KOMISJA BUDOWY MASZY PA ODDZIAŁ W POZAIU Vol. 6 nr Archiwum echnologii Masn i Automatacji 6 LESZEK SKOCZYLAS LIIA SYKU ZĘBÓW PRZEKŁADI ŚLIMAKOWEJ O SOŻKOPOCHODYM ZARYSIE ŚLIMAKA W artkule redstawiono matematcn ois arsu ęba ślimaka stożkoochodnego. Podano sosób oblicenia wsółrędnch linii stku ębów dla stożkoochodnej rekładni ślimakowej. a rkładie wbranej rekładni ślimakowej oracowano charakterstki mian arsu ęba ślimaka ora rebiegu linii stku ębów w funkcji arametrów konstrukcjnch rekładni. Słowa klucowe: rekładnie ślimakowe, aębienie. WSĘP W aębieniu każdej rekładni właściw stk omięd wsółracującmi ębami jest bardo istotn. Może on mieć charakter unktow lub liniow. W rekładniach ślimakowch stk jest liniow, a kstałt linii stku ależ od wielu cnników. Jednm nich jest ars ęba ślimaka, asadnico włwając na nośność rekładni. ależ odkreślić, że ois geometrii aębienia rekładni ślimakowch nie jest łatw. Scególnie skomlikowan jest ois w radku stożkoochodnego arsu ślimaka. Wkorstując rachunek macierow ora metod numercne, można utworć model geometrii aębienia tego tu rekładni ora reanaliować rebieg linii stku.. ZARYS ZĘBA ŚLIMAKA SOŻKOPOCHODEGO Do obróbki uębienia ślimaków stożkoochodnch wkorstwane są narędia obrotowe o arsie traeowm. arędie może mieć formę krążkową, alcową lub garnkową. iniejs artkuł dotc ślimaka kstałtowanego narędiem krążkowm. Dr inż. Katedra echnologii Masn i Organiacji Produkcji Politechniki Resowskiej.
9 L. Skoclas Kinematkę obróbki ślimaka redstawiono na rs.. Zars ęba owstaje w wniku wględnego ruchu obrotowego i ostęowego ślimaka i narędia (rs. ). Podcas obróbki oś narędia jest odsunięta i skręcona wględem osi ślimaka o kąt wniosu linii śrubowej. Serokość wrębu i kąt arsu ęba ślimaka ależą od serokości i kąta arsu narędia. Śrubowa owierchnia bocna ębów ślimaka jest nastęstwem liniowego stku e stożkową owierchnią narędia. Ab ją oisać, należ acąć od oisu geometrii narędia. Parametr oisujące owierchnię stożkową redstawiono na rs.. W oarciu o dwa arametr, tj. odległość u od wierchołka stożka ora kąt obrotu ξ wględem osi narędia, można określić wsółrędne dowolnego unktu (,,) leżącego na owierchni bocnej narędia. Służą do tego nastęujące ależności [, 4]: = ucosα cosξ = ucosα sinξ = h usinα Wsółrędne owierchni, godnie równaniem, ależą onadto od wsokości stożka h ora kąta arsu stożka α. Wsokość stożka h ależ beośrednio od wmiarów narędia, wobec cego można ją wnacć ależności: () d b h = tgα () Rs.. Układ kinematcn kstałtowania arsu ęba ślimaka stożkoochodnego Fig.. Kinematic sstem of K-worm tooth rofile creation Rs.. Geometria narędia stożkowego Fig.. Geometr of conical tool
Linia stku ębów rekładni ślimakowej... 93 W równaniu d onaca średnicę odiałową narędia, a b serokość narędia na średnic odiałowej. Wsółrędne linii stku omięd narędiem a ślimakiem otrmuje się, wchodąc nastęującej ależności: n t n t n t = (3) gdie n, n, n onacają składowe wektora normalnego do owierchni, a t, t, t składowe wektora stcnego do owierchni. W ależności (3) składowe wektora normalnego można oblicć na odstawie równań () oisującch owierchnię narędia jako odowiednie wnacniki wględem arametrów owierchni stożkowej u i ξ. Składowe wektora