystrczy odleźć dy pukt w ukłdzie współrzędych i określić czy leży liich wykresu, czy ie. Przykłdy: Pukty: A(-, ), B(, ) Pukt A ie leży do wykresu fukcji. Pukt B leży do wykresu fukcji. Miimum i mksimum. Miimlą wrtość fukcji ozczmy jczęściej: f(x) mi lub y mi. Mksymlą wrtości ozczmy: f(x) mx lub y mx. Wrtość miiml to wrtość (y) jwyżej leżącego puktu wykresu, miiml puktu leżącego jiżej. Dodtkowo, oprócz smej wrtości wypd podć rgumet (x) lub przedził rgumetów, dl odczytej wrtości. Jeżeli mksimum lub miimum fukcji wypd w pukcie, w którym zjduje się pust kropk, miimum lub mksimum ie istieje. W jiżej położoym pukcie wykresu zjduje się pust kropk. Dltego brk miimum fukcji. Miimum fukcji: brk. Njwyżej położoy pukt wykresu m wrtość dl rgumetu (x) rówego -8. Mksimum fukcji: f(x) mx dl x Symetri puktu w ukłdzie współrzędych - względem osi X - współrzęd y zmiei zk przeciwy ( x się ie zmiei). - względem osi Y - współrzęd x zmiei zk przeciwy ( y się ie zmiei). - względem początku ukłdu, czyli puktu (,) - obie współrzęde puktu zmieiją zk. Przykłd: A (-, ). - względem osi X: A (-, -) - względem osi Y: A (, ) - względem początku ukłdu, czyli puktu (,): A (, -) Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

22 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 7.7 Trsformcje wykresu fukcji Rodzje trsformcji: przesuięcie o wektor, symetri względem osi X, symetri względem osi Y, symetri względem początku ukłdu współrzędych. Niezleżie od rodzju trsformcji, który mmy wykoć, skupimy się puktch kluczowych dl dego wykresu (pukty zgięci, końce fukcji). Posłużymy się przykłdowym wykresem. Kluczowe pukty są im zzczoe w iebieskich kółkch. W trkcie kżdej trsformcji przeosimy tylko pukty kluczowe, które stępie łączymy liimi. Przesuięcie o wektor Przesuwmy wszystkie pukty kluczowe o pode wrtości w poziomie i pioie, stępie je łączymy. Przykłd: Przesuiemy pody wykres fukcji o wektor : [-, ]. Kżdy pukt musimy przesuąć o jedostki w lewo (bo współrzęd x wyosi -) i o jedostek w górę (bo współrzęd y wyosi ). Symetri względem osi X - f(x) Mjąc do czyiei z podejściem grficzym, pukt symetryczy do dego względem jedej z osi ukłdu, zjduje się dokłdie po drugiej stroie osi (jk lustrze odbicie). Przeosimy więc wszystkie kluczowe pukty drugą stroę osi X. Symetri względem osi Y f(-x) Wygląd tk smo jk symetri względem osi X, z tą różicą, że de pukty przeosimy drugą stroę osi Y. Symetri względem początku ukłdu współrzędych - f(-x) Pukt symetryczy do dego względem początku ukłdu zjdziemy, rysując prostą (lub przykłdjąc liijkę), przechodzącą przez dy pukt i początek ukłdu współrzędych. Pukt symetryczy będzie zjdowł się tej prostej, po drugiej stroie, w tkiej smej odległości od początku ukłdu jk dy pukt. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

23 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 7.8 Rysowie fukcji w postci f(x ) + b To podejście jest wykorzystywe, gdy mmy wykres fukcji f(x), stępie poprzez jej przesuięcie w ukłdzie współrzędych, chcemy otrzymć wykres f(x ) +b. W rzeczywistości przeksztłceie, które mmy wykoć to przesuięcie fukcji f(x) o wektor: [, b]. Przykłd: Nrysujemy wykres fukcji: g(x) f(x + ). Nrysowie wykresu fukcji g(x), sprowdz się do przesuięci wykresu fukcji f(x) o wektor: [-, -], czyli o w lewo i w dół. UWAGA: pierwszą współrzędą zpisujemy z przeciwym zkiem! We wzorze mmy zpise: +, dltego pierwsz współrzęd będzie wyosić GEOMETRIA ANALITYCZNA (f. liiow, rówie okręgu) 8. Postci fukcji liiowej WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: GEOMETRIA ANALITYCZNA): Postć ogól: Ax + By + C Postć kierukow: y x + b We wzorch: A, B, C,, b to współczyiki liczbowe. Podto zywmy współczyikiem kierukowym. Przykłd: postć ogól x - y + ; postć kierukow: y -x + Zmi jedej postci drugą: postć ogól postć kierukow Przeosimy prwo wyrżeie z x orz liczbę. Gdy przed y zjduje się jkś liczb, leży jeszcze otrzyme rówie podzielić przez tę liczbę. Przykłd: x+ y+ Przeosimy wyrżeie z x orz liczbę prwo (pmiętjmy o zmiie zku). Dzielimy przez. y x y x / postć kierukow postć ogól Przeosimy wszystkie wyrżei lewą stroę i zpisujemy w określoej kolejości wymgej dl postci ogólej (wyrżeie z x wyrżeie z y liczb). Przykłd: x+ y y x+ Przeosimy wyrżei -x orz lewo (pmiętjmy o zmiie zków). Po prwej ie zostie ic, więc zpisujemy zero. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

24 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 8. Wykres i włsości fukcji liiowej Wykres Wykresem fukcji liiowej jest prost. Szczególym przypdkiem fukcji liiowej jest fukcj w postci: y x (współczyik b wyosi ), której wykres zwsze przechodzi przez początek ukłdu współrzędych pukt (,). Aby rysowć wykres fukcji liiowej, potrzebujemy trzech puktów, obliczych ze wzoru. Zzczmy je w ukłdzie współrzędych i łączymy prostą. Przykłd: y -x + Wybiermy smi rgumety (x), jlepiej jk jmiejsze (,,). x y Podstwimy kolejo wybre przez s rgumety (,, ) do wzoru i obliczmy wrtości (y): y -x + y - + y - + y - + Włsości (określe podstwie wzoru) I. Mootoiczość określmy z pomocą współczyik kierukowego fukcji (). - Gdy współczyik kierukowy - Gdy współczyik kierukowy - Gdy współczyik kierukowy () jest dodti ( > ), fukcj () jest ujemy ( < ), fukcj () wyosi, fukcj jest stł. jest rosąc. jest mlejąc. Przykłd: y Przykłd: y x - Przykłd: y -x+ II. Miejsce zerowe by obliczyć miejsce zerowe, z y podstwimy zero, co przedstwiliśmy już przykłdzie fukcji liiowej w podrozdzile 7.. III. Pukty przecięci z osimi Mjąc do dyspozycji wzór fukcji, szukmy: - puktu przecięci z osią X - podstwijąc z y wrtość i z tk powstłego rówi liczymy x (tk jk miejsce zerowe, bo grficzie miejsce zerowe jest w pukcie przecięci z osią x). Przykłd: y x + x+ x Pukt przecięci z osią x m więc współrzęde: (-,). x - puktu przecięci z osią Y podstwimy z x wrtość i liczymy z powstłego rówi y. Przykłd: y x + y + Pukt przecięci z osią y m więc współrzęde: (,). IV. Sprwdzeie czy dy pukt leży do wykresu fukcji. Aby sprwdzić czy dy pukt leży do wykresu fukcji, leży podstwić jego współrzęde do wzoru. Jeżeli lew stro okże się rów prwej, to dy pukt leży do wykresu fukcji. Przykłd: Sprwdzimy czy pukty: A (,); B (-,) leżą do wykresu fukcji: y x- ( ) 7 L P L P Pukt A leży do wykresu fukcji, pukt B ie leży. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

25 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 8. Rówi prostej Oprócz trdycyjych prostych, będących wykresem fukcji liiowej, którego rysowie przedstwiliśmy w poprzedim podrozdzile, istieją jeszcze dw typy prostych. Pierwsz z ich jest specyficzym przypdkiem fukcji liiowej jest to prost poziom, której wzór moż zpisć: y c gdzie c jest wrtością liczbową. Przykłd: y - Wykresem fukcji liiowej tego rodzju jest prost dej wysokości (tu wysokości: -). Drug prost ie jest wet fukcją jest to prost pioow, której wzór moż zpisć: x c, gdzie c jest wrtością liczbową. Przykłd: x Wykresem tkiego przyporządkowi jest prost, przechodząc przez dy rgumet osi X (tutj rgumet: ). 8. Wzjeme położeie prostych (wruek rówoległości i prostopdłości) WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: GEOMETRIA ANALITYCZNA): Dwie proste o rówich kierukowych UWAGA: N krcie wzorów mturlych są y x+ b y x+ b jeszcze umieszczoe wruki prostopdłości i rówoległości dl postci ogólej. Zlecmy spełiją jede z stępujących wruków: jedk skupić się wrukch dl postci - są rówoległe, gdy kierukowej, przedstwioych po lewej i które omwimy w dlszej części - są prostopdłe, gdy podrozdziłu. W zdich, w których musimy określić wzjeme położeie prostych, możemy się spotkć z dwiem sytucjmi: I Żd prost ie jest poziom i pioow (y c, lbo x c podrozdził 8.). Aby określić wzjeme płożeie prostych, sprwdzmy po kolei, cztery możliwe ewetulości: ) Czy proste są rówoległe? ) Czy proste się pokrywją? W rmce powyżej przedstwioy jest wruek Dwie proste się pokrywją, gdy ich wzory w rówoległości prostych. Wyik z iego, że dwie postci kierukowej są idetycze: proste są rówoległe, gdy ich wzory mją te Przykłd: sm współczyik kierukowy (). l: y x+ Przykłd: l: y x+ k: y x+ Proste k orz l się pokrywją. k: y x Proste k orz l są rówoległe ( l k). Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

26 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie ) Czy proste przeciją się pod kątem prostym? Wruek prostopdłości krcie wzorów, jest przedstwioy:.brdziej proziczie : dwie proste są prostopdłe, gdy ich współczyiki kierukowe mją przeciwe zki i są w stosuku do siebie liczbmi odwrotymi. Przykłd: l: y x k: x y Proste k orz l są prostopdłe ( l k). ) Czy przeciją się pod iym kątem? Tej ewetulości ie trzeb w ogóle rozptrywć. Proste przeciją się pod kątem iym iż prosty, gdy ie zchodzi żd z trzech pierwszych ewetulości. Przykłd: l: y x k: y 7x+ Proste ie są rówoległe, ie pokrywją się i ie są prostopdłe. W związku z tym muszą się przecić w jedym pukcie, pod ktem iym iż prosty. Proste k orz l przeciją się w jedym pukcie pod kątem iym iż prosty. II Przyjmiej jed z dwóch prostych jest poziom lub pioow (y c, lbo x c 8.). Wystrczy pmiętć, że prost: - w postci y c jest poziom (p. y ); - w postci x c jest pioow (p. x -). W związku z powyższym: ) Proste poziom i pioow są prostopdłe (p. x orz y 7). ) Dwie proste poziome są rówoległe (p. y orz y -), jk rówież dwie proste pioowe są rówoległe (p. x - orz x ). ) Gdy mmy prostą poziomą lub pioową orz stdrdową prostą: y x + b (p. x - orz y x + ), de proste przeciją się w jedym pukcie pod kątem iym iż prosty. 8. Pukt wspóly dwóch prostych Współrzęde puktu wspólego dwóch prostych (puktu przecięci prostych) obliczymy rozwiązując ukłd rówń złożoy z tych prostych. y x+ y x+ 9 x+ y / ( ) x+ y 9 x y x+ y 9 + x y+ x+ y + 9 7x 7 x / 7 Pukt wspóly prostych: (, ). Wybrliśmy metodę przeciwych współczyików. + y 9 + y 9 y 9 y Metody rozwiązywi ukłdu rówń stroie: : PODSTAWY ukłdy rówń x y 8. Określie wzoru prostej. WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: GEOMETRIA ANALITYCZNA): Rówie kierukowe prostej o współczyiku, któr przechodzi przez pukt P (x, y ): y (x x ) + y Rówie prostej, któr przechodzi przez dw de pukty A (x A, y A ), B (x B, y B ): ( y y )( x x ) ( y y )( x x ) A B A B A A Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

