MODELE MATEMATYCZNE ŁOŻYSKA POROWATEGO I STOSOWANE UPROSZCZENIA

Transkrypt

1 4- T R I B O L O G I A 5 Karol Kremiński MODELE MATEMATYCZNE ŁOŻYSKA POROWATEGO I STOSOWANE UPROSZCZENIA MATHEMATICAL MODELS OF POROUS BEARING AND THEIR SIMPLIFICATIONS Słowa klucowe: łożsko orowate, reuscalność, rokład ciśnienia, nośność Ke- words: orous bearing, ermeabilit, ressure distribution, load caacit Strescenie W rac odane ostał równania ruchu ciec w łożsku orowatm o skońconej długości i stosowane uroscenia dla łożska o nieskońconej długości ora dla łożska wąskiego. Scegółowo omówiono ałożenia rjęte re Camerona dla łożska wąskiego ora rerowadono oblicenia orównawce rokładów ciśnienia i nośności łożska oblicone wg worów Camerona ora dla łożska orowatego o skońconej długości. Insttut Techniki Lotnicej i Mechaniki Stosowanej, Politechnika Warsawska

2 5 T R I B O L O G I A 4- WPROWADZENIE Łożska orowate stanowią secficną gruę łożsk śligowch, które mogą racować w warunkach samosmarowania. Teoretcna analia rac łożsk orowatch jest bardiej skomlikowana w orównaniu do łożsk konwencjonalnch anwią litą, bowiem w modelu matematcnm łożska orowatego należ uwględnić, że ruch ciec odbwa się równoceśnie w dwóch ośrodkach, w scelinie smarnej i w tulei orowatej. Ab oblicć rokład ciśnienia w łożsku orowatm należ rowiąać dwa równania oisujące ruch ciec w scelinie smarnej i w tulei orowatej. Rowiąanie ełnch równań ruchu ciec w łożsku orowatm możliwe jest tlko na drode numercnej. Dla ułatwienia rowiąania cęsto stosuje się uroscone modele oarte na ałożeniach wkorstwanch w łożskach konwencjonalnch. Należ jednak amiętać, e wniki rowiąań uskane dla urosconch modeli mogą bć obarcone nacnm błędem. RÓWNANIA RUCHU CIECZY W ŁOŻYSKU POROWATYM Predstawiona analia dotcć będie rełwów iotermicnch ominięciem jawisk cielnch wstęującch w łożsku orowatm. Prjmując dalej, że ciec jest nieściśliwa, newtonowska, o stałej lekości, rełw jest ustalon, laminarn ominięciem sił masowch, ruch ciec w scelinie smarnej można oisać równaniem Renoldsa (), a w tulei orowatej równaniem Lalace a (). r R θ h + η θ h = η U dh Rd υ, () θ kθ + k r r + k = () θ θ r r r gdie: k θ,k r, k wsółcnniki filtracji w kierunku obwodowm, romieniowm i osiowm

3 4- T R I B O L O G I A 5 Rs.. Schemat łożska orowatego Fig.. Scheme of orous bearing Równania () i () naisano we wsółrędnch clindrcnch, r ałożeniu równoległego ołożenia osi coa i tulei orowatej (rs.). W ogólnm radku wsółcnniki filtracji k i =φ i /η są funkcjami wsółrędnch. W modelach urosconch rjmuje się, że tuleja jest iotroowa i wówcas k θ =k r =k =k.scegółowe wrowadenie równań ruchu ciec () i() odano w racach [,,4]. Rowiąując układ tch równań uskuje się rokład ciśnienia w scelinie smarnej onacone re ora w tulei orowatej re *. Znając rokład ciśnienia w łożsku można oblicć jego nośność, oor ruchu w scelinie smarnej, ułw bocne oleju. ŁOŻYSKO WĄSKIE ORAZ O NIESKOŃCZONEJ DŁUGOŚCI Równania ruchu () i () oisują restrenn ruch ciec w łożsku orowatm o skońconej długości. W modelach urosconch akłada się, e rełw w łożsku może bć jedno lub dwuwmiarow, co nacnie ułatwia rowiąanie. W radku łożska o nieskońconej długości można rjąć, że gradient ciśnienia w kierunku jest mał w orównaniu do gradientu ciśnienia w kierunku obwodowm /<</x i wówcas można rjąć, że / Roatrując łożsko wąskie o L,można ałożć, że /x.interretacja rjętch ałożeń jest scególnie rosta w oarciu o rs., gdie okaano rokład ciśnienia w wężającej się cęści scelin smarnej rowiniętej do łascn wdłuż owierchni

