Automatyka i sterowanie w gazownictwie. Wymagania stawiane układom regulacji

Transkrypt

1 Automtyk i terowie w gzowictwie Wymgi twie ukłdom regulcji Wykłdowc : dr iż. Iwo Oprzędkiewicz Nzw wydziłu: WIMiR Nzw ktedry: Ktedr Automtyzcji Proceów AGH

2 Wymgi twie ukłdom regulcji Sterowlość ytemu Oberwowlość ytemu Stbilość ytemu

3 Sterowlość ytemu dymiczego Defiicj Sytem zywmy terowlym, jeżeli toując ogriczoe, przedziłmi ciągłe terowie moż go przeprowdzić w kończoym czie z dowolego zdego tu początkowego x do zdego tu końcowego xk. Wruek koieczy i dotteczy terowlości. Sytem liiowy tcjory jet terowly (pr mcierzy (A,B) jet terowl ) wtedy i tylko wtedy gdy rząd mcierzy terowlości S jet rówy S B AB... A p B p-rząd mcierzy terowń B

4 Sterowlość ytemu dymiczego Wruek koieczy i dotteczy terowlości. Sytem liiowy tcjory o jedym wejściu jet terowly wtedy i tylko wtedy, gdy: det B AB... A B

5 Sterowlość ytemu dymiczego Przykłd Sprwdzić terowlość ytemu dymiczego opiego tępująco: W powyżzym przykłdzie: 7 A B AB B A

6 Sterowlość ytemu dymiczego Czyli: det B, AB, A B det 7 Rząd mcierzy terowlości jet rówy ( wyzczik x tej mcierzy jet iezerowy), WNIOSEK: Rozwży ukłd jet terowly.

7 Oberwowlość ytemu dymiczego Defiicj Sytem dymiczy jet oberwowly, jeżeli itieje tk kończo chwil t k że podtwie zjomości terowi u(t, t k ] orz orz odpowiedzi y(t, t k ] w przedzile (t, t k ] moż wyzczyć t początkowy x w chwili t.

8 Oberwowlość ytemu dymiczego Wruek koieczy i dotteczy oberwowlości Sytem liiowy tcjory jet oberwowly (pr mcierzy (C,A) jet oberwowl ) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd mcierzy oberwowlości G jet rówy G C CA... CA r r- rząd mcierzy C

9 Oberwowlość ytemu dymiczego Wruek koieczy i dotteczy oberwowlości Sytem liiowy tcjory o jedym wyjściu jet oberwowly wtedy i tylko wtedy, gdy: C det CA... CA r

10 Oberwowlość ytemu dymiczego Przykłd Zbdć oberwowlość tępującego ytemu dymiczego: C A Rząd mcierzy C rów ię,

11 Oberwowlość ytemu dymiczego Mcierz G z twierdzei jet rów: CA C G Rząd mcierzy G jet rówy, ukłd jet ztem terowly. CA

12 Stbilość ytemów dymiczych Rozwżmy utoomiczy ukłd ieliiowy: x ( t) f ( x( t)) Defiicj ( Pukt rówowgi ytemu) Puktem rówowgi ytemu zywmy pukt x = x r dl którego: f(x r ) =. Iymi łowy, trjektori ytemu oiąg pukt rówowgi, jeśli wzytkie zmiee tu oiągją wrtość utloą. Uwg: Ukłd ieliiowy może mieć więcej iż pukt rówowgi. Ukłd liiowy m tylko pukt rówowgi.