27 Mjąc dy współczyik kierukowy i pukt lub mjąc de dw pukty. Korzystmy ze wzorów z tblic mtemtyczych (rmk ze wzormi poprzediej stroie). Mjąc dy współczyik kierukowy i pukt Mjąc de dw pukty Korzystmy z drugiego wzoru. Przykłd: Określimy wzór prostej przechodzącej przez pukty: Korzystmy z pierwszego wzoru. Przykłd: Określimy wzór prostej o współczyiku kierukowym, przechodzącej przez pukt (, 7). de: x A -, y A, x B, y B (-, ) orz (, ). de:, x, y 7 y y x x y y x x (x x ) + y y (x ) + 7 y x + 7 y x+ y Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie ( A )( B A) ( B A)( A) ( y )( ( ) ) ( )( x ( ) ) ( y )( + ) ( x+ ) ( y ) x y x y x y x+ y x+ 7 UWAGA: Mjąc de dw pukty, możemy obliczyć wzór prostej w oprciu o pierwszy wzór. Njpierw musimy jedk obliczyć współczyik kierukowy, korzystjąc z dodtkowego wzoru. Pmiętjmy, że ie jest o zmieszczoy w tblicch mtemtyczych, dostępych podczs mtury: y x B B y x A A Mjąc dy wzór prostej, do której szuk prost jest prostopdł lub rówoległ orz jede pukt. Przedstwimy przykłdzie: określimy wzór prostej prostopdłej do prostej k: y x, jeżeli przechodzi przez pukt A (-, ) I. Korzystmy tutj z wruku rówoległości II. Korzystmy ze wzoru: lub prostopdłości (podr.8.), by ustlić y (x x ) + y wrtość współczyik kierukowego (). Szuk prost m być prostopdł do prostej: y x -. Z wruku prostopdłości wyik, że współczyik kierukowy szukej prostej m być liczbą jedocześie odwrotą i przeciwą do liczby, czyli: y (x+ ) + y x + y x+ 8.7 Zdi z prmetrem Zdi związe z mootoiczością. Może tu pojwić się poleceie o zbdie mootoiczości fukcji ze względu dy prmetr (jest to zmie ozczo młą literą lfbetu p. m, p ) lub brdziej kokrete pytie: dl jkiej wrtości prmetru d fukcj jest rosąc/mlejąc/stł. Przypomimy: fukcj jest rosąc, gdy > ; mlejąc, gdy < ; stł, gdy. Obliczie wrtości prmetru przedstwimy przykłdzie: Zbdmy mootoiczość fukcji: y (m )x, w zleżości od wrtości prmetru m. UWAGA: Współczyik kierukowy, to cłe wyrżeie przed x, czyli: m. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

28 Gdy w zdiu pojwi się zwrot zbdj mootoiczość musimy rozwżyć wszystkie trzy możliwości: Dl jkiej wrtości prmetru m fukcj jest rosąc? Skoro fukcj jest rosąc, gdy >, zpisujemy: Dl jkiej wrtości prmetru m fukcj jest mlejąc? Skoro fukcj jest mlejąc, gdy <, zpisujemy: Dl jkiej wrtości prmetru m fukcj jest stł? Skoro fukcj jest stł, gdy, zpisujemy: m > m> / m> m (, ) f (x) dl m (, ) m < m< / m< m (, ) f (x) dl m (, ) UWAGA: Możemy trfić brdziej złośliwe przykłdy. Przykłd: mx+ 8x y+ y mx 8x y mx+ x+ y (m+ )x+ / ( ) m m / m f (x) dl m Terz możemy określić (m + ) i postępowć dlej, tk jk przedstwiliśmy to wcześiej. Zdi związe z wrukiem prostopdłości i rówoległości. Tu mmy do czyiei z dwiem prostymi. Odpowidmy pytie: dl jkiej wrtości prmetru de proste są rówoległe/prostopdłe. Przykłd: Dl jkiej wrtości prmetru m, proste l: y (m-)x + orz k: y -x - 7, są rówoległe, dl jkiej prostopdłe? Wruek rówoległości dl postci kierukowej mówi, że współczyiki kierukowe prostych muszą być rówe. Zpisujemy więc: m m + m Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Po pierwsze, fukcję leży przeksztłcić do postci kierukowej. Mmy dw wyrżei z x. Aby określić współczyik kierukowy (), leży uzyskć tylko jedo wyrżeie z x. W tym celu leży wystwić x przed wis (tutj zpisujemy x z wisem). Wruek prostopdłości dl postci kierukowej mówi, że współczyiki kierukowe prostych muszą mieć przeciwe zki i być w stosuku do siebie liczbmi odwrotymi. Zpisujemy więc: m m + Odpowiedź: Proste l orz k są rówoległe dl m -, prostopdłe dl m. Współczyik jedej prostej (m ) musi być rówy współczyikowi, jki powstie po obróceiu i zmiie zku współczyik drugiej prostej (-). 8.8 Wzory: długość odcik, środek odcik, odległość puktu od prostej WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: GEOMETRIA ANALITYCZNA): Długość odcik o końcch w puktch A (x A, y A ), B (x B, y B ): AB (x x ) + (y y ) B A B A Współrzęde środk odcik: x A + x B ya + y, B Odległość puktu P (x, y ) od prostej o rówiu: Ax + By + C jest d wzorem: d Ax + By A + B + C Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 7

29 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Długość odcik Obliczymy długość odcik o końcch: A (-9, ), B (, -): Do wzoru długość odcik podstwimy współrzęde obu puktów: x A -9, x B, y A, y B -: AB ( ( 9) ) + (( ) ) AB ( + 9) + ( ) AB + ( ) AB + AB 9 AB Współrzęde środk odcik Obliczymy współrzęde środk odcik o końcch: A (-, 9), B (, ). Podstwimy współrzęde obu puktów do wzoru współrzęde środk odcik: x A -, x B, y A 9, y B S S + 9+,, S (, ) Odległość puktu od prostej Aby obliczyć odległość puktu od prostej, korzystjąc ze wzoru, prost musi być zpis z pomocą postci ogólej (podrozdził: 8.). Korzystmy ze wzoru odległość puktu od prostej: Ax d + By A + B + C Przykłd: k : x y, A (, ) A, B orz C, to współczyiki dej prostej z jej postci ogólej. x orz y to współrzęde dego puktu. + ( ) 8 d + ( ) + Podstwimy współczyiki prostej i współrzęde puktu do wzoru. 8.9 Rówie okręgu WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: GEOMETRIA ANALITYCZNA): Rówie okręgu o środku w pukcie S (, b) i promieiu r > : ( x ) + ( y b) r lub: x y x by+ c Musimy usuąć iewymierość z miowik. + gdy r + b c > Postć koicz ( x ) + ( y b) r Przykłd: ( x ) + ( y+ ) 9 Środek okręgu m współrzęde: S (, b) Promień okręgu okręgu jest rówy r. Uwżjmy jedk, bo wrtość po prwej stroie rówi okręgu, to ie promień sm w sobie, le promień podiesioy do kwdrtu. S (, ) r r r 9 9 UWAGA: Zki obu współrzędych są przeciwe, do zków wrtości zjdujących się we wzorze! Po prwej stroie zjduje się wrtość 9, co ozcz, że promień do kwdrtu wyosi 9. Aby uzyskć promień, leży więc tę wrtość spierwistkowć. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 8

30 Wykres W pierwszej kolejość zzczmy w ukłdzie współrzędych środek okręgu. Nstępie rozwiermy óżki cyrkl zgodie z wrtością promiei (tu odległość jedostek) i szkicujemy okrąg. Dl rozptrywego przykłdu Postć ogól x + y x by+ c - gdy mmy z ią do czyiei, w pierwszej kolejości przeksztłcmy rówie do postci koiczej, którą przedstwiliśmy wcześiej. Przykłd: x + y x+ y+ Zmi postć koiczą Aby zpisć de rówie z pomocą postci koiczej, leży obliczyć trzy wielkości występujące w tej postci, czyli, b orz r. ) W pierwszej kolejości obliczmy i b ) Obliczmy r zgodie ze wzorem: zgodie z rówościmi: r + b c - liczb przed x -b liczb przed y Dl przykłdu: Dl przykłdu: r + ( ) 9+ 9 / ( ) b / ( ) r 9 b ) Zpisujemy wzór z pomocą postci koiczej: podstwimy, b orz r do wzoru. ( ) ( ) x + y b r Dl przykłdu: ( x ) + ( y+ ) 9 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 9. FUNKCJA KWADRATOWA (rówi i ierówości kwdrtowe) 9. Postć ogól (wyróżik, miejsc zerowe, wierzchołek prboli) WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: FUNKCJA KWADRATOWA): Postć ogól fukcji kwdrtowej: f (x) x + bx+ c,, x Є R b c Wyróżik: Miejsc zerowe: - jeżeli <, to fukcj ie m miejsc zerowych, - jeżeli, to fukcj m jedo miejsce zerowe: - jeżeli >, to fukcj m dw miejsc zerowe: Wierzchołek wykresu fukcji kwdrtowej (prboli): x x b UWAGA: Zzwyczj jedo miejsce zerowe jest ozcze: x b b+ x x b p q Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 9

31 Przykłd fukcji kwdrtowej zpisej z pomocą postci ogólej: f (x) x + x+ Współczyiki, b i c dej fukcji wyoszą: -, b, c. Wyróżik, miejsc zerowe orz współrzęde wierzchołk wykresu fukcji obliczmy, korzystjąc z przedstwioych w rmce wzorów. Dl przedstwioego przykłdu: Wyróżik: b c ( ) 9+ Miejsc zerowe: x b+ + + b x ( ) ( ) Wierzchołek prboli: b p ( ) q ( ) 9. Postci fukcji kwdrtowej Oprócz postci ogólej, przedstwioej w poprzedim podrozdzile, istieją jeszcze dwie postci fukcji kwdrtowej. WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: FUNKCJA KWADRATOWA): + Postć koicz fukcji kwdrtowej: f (x) ( x p) q Postć iloczyow fukcji kwdrtowej: f (x) ( x x )( x ) x Podto gdy fukcj kwdrtow m jedo miejsce zerowe, postć iloczyow m wzór: f (x) ( x x ) (tego wzoru ie zjdziemy jedk krcie wzorów mturlych), gdy fukcj ie m miejsc zerowych, to ie możemy jej zpisć z pomocą postci iloczyowej. Zmi jedej postci ią Z postci ogólej : - postć iloczyową Obliczmy miejsc zerowe i podstwimy ich wrtości orz współczyik do odpowiediej formy postci iloczyowej. Przykłd: y x + x 9 b c ( 9) b+ + x x b f (x) (x x)(x x ) f (x) (x )(x ( )) f (x) (x )(x+ ) >, dltego mmy dw miejsc zerowe: Poiewż mmy dw miejsc zerowe, wybiermy pierwszą formę wzoru postci iloczyowej: Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie - postć koiczą Obliczmy współrzęde wierzchołk prboli (p i q), stępie podstwimy otrzyme wrtości orz współczyik do wzoru postci koiczej. Przykłd: f (x) x + x b c ( ) ( ) b p ( ) ( ) q ( ) f (x) (x p) + f (x) (x ) f (x) (x ) q + ( ) UWAGA: Wzory p, q, x orz x są zmieszczoe w poprzediej rmce (rozdził 9.). Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