4 54 T R I B O L O G I A 4- wewnętrnej tulei. Takie rowinięcie można stosować, gd R>>h i mian ciśnienia wdłuż wsokości scelin smarnej można ominąć /=. Rs..Rokład ciśnienia na rowiniętej do łascn owierchni wewnętrnej tulei Fig..Pressure distribution on involved to lane the inner face of bushes Dla łożska nieskońcenie długiego L>>B można rjąć, że /= * / i wówcas układ równań srowada się do ostaci: h = x η x U dh dx υ o () k x + k = (4) x x Otrman układ równań nie ma rowiąania analitcnego i można go rowiąać tlko numercnie, stąd układ równań () i (4) jest radko wkorstwan [5]. W łożsku wąskim rjmuje się, że /x= * /x i wówcas otrmuje się układ równań w ostaci: h = U η dh dx υ o (5)

5 4- T R I B O L O G I A 55 = + k k (6) Ten układ równań można rowiąać analitcnie i takie rowiąanie redstawił Cameron w rac []. Z rowiąania układu równań (5) i (6) otrmuje się rost wór na rokład ciśnienia w scelinie smarnej łożska orowatego, któr dotchcas jest cęsto wkorstwan w różnch ublikacjach. Jednakże akres astosowania takiego modelu jest ogranicon do łożsk orowatch o małej długości, co ostanie wjaśnione w dalsej cęści oracowania. MODEL CAMERONA Równanie Renoldsa (5) można rekstałcić do ostaci: υ η = dx dh U 6 h (7) Zakładając,że rełw w ciele orowatm odbwa się godnie rawem Darc można naisać: η φ = υ R (8) Natomiast dla k=φ/η=const równanie Lalace a rjmuje ostać: = + (9) Korstając równania (9) można naisać: m = = ()

6 56 T R I B O L O G I A 4- Całkując równanie () otrmuje się = m + C. Na ewnętrnej owierchni tuleja wciśnięta jest w niereuscaln korus, to dla = H, =, a stąd C = mh. Zatem na owierchni wewnętrnej tulei na granic filmem smarnm dla =, = mh.wkorstując równanie () otrmuje się: = H () Wstawiając to wrażenie do równania Renoldsa (7) ora uwględniając równanie Darc (8) i wiedąc, że = otrmuje się: x h dh = 6η U φ H () dx Ponieważ na owierchni wewnętrnej tulei dla =, =, stąd o uorądkowaniu można naisać: dh = 6ηU dx () h + φh Po dwukrotnm całkowaniu otrmuje się: dh dx = 6Uη + C + C h + H (4) φ

7 4- T R I B O L O G I A 57 Wstawiając warunki bregowe, że = dla =, = wąskim. L = ± ora dla otrmuje się wór na rokład ciśnienia w łożsku dh L = Uη dx + (5) h φh 4 Z równania (5) wnika, że rokład ciśnienia w kierunku jest arabolicn. Dla równoległego ołożenia osi coa i tulei wsokość scelin smarnej można aisać jako: h = c( + ε cosθ ). Widąc, że dh x = Rθ, o różnickowaniu wór (5) rjmie ostać: dx U η = Rc ( + ε cosθ ) ε sinθ L φh + c 4 (6) Wór ma ostać odobną do równania Ocvirka dla łożska konwencjonalnego, a różni się tlko wstęowaniem cłonu φh φh = ψ (gdie ψ = ), awierającego bewmiarową wartość c c reuscalności tulei orowatej [, ]. Mając wór na rokład ciśnienia w scelinie smarnej można oblicć składowe wektora obciążenia łożska: L + π π UηL εsin θcosθdθ W x = Rd θcosθd = + ε θ (7) L c ( cos ) + ψ π UηL εsin θdθ W = ( + ε cos θ) (8) c + ψ

8 58 T R I B O L O G I A 4- Nośność łożska można oblicć ależności: W = W x + W (9) Na rs. i 4 okaano rokład ciśnienia w scelnie smarnej oblicone dla łożska orowatego tuleją o wmiarach φ5/φ6xmm (L/D=,8) ora φ5/φ6xmm (L/D=,4) oblicone e woru(6) ora wg autora [4]. Oblicenia wkonano dla łożska tuleją orowatą 4 o reuscalności φ = m,smarowanego olejem o lekości η= - N s/m, racującego r rędkości U = m / s i mimośrodowości wględnej ε =, 9. Z równania Camerona(6) uskuje się rowiąanie, w którm ciśnienie sada do era w miejscu najmniejsej scelin smarnej dla o θ = 8 (warunek Sommerfelda). W rowiąaniu numercnm o rjęto, że film smarn końc się dla θ > 8, w unkcie gdie = i = (warunki Renoldsa). θ 8 7 [MPa] 6 5 4,5,5,5,5 4 θ [rad] Rs.. Rokład ciśnienia w scelinie smarnej dla łożska o wmiarach φ5/φ6xmm (L/D=,8). Krwa ciśnienie oblicone wg woru Camerona, oblicenia numercne autora. Fig..Pressure distributions in oil ga for the bearing with dimensions φ5/φ6xmm (L/D=,8). Curve - ressure calculated for Cameron model,- calculations of author