13 Stbilość ytemów dymiczych Przykłd: ( pukty rówowgi ytemu ieliiowego): ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t x t x t x t x t x t x Rozwżmy tępujący, utoomiczy ukłd ieliiowy: W pukcie rówowgi pochode ze zmieych tu ię zerują, co moż zpić tępująco: ) ( ) ( ) ( ) ( t x t x t x t x ( * ) Łtwo zuwżyć, że rówie (*) jet pełioe dl: x x x x Czyli ukłd m pukty rówowgi: P (,) orz P (,)

14 Stbilość ytemów dymiczych Defiicj tbilości Pukt rówowgi xr zywmy tbilym, ( w eie Lpuov ) jeżeli dl kżdej liczby dodtiej moż dobrć tką liczbę (zleżą od ) że trjektori ytemu x(t) rozpoczyjąc ię w pukcie początkowym x (ie będącym puktem rówowgi) leżącym wewątrz kuli o promieiu pozotje wewątrz kuli o promieiu dl dowolej chwili czu t > Ozcz to, że: Ukłd dymiczy uzjemy z tbily, jeżeli jego odpowiedź dowole wymuzeie ogriczoe pod względem mplitudy orz czu trwi rówież jet ogriczo.

15 Stbilość ytemów dymiczych Defiicj (Stbilość ymptotycz) Pukt rówowgi x r zywmy tbilym ymptotyczie, jeżeli:. Jet tbily,. Spełioy jet tępujący wruek: lim t x( t) x r Mówiąc prościej, rozwiązie jet tbile ymptotyczie, jeśli przy czie roącym do iekończoości zmierz do rozwiązi utloego, czyli wzytkie kłdowe przejściowe rozwiązi zikją do zer.

16 Stbilość ytemów dymiczych Stbilością_loklą zywmy tbilość dl wruków początkowych leżących w iewielkim otoczeiu puktu rówowgi. Stbilością_globlą zywmy tbilość dl dowolych wruków początkowych. Uwg W ytemch ieliiowych moż wyróżić obzry tbilości i obzry ietbilości. Sytem liiowy jet tbily lub ietbily dl wzytkich wruków początkowych.

17 Stbilość ytemów dymiczych Przykłdy odpowiedzi impulowych ukłdów tbilych ymptotyczie:.5 Impule Repoe..5. Amplitude Time (ec)

18 Stbilość ytemów dymiczych Przykłdy odpowiedzi kokowych ukłdów tbilych ymptotyczie:.9 Step Repoe Amplitude Time (ec)

19 Stbilość ytemów dymiczych Przykłd odpowiedzi kokowej ukłdu ietbilego Step Re po e 5 Am plitude Time ( ec)

20 Stbilość ytemów dymiczych Rozwżmy ytem opiy trmitcją opertorową: G ( ) b b b L M ( ) ( ) Wruek koieczy i dotteczy ( Stbilość ) WK i D: Sytem dymiczy opiy trmitcją opertorową jet tbily wtedy i tylko wtedy, gdy wzytkie pierwitki miowik trmitcji M() mją iedodtie części rzeczywite.

21 Stbilość ytemów dymiczych WKiD ( Stbilość ymptotycz) Sytem dymiczy opiy trmitcją opertorową jet tbily ymptotyczie wtedy i tylko wtedy, gdy wzytkie pierwitki miowik trmitcji M() mją ujeme części rzeczywite. UWAGA: O tbilości ytemu decyduje loklizcj pierwitków miowik trmitcji obiektu ie wrtość tych prmetrów.

22 Kryteri tbilości ytemów dymiczych Kryteri tbilości łużą do loklizcji pierwitków wielomiu chrkterytyczego płzczyźie zepoloej bez koieczości wyzczi ich wrtości. Wruek koieczy WK (tbilość) Wrukiem koieczym tbilości ytemu dymiczego opiego trmitcją opertorową jet, by wzytkie wpółczyiki:,, miowik trmitcji ytemu M() były ieujeme ( iedodtie ).

23 Stbilość ytemów dymiczych Wruek koieczy WK (tbilość ymptotycz) Wrukiem koieczym tbilości ymptotyczej ytemu dymiczego opiego trmitcją opertorową jet, by wzytkie wpółczyiki:,, miowik trmitcji ytemu M() były:. róże od zer,. tego mego zku ( tz. wzytkie dodtie lub wzytkie ujeme ) UWAGI.Wpółczyiki wielomiu chrkterytyczego rówe zero geerują pry pierwitków czyto urojoych, które ą tbile, le ie ą tbile ymptotyczie.. Wpółczyiki o różych zkch geerują pierwitki o dodtich częścich rzeczywitych, które ą ietbile.