32 Zmi postć ogólą: Aby zmieić postć koiczą lub iloczyową ogólą, leży wykoć wszystkie dziłi i uszeregowć wyrżei w odpowiediej kolejości (wyrżei z x, wyrżeie z x, liczb). Przykłdy: f (x) f (x) f (x) (x ) x (x ) - zmieimy postć ogólą: (x x+ 8 8x+ ) Zmi z postci koiczej iloczyową (i odwrotie). Nie wykomy bezpośrediej zmiy między tymi dwiem postcimi. Musimy w pierwszej kolejości otrzymć postć ogólą, stępie z ogólej dokoć zmiy postć iloczyową/koiczą, tk jk przedstwiliśmy to wcześiej. 9. Wykres fukcji kwdrtowej (prbol) Istieją dw sposoby rysowi dokłdego wykresu fukcji. SPOSÓB I. W oprciu o kilk kluczowych puktów. Potrzebujemy pięciu puktów: ) wierzchołek prboli, ) pukty przecięci z osią X (pukty dl miejsc zerowych), ) prę dodtkowych puktów miimum dw jede dl jkiegoś rgumetu położoego lewo od miejsc zerowych, drugi położoy prwo. UWAGA: Gdy fukcj ie m miejsc zerowych lub istieje tylko jedo miejsce zerowe, potrzebujemy miimum dwóch puktów lewo od wierzchołk i dwóch puktów prwo. Bezpośredio, wszystkie wymieioe elemety możemy uzyskć z postci ogólej. Pozostłe postci (iloczyow i koicz) mją też pewe zlety, jedk i tk koiecz okzuje się zmi postć ogólą, co przedstwimy w dlszej części podrozdziłu. Nstępie osimy pukty w ukłdzie współrzędych i łączymy liią w ksztłcie prboli. Przykłd: y x x + 8 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie ) Obliczmy współrzęde wierzchołk: b c ( ) ( ) 8 b ( ) p ( ) q 9 ( ) W (, 9) ) Obliczmy współrzęde puktów przecięci z osią X ( wyróżik jest dodti, więc mmy dw miejsc zerowe): x b+ ( ) + + ( ) b ( ) x ( ) Pukty przecięci z osią X: (-, ); (, ) ) Obliczmy dw dodtkowe pukty: - jede lewo od miejsc zerowych - wybrliśmy rgumet -; - drugi prwo od miejsc zerowych - wybrliśmy rgumet. y ( ) y ( ) Współrzęde puktów: (, -7), (-, -7) Nosimy pukty i łączymy liią w ksztłcie prboli. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

33 Gdy mmy wstępie podą postć iloczyową lbo koiczą: Postć iloczyow- dokłdy wykres prboli uzyskujemy w te sm sposób. Potrzebujemy tych smych kluczowych puktów. Różice: ) wierzchołek prboli. Współrzędych wierzchołk ie obliczymy bezpośredio z postci iloczyowej. W tym celu musimy zpisć wzór fukcji z pomocą postci ogólej, stępie Przykłd: korzystjąc z tej postci, obliczmy współrzęde y x+ wierzchołk, tk jk zostło to wcześiej przedstwioe. ) pukty przecięci z osią X (pukty dl miejsc zerowych). Nie musimy ich obliczć! Wystrczy je odczytć bezpośredio z wzoru w postci iloczyowej. Przykłd: y ( x )(x+ ) Pukty przecięci z osią X: (, ); (-, ) Postć koicz - dokłdy wykres prboli uzyskujemy w te sm sposób. Potrzebujemy tych smych kluczowych puktów. Różice: ) wierzchołek prboli. Nie obliczmy współrzędych wierzchołk fukcji kwdrtowej. Moż je bezpośredio odczytć ze wzoru: ( ) + W(-, ) ) pukty przecięci z osią X (pukty dl miejsc zerowych). Miejsc zerowych ie obliczmy bezpośredio z postci koiczej. W tym celu musimy zpisć wzór fukcji z pomocą postci ogólej, stępie korzystjąc z tej postci, obliczmy miejsc zerowe, tk jk zostło to wcześiej przedstwioe. SPOSÓB II. Poprzez przesuwie wykresu prostszej fukcji (tylko dl postci koiczej). Przykłd: y ( x+ ) ) Rysujemy wykres prostszej fukcji (pozbwioej współrzędych wierzchołk). y ( x+ ) y x Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie UWAGA liczby zpise w wisch to miejsc zerowe le ze zmieioym zkiem! x, x - Wykres fukcji kwdrtowej skłdjący się wyłączie z jedego wyrżei, jest prbolą, której wierzchołek zjduje się zwsze w początku ukłdu współrzędych: W (, ). Dodtkowo obliczmy po dw pukty, zjdujące się lewo i prwo od początku ukłdu współrzędych. Wybrliśmy: x - (-, -8), x - (-, -) x (, -), x (, -8) Zzczmy pukty w ukłdzie współrzędych i łączymy je liią w ksztłcie prboli: ) Przesuwmy wykres fukcji o wektor (podrozdził 7.8). y ( x+ ) Wektor przesuięci: [-, -] UWAGA współrzęd p będzie mił przeciwy zk do liczby zpisej w wisie, zk q się ie zmiei: p -, q. Pmiętjmy, by zmieić zk pierwszej współrzędej. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

34 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 9. Włsości fukcji kwdrtowej (D, ZW, mi/ mx, mootoiczość) TREŚĆ z tblic mtemtyczych (w dzile: FUNKCJA KWADRATOWA): Rmio prboli skierowe są do góry, gdy >, do dołu, gdy <. Dziedzią fukcji kwdrtowej jest zbiór liczb rzeczywistych: D R. Zbiór wrtości, miimum/mksimum, przedziły mootoiczości Do określei tych trzech włsości potrzebujemy współrzędych wierzchołk prboli. Oprócz tego, dl ułtwiei, dobrze rysowć sobie uproszczoy wykres. UPROSZCZONY WYKRES to tki, który rysujemy mjąc tylko jede pukt - wierzchołek orz bzując zsdzie umieszczoej w rmce czyli szkicując rmio skierowe w górę lub w dół. Mjąc do dyspozycji tki wykres, wymieioe włsości określmy, odczytując je z wykresu (podrozdził 7.). Przykłd: y x 8x Obliczmy współrzęde wierzchołk: b c ( 8) ( ) ( ) b ( 8) 8 p ( ) q ( ) Nosimy wierzchołek i rysujemy rmio prboli. Dl dej fukcji będą skierowe w dół, bo < (wyosi -). Odczytujemy włsości bzując wykresie: Zbiór wrtości ZW (, Przedziły mootoiczości f (x) w przedzile, ) f (x) w przedzile (, Miimum/mksimum Kokret fukcj kwdrtow, gdy ie m ogriczoej dziedziy, może mieć lbo miimum, lbo mksimum. Tutj mmy do czyiei z mksimum. Zpisujemy więc: f(x) mx dl x - 9. Rówi kwdrtowe Rówi kwdrtowe zupełe: Czyli rówi w pełej postci: x + bx + c Niektóre rówi możemy rozwiązć stosując wzory skrócoego możei (pierwszy lub drugi). Wrukiem jest oczywiście możliwość wykorzysti któregoś z wzorów (podrozdził:.). Przykłd: x x+ 9 Tu możemy wykorzystć drugi wzór skrócoego możei: ( + b) b +b (x ) Rozwiązujemy rówie, powstłe po pomiięciu potęgi. x x UWAGA! Rówie kwdrtowe musimy często jpierw uprościć wszystkie wyrżei muszą zjdowć się po lewej stroie, w kolejości od wyrżei z x do liczby. Przykłd: (x+ ) (x+ ) x(x ) x (x + x+ 9) x x x x 9 x 8x x x x x 8x+ x + x + x x x x Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

35 Uiwerslą metodą jest korzystie ze wzorów wyróżik orz miejsc zerowe fukcji kwdrtowej (podrozdził 9.). Liczb rozwiązń jest zleż od wyróżik, tk jk liczb miejsc zerowych fukcji kwdrtowej. Gdy wyróżik jest większy od zer mmy dw rozwiązi, rówy zero jedo rozwiązie, miejszy od zer brk rozwiązń. Przykłd: x 9x+ b c b+ ( 9) b ( 9) 9 9 x x Rówi kwdrtowe iezupełe - rówi: x Przykłd: x Rozwiąziem tego typu rówń (iezleżie od wrtości liczby stojącej przed x ) jest zwsze zero: x - rówi: x + bx Przykłd: x + x Njpierw leży wyłączyć x przed wis: x (x+ ) Rozwiązujemy dw rówi (otrzymujemy dw rozwiązi): x Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie x+ x x - rówi: x + c Przykłd: x Wykorzystujemy trzeci wzór skrócoego możei (podrozdził.) t metod ie zwsze może być wykorzyst. Wrukiem jest oczywiście zgodość zków ze wzorem skrócoego możei (lub gdy otrzymmy tkie zki możąc cłe rówie przez -). W przeciwym wypdku rówie ie m rozwiązń ( x ). x ( x+ )( x ) Rozwiązujemy dw rówi i otrzymujemy dw rozwiązi: x+ x x x x x 9. Nierówości kwdrtowe Nierówości kwdrtowe rozwiązujemy w dwóch etpch. Pełe rozwiązie przedstwimy przykłdzie: x + x I. Pierwszy etp, to wyzczeie miejsc zerowych, tk jkbyśmy rozwiązywli rówie kwdrtowe. + b c ( ) x x II Drugi etp, to zzczeie rozwiązi osi i odczytie przedziłów. ) Rysujemy oś i zzczmy iej miejsc ) Rysujemy prbolę brdzo przybliżoy zerowe (kropki mogą być zkolorowe lub ie, szkic. Istoty jest jedyie kieruek rmio prboli (rmk podrozdził 9.) lub - zkolorowe; > lub < - iezkolor.).. ) Zkreślmy odpowiedi obszr. Prbol może mieć dwie postci (rmio skierowe w dół lub w górę). N poiższych rysukch zzczyliśmy obszry dodtie (iebieski kolor) orz ujeme (żółty kolor) dl obu przypdków. Gdy mmy zk ierówości miejszy (<) lub miejszy lub rówy ( ), zkreślmy obszr ujemy. Gdy mmy zk ierówości większy (>) lub większy lub rówy ( ), zkreślmy obszr dodti. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

36 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Dl przykłdu: ) Odczytujemy rozwiązie. Są im przedził lub przedziły wyzczoe przez zkreśloy obszr. x (,, ) Nwisy przy liczbch (- i ) są domkięte (trójkąte), poiewż kropki w tych puktch są zkolorowe. Ie przypdki ierówości (z jedym rozwiąziem rówi lub z rówiem bez rozwiązń) Przykłd: x x < Otrzymmy jedo rozwiązie rówi: x - Rozwiąziem jest zbiór liczb rzeczywistych, wyłączjąc jedą liczbę (tu liczbę: -). Cł prbol zjduje się w obszrze ujemym (pod osią), oprócz jedego puktu dl x -, który zjduje się osi, co ozcz, że m wrtość. Poiewż rozwiąziem mją być wyłączie wrtości miejsze od zer, liczb - do iego ie leży.. WIELOMIANY x R \{ } Wszystkie przypdki ierówości kwdrtowych, jkie możemy trfić, są omówioe szej stroie: : MATERIAŁ MATURALNY fukcj kwdrtow ierówości kwdrtowe. Dziłi wielomich (stopień wielomiu) Wielomi to wyrżeie lgebricze z jedą zmieą (x), złożoą z sumy jedomiów, w którym x pojwi się z potęgą turlą (,, ). Wielomi ozczmy młą lub wielką literą lfbetu (jczęściej w ). Przykłd: w x x + x 8 Stopień wielomiu. Jest rówy jwyższej potędze, jk pojwi się w dym wielomiie. Ozczmy go: st (w) Przykłd: w x + x st (w) + x x 8 Dziłi wielomich Dziłi wielomich ie różią się w zsdzie iczym od dziłń, jkie wykoujemy iych wyrżeich lgebriczych. Przedstwimy je przykłdzie dziłń dwóch wielomich: w x x ; u x + x x x Pmiętjmy, że wyrżei w wielomiie leży uszeregowć od jwiększej do jmiejszej potegi. Dodwie wielomiów. Dodjemy wyrżei podobe. w+ u x x + x + x x x x + 7x x x Odejmowie wielomiów. Nleży pmiętć, by odejmując od siebie dw wielomiy, drugi zpisć w wisie (mius przed wisem zmiei m wszystkie zki). w u x x (x + x x x) w u x x x x + x + x x x + x Możeie wielomiów. W celu przemożei przez siebie dwóch wielomiów, ob musimy zpisć w wisie. Możeie wykoujemy zgodie z zsdmi dziłń wyrżeich lgebriczych, czyli możymy kżde wyrżeie przez kżde. w u (x w u 8x w u 8x 7 7 x + x x ) (x x x W wisie zpisujemy literę, którą ozczoy jest dy wielomi. x + x + x x x x x) x + x + 9x Opuszczmy wis (pmiętjmy o zmiie zków). + 8x + x x x + x + 8x Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