9 4- T R I B O L O G I A 59,6 [MPa],,8, Θ[rad] Rs. 4. Rokład ciśnienia w scelinie smarnej dla łożska o wmiarach φ5/φ6xmm (L/D=,4). Krwa ciśnienie oblicone wg woru Camerona, oblicenia numercne autora Fig.4.Pressure distributions in oil ga for the bearing with dimensions φ5/φ6xmm (L/D=,4). Curve - ressure calculated for Cameron model,- calculations of author Z orównania rokładów ciśnień okaanch na rs.. obliconch dla L/D=,8 wnika, że maksmalne ciśnienia oblicone e woru Camerona są nacnie więkse niż uskane obliceń numercnch dla łożska o skońconej długości. Natomiast dla L/D=,4 oblicone rokład ciśnienia dla obu modeli są już bardo bliżone, Jakie różnice wstęują w wartościach nośności łożsk obliconch wg woru Camerona i rowiąania równań () i () dla łożsk o różnch wartościach L/D okaano na rs.5.należ amiętać, że wór (6) oisuje ciśnienie w filmie smarnm dla L/D. Wra e wrostem L/D więksają się różnice w wartościach nośności łożsk obliconch e woru (9) w stosunku do nośności obliconej dla łożska o skońconej długości. Z rerowadonch obliceń wnika, że wór Camerona daje dobre wniki orównwalne rowiąaniem dla łożska o skońconej długości dla L/D,4.Wra e wrostem L/D>4 roorcjonalnie do wrostu długości łożska wrastają różnice w wartościach nośności obliconch wg. modelu Camerona i dla łożska o skońconej długości.

10 6 T R I B O L O G I A 4-5 W[N] 5 5,,4,6,8,,4 L/D Rs.5. Zmiana nośności łożska w funkcji L/D. Krwa - nośności oblicone wg. woru Camerona, krwa nośności oblicone dla łożska o skońconej długości Fig.5. Change of load caacit in function L/D. Curve - load caacit calculated b Cameron, curve () -load caacit calculated for bearing of finite length. PODSUMOWANIE Dla ułatwienia rowiąania równań ruchu ciec w łożsku orowatm cęsto stosuje się modele uroscone akładając, że łożsko jest wąskie lub o nieskońconej długości. Model łożska o nieskońconej długości jest radko stosowan e wględu na brak rowiąania analitcnego. Założenia urascające rjęte w modelu Camerona dotcące orowatego łożska wąskiego dają układ równań, któr można rowiąać analitcnie. W efekcie otrmuje się rost wór, któr owala określić rokład ciśnienia w scelinie smarnej dla iotroowej tulei orowatej ora oblicć nośność łożska. Prjęte uroscenia owodują, że rowiąanie Camerona można stosować dla łożsk o L/D,4, bowiem wówcas różnice w wartościach nośności oblicone e woru Camerona i rowiąania ełnego wnosą około % Wra e wrostem długości łożska różnice te rosną i dla L/D=,8 wnosą onad %. Poa tm model Camerona nie daje możliwości oblicenia rokładów ciśnienia w tulei orowatej. LITERATURA. A.Cameron: The rinciles of lubrication. New York McHill 987

11 4- T R I B O L O G I A 6. A.Cameron, V.T.Morgan, A.E.Stainsb: Critical conditions for hdrodnamic lubri-. cation of orous metal bearings.proc.instn.mech.engrs.vol.76,nr 8 96,s K.Kremiński: Rokład ciśnień i nośność hdrodnamicnego filmu smarnego w łożskach orowatch. Mechanika Teoretcna i Stosowana /978, s K.Kremiński: Wkorstanie metod elementów skońconch w roblematce hdrodnamicnego smarowania łożsk orowatch. Roraw Inżnierskie. /98, s M.Rembias: Płaski rełw oleju w łożsku orowatm. Archiwum Bud. Masn.nr./97 Recenent: Marek WIŚNIEWSKI Summar The equations of liquid motion for finite orous bearings and alied simlifications for infinite bearing and narrow bearing were described in the aer. The assumtions for narrow bearing aroximation given for Cameron were deathl resented. The ressure distributions in oil ga calculated for finite bearing and narrow bearing give for Cameron were comared.