stcnego oblicane są w oarciu o wektor rędkości wględnej remiescania narędia wględem kstałtowanego ślimaka. Wkonując oblicenia [, 4], uskuje się równanie, które wsólnie ależnościami () twor układ równań oisującch linię stku omięd narędiem a ślimakiem w układie narędia (rs. ). Wlicona linia stku jest jedną tworącch owierchni bocnej ębów ślimaka. Powierchnia ta tworona jest re obrót o kąt ψ (rs. ) i resunięcie o wartość ( ψ/(π)) obliconej urednio linii stku. Po uwględnieniu macier rejścia omięd układami wsółrędnch, ora (rs. ) końcowa ostać ależności, oisująca łat stożkoochodnej owierchni śrubowej ęba ślimaka w układie (rs. ), redstawia się nastęująco [,4]: = u = u ( cosα cosγ sinξ sinψ cosα cosξ cosψ sin α sin γ sinψ) a cosψ hsin γ sinψ ( cosα cosγ sin ξ cosψ cosα cosξ sinψ sin α sin γ cosψ) a cosψ hsin γ cosψ ψ = u( cosα sin γsin ξ sin α cosγ) h cosγ π a u = hsin α ( ctgγ sinξ sin α cosα ) cosξ ( ctgγ cosα sin α sin ξ ) π cosξ gdie onaca skok linii śrubowej ślimaka, a γ kąt wniosu linii śrubowej. Układ równań (4) umożliwia analię arsu ślimaka stożkoochodnego w dowolnm rekroju w ależności od różnch arametrów. Charakterstcnm arsem ęba ślimaka w więksości radków jest ars osiow. Prjmując w równaniu (4) wsółrędną =, uskuje się ois osiowego arsu (4)
94 L. Skoclas ślimaka, któr oddano analiie. Parametr stożkoochodnej rekładni ślimakowej, w odniesieniu do której rowadono anali, redstawiono w tablic. Parametr rekładni ślimakowej Worm gear arameters ablica L. awa arametru Wartość. Moduł osiow ślimaka 5 mm. Wskaźnik średnicow 3. Wsółcnnik grubości ęba ślimaka,5 4. Licba ębów ślimacnic 3 5. Wsółcnnik luu wierchołkowego, 5. Wsółcnnik korekcji 6. Odległość osi rekładni mm 7. Kąt arsu narędia o a) b) c) d) Rs. 3. Zależność arsu ęba ślimaka stożkoochodnego od licb ębów i średnic narędia: a) ślimak jednoębn, b) ślimak dwuębn, c) ślimak cteroębn, d) ślimak seścioębn Fig. 3. Deendence of K-worm tooth rofile from the number of teeth and tool diameter: a) one- -tooth worm, b) two-tooth worm, c) four-tooth worm, d) si-tooth worm
Linia stku ębów rekładni ślimakowej... 95 Predstawione w tablic arametr ora licba ębów ślimaka i średnica odiałowa narędia mają beośredni włw na ars ęba ślimaka ora rebieg linii stku rekładni. Licba ębów ślimaka r stałej odległości osi i licbie ębów ślimacnic naruca jednoceśnie kąt wniosu linii śrubowej ślimaka. Im więksa licba ębów, tm więksa wartość kąta. Decdując włw na ars ęba ślimaka stożkoochodnego ma również średnica narędia użtego do wkonania ślimaka. Charakterstki kstałtu osiowego rekroju ęba ślimaka w ależności od wmienionch arametrów redstawiono na rs. 3. a odstawie rs. 3 można stwierdić, że najwięks włw na ars ęba ma licba ębów ślimaka, a re to kąt wniosu linii śrubowej. Wrost tch wartości włwa na więksenie wukłości ęba. Również średnica narędia daje odobn skutek, jednak o nacnie mniejsm nasileniu. ajwiękse mian obserwowane są r małch średnicach narędi. Im więkse średnice narędi, tm ich włw na wukłość jest cora mniejs. ależ również auważć, że wstęują różnice w rroście wukłości na głowie i stoie ęba. Pr małej licbie ębów wrost średnic narędia owoduje więkse mian krwin na głowie niż na stoie ęba. Ze wrostem