37 . Zdi z prmetrem Czyli: dl jkiej wrtości prmetrów, de wielomiy są sobie rówe? Przykłd: Dl jkiej wrtości prmetrów, b orz c pode wielomiy są sobie rówe: w ( + ) x x x + ; u 8x + bx x x c Zdi tego typu są dość łtwe do rozwiązi. Aby dw wielomiy były idetycze, muszą mieć tkie sme współczyiki liczbowe. Ukłdmy kilk rówń. Jedo rówie powstje poprzez przyrówie do siebie tych smych współczyików. Dl przedstwioego przykłdu, będziemy mieli trzy rówi Pierwszy prmetr () zjduje się przed x w pierwszym wielomiie, dltego przyrówujemy do siebie wyrżei zjdujące się przed x w obu wielomich, czyli: + orz b b c c / ( ). Rozkłd wielomiu czyiki Rozkłdjąc wielomi czyiki, mmy do dyspozycji kilk metod. O wyborze metody lub metod jkie zstosujemy, decyduje postć dego wielomiu. I. Wyłączie wspólego czyik przed wis (podrozdził.). WARUNEK: x musi pojwić się w kżdym wyrżeiu (jedomiie). Przykłd: w x + x x Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Drugi prmetr (b) zjduje się przed x w drugim wielomiie, dltego przyrówujemy do siebie wyrżei zjdujące się przed x w obu wielomich. UWAGA: skoro w pierwszym wielomiie ie m tkiego wyrżei, to zczy, że x wyosi oo! Mmy więc: orz b. Przed wis wyłączmy czyik złożoy z: - wspólego dzielik współczyików liczbowych (tutj ), - jiższej potęgi x (tutj x ). ( x + x ) Trzeci prmetr (c) to wrtość wyrżei liczbowego (bez x). Przyrówujemy do siebie tkie wyrżei z obu rówń: orz -c. Wyrżei w wisie ustlmy tk, że gdybyśmy przemożyli je przez czyik wyłączoy przed wis (x ), otrzymlibyśmy to co było początku. Przykłdowo: Drugie wyrżeie wyosi x bo x x x. II. Wykorzystie wzorów skrócoego możei w celu zmiy sumy iloczy (. i.). WARUNEK: wielomi musi mieć formę odpowidjącą któremuś ze wzorów skrócoego możei (odpowiedi liczb wyrżeń i odpowiedie zki). Przykłd: UWAGA: Liczb wyrżeń i zki sugerują możliwość wykorzysti ż dwóch wzorów piątego lbo szóstego: ( + b)( - b) - b ; - b ( - b)( + b +b ). Poiewż potęg dzieli się przez, wykorzystujemy drugi wzór. w 8x 7 ( x ) (x + x+ 9) - b ( - b)( + b +b ) Pierwsze wyrżeie to podiesioe do potęgi trzeciej. Jeżeli 8x, to x. Drugie wyrżeie to b podiesioe do potęgi trzeciej. Jeżeli b 7, to b. III. Zmi postć iloczyową fukcji kwdrtowej (podrozdził 9.). WARUNEK: Wielomi musi mieć postć trójmiu kwdrtowego. Przykłd: Ze wzorów obliczmy: ) wyróżik ; ) miejsc zerowe ) zpisujemy postć iloczyową: (x-x )(x-x ) lub (x-x ) (gdy ie m miejsc zerowych ie istieje postć iloczyow). w x x 8 ( ) + ( ) ( ) ( 8) x x w (x )(x+ ) Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

38 IV. Grupowie wyrżeń WARUNEK: Liczb wyrżeń musi być przyst (miimlie cztery wyrżei). Przykłd: w x w x w (x 8x x+ (x ) (x ) ) )(x ) Wielomi rozkłdmy ż do mometu, gdy w żdym wisie ie m zmieej x podiesioej do jkiejkolwiek potęgi. Podto, poz wismi jedyym dziłiem jkie może istieć, jest możeie. UWAGA! Przeksztłceie wielomiu do tej formy ie zwsze będzie dl s wykole. W tkim przypdku kończymy rozkłd wielomiu, gdy już ic więcej ie d się zrobić.. Rówi wielomiowe Aby rozwiązć rówie wielomiowe, leży wykoć dwie czyości: I. Rozłożyć rówie czyiki, tk jk to zostło przedstwioe w poprzedim podrozdzile. Przykłd: x x + x Po dokoiu rozkłdu czyiki otrzymmy: x (x )(x + ) II. Rozwiązć kilk rówń, przyrówując kżdy z czyików do zer. x (x )(x + ) x x x x x+ x Powyższe rówie wielomiowe m trzy rozwiązi: -,,. UWAGA: W przypdku rówń wielomiowych ie jest koiecze rozkłdie czyiki do smego końc. Wystrczy, że otrzymmy czyiki, które po przyrówiu do zer ddzą rówie możliwe do rozwiązi. Przykłd: x + x 8x 8 x (x+ ) 8(x+ ) (x 8)(x+ ) x 8 x x 8 x+ x Krotość rozwiązi jest rów potędze, do jkiej podiesioy jest czyik, z którego je otrzymliśmy. Przykłdowo: Rozkłdjąc czyiki wielomi w rówiu otrzymliśmy: x ) ) (x+ ) (x 8) x x+ x 8 x x x 8 krotość: krotość: krotość: Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Łączymy wyrżei w pry pierwsze z drugim wyrżeiem orz trzecie z czwrtym. Kżdą prę trktujemy jk osobe wyrżeie. Kżde z ich przeksztłcmy wyłączjąc czyik przed wis. UWAGA: Czsem mogą pojwić się problemy ze zkmi i w drugim wisie mogą pojwić się przeciwe zki. Dl wyelimiowi tego problemu, jlepiej wyłączie przed wis, przeprowdzić w kolejości: ) Wyłączmy czyik przed wis w pierwszej prze. ) Przepisujemy uzysky wis. ) Ustlmy czyik przed wisem dl drugiej pry (tutj będzie to -, poiewż: - x -x orz (-) (-). Zpisujemy dw wisy: pierwszy powstje poprzez zebrie wyrżeń przed wismi, drugi jest uzyskym, wspólym wisem.!!! Czsem koiecze jest przeksztłceie rówi do odpowiediej postci. Wszystkie wyrżei powiy zjdowć się po lewej stroie w odpowiediej kolejości (od jwiększej do jmiejszej potęgi). N tym etpie możemy zkończyć. Wprwdzie w pierwszym czyiku mmy potęgę, le otrzymmy rówie: x 8, które możemy rozwiązć. UWAGA: Gdy ie m żdej potęgi, to zczy, że krotość wyosi. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 7

39 . Pierwistek wielomiu Pierwistek rówi czy fukcji, w szym wypdku wielomiu lub rówi wielomiowego, to rozwiązie tego rówi. Gdy w zdiu pojwi się poleceie podi pierwistków wielomiu, leży rozwiązć rówie, przyrówując wielomi do zer. Otrzyme rozwiązi są pierwistkmi wielomiu. Przykłd: Oblicz pierwistki wielomiu: w x 8x x x x Pierwistkmi wielomiu są liczby: -,,. Gdy pojwi się poleceie sprwdzei, czy d liczb jest pierwistkiem wielomiu, podstwimy dą liczbę z x w wielomiie. D liczb jest pierwistkiem wielomiu, jeżeli otrzymmy wyik zero. Przykłd. Sprwdzimy, czy liczb - jest pierwistkiem wielomiu: wistkiem Przykłd. Sprwdzimy czy liczb jest pier- wielomiu: w x + x w ( ) + ( ) + 8 Liczb - ie jest pierwistkiem wielomiu.. FUNKCJA WYKŁADNICZA w x x x w Liczb jest pierwistkiem wielomiu.. Wyrżei wykłdicze Wyrżeiem wykłdiczym jest kżde wyrżeie złożoe z podstwy potęgi i wykłdik potegi. Przykłdy:, ( ),, x W tym rozdzile iteresują s wyrżei wykłdicze, których podstw jest wrtością liczbową, potęg zwier zmieą (ozczą symbolem literowym). Przykłdy: x, ( ) Dziłi wyrżeich wykorzystujemy wzory potęgi (podrozdziły. i.). Przykłd: Wykorzystujemy wzory ( i 9). Zmieimy pierwistek potęgę. ( ) + +. Rówi wykłdicze Rówie wykłdicze, to rówie, w którym iewidom zjduje się w potędze. Przykłd: x + 7. Wykoujemy trzy czyości: I. Przeosimy wyrżei z x lewo, liczby III. Elimiujemy podstwy potęg. Wystrczy prwo. Dl przedstwioego przykłdu: terz rozwiązć rówie, jkie powstie po x+ przyrówiu do siebie smych wykłdików. x II. Zpisujemy po prwej stroie tką smą liczbę, jk zjduje się po lewej, podosząc ją do określoej potęgi. x+ Przyrówujemy wielomi do zer i rozwiązujemy powstłe rówie, tk jk przedstwiliśmy to w poprzedich podrozdziłch. Ostteczie otrzymujemy rozwiązi: Podstwimy - z x i obliczmy. Otrzymy wyik jest róży od zer. W związku z tym liczb (-) ie jest pierwistkiem wielomiu. bo: 7 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie x+ x+ x x / x Podstwimy z x i obliczmy. Otrzymliśmy wyik zero. W związku z tym liczb jest pierwistkiem wielomiu. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 8

40 . Wykres fukcji wykłdiczej Fukcj wykłdicz zwier we wzorze x w potędze. Przykłd: f (x) Wyróżimy proste przypdki i brdziej skomplikowe. Proste przypdki Wzór skłd się z liczby podiesioej do potęgi x. Wyróżimy fukcje, które mją w podstwie liczbę większą od orz fukcje, które mją w podstwie ułmek. Wykresy fukcji obu typów zwsze przechodzą przez pukt (, ). Fukcj mjące w podstwie liczbę większą od. Przykłd: f (x) x Aby rysowć wykres fukcji w pierwszej kolejości tworzymy tbelę zwierjącą pukt (, ) orz prę puktów położoych lewo od tego puktu, orz prę położoych prwo. Pukty lewo od (, ). Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Pukty prwo od (, ). x Fukcje mjące w podstwie ułmek. Przykłd: f (x) x Postępujemy dokłdie w te sm sposób, jk dl fukcji mjącej w podstwie liczbę większą od. Nstępie zzczmy pukty w ukłdzie współrzędych i łączymy je liią. UWAGA: Lii wykresu ie może przeciąć osi X. Brdziej skomplikowe przypdki Fukcje wymgjące przesuwi prostszych przypdków wzdłuż osi ukłdu. x Przykłd: f (x) W celu rysowi powyższej fukcji, w pierwszej kolejości rysujemy prostszą fukcję: f (x) x Nstępie przesuwmy wykres o określoy wektor (podrozdził 7.8). f (x) x Fukcję f(x) x będziemy przesuwć o wektor: [, -]. PRZYPOMINAMY: pierwsz współrzęd zmiei zk. UWAGA! W prostych przypdkch lii wykresu ie przeci osi X. Terz ie przeci poziomej prostej położoej dej wysokości. W rozptrywym przykłdzie wykres przesuwmy o jedostki w dół, dltego d prost będzie zjdowć się wysokości - (będzie mił wzór: y -). Jest to tk zw ASYMPTOTA POZIOMA. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 9

41 . Włsości fukcji wykłdiczej Powiiśmy potrfić określić pięć podstwowych włsości: ) dziedzi fukcji, ) zbiór wrtości, ) mootoiczość, ) miejsce zerowe, ) symptot. Włsości dej fukcji wykłdiczej jprościej określimy podstwie wykresu, którego rysowie przedstwiliśmy w poprzedim podrozdzile (odczytywie włsości fukcji podstwie wykresu przedstwiliśmy w podrozdzile 7.). Wyjątek stowi miejsce zerowe. Wykres umożliwi m jedyie oceę, czy miejsce zerowe istieje. x Przykłd: Fukcj z poprzediego podrozdziłu, o wzorze: f (x) ) Dziedzi fukcji dziedzią fukcji wykłdiczej jest zbiór liczb rzeczywistych. D R ) Zbiór wrtości ZW, ( ) ) Mootoiczość f (x) - fukcj jest rosąc.. LOGARYTMY Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie ) Miejsce zerowe wykres umożliwi m oceę czy miejsce zerowe istieje, choć ie jest do tego koieczy. Miejsce zerowe m t fukcj wykłdicz, której wzór wskzuje to, że podczs rysowi przesuwlibyśmy w dół. Miejsce zerowe obliczmy podstwijąc z y wrtość zero (podrozdził 7.). Otrzymujemy rówie wykłdicze (podrozdził.). x x x x x ) Asymptot fukcj wykłdicz m zwsze symptotę poziomą o wzorze w postci y c. Wrtość c jest rów liczbie jedostek, o jkie przesuwmy w pioie wykres podczs rysowi (poprzedi podrozdził). Gdy ie wykoujemy przesuwi w pioie, symptotą jest oś X i m wzór: y. y. Istot logrytmu (sposób trudiejsze przypdki) TREŚĆ z tblic mtemtyczych (w dzile: LOGARYTMY): Niech > i. Logrytmem log c liczby c > przy podstwie zywmy wykłdik b potęgi, do której leży podieść podstwę, by otrzymć liczbę c: log c b b c We wzorze dej fukcji, z przesuwie w pioie, odpowiedzil jest wrtość -. Poziom przeryw prost (symptot) zjduje się włśie tej wysokości, dltego m wzór: log b liczb logrytmow Przykłdy: log 8 podstw logrytmu log bo: 8 bo: ( ) Podto wrto zpmiętć, że: log log Poiewż: Poiewż: Przykłdy: log log Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