24 Stbilość ytemów dymiczych Przykłdy: Wielomi chrkterytyczy pełijący WK tbilości ymptotyczej : Wielomi chrkterytyczy ietbily ( ie pełijący WK tbilości ymptotyczej): ) ( 4 5 M Wielomi chrkterytyczy pełijący WK tbilości (le ie ymptotyczej ) : 4 ) ( 4 5 M 4 5 ) ( 4 5 M

25 Stbilość ytemów dymiczych UWAGI:. Nie pełieie WK ozcz, że ukłd jet ietbily,. Spełieie WK dl =, ( ytem lub rzędu ) ozcz, że ytem jet tbily, czyli dl ukłdów i rzędu Wruek Koieczy jet Wrukiem Koieczym i Dotteczym tbilości.. Spełieie WK dl ytemu rzędu lub wyżzego ie dje iformcji o tbilości, leży ztoowć dodtkowo kryterium tbilości.

26 Kryteri tbilości ytemów liiowych Ze względu poób potępowi podcz bdi tbilości, kryteri tbilości ytemów liiowych dzielimy dwie zdicze grupy: kryteri lgebricze przy ich pomocy bdmy loklizcję pierwitków wielomiu chrkterytyczego podtwie zjomości jego wpółczyików. Nleżą do ich kryteri Hurwitz i Routh. kryteri czętotliwościowe ich zczeie poleg tym, że pozwlją oe bdie tbilości podtwie doświdczlie zdjętych chrkterytyk czętotliwościowych. Pozwlją oe podtwie zjomości przebiegu chrkterytyki czętotliwościowej dl ukłdu otwrtego wiokowć o tbilości ukłdu zmkiętego. Njbrdziej ze jet kryterium Nyquit.

27 Kryterium Hurwitz Rozwżmy wielomi chrkterytyczy M(): ) ( M Zkłdmy, że jet pełioy WK tbilości. Dl wielomiu budujemy mcierz Hurwitz o tępującej potci: H

28 Kryterium Hurwitz Miory główe mcierzy H mją potć:...,, 4 5 H H H

29 Kryterium Hurwitz Twierdzeie ( Kryterium Hurwitz ) Złożei:. Rozwżmy wielomi chrkterytyczy M(). Zkłdmy że jet pełioy WK tbilości ymptotyczej. ( wzytkie wpółczyiki i i =... N tego wielomiu ą róże od zer i ą tego mego zku,) Wielomi M() m wzytkie pierwitki w lewej półpłzczyźie zepoloej wtedy i tylko wtedy, gdy wzytkie miory główe H H mcierzy Hurwitz H dodtie.

30 Kryterium Hurwitz przykłd 8 5 ) ( 4 5 M mcierz Hurwitz H: H Miory główe: 7 5 H H Ukłd NIESTABILNY Rozwżmy tępujący wielomi chrkterytyczy:

31 Kryterium Hurwitz przykłd Rozwżmy tępujący wielomi chrkterytyczy: M( ) mcierz Hurwitz H: H

32 Kryterium Hurwitz przykłd Miory główe: H 4.9 H H

33 Kryterium Hurwitz przykłd H UWAGA: Nie m potrzeby bdi wyzczik H, gdyż jet o zwze dodti jeśli H 4 jet dodti. Ukłd jet STABILNY

34 Stbilość ukłdów kryteri czętotliwościowe Cechy kryteriów czętotliwościowych: wiokowie o tbilości ukłdu podtwie doświdczlie wyzczoej chrkterytyki czętotliwościowej ukłdu, o tbilości ukłdu zmkiętego wiokujemy podtwie przebiegu chrkterytyki czętotliwościowej ukłdu otwrtego, przebieg chrkterytyki czętotliwościowej dotrcz bezpośrediej iformcji temt zpów tbilości.

