PODSTAWY AUTOMATYKI 8. Stabilność

Transkrypt

1 Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 8. Sbilość

2 Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło ukłd z ego u. z + u - O y y R e - + w y b y 4

3 Sbilość z + u - O y y R e - + w Zmkięy ukłd liiowy będziemy uwżć z bily, jeżeli: przy kżdej kończoej wrości zkłócei z i przy kżdej kończoej wrości zdej w orz dl dowolych wruków począkowych ygł wyjściowy y dążyć będzie do kończoej wrości uloej dl czu dążącego do iekończoości.

4 Sbilość 4 Ukłd je bily ympoyczie, gdy po zikięciu wymuzei ukłd powrc do ego mego u rówowgi co zjmowy poprzedio. Ukłd je bily ieympoyczie, gdy po zikięciu wymuzei ukłd oiąg rówowgi w iym pukcie iż począkowy. Ze względu wymgie oiągi przez wielkość regulową wrości zdej y=w ukłd mui być bily ympoyczie

5 5 Sbilość z b d z d b d z d b y d y d d y d m m m m m m N M b b b z y m m m m Ukłd zmkięy opiy je z pomocą liiowego rówi różiczkowego lub odpowidjącej mu rmicji operorowej: Rówie chrkeryyczego ukłdu zmkięego - miowik rmicji operorowej rówy zeru Pierwiki rówi chrkeryyczego ukłdu zmkięego - k N

6 6 Sbilość Przykłdy: Sbilość je cechą ukłdu, ie zleży od chrkeru zkłócei Aby wierdzić czy dy ukłd je bily, wyrczy zbdć przebieg jego chrkeryyki impulowej: ] [ L g Be Ae B A L L L g Ce Be Ae C B A L L L g,, i co 4 4 j j e B C Be Ae C B A L L L g lim g

7 Sbilość 7 Przykłdy: g L L L A B Ae B limg B g L L L A B C Ae B C lim g g L A B L L Ae Be lim g g L L 4 L A B C 4 lim g Ae Be co C B e i, j, j

8 Koieczy i doeczy wruek bilości 8 Koieczym i doeczym wrukiem bilości ympoyczej ukłdu je, by pierwiki rówi chrkeryyczego ukłdu zmkięego bieguy były ujeme lub miły ujeme części rzeczywie: Re k Ukłd je bily ieympoyczie, jeśli jego rówie chrkeryycze oprócz pierwików ujemych i zepoloych o ujemych częścich rzeczywiych poid jede pierwiek zerowy Ukłd je iebily, jeśli jego rówie chrkeryycze poid więcej iż jede pierwiek zerowy lub pierwiki dodie lub zepoloe o dodich lub zerowych częścich rzeczywiych

9 Sbilość 9 Sbilość je cechą ukłdu, ie zleży od chrkeru zkłócei Ogriczeie oowlości kryerium bezpośrediego Trudości wyzczei pierwików rówi chrkeryyczego ukłdów opiych rówimi różiczkowymi wyżzych rzędów wykoki opień rówi chrkeryyczego Meody ocey bilości bez koieczości obliczi pierwików rówi chrkeryyczego: kryerium Hurwiz kryerium Michjłow kryerium Nyqui

10 Kryerium Hurwiz Rówie chrkeryycze ukłdu : N M z y N Wruek wzykie wpółczyiki rówi chrkeryyczego iieją i mją jedkowy zk wruek koieczy, le iedoeczy,,,

11 Kryerium Hurwiz Wruek podwyzcziki i, od i= do i=-, wyzczik główego ą więkze od zer. Wyzczik, uworzoy ze wpółczyików rówi chrkeryyczego, m wierzy i kolum: Kryerium umożliwi wierdzeie bilości ieympoyczej i ympoyczej. Sbilość ieympoycz zchodzi wedy, gdy w rówiu chrkeryyczym wpółczyik: Nie moż bdć bilości ukłdów, w kórych wyępują człoy opóźijące

12 Kryerium Hurwiz 9 4 de 4 5 Przykłd: de 4 N Przykłd: 4 N Ukłd iebily

13 Kryerium Hurwiz 9 4 de 4 5 Przykłd: de 4 5 N 4 N

14 4 Kryerium Nyqui Kryerium Nyqui - pozwl bdć bilość ukłdu ylko zmkięego podwie przebiegu chrkeryyki częoliwościowej ukłdu owrego, kórą moż wyzczyć zrówo liyczie, jk i doświdczlie N M z u O O O Trmicj ukłdu owrego: Trmicj ukłdu zmkięego: z y Z y w u - + y z

15 5 Kryerium Nyqui M N N z y o o o Z Rówie chrkeryycze ukłdu owrego: Rówie chrkeryycze ukłdu zmkięego: N O N M N O O Z Ob rówi ą opi N M z u O O O z y Z N M z y o o Z

16 Kryerium Nyqui- przypdek 6 Rówie chrkeryycze ukłdu owrego ie m pierwików jq dodich lub o dodich częścich rzeczywiych może mieć dowolą liczbę pierwików zerowych. Przypdek e doyczy zczej więkzości ukłdów. Kryerium odozące ię ylko do ego przypdku zyw ię uprozczoym = P Wruek bilości ukłdu zmkięego: + j Jeżeli rówie chrkeryycze ukłdu owrego ie m pierwików dodich lub o dodich częścich rzeczywiych, o ukłd zmkięy je bily, jeżeli chrkeryyk mpliudowo-fzow ukłdu owrego O jω dl pulcji ω od do + ie obejmuje puku -,j. -,j jq j = P