42 Gdy logrytm ie m zpisej podstwy, ozcz to, że wyosi o. log b Przykłd: log Sposób trudiejsze przypdki Z poiższego sposobu postępowi możemy korzystć zwsze, le brdzo przydty okzuje się dopiero przy dość skomplikowych logrytmch. Przedstwimy go przykłdzie: log I. Doprowdzmy podstwę logrytmu orz wyrżeie logrytmowe do tej smej liczby podiesioej do potęgi. Odbyw się to tej smej zsdzie, jk przedstwiliśmy w podrozdziłch dotyczących potęg (podrozdziły. i.). Dl rozptrywego przykłdu: log log + log log log log ( ) 7 log II. Wyik logrytmu to ilorz potęgi liczby logrytmowej przez potęgę podstwy logrytmu log Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie bo: +. Wzory i ich wykorzystie WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: LOGARYTMY): Dl dowolych liczb x >, y > orz r zchodzą wzory: log log ( x y) log x log y x log x log y y + log x r r log Przykłdy wykorzysti powyższych wzorów: log ( ) log + log + log log log log 8 8 log x Wszystkie przedstwioe powyżej wzory możemy wykorzystywć tkże w drugą stroę. Główie dotyczy to dwóch pierwszych wzorów, które będziemy wykorzystywć łącząc dw logrytmy w jede. Robimy to w dwóch celch: ) ułtwieie logrytmowi, ) umożliwieie logrytmowi gdy pojedycze logrytmy są do obliczei tylko z pomocą klkultor. Przykłd: log log log ( ) log Nie jesteśmy w stie wykoć logrytmowi, zrówo w przypdku pierwszego, jk i drugiego logrytmu. Wykorzystujemy wzór (w drugą stroę ): log b - log c log Otrzymliśmy logrytm możliwy do obliczei. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

43 . Rówi logrytmicze Rozwiązie rówi z logrytmem, sprowdz się przede wszystkim do usuięci z ich logrytmu (choć rówi pierwszego typu możemy rozwiązć w ltertywy prostszy sposób). Rówie przeksztłcmy zgodie z istotą logrytmu: log b c c b W zleżości od tego, gdzie zjduje się iewidom otrzymujemy rówie wielomiowe, kwdrtowe, liiowe lbo wykłdicze. Możemy wyróżić trzy podstwowe typy, w sytucji gdy x zjduje się tylko w jedym miejscu. TYP I iewidom zjduje się w wyiku logrytmowi. Po usuięciu logrytmu, otrzymujemy więc rówie wykłdicze (podrozdził.). Przykłd: log x x x x x / Altertywy sposób tylko dl tego typu, poleg wykoiu logrytmowi: log x x x / TYP II iewidom zjduje się w podstwie logrytmu. Po usuięciu logrytmu, iewidom będzie zjdowć się w podstwie potęgi. Otrzymujemy więc rówie liiowe, kwdrtowe lub wielomiowe (podrozdziły: 9. i.). Przykłd: log 8 x ( x) 8 7x 8 x x. WYRAŻENIA WYMIERNE / 7 Wyrżei wymiere, to ilorz dwóch wielomiów. Przykłdy: x x 7x x + x Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie x x,, x x+ TYP III iewidom zjduje się w wielkości logrytmowej. Po usuięciu logrytmu, iewidom będzie zjdowć się po prwej stroie rówi. Otrzymujemy więc rówie liiowe, kwdrtowe lub wielomiowe (podrozdziły: 9. i.). Przykłd: log (x+ ) x+ x+ x x / ( ) x. Dziedzi wyrżei Zim wykomy jkiekolwiek dziłie wyrżeich wymierych, musimy określić dziedzię wyrżeń! Przypomimy: w miowiku ie może zjdowć się zero, dltego z dziedziy, wykluczmy miejsc zerowe miowik (podrozdził 7.). Sprowdz się to do obliczei rówi: miowik. Rozwiąziem rówi są liczby, jkie wykluczmy z dziedziy. Przykłd: x + x x I. Zpisujemy i rozwiązujemy rówie. II. Zpisujemy dziedzię, którą będzie zbiór x liczb rzeczywistych (R) z wyłączeiem rozwiązń rówi. x / x D R \{ } Podto gdy mmy do czyiei z dziłimi wyrżeich wymierych (opise w dlszej części rozdziłu podrozdził.), określmy dziedzię dl cłego dziłi. UWAGA! Gdy mmy do czyiei z dzieleiem, ie tylko miowiki muszą być róże od zer, le tkże liczik dzielik (wyrżeie przez które dzielimy). Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

44 Przykłd: x x D R \ x x + x x x+ x x+ x / x x x x v x {,,,, } Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie. Uprszczie wyrżei Uprszczie wyrżeń przedstwimy przykłdzie. Przykłd: Określmy dziedzię: x + 8x x + x x + x ( ) x D R \{, } I. Rozkłdmy czyiki liczik i miowik w licziku i miowiku mmy wielomiy (podrozdził.). x + 8x x (x+ ) x + x (x+ )(x ). Dziłi wyrżeich wymierych Dodwie i odejmowie Przedstwimy przykłdzie: x Określmy dziedzię: x x+ x x+ x x D R \{, } / x x x / ( ) II. Wykoujemy skrcie tm gdzie jest to możliwe. x (x+ ) (x+ )(x ) x x I. Doprowdzmy wyrżei do wspólego miowik, który jczęściej będzie iloczyem miowików dodwych/odejmowych wyrżeń. W efekcie musimy pomożyć liczik i miowik przez określoe wyrżeie. x x(x+ ) (x ) x x+ (x )(x+ ) (x )(x+ ) Liczik osttiego wyrżei tkże m być róży od zer! II. Dodjemy wyrżei. Licziki odejmujemy/dodjemy, wspóly miowik przepisujemy. x(x+ ) (x ) x(x+ ) (x ) (x )(x+ ) (x )(x+ ) (x )(x+ ) Po rozwiąziu rówń, otrzymliśmy liczby: -, -, -,,. Dziedzią będzie więc zbiór liczb rzeczywistych mius zbiór, zwierjący określoe liczby - (R\{-,-, -,, }). + x Wspólym miowikiem będzie iloczy: (x - )(x + ) W związku z tym liczik i miowik : - pierwszego wyrżei możymy przez (x + ), - drugiego wyrżei możymy przez (x ). III. Wykoujemy wszelkie dziłi w licziku. Dziłi w miowiku ie wykoujemy! Zostwimy je, tk jk jest, ż do mometu gdy będziemy uprszczć wyik. x(x+ ) (x ) x + 8x x+ x + x+ (x )(x+ ) (x )(x+ ) (x )(x+ ) Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

45 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Uprszczmy otrzyme wyrżeie: x + x+ (x + x+ ) (x )(x+ ) (x )(x+ ) Tego wyrżei ie d się uprościć, poiewż liczik jest ierozkłdly. W wisie mmy wprwdzie rówie kwdrtowe, ie m oo jedk postci iloczyowej, poiewż obliczoy przez s wyróżik okzł się ujemy: - UWAGA! Nie zwsze wspóly miowik musi powstwć poprzez możeie przez siebie miowików wyrżeń zwrtych w dziłich. Niekiedy wystrczy zmieić miowik tylko w jedym wyrżeiu. x x x x x + + x(x+ ) x+ x(x+ ) x(x+ ) Tu wspólym miowikiem może być wyrżeie: x(x + ). W związku z tym wystrczy pomożyć drugie wyrżeie przez x. Możeie Możymy tk jk ułmki zwykłe: liczik przez liczik, miowik przez miowik. UWAGA! Tylko zpisujemy możeie, le go ie wykoujemy. Po zpisie możei od rzu przechodzimy do uprszczi otrzymego wyrżei! Przykłd: Określmy dziedzię: x x x 8 x + x 8 x x 8 x+ D R \, 8 x x x (x ) x 8 x+ (x 8)(x+ ) Uprszczmy otrzyme wyrżeie: (x ) x (x+ )(x ) x (x 8)(x+ ) (x 8)(x+ ) x(x ) x 8 Dzieleie Zmieimy dzieleie możeie i obrcmy drugie wyrżeie. Dlej postępujemy tk jk w przypdku możei. Przykłd: x 7 x x(x+ ) x+ { } Określmy dziedzię: x x+ x x D R \, Zpisujemy możeie wspólej kresce ułmkowej: - liczik przez liczik, - miowik przez miowik. { } x x Pmiętjmy, że w przypdku dzielei liczik drugiego wyrżei (x) tkże m być róży od zer! x 7 x x 7 x+ (x 7)(x+ ) x(x+ ) x+ x(x+ ) x x(x+ ) x Uprszczmy wyrżeie: ( x 7)(x+ ) x 7 x x(x+ ) x x x x 7. Rówi wymiere W pierwszej kolejości przeksztłcmy rówie, tk by wyelimiowć z iego wyrżeie wymiere. W efekcie mmy do rozwiązi rówie liiowe, kwdrtowe lub wielomiowe (podrozdziły: 9. i.). UWAGA! Po rozwiąziu rówi, sprwdzmy czy otrzyme liczby leżą do dziedziy. Jeżeli ie, to d wrtość ie jest rozwiąziem rówi. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

46 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Proste przypdki - z jedym wyrżeiem wymierym i zerem; Tu po wyzczeiu dziedziy, pomijmy miowik. Przyrówujemy do zer sm liczik. Przykłd: Określmy dziedzię: x x+ x+ x D R \{ } x Przyrówujemy do zer sm liczik: x x / x 8 SPRAWDZAMY, czy otrzym liczb leży do DZIEDZINY tu leży, więc jest rozwiąziem rówi. - z jedym wyrżeiem wymierym i liczbą/wielomiem; Przykłd: Określmy dziedzię: x x x x + 7 D R \ { 7 } x 7 x+ 7 Przeksztłcmy rówie, możąc przez miowik wyrżei wymierego: x x x+ 7 x x x / (x+ 7) (x )(x+ 7) Od tego mometu obliczmy rówie metodą przyjętą dl kokretego typu. N końcu pmiętjmy, by sprwdzić, czy otrzyme wyiki leżą do dziedziy! - z dwom wyrżeimi wymierymi. Rówie przeksztłcmy metodą krzyż. Aby było to możliwe wyrżei muszą zjdowć się po dwóch stroch zku rówości. Przykłd: x x x+ x+ Przeosimy jedo z wyrżeń prwo, tk by jedo wyrżeie zjdowło się po lewej stroie i jedo po prwej. x x x+ x+ x (x+ ) (x )(x+ ) Określmy dziedzię: x+ x x Terz możemy zstosowć metodę NA KRZYŻ. Pmiętjmy, by złożoe wyrżei (p.: x+) zpisć w wisie. Trudiejsze przypdki Rówi z kilkom wyrżeimi (w tym wymierymi, liczbmi orz wielomimi).wymgją oe często kilku dziłń, by w rezultcie otrzymć tylko dw wyrżei. Od tego mometu będziemy mieli do czyiei z jedym z prostszych przypdków. Przykłd: Określmy dziedzię: x+ x x+ x + x x x x x x D R \{, } Przeksztłcmy rówie: Musimy dodć/odjąć od siebie wyrżei po obu stroch zku rówości. x+ x x+ x + x x (x+ ) (x )(x ) x(x ) x+ + (x ) (x ) x x (x+ ) (x )(x ) x(x ) + x+ (x ) x x Od tego mometu obliczmy rówie, metodą przyjętą dl kokretego typu. N końcu pmiętjmy, by sprwdzić, czy otrzyme wyiki leżą do dziedziy! W te sposób otrzymliśmy prostszy przypdek z dwom wyrżeimi wymierymi. x + D R \{ } Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