35 Stbilość ukłdów kryteri czętotliwościowe. Zmkięty ukłd regulcji ( ze przężeiem zwrotym): R() + - G r () G() Gdzie: G r () ozcz trmitcję regultor, G() ozcz trmitcję obiektu regulcji

36 Stbilość ukłdów kryteri czętotliwościowe. Złóżmy, że w ukłdzie rozłączmy przężeie zwrote: G() G r () - + R() Trmitcj opertorow ukłdu otwrtego ( po rozłączeiu toru przężei zwrotego): ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( M L G G G o o r o

37 Iterpretcj geometrycz kryterium Nyquit Q(ω) Ukłd ietbily Ukłd tbily (-,j) P(ω) Ukłd tbily Ukłd gricy tbilości

38 Jkość regulcji Rozwżmy zmkięty ukłd regulcji (przypomieie) : G r () Z() r E() U() Y() G() gdzie: r wrtość zd, E() uchyb regulcji, U() terowie, Z() zkłóceie, Y() wielkość regulow G r () trmitcj regultor, G() trmitcj obiektu regulcji

39 Jkość regulcji dokłdość ttycz Uchyb ttyczy e t Błędem, odchyleiem lub uchybem ttyczym zywmy uchyb regulcji wytępujący w ukłdzie regulcji w tie utloym. Dl ukłdu z powyżzego chemtu uchyb ttyczy jet umą uchybu pochodzącego od zkłócei i uchybu pochodzącego od wrtości zdej: e e z e r t t t

40 Jkość regulcji jkość dymicz Jkość dymicz regulcji może być określ podtwie:. bezpośredich wkźików jkości wyzczych podtwie przebiegu czowego uchybu regulcji w ukłdzie,. prmetrów chrkterytyki czętotliwościowej ukłdu zmkiętego,. cłkowych wkźików jkości wyzczych podtwie przebiegów czowych uchybu regulcji.

41 e(t)..5 Jkość regulcji jkość dymicz Bezpośredie wkźiki jkości e m -. e T r t

42 Jkość regulcji jkość dymicz Bezpośredie wkźiki jkości regulcji:. Cz regulcji T r jet to cz, po jkim uchyb regulcji jet w poób trwły miejzy od złożoej wrtości. Njczęściej przyjmuje ię =5%.. Odchyleie mkymle e m e. Przeregulowie : % e m

43 Czętotliwościowe wkźiki jkości M(ω) Chrkterytyk czętotliwościow ukłdu zmkiętego: Bode Digrm M r M t M p ω r ω p Φ(ω)

44 Czętotliwościowe wkźiki jkości Do ocey jkości regulcji ą toowe tępujące prmetry tej chrkterytyki: M r mkyml wrtość modułu trmitcji widmowej ukłdu zmkiętego - powi być jk jmiejz, p zerokość pm przeozei ukłdu zmkiętego. Powi być dobr tk, by zpewić tłumieie zkłóceń wyokoczętotliwościowych przy jedoczeym poprwym przeozeiu ygłu użyteczego.

45 e(t) Cłkowe wkźiki jkości Uwgi wtępe: Mirą jkości regulcji jet wielkość pol figury ogriczoej przez wykre odpowiedzi czowej uchybu regulcji.. Se wkźików cłkowych opiują oe wielkość trt (p. eergii ) podcz przebiegu terowi. t

46 Cłkowe wkźiki jkości Wkźiki cłkowe toowe w prktyce: I e t ) ( dt Tylko przebiegi periodycze I e t) ( dt Przebiegi periodycze i ocylcyje, trude w lizie teoretyczej I e t) ( dt Njczęściej toowy

47 Cłkowe wkźiki jkości Jeśli trformt Lplce uchybu regulcji jet z i rów: ) ( c c c E To moż podć litycze wzory wrtość wkźik jkości I :

48 Cłkowe wkźiki jkości Dl = : I c Dl = : I c c

49 Cłkowe wkźiki jkości Dl = : ) ( ) ( c c c c c I