licb ębów jest odwrotnie więkse mian wstęują na stoie ęba. 3. LIIA SYKU ZĘBÓW PRZEKŁADI W celu określenia linii stku ębów omięd ślimakiem stożkoochodnm a ślimacnicą ostęowano odobnie jak r wnaceniu linii stku omięd ślimakiem a narędiem. Za naną geometrię rjęto owierchnię śrubową ślimaka, która oisana jest ależnością (4). W redstawionej formie matematcn ois stożkoochodnej owierchni śrubowej jest bardo skomlikowan. Wkorstując metod numercne [3], owierchnię bocną ślimaka w układie można aisać w ostaci: = cos sin = sin cos = π W równaniu,, onaca funkcję oisującą jedną tworącch owierchni śrubowej, wrażoną arametrcnie, a arametr owierchni śrubowej. Linia stku omięd ębami ślimaka i ślimacnic sełnia również warunek stcności (3). Korstając twierdenia o normalnch do owierchni, końcowe ależności oisujące składowe wektora normalnego oblicone na odstawie równania (5) można redstawić nastęująco: (5)
96 L. Skoclas n = sin cos π π n = sin cos (6) π π n = gdie re,, onacono ochodne funkcji oisującej tworącą owierchni. Wektor stcn do owierchni można określić kinematki rekładni ślimakowej. Jego składowe oblicane są jako różnicka toru ruchu unktu ołożonego w jednm układie wsółrędnch w stosunku do drugiego układu wsółrędnch []. Układ wsółrędnch wiąane są e ślimakiem i ślimacnicą, a ich wajemne ołożenie redstawiono na rs. 4. Zgodnie rsunkiem, oś ślimaka jest odsunięta od osi ślimacnic i skręcona o kąt 9 o. Rs. 4. Układ kinematcn aębienia ślimaka i ślimacnic Fig. 4. Kinematic sstem of worm and wormwheel meshing Wkorstując rachunek macierow, owiąanie układów ślimaka ( ) i ślimacnic ( ) można oisać ależnościami []:
Linia stku ębów rekładni ślimakowej... 97 [ ][ ] [ ] [ ] = c b a (7) [ ][ ][ ] [ ][ ] = c b a (8) W owżsch równaniach [] onaca macier obrotu układu wsółrędnch wokół osi, [] macier obrotu układu wsółrędnch wokół osi, a wsółrędne wektora wględnego resunięcia układów onacono a, b, c. Uależnienie ruchu wględnego ślimaka i ślimacnic może bć określone na dwa sosob. Pierws sosób to srężenie ruchu obrotowego ślimaka ruchem obrotowm ślimacnic godnie ałożonm rełożeniem rekładni. Drugi sosób to srężenie oosiowego remiescenia liniowego ślimaka ruchem obrotowm ślimacnic. Wbierając drugi sosób, w wniku różnickowania ależności (8) wględem obrotu ślimacnic otrmuje się wsółrędne wektora stcnego: [ ][ ][ ] [ ][ ] = t t t & (9) gdie re onacono oosiowe remiescenie ślimaka. Ponieważ w rowadonej analiie nane są wsółrędne owierchni śrubowej ślimaka, więc w ależności (9) wsółrędne należ wraić a omocą wsółrędnch wkorstaniem ależności (7). Po owrocie do równania (3) ora dokonaniu rekstałceń otrmuje się ależność w ostaci: ( )( ) cos sin π π cos π π sin = a () Zależność () łącnie ależnością (5) twor układ równań oisującch linię stku omięd ślimakiem a ślimacnicą w układie ruchomm ślimaka. Powiąanie układu ruchomego ślimaka układem nieruchomm (rs. 3) oisuje ależność:
98 L. Skoclas a = [ ] () W oarciu o owżse ależności można oblicć wsółrędne linii stku aębienia stożkoochodnego ślimaka i ślimacnic. Prkładow rebieg linii stku dla rekładni o arametrach odanch w tablic redstawiono na rs. 5. Analiie oddano skrajne radki roważanch wceśniej arsów ślimaka, tj. ślimak jedno- i seścioębn, wkonane narędiami o średnic 5 i mm. Linie stku ębów ślimaka jednoębnego odowiadają akresowi obrotu ślimaka 8 o krokiem co o. Zakres obrotu ślimaka seścioębnego wnosi 4 o, a krok obrotu, któremu odowiadają kolejne linie stku, to 35 o. Jak widać rsunku, decdując włw na rebieg linii stku ma licba ębów ślimaka. Włw średnic narędia tworącego ars ślimaka jest nienacn. Podobnie jak w radku arsu ęba ślimaka, więks włw średnic narędia wstęuje r więksej licbie ębów, owodując odsuwanie linii stku na głowie ęba ślimaka od rekroju osiowego ora niewielkie acieśnienie ołożenia kolejnch linii stku. a) b) c) d) Rs. 5. Prebieg linii stku ębów rekładni ślimakowej o stożkoochodnm arsie ślimaka: a) ślimak jednoębn, średnica odiałowa narędia 5 mm, b) ślimak jednoębn, średnica odiałowa narędia mm, c) ślimak seścioębn, średnica odiałowa narędia 5 mm, d) ślimak seścioębn, średnica odiałowa narędia mm Fig. 5. he course of worm gear contact line of K-worm rofile: a) one-tooth worm, the itch tool diameter 5 mm, b) one-tooth worm, the itch tool diameter mm, c) si-tooth worm, the itch tool diameter 5 mm, d) si-tooth worm, the itch tool diameter mm
Linia stku ębów rekładni ślimakowej... 99 4. PODSUMOWAIE Skomlikowan ois stku narędia e ślimakiem, a nastęnie ślimaka e ślimacnicą wmaga wkorstania do obliceń techniki komuterowej ora metod numercnch. Predstawione w niniejsm oracowaniu oblicenia dotcł włwu na geometrię aębienia stożkoochodnej rekładni ślimakowej tlko dwóch arametrów konstrukcjnch. Podobne oblicenia można wkonać w odniesieniu do każdego innego arametru, jak również do rekładni ślimakowch o nietowm arsie ślimaka c nietowej budowie rekładni [6], a uskane wniki wkorstać w racach otmaliacjnch. Predstawione ależności mogą bć również wkorstane do geometrcnego oisu ęba ślimacnic celem orównań wnikami metod smulacjnch [5] c do beośredniego wkonania kół ębatch [7]. LIERAURA [] Koć A., eoretcne odstaw konstrukcji narędi obwiedniowch, Warsawa, PW 99. [] Kornberger Z., Prekładnie ślimakowe, Warsawa, W 973. [3] Kosma Z., Metod numercne dla astosowań inżnierskich, Radom, Wd. Politechniki Radomskiej 999. [4] Marciniak., Prekładnie ślimakowe walcowe, Warsawa, PW. [5] Markowski., Skoclas L., Modelowanie kół ębatch metodą smulacji obróbki, Proektovannia, vrobnctvo ta èksluataciâ avtotransortnh asobv oidv ta nafto-gaorovod,, nr 9, Lvuv, casoismo aukowego Centrum Ukraińskiej Ucelni ransortu. [6] Skoclas L., Włw arametrów konstrukcjnch na właściwości eksloatacjne walcowośrubowego mechanimu różnicowego, rorawa doktorska, Resów, Politechnika Resowska 998 (nieublikowana). [7] Skoclas L., Wtwaranie kół ębatch wkorstaniem techniki CAD/CAM, Pregląd Mechanicn, w druku. Praca włnęła do Redakcji 3.3.6 Recenent: rof. dr hab. inż. Rsard Grajdek EEH COAC LIE OF WORM GEAR OF K-WORM PROFILE S u m m a r he aer resents mathematical descrition of K-worm tooth rofile. he method of calculation of teeth contact line coordinates of K-worm gear is given. Basing on the selected worm gear, the characteristics of changes of worm tooth rofile and course of teeth contact line, in deendence on gear construction arameters were elaborated. Ke words: worm gears, gearing