47 . FUNKCJA WYMIERNA Wzór fukcji wymierej moż zpisć: y + c x b Przykłdy: y + x, - gdzie, b, c to współczyiki liczbowe, przy czym b orz c mogą wyosić zero. y, x 8 y, y + 7 x 9 x. Wykres Bezpośredio rysujemy jedyie wykres jprostszego przypdku fukcji wymierej (gdy b i c wyoszą zero): y Przykłd: y x x Wykres jest dwuczęściowy. Aby rysowć peły wykres, musimy wyzczyć kilk puktów: - dl rgumetów ujemych: w tym dl przyjmiej dwóch ułmkowych, dl - orz dl dwóch rgumetów cłkowitych, Otrzymmy dwie grupy puktów. W zleżości od zku współczyik, będą oe zgromdzoe w I i III ćwirtce ukłdu (gdy jest dodtie) lub w II i IV ćwirtce (gdy jest ujeme). Przykłd dl > : Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie x - dl rgumetów dodtich: w tym dl przyjmiej dwóch ułmkowych, dl orz dl dwóch rgumetów cłkowitych. y Przykłd dl < : y x Z połączei dwóch grup puktów powstą dwie części wykresu. Kżd z ich będzie mił ksztłt tzw. hiperboli, czyli łuku, którego końce będą się ciągęły wzdłuż osi X orz Y, zbliżjąc się do ich (ie mogą ich przeciąć). Skoro części wykresu dążą do jkiejś prostej (poziomej lub pioowej), mmy do czyiei z symptotmi fukcji): - symptotą poziomą jest oś X, wzór symptoty: y, - symptotą pioową jest oś Y, wzór symptoty: x. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

48 Trudiejsze przypdki Rysujemy, przesuwjąc wzdłuż osi ukłdu współrzędych wykresy prostszych przypdków. y + x Przykłd: I. Rysujemy wykres fukcji, uproszczoej przez pomiięcie współczyików b i c: Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie y x ASYMPTOTY pioową i poziomą przesuwmy wrz z wykresem fukcji. Dl rozptrywego przykłdu: - symptot poziom będzie zjdowł się wysokości : y, - symptot pioow, będzie zjdowć się w miejscu rgumetu : x. II. Nstępie przesuwmy go o wektor. y + x. Włsości Powiiśmy potrfić określić pięć podstwowych włsości: ) dziedzi fukcji, ) zbiór wrtości, ) miejsce zerowe, ) mootoiczość, ) symptoty. Włsości dej fukcji wymierej jprościej określimy podstwie wykresu(odczytywie włsości fukcji podstwie wykresu przedstwiliśmy w podrozdzile 7.), chociż iektóre z ich możemy określić podstwie wzoru. Wyjątek stowi miejsce zerowe, które musimy obliczyć. Przykłd: y + x PRZYPOMINAMY: Pierwsz współrzęd wektor m przeciwy zk: wektor: [, ] ) Dziedzi fukcji Określmy ją, tk jk dziedzię wyrżeń wymierych (podrozdził.): x x Altertywie dziedzię możemy wyzczyć korzystjąc z wykresu. Odczytując z wykresu, z dziedziy elimiujemy rgumet w miejscu symptoty pioowej (): D R \{ } ) Zbiór wrtości - zbiór liczb rzeczywistych, z wyłączeiem jedej wrtości w miejscu symptoty poziomej. Dl rozptrywego przykłdu jest to wrtość : ZW R \{ } Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 7

49 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie ) Miejsce zerowe Z y podstwimy zero. W efekcie mmy do rozwiązi rówie wymiere. + x / (x ) x x x + x / ( ) x UWAGA! Miejsce zerowe ie zwsze istieje. Gdy mmy do dyspozycji wykres fukcji widć to od rzu wykres w ie przeci osi X. N podstwie wzoru tkże możemy to stwierdzić bez obliczeń (współczyik c wyosi zero). Przykłd: y x 8 Dziedzi: D R \{ } Brk miejsc zerowych. ) Mootoiczość Wykres fukcji wymierej skłd się z dwóch części. Są to dw przedziły, określoe przez dziedzię. Dziedzi rozptrywej fukcji: D R \{ } Stąd mmy przedziły: (, ) i (, ) Kokret fukcj jest w obu przedziłch mlejąc lub w obu przedziłch rosąc. Rozptryw fukcj jest w obu przedziłch mlejąc, co widzimy wykresie. f (x) w przedziłch (, ) i (, ) ) symptoty Miejsce symptot w ukłdzie współrzędych ustlmy już etpie rysowi wykresu, co przedstwiliśmy w poprzedim podrozdzile. Dl rozptrywego przykłdu: - symptot poziom: y, - symptot pioow: x.. CIĄGI. Podstwowe iformcje (pojęcie ciągu, wzór, wykres) Ciąg jest specyficzym rodzjem fukcji. Argumety ciągu ozczmy symbolem są to liczby turle, dodtie (,,...) Wrtości będziemy zywć wyrzmi ciągu ozczmy je symbolem. Kokrety ciąg, jk kżd fukcj może być opisy wzorem. Przykłd: + Przykłdowo, gdy w zdiu mmy podć ósmy wyrz ciągu, obliczmy jego wrtość dl Ciąg może rówież być zpisy jko szereg wyrżeń po przeciku. Wyrżei te są wówczs kolejymi wyrzmi ciągu. Przykłd:,, 9,,... Z podego w te sposób ciągu możemy wypisć jego poszczególe wyrzy (tu: pięć pierwszych wyrzów), wet ustlić wzór ciągu. 9 Wykres ciągu rysuje się w zsdzie tk smo, jk wykres fukcji. Nie będzie o jedk liią ciągłą, le zbiorem puktów dl rgumetów turlych (,, ). Jest to pewe ułtwieie, bo iezleżie od typu fukcji, kżdy ciąg będziemy rysowć tk smo. Przykłd: + 9 I. Obliczmy kilk początkowych puktów. Możemy zpisć je w tbeli: Ideks mówi m jedocześie, jką liczbę będziemy podstwić do wzoru orz z którym wyrzem ciągu mmy do czyiei. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 8

50 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie II. Zzczmy pukty w ukłdzie współrzędych (ie łączymy ich liią ciągłą). Ukłd współrzędych jest ieco iy iż dl fukcji. Przyjmujemy ie ozczei osi ukłdu orz obcimy część ukłdu dl rgumetów ujemych, które w ciągch ie występują.. Mootoiczość ciągu Aby zbdć mootoiczość ciągu o podym wzorze, musimy wykoć odejmowie i ziterpretowć otrzymy wyik: + Iterpretcj wyiku: - gdy jest liczbą dodtią, ciąg jest rosący, - gdy jest liczbą ujemą, ciąg jest mlejący, - gdy wyosi zero, ciąg jest stły, - gdy jest wyrżeiem z, musimy ustlić, czy iezleżie od wrtość wyrżei jest dodti (ciąg rosący); ujem (ciąg mlejący); czy rz jest dodti rz ujem (ciąg ie jest mootoiczy). Przykłd: + + (+ ) (+ ) 8 ( Odpowiedź: Ciąg ie jest mootoiczy. + + ) Podstwowe pyti (który wyrz ciągu m dą wrtość?...) N podstwie wzoru ciągu, oprócz określei jego mootoiczości (poprzedi podrozdził), powiiśmy potrfić odpowiedzieć kilk podstwowych pytń, tkich jk: który wyrz ciągu m dą wrtość?; ile wyrzów ujemych m dy ciąg? itp. Odpowiedź kżde z powyższych pytń wymg w rozwiązi kokretego rówi/ierówości. Przykłd. Czy istieje wyrz ciągu o wzorze ogólym o wrtości? Aby odpowiedzieć to pytie, podstwimy do wzoru wrtość (uwg: wrtość wyrzu to ), stępie rozwiązujemy powstłe rówie. Obliczmy w te sposób (umer wyrzu). Kluczowym jest fkt, że przyjmuje wrtości turle (,,..). Jeżeli otrzymmy iy wyik, ozcz to, że ie m tkiego wyrzu ciągu. 7 / ( ) Zpisujemy wyrżeie + i uprszczmy je. Terz możemy wykoć odejmowie: + -. Otrzymy wyik jest wyrżeiem ze zmieą. Nleży ustlić, czy iezleżie od wrtość będzie zwsze dodti, ujem, czy rz dodti rz ujem. Tutj otrzymliśmy wyrżeie: -9. Nleży zuwżyć, że dl młych wrtości (p. dl ), wrtość wyrżei będzie ujem ( -9-7), dl większych wrtości będzie dodti (p. dl : 9 ). W związku z tym wyciągmy wiosek, że ciąg ie jest mootoiczy. Odpowiedź: Nie istieje wyrz ciągu o wzorze ogólym o wrtości. Przykłd. Ile wyrzów ciągu o wzorze ogólym - przyjmuje wrtość ujemą? Szukmy tkich, dl których po podstwieiu do wzoru ciągu, otrzymmy wrtość miejszą od zer (< ). Będziemy mieć do czyiei z ierówością: < < < 7, / Wyrzy o umerze miejszym od 7, (pmiętjmy: muszą to być liczby turle), to wyrzy o umerch:,,,,,, 7. Mmy więc siedem tkich wyrzów. Odpowiedź: Wrtości ujeme przyjmuje siedem wyrzów ciągu. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 9

51 . Ciąg rytmetyczy (wzór ogóly, mootoiczość, sprwdzie czy dy cig jest rytmetyczy lub dl jkiej wrtości prmetru jest rytmetyczy, określie wzoru ciągu, średi rytmetycz, sum wyrzów ciągu) Wzór ogóly i zleżość między wyrzmi ciągu WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: CIĄGI): Ciąg rytmetyczy Wzór -ty wyrz ciągu rytmetyczego ( ) o pierwszym wyrzie i różicy r: + ( )r Koleje wyrzy ciągu rytmetyczego powstją poprzez dodwie kokretej liczby, którą zywmy różicą ciągu rytmetyczego i ozczmy literą r. Do pełego opisu ciągu rytmetyczego oprócz różicy, potrzebujemy wrtości pierwszego wyrzu ciągu:. Przykłd:,, 8,,... Dl dego ciągu różic pomiędzy kolejymi wyrzmi, czyli liczb jką dodjemy, by uzyskć stępy wyrz, wyosi, wrtość pierwszego wyrzu wyosi :, r Zjąc różicę i wrtość pierwszego wyrzu, możemy zpisć wzór ogóly ciągu. + ( )r + ( ) + Mootoiczość ciąg rytmetyczy jest zwsze mootoiczy. W celu ocey jego mootoiczości, ie są koiecze żde obliczei. Jedyą potrzebą iformcją jest różic ciągu (r): - rosący, gdy różic jest dodti (r > ), - mlejący, gdy różic jest ujem (r < ), - stły, gdy różic wyosi zero (r ). Sprwdzie czy dy ciąg jest rytmetyczy/dl jkiej wrtości prmetru jest rytmetyczy. Mjąc de kilk początkowych wyrzów: różic dwóch kolejych wyrzów zwsze musi mowie: + -, tk jk podczs sprwdzi Mjąc dy wzór ciągu, musimy wykoć odej- wyosić tyle smo, tz. drugi wyrz mius mootoiczości ciągu (podrozdził.). pierwszy musi się rówć trzeciemu wyrzowi Dy ciąg jest rytmetyczy, jeżeli otrzymmy mius drugi musi się rówć czwrtemu wyrzowi mius trzeci itd. Przykłd: Przykłd: wrtość liczbową., 9, 7,... + ( + ) L P Ozcz to, że ciąg jest rytmetyczy. Odpowiedź: Ciąg jest rytmetyczy Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie + + ( ) Nie otrzymliśmy wrtości liczbowej, tylko wyrżeie ze zmieą, co ozcz, że dy ciąg ie jest rytmetyczy. Dl jkiej wrtości x pode wyrżei są kolejymi wyrzmi ciągu rytmetyczego? Przykłd: x, x+ 8, 8. Rozwiązujemy rówie: drugi wyrz pierwszy trzeci - drugi x+ 8 x 8 (x+ 8) x+ 8 8 x 8 x+ x 8 x / x Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