17 = Kryerium = Nyqui- przypdek P P = 7 = P P Chrkeryyki + ukłdów, j kóre Chrkeryyki ukłdów, + j kóre + j + j po zmkięciu ą bile po zmkięciu ie ą bile jq jq jq jq -,j = P -,j -,j = = P P j j j, j, j

18 Kryerium Nyqui- przypdek 8 W przypdku złożoego kzłu krzywych O jω wygodie je poługiwie ię z zw. reguły lewej roy : ukłd zmkięy je bily wedy, kiedy puk -,j zjduje ię w obzrze leżącym po lewej roie chrkeryyki O jω, idąc w roę roących ω. Sbile: b jq b jq Niebile: jq jq -,j -,j = P = P -,j = -,j = P P j j j j jq jq jq jq -,j j = -,j j = P P -,j j = -,j j = P Możemy bdć ukłdy mjące dowol liczbę pierwików zerowych P

19 Kryerium Nyqui- przypdek 9 Wruek bilości ukłdu zmkięego: Jeżeli owry ukłd regulcji uomyczej je iebily i m m pierwików wego rówi chrkeryyczego w prwej półpłzczyźie zmieej, o po zmkięciu będzie o bily wedy i ylko wedy, gdy chrkeryyk mpliudowo-fzow ukłdu owrego dl pulcji ω od do + okrąż m/ rzy puk -,j w kieruku dodim Zoowie ego kryerium wymg zjomości liczby pierwików rówi chrkeryyczego ukłdu owrego z dodią częścią rzeczywią, co brdzo ogricz jego zczeie. Omwiy przypdek je brdzo rzdki, gdyż ukłdy uomyki poyke w prkyce ą zwykle w ie owrym bile m=.

20 Zp bilości Przykłdowe wykrey chrkeryyk mpliudowo-fzowych dl ukłdów owrych Wruek bilości: M jq O j - M - - p = = = P ω -π pulcj, dl kórej: rg O 8 j dzie: ΔM zp modułu Δφ zp fzy M M

21 Logrymicze kryerium Nyqui Logrymicze chrkeryyki mpliudow i fzow L [db] L logm lub p - [rd/] p -, L p = - L - L p - [rd/] - p

22 Logrymicze kryerium Nyqui Wruek bilości dl chrkeryyk częoliwościowych podych w poci logrymiczych chrkeryyk mpliudowej Lω i fzowej φω: L log j O Defiicj: Zmkięy ukłd uomyczej regulcji je bily wedy, gdy logrymicz chrkeryyk mpliudow ukłdu owrego m wrość ujemą przy pulcji odpowidjącej przeuięciu fzowemu -8.

23 Logrymicze kryerium Nyqui Ukłd owry zpić moż z pomocą logrymiczych chrkeryyk częoliwościowych - mpliudowej L i fzowej. Chrkeryyk mpliudowofzow, chrkeryyk Blck

24 Logrymicze kryerium Nyqui 4 Przykłdowe wykrey chrkeryyk mpliudowo-fzowych dl złożoych ukłdów owrych bily, b - iebily jq -,j = = P b

25 Logrymicze kryerium Nyqui 5 Jeżeli ukłd owry je bily, o ukłd zmkięy bily je wedy, gdy liczb wrości dodich Lω x je przy, iebily gdy liczb wrości dodich Lω x je ieprzy bily, b - iebily

26 Zley kryerium Nyqui 6 Chrkeryyki częoliwościowe ukłdu owrego moż wyzczyć doświdczlie i liyczie Moż ie ylko zbdć bilość, le kże określić oddleie ukłdu od gricy bilości Umożliwi bdie bilości ukłdów zwierjących człoy opóźijące. Zlece zpy bilości φ 6 ; M 4 ; 6[ db] L [ db]

27 7 Przykłd y + - R y + - e u T T T k T k k k k k k T k T k T k i i p i p O k p O 5 Njczęściej wymgmy: Zp modułu: ΔL=6- db Zp fzy: Δφ=-6 O T k T k T k R i p k 5 k k k 4. p k T T T i

28 Lω db Przykłd c.d log kkkk p log 6dB O ω - -4 φω ω

29 Lω db Przykłd c.d O ω φω ω

30 Lω db Przykłd c.d O ω -4 φω ω

31 Lω db Przykłd c.d -... ω - - O -4 φω ω

32 Lω db Przykłd c.d O 6dB -... ω φω Aby zpewić zp modułu 6 db leży przeuąć logrymiczą ch-kę mpliudową o db w dół o ozcz 4 kroe zmiejzeie wzmociei w ukłdzie owrym przez dobór wrości wzmociei regulor kp= ω

33 Przykłd c.d Ie meody korekcji ukłdu: Zmi T i lub Td regulor Dodie pecjlego człou korekcyjego o rmicji: K Td T + - y u K R e - + y

34 4 Zbdć bilość ukłdu i określić jego zp modułu z + _ y _ Przykłd

35 5 Przykłd, j j j j j j j. ; Q P [rd/] P -.5 Q -.6

36 Przykłd 6 Chrkeryyk mpliudowo fzow ukłdu owrego M M.5