52 Określie wzoru ciągu Jk już wiemy do zpisu wzoru ogólego potrzebujemy dwóch wrtości: orz r. Gdy ie są oe pode, leży je obliczyć. Gdy brkuje m tylko jedej z ich ( lub r), możemy wspomóc się wzorem ogólym. Przykłd: Mmy pode: r,. Podstwimy wielkości do wzoru ogólego: + ( )r ; + ( ) ( ) i Różicę (r) często możemy obliczyć w brdzo prosty sposób jeżeli mmy pode dw koleje wyrzy ciągu (różic jest rów: stępy wyrz - poprzedi). Przykłd: Mmy pode:, stąd r z tk powstłego rówi obliczmy brkującą wrtość (tu ). Gdy mmy pode dw odległe wyrzy ciągu, mmy dwie możliwości podstwimy ob do wzoru ogólego i powstje m ukłd rówń lbo ŁĄCZYMY WYRAZY z pomocą jedego rówi. Mjąc pode dw wyrzy leży ustlić ile r je dzieli. Przykłd: Mmy pode wyrzy 7, 8 7. Wyrz trzeci i ósmy dzieli r (8-), więc możemy zpisć, że wyrz ósmy, to wyrz trzeci plus r: 8 + r. Do tk powstłego rówi podstwimy wrtości podych wyrzów i obliczmy różicę (r). Średi rytmetycz WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: CIĄGI): Między sąsiedimi wyrzmi ciągu zchodzi związek: + + dl Przykłd: Obliczymy wrtość dziesiątego wyrzu ciągu rytmetyczego, jeżeli jego dziewiąty wyrz wyosi, jedesty Sum wyrzów ciągu WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: CIĄGI): Wzór sumę S początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego: + S Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie + ( )r Powyżej widć, że w rzeczywistości mmy do dyspozycji dw wzory, spośród których wybiermy te, który w dej chwili jest dl s brdziej wygody. Oczywiście ie zwsze mmy wszystkie iezbęde de do obliczei sumy początkowych wyrzów ciągu. W tkiej sytucji obliczmy brkujące wielkości, korzystjąc z jedego z podejść opisych w poprzedich podpuktch (określie wzoru ciągu, średi rytmetycz). Wykorzystie wzoru sumę przedstwimy przykłdzie: Obliczymy sumę dziesięciu pierwszych wyrzów ciągu, jeżeli pierwszy wyrz m wrtość, dziesiąty 8., 8 Wybiermy pierwszą wersje wzoru: S Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

53 Specyficzym typem zdi wymgjącego obliczei sumy liczb, jest tkie zdie, w którym iewidomą jest umer osttiego wyrzu. Przykłd: Oblicz sumę liczb, jeżeli stowią koleje wyrzy ciągu rytmetyczego: Mmy pode wrtości pierwszych wyrżeń i osttiego, le ie zmy jego umeru. 8 W pierwszej kolejość obliczmy różicę ciągu, odejmując drugi wyrz od pierwszego: r 8 ( ) 8+ Podstwimy pierwszy wyrz, ostti i różicę do wzoru ogólego i obliczmy umer osttiego wyrzu (). + ( ) r 8 + ( ) / S 8. Ciąg geometryczy (wzór ogóly, sprwdzie czy dy cig jest geometryczy lub dl jkiej wrtości prmetru jest geometryczy, określie wzoru ciągu, średi geometrycz, sum wyrzów ciągu) Wzór ogóly i zleżość między wyrzmi ciągu WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: CIĄGI): Ciąg geometryczy Wzór -ty wyrz ciągu geometryczego ( ) o pierwszym wyrzie i ilorzie q: q dl Ciąg geometryczy to ciąg, którego koleje wyrzy powstją poprzez przemożeie poprzedich wyrzów przez liczbę, którą zywmy ilorzem ciągu geometryczego i ozczmy: q. Do pełego opisu ciągu geometryczego oprócz ilorzu, tk jk w przypdku ciągu rytmetyczego potrzebujemy wrtości pierwszego wyrzu ciągu:. Przykłd:,,,, 8... Dl dego ciągu ilorz ciągu, czyli liczb przez jką możymy, by uzyskć stępy wyrz wyosi, wrtość pierwszego wyrzu wyosi :, q Zjąc ilorz i wrtość pierwszego wyrzu, możemy zpisć wzór ogóly ciągu. Sprwdzie czy dy ciąg jest geometryczy/dl jkiej wrtości prmetru jest geometryczy. Mjąc de kilk początkowych wyrzów: ilorz Mjąc dy wzór ciągu: zpisujemy wyrżeie: dwóch kolejych wyrzów zwsze musi wyosić +, stępie wykoujemy dzieleie: tyle smo, tz. drugi wyrz dzieloy przez + / Dy ciąg jest geometryczy, jeżeli pierwszy musi się rówć trzeciemu wyrzowi otrzymmy wrtość liczbową. Przykłd: dzieloemu przez drugi itd. Przykłd: , 9, 8, L P Ozcz to, że ciąg ie jest geometryczy. Odpowiedź: Ciąg ie jest geometryczy Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Mmy już wszystkie iezbęde iformcje do obliczei podej sumy: + Otrzymliśmy wrtość liczbową, więc dy ciąg jest geometryczy. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

54 Dl jkiej wrtości x pode wyrżei są kolejymi wyrzmi ciągu geometryczego? Przykłd: 9, x, x 9. Rozwiązujemy rówie: drugi wyrz /pierwszy trzeci /drugi. W efekcie otrzymujemy do rozwiązi rówie wymiere (podrozdził.). x x 9 Określmy dziedzię: ( ) 9 9 x x D R \ { } 8 x 9x 9(x 9) x 9x 9x x 9x+ 8 / 9 x 9 x x+ 9 Określie wzoru ciągu Do zpisu wzoru ogólego potrzebujemy orz q. Gdy ie są oe pode, leży je obliczyć. Gdy brkuje m tylko jedej z ich ( lub q), możemy wspomóc się wzorem ogólym. Przykłd: Mmy pode: q,. Podstwimy wielkości do wzoru ogólego: q ; i z tk powstłego rówi obliczmy brkującą wrtość (tu ). Ilorz (q) często możemy obliczyć w brdzo prosty sposób, jeżeli mmy pode dw koleje wyrzy ciągu (ilorz jest rówy: stępy wyrz/ poprzedi). Przykłd: Mmy pode:, 7 stąd q Gdy mmy pode dw odległe wyrzy ciągu, mmy dwie możliwości podstwimy ob do wzoru ogólego i powstje m ukłd rówń lbo: ŁĄCZYMY WYRAZY z pomocą jedego rówi. Mjąc pode dw wyrzy leży 9 q ustlić ile q je dzieli. Przykłd: Mmy pode wyrzy, 9. Wyrz szósty i dziewiąty dzieli trzy q (9-), więc możemy zpisć, że wyrz dziewiąty, to wyrz szósty rzy q :. Do tk powstłego rówi podstwimy wrtości podych wyrzów i obliczmy ilorz (q). Średi geometrycz WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: CIĄGI): Między sąsiedimi wyrzmi ciągu zchodzi związek: + dl Przykłd: Obliczymy wrtość szóstego wyrzu ciągu geometryczego, jeżeli jego piąty wyrz wyosi 7, siódmy wyrz m wrtość. 7 7 v Sum wyrzów ciągu WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: CIĄGI): Wzór sumę S początkowych wyrzów ciągu geometryczego: S q dl q q Wykorzystie wzoru sumę przedstwimy przykłdzie: Obliczymy sumę siedmiu pierwszych wyrzów ciągu, jeżeli pierwszy wyrz m wrtość, ilorz wyosi -., q Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

55 S 7 q q 7 ( ) ( ) ( 87) Specyficzym typem zdń wymgjących obliczei sumy liczb, są tkie zdi, w których iewidomą jest umer osttiego wyrzu. Przykłd: Oblicz sumę liczb, jeżeli stowią koleje wyrzy ciągu geometryczego: Otrzymliśmy rówie wykłdicze (podrozdził )., q q Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Mmy podą wrtość pierwszego wyrżei i osttiego, le ie zmy jego umeru. W pierwszej kolejość obliczmy ilorz ciągu (podzielimy drugi wyrz przez pierwszy): Podstwimy wyrz pierwszy, ostti i ilorz do wzoru ogólego i obliczmy umer osttiego wyrzu ().. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE S / 7 Dzielimy rówie przez, by otrzymć odpowiedią formę rówi wykłdiczego (wyrżeie wykłdicze po jedej stroie, liczb po drugiej).. Fukcje trygoometrycze w trójkącie prostokątym N poziomie mturlym obowiązuje s zjomość trzech fukcji: - sius (si), - cosius (cos), - tges (tg). Fukcje odoszą się do kokretych kątów i są rówe stosukom odpowiedich boków w trójkącie prostokątym. b Dl kąt α rysowego trójkąt: si α, cosα, tgα c c b. Wrtości fukcji trygoometryczych Wrtość dej fukcji, dego kąt możemy odczytć z tblic wrtości fukcji, umieszczoych końcu tblic mtemtyczych, dostępych podczs mtury. Mją oe jedk ieco ią formę, iż te zmieszczoe w zdecydowej większości szkolych podręczików. Są w ich zwrte wrtości dl trzech fukcji (sius, cosius, tges), le fukcje sius i cosius mją wspólą kolumę. Mirę kąt dl fukcji sius i tges odczytujemy w pierwszej kolumie (jest ozczoy jko kąt α), mirę kąt dl fukcji cosius odczytujemy w czwrtej kolumie (jest ozczoy jko kąt β). Przedstwimy sposób czyti tblic przykłdch: Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

56 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie - gdy odczytujemy wrtość fukcji dl dego kąt; Przykłd: si7,9 tg,9 cos8, - gdy odczytujemy mirę kąt. Przykłd: si α,7 tg α,7 cos α, α α α 8 Wrtości fukcji trygoometryczych dl kątów:,,. W tblicch mtemtyczych mmy dl fukcji tych kątów osobą tbelę ( w dzile TRYGONOME- TRIA). Tu kżd fukcj jest zpis osobo (tło iteresujących s treści jest iebieskie). Przykłdowo: cos Wykorzystie fukcji trygoometryczych. Korzystmy z ich w zdich dotyczących zrówo figur płskich jk i brył, w celu obliczi długości poszczególych boków, krwędzi lub kątów. Gdy w zdiu pojwi się poleceie: rozwiąż trójkąt prostokąty, mmy obliczyć długości wszystkich boków i miry wszystkich kątów trójkąt. Wykorzystie fukcji w zdich, przedstwimy przykłdzie, wymgjącym rozwiązi trójkąt prostokątego. Przykłd: Rozwiąż trójkąt prostokąty, którego przyprostokąte mją długość: cm orz cm. de: cm b cm szuke: c? α? β? W podym trójkącie prostokątym brkuje m długości przyprostokątej orz miry kątów ostrych. Nie zmy żdego kąt ostrego. W celu obliczei miry kąt, wybiermy fukcję, djącą m stosuek boków, których długość zmy. Mmy dwie przyprostokąte, dltego wybiermy fukcję tges. b tgα cm tgα cm α β 8 9 Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek Zjąc wrtość fukcji, możemy stwierdzić, że kąt m mirę. PRZYPOMINAMY: sum kątów w trójkącie wyosi 8 : Brkuje m wrtości przeciwprostokątej (c). Gdy mmy obliczyć długość boku, wybiermy tką fukcję, by zjdowł się w iej szuky bok, pozostłe wielkości (drugi bok orz kąt) były ze. Wybrliśmy fukcję sius kąt β. cm siβ si c c cm c c cm c cm

57 . Wzory (związki między fukcjmi tego smego kąt) WZORY z tblic mtemtyczych (w dzile: TRYGONOMETRIA): Związki między fukcjmi tego smego kąt si α+ cos siα tgα cosα α Wykorzystie powyższych wzorów przedstwimy dwóch przykłdch, w których zjąc wrtość jedej z fukcji, obliczmy pozostłe. - gdy mmy pody sius lub cosius; - gdy mmy pody tges. Przykłd: si α+ cos + cos + cos 9 si α α α α Korzystmy z pierwszego wzoru by obliczyć cosius. cos α 9 cosα Korzystmy z drugiego wzoru, by obliczyć tges. siα tg α cosα Przykłd: tg α Musimy skorzystć jedocześie z obu wzorów łącząc je w jede. siα tgα siα tgα cosα cosα si α+ cos α tg α cos α+ cos α cos α+ cos α cos α+ cos α 9 siα tgα cosα siα cos 9 cos α cosα α. Tożsmości trygoometrycze Tożsmości trygoometrycze, to rówi złożoe z fukcji trygoometryczych, których prwdziwość mmy udowodić. W tym celu musimy przeksztłcić jedą lub obie stroy rówi, korzystjąc ze wzorów przedstwioych w poprzedim podrozdzile orz iych przeksztłceń. Niestety ie d się pierwszy rzut ok określić, którą stroę rówi jlepiej przeksztłcić i w jki sposób. Kżd tożsmość jest ieco i i wymg wyczuci. Przykłd: Rozbijmy ułmek dw. Pierwszy ułmek zmieimy fukcję tges zgodie z drugim wzorem. Drugi ułmek skrc się do. Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Wykorzystujemy wzór skrócoego możei. siα+ cosα ( siα)( + siα) cos α+ tgα cosα siα cosα + si α cos α+ tgα cosα cosα tgα+ si α ( si α) + tgα tgα si α + si α+ tgα tgα tgα Przeksztłcmy drugi wzór do postci siα Podstwimy uzyske wyrżeie: tgα cosα do pierwszego wzoru. 9 Osttią fukcję (sius) możemy obliczyć z obu wzorów. Njlepiej skorzystć z przeksztłcoej wersji drugiego wzoru, którą uzyskliśmy wcześiej (iebiesk rmk). Wykorzystujemy pierwszy wzór: si α + cos α cos α - si α Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

58 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 7. PLANIMETRIA (FIGURY PŁASKIE) UWAGA! Większość wzorów w tym rozdzile jest zwrt w tblicch mtemtyczych dostępych podczs egzmiu mturlego w dzile PLANIMETRIA. Te, których tm ie zjdziemy, są obrmowe iebieską rmką. 7. Wzory dl figur płskich (obwody, pol i ie) W powyższym zestwie wzorów jedyą figurą, dl której zpisliśmy wzór obwód, jest koło. Dl pozostłych figur, możemy w łtwy sposób stworzyć wzór smodzielie. Wystrczy pmiętć, że obwód jest rówy sumie długości wszystkich boków. Przykłd: trójkąt rówormiey: Zpisujemy sumę boków (, b, b), przy czym grupujemy te sme boki (b + b b). Stąd: Ob + b 7. Njwżiejsze twierdzei (Pitgors, Tles) Twierdzeie Pitgors Przykłd: cm b? c cm + b c ( cm) + b ( cm) cm + b cm b cm b 9cm b cm cm Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 7

59 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Twierdzeie Tles W tblicch mtemtyczych zjdziemy tylko jedą, podstwową rówość, wyikjącą z twierdzei Tles. Jest ich więcej, le w zupełości wystrczy, że uczymy się jeszcze jedej (iebiesk rmk). OA OA' OB OB' Dodtkow rówość m dwie wersje. OA OB OA ' OB' AA' BB' AA' BB' Wybór dej rówości jest uwrukowy tym, jki odciek mmy obliczyć i jkie odciki są de. Wybre przez s rówie musi zwierć odciek, którego długość chcemy obliczyć, le pozostłe wielkości muszą być ze. Przykłd: OA cm OB cm AA cm BB? Wybiermy pierwszą rówość z rmki. OA OB AA' BB' cm cm cm BB' cm BB' cm BB' cm / (cm) 7. Podobieństwo figur płskich Mjąc dwie figury podobe, leży ustlić, któr figur spośród tych dwóch jest figurą podobą. Drugą figurę będziemy zywć umowie podstwową. Przykłd: Mjąc sformułowie: trójkąt EFG jest podoby do trójkąt ABC, stwierdzmy, że trójkątem podstwowym jest trójkąt ABC, trójkątem podobym EFG. W zdich ie zwsze mmy iformcję, któr pozwl m ustlić, któr figur jest podstwow, któr podob. W tkiej sytucji smi o tym decydujemy. Ozczei figury podobej, to często te sme litery lfbetu, le z zkiem (prim). Przykłd: Skl podobieństw mówi m o tym, ile rzy figur podob jest większ lub miejsz od figury podstwowej. Ozczmy ją literą k. Podto, mjąc de dwie figury podobe, możemy zpisć szereg rówości, złożoych ze stosuków odpowidjących sobie boków, obwodów, pól. Pmiętjmy, żeby zwsze dzielić figurę podobą przez podstwową. Kżdy ze stosuków jest powiązy ze sklą podobieństw: - stosuki odpowiedich boków i obwodów są - stosuki pól są rówe skli do kwdrtu. sobie rówe i zrzem rówe skli; P ' A' B' B'C' Ob' k k P AB BC Ob Przykłd: Oblicz pole kwdrtu ABCD jeżeli jest podoby w skli do kwdrtu EFGH o polu cm. P EFGH cm Kwdrt ABCD jest podoby do P PABCD kwdrtu EFGH. Tk więc figurą ABCD k k podstwową jest kwdrt P cm EFGH, podobą kwdrt ABCD. EFGH P P ABCD? ABCD cm P cm ANBCD Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 8

60 7. Cechy przystwi i podobieństw trójkątów Są dość szczegółowo opise w tblicch mtemtyczych (dził PLANIMETRIA). Trójkąty przystjące Dw trójkąty są przystjące, gdy są tkie sme, choć jede może być lustrzym odbiciem drugiego. Cechy przystwi: - bok bok bok (BBB); Boki trójkątów mją tkie sme długości. Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie - bok kąt bok (BKB); Dw boki jedego trójkąt są rówe dwóm bokom drugiego, kąty między imi mją tką smą mirę. - kąt bok kąt (BBB). Jede z boków pierwszego trójkąt jest rówy jedemu z boków drugiego trójkąt, przyległe do tego boku kąty, w obu trójkątch, mją tą smą mirę. Trójkąty podobe Zpis: ABC ~ DEF czytmy: trójkąt ABC jest podoby do trójkąt DEF. Cechy podobieństw: - bok bok bok (BBB); Długości boków jedego trójkąt, są proporcjole do długości boków drugiego trójkąt. To zczy, że zpisując stosuki odpowidjących boków, zwsze otrzymmy z ich tką smą wrtość (sklę). - bok kąt bok (BKB); Pr boków w obu trójkątch m proporcjole długości, kąt między imi m tką smą mirę. - kąt kąt kąt (KKK). Kąty w obu trójkątch mją tką smą mirę. 7. Wzjeme położeie: dwóch okręgów, prostej i okręgu Wzjeme położeie dwóch okręgów Wzjeme położeie prostej i okręgu Gdy w zdiu mmy pode: rówie dwóch okręgów (podrozdził 8.9) lub rówie okręgu i prostej (podrozdziły 8., 8. i 8.9) i mmy zbdć ich wzjeme położeie, jłtwiej jest rysowć ob elemety w ukłdzie współrzędych, ich wzjeme położeie oceić wzrokowo. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek 9

61 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 7. Kąty Kąty wierzchołkowe, przyległe, przemiległe Kąty wierzchołkowe mją tką Kąty przyległe, to kąty leżące smą mirę. jedej prostej. Ich sum wyosi 8. Kąty odpowidjące i przemiległe mją tką smą mirę. Kąty o tej smej mirze są ozczoe tym smym kolorem. Kąty w trójkątch i czworokątch Sum mir wszystkich kątów wewętrzych w kżdym czworokącie wyosi. - trpez; sum mir sąsiedich kątów przy krótszej i dłuższej podstwie wyosi 8. smą mirę, sum dwóch różych (sąsidują- - rówoległobok: przeciwległe kąty mją tką cych) kątów wyosi8. Sum mir wszystkich kątów wewętrzych w kżdym trójkącie wyosi 8. - w trójkącie rówoboczym: wszystkie kąty mją tą smą mirę, któr wyosi, - w trójkącie rówormieym kąty przy podstwie mją tką smą mirę. Kąty w okręgu - dw kąty wpise, oprte tym smym łuku, mją tką smą mirę; - jeżeli mmy de dw kąty: środkowy i wpisy oprte tym smym łuku, to kąt środkowy jest dw rzy większy od kąt wpisego; - kąt między styczą cięciwą okręgu jest rówy kątowi wpisemu, oprtemu łuku, wyzczoemu przez końce cięciwy. 7.7 Wielokąty Żdego z poiższych wzorów ie zjdziemy w tblicch mtemtyczych! Wzór liczbę przekątych wielokąt Wzór sumę mir kątów wewętrzych wielokąt Wzór mirę kąt wewętrzego wielokąt foremego ( ) ( ) 8 Otrzymujemy sumę wszystkich kątów wielokąt. - we wszystkich wzorch to liczb boków/kątów dego wielokąt. ( ) 8 Wielokąt foremy m wszystkie boki tkiej smej długości i wszystkie kąty tkiej smej miry. Otrzymujemy mirę jedego kąt. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

62 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie Przykłd: Sum mir kątów wewętrzych pewego wielokąt wyosi 9. Jki to wielokąt? Wykorzystujemy wzór sumę mir kątów wewętrzych, poiewż tę wielkość mmy podą: ( ) 8 9 / 8 7 Sześciokąt foremy Gdy w sześciokącie foremym poprowdzimy przekąte, podzielimy go sześć trójkątów rówoboczych o boku rówym bokowi sześciokąt. Z powyższej włsości wyik wzór pole sześciokąt foremego. Pole sześciokąt jest rówe polu sześciu trójkątów rówoboczych: P stąd, po wykoiu skrci liczb i : P Odpowiedź: Szukym wielokątem jest siedmiokąt. 7.8 Okrąg wpisy i opisy figurch - okrąg wpisy w kwdrt - okrąg opisy kwdrcie - okrąg wpisy w sześciokąt foremy - okrąg opisy sześciokącie foremym - okrąg wpisy w trójkąt rówoboczy - okrąg opisy trójkącie rówoboczym Sum długości promiei okręgu wpisego i opisego trójkącie rówoboczym jest rów wysokości tego trójkąt: R + r h. Czworokąty W czworokąt możemy wpisć okrąg, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są rówe. N czworokącie moż opisć okrąg, gdy sum przeciwległych kątów wyosi 8. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek

63 Kompedium do pobri stroie: Publikcj jest dystrybuow bezpłtie 8. STEREOMETRIA (BRYŁY) UWAGA! Większość wzorów w tym rozdzile jest zwrt w tblicch mtemtyczych dostępych podczs egzmiu mturlego w dzile STEREOMETRIA. Te, których tm ie zjdziemy, są obrmowe iebieską rmką. 8. Podził i zewictwo brył Bryły wielościee - GRANIASTOSŁUPY -OSTROSŁUPY Bryły obrotowe - WALEC - STOŻEK - KULA Nzewictwo brył wielościeych Nzw skłd się ze słow gristosłup/ostrosłup i słow iformującego, jk figur jest w podstwie. Przykłdowo: gristosłup trójkąty to gristosłup, który w podstwie m trójkąt. Tworząc zwy, czsem używmy też słow: prwidłowy. Brył prwidłow to tk, któr m w podstwie figurę foremą (tką, któr m boki tej smej długości i kąty tej smej miry). Podto, iektóre bryły mją zwy specjle : prostopdłości to gristosłup, który m w podstwie prostokąt; sześci wszystkie jego ściy i podstwy mją ksztłt idetyczych kwdrtów; czworości foremy to ostrosłup, którego wszystkie ściy i podstw są idetyczymi trójkątmi rówoboczymi. 8. Kąty i odciki w bryłch Odciki w bryłch Odpowiedie odciki w gristosłupch i ostrosłupch mją swoje zwy: krwędzie podstwy ( zieloo), pozostłe krwędzie zywmy krwędzimi ści boczych ( czerwoo)[wysokość gristosłup (H) jest rów długości krwędzi boczych], wysokość ostrosłup (H) ( iebiesko) to odciek opuszczoy z wierzchołk, prostopdle podstwę. Wielkościmi chrkteryzującymi: wlec są: promień podstwy (r) i wysokość (H); stożek są: promień podstwy (r), wysokość (H), tworząc (l), kąt rozwrci (α ); kulę promień (r). Przekąt gristosłup To odciek łączący dw wierzchołki, leżące iych podstwch i ie leżące do jedej ściy boczej. W prktyce możemy się spotkć z przekątą prostopdłościu. Kąty w bryłch wielościeych Jeżeli w zdiu pody jest opis kąt zwrtego ie między kokretymi krwędzimi, le pojwi się jkś ści bryły, musimy ustlić jkie krwędzie te kąt reprezetują. Przedstwimy cztery tego typu przypdki, jkie mogą pojwić się w zdich. Autork: Agieszk Jędruszek Hour Firm Usługow Jo Jędruszek