Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego, Politechnika Wrocławska, Wrocław **

Transkrypt

1 Górnictwo i Geoinżynieria Rok 33 Zesyt Adrian Różański*, Maciej Sobótka** WARUNKI OPTYMALIZACJI KSZTAŁTU WYROBISK PODZIEMNYCH 1. Wstę Zagadnienie otymaliacji kstałtu wyrobisk odiemnych o ra ierwsy ojawiło się w racy Sałustowica [5] w drugiej ołowie XX w. W racy [5] autor ogranicył swoje roważania do agadnień, w których analiował elitycne kstałty wyrobisk odiemnych, unając je a najbardiej otymalne. Wnioski swoje formułował baując na, nanym już wówcas, rowiąaniu dla srężystej tarcy otworem w kstałcie elisy [3]. Obecnie, e wględu na duże możliwości obliceniowe wsółcesnych komuterów, bardo cęsto do rowiąywania agadnień toologii kstałtu wykorystuje się metody numerycne [1]. Xie i Steven sformułowali w 1990 roku tw. metodę otymaliacji ewolucyjnej (ang. Evolutionary Structural Otimiation ESO) [6, 7], która nastęnie ostała aadatowana do otymaliacji kstałtu wyrobisk odiemnych [4]. Jest to metoda iteracyjna, która bauje na dość rostym ałożeniu, tj. jeśli w danym kroku, w którymś elementów nie ostał sełniony warunek otymaliacji, to obsar ostaje skorygowany ore usunięcie tych elementów. We wsomnianej racy [4], wykorystując metodę ESO otwierdono, że najbardiej otymalne, co do kstałtu, są wyrobiska o rekrojach elitycnych. Jednak omimo ogromnych możliwości, których dostarcają metody numerycne brak jak dotąd rowiąań uwględniających srężysto-lastycny lub srężysto-lastycno-kruchy model górotworu. Zagadnienie otymaliacji kstałtu wyrobisk odiemnych, dla tak ryjętego modelu górotworu, oostaje więc wciąż otwartym olem badań i anali. W tym artykule formułuje się nowy, energetycny warunek otymaliacji kstałtu wyrobisk odiemnych e wględu na wytężenie obudowy. Roważania ogranicono do traktowania górotworu jako ośrodka liniowo srężystego. W celu otwierdenia słusności ryjętego kryterium wyniki uyskane anali numerycnych orównano rowiąaniem * Wydiał Budownictwa Lądowego i Wodnego, Politechnika Wrocławska, Wrocław ** Student V roku Wydiału Budownictwa Lądowego i Wodnego, Politechnika Wrocławska, Wrocław 519

2 Sałustowica [5]. Układ racy jest atem nastęujący: w kolejnym rodiale okrótce reentowane jest rowiąanie Sałustowica. W unkcie 3 oisano odstawowe ałożenia metody ESO wra wynikami uyskanymi w racy [4]. Nastęnie formułowany jest nowy, energetycny warunek otymalności kstałtu wyrobisk odiemnych. Artykuł końcą licne rykłady symulacji numerycnych ora wynikające nich wnioski. 2. Rowiąanie Sałustowica Jak wsomniano wceśniej Sałustowic [5] oierał swoje roważania baując na rowiąaniu srężystej tarcy otworem elitycnym (rys. 1) odanym re Hubera [3]. W racy [5] autor stwierda, iż ależnie od stosunku długości ółosi elisy m = a/b ora wajemnego stosunku wielkości obciążenia oiomego i ionowego, najwiękse narężenia ściskające wystęują w wierchołkach elisy, tj. w sągu lub w klucu. Narężenia te, w ależności od wartości ora, określają nastęujące ależności: b σ = , a a σ = b (1) (2) Rys. 1. Schemat tarcy otworem w kstałcie elisy 520

3 Na rysunku 2 redstawiono mienność wartości narężeń oiomych (1) ora ionowych (2) w ależności od stosunku ółosi elisy m. Wyraźnie widać, że istnieje ewna wartość tego stosunku m ot dla której wartości σ i σ są sobie równe, tj.: m ot a = = b ot. (3) Rys. 2. Zależność wartości narężeń σ i σ od stosunku ółosi elisy m Nietrudno również auważyć, że jest to najkorystniejsy stosunek ółosi e wględu na wytrymałość górotworu, bowiem najwiękse narężenie ściskające wystęujące w tarcy (σ gdy m < m ot lub σ gdy m > m ot ) osiąga wówcas najmniejsą wartość równą: σ =σ = + (4). W tej samej racy [5] sformułowano także inny warunek otymalności stwierdając, że najkorystniejsym rekrojem wyrobiska e wględu na wytrymałość obudowy jest elisa o stosunku ółosi: m ot a = = b ot. (5) Niestety w racy [5] nie naleiono żadnego komentara, który wyjaśniałby ryjęte re Sałustowica roumowanie. 3. Metoda ESO W 1990 r. Xie i Steven sformułowali tw. metodę otymaliacji ewolucyjnej (ESO) [6, 7]. W racy [4] roserono jej astosowanie imlementując metodę ESO do otymaliacji 521

4 kstałtu wyrobiska odiemnego. W dalsym ciągu okrótce oisujemy sformułowanie metody ora reentujemy wyniki uyskane re autorów w racy [4]. Roatrywany obsar dielony jest na elementy kwadratowe komórki. Ze wględu na symetrię analiowanego ryadku, agadnienie ogranicono do roważania jedynie ćwiartki całego obsaru (rys. 3). Ponieważ ESO jest metodą iteracyjną, wymagane jest nadanie ocątkowego kstałtu wyrobiska. Efekt ten uyskano ore usunięcie obsaru ustalonej ilości komórek, co ilustrowano graficnie na rysunku 3. Rys. 3. Zagadnienie rowiąywane w racy [4]: schemat statycny, odiał na elementy ora adany ocątkowy kstałt wyrobiska Zagadnienie redstawione na rysunku 3 jest schematem roatrywanym w ierwsej iteracji. W każdej kolejnej iteracji agadnienie jest rowiąywane metodą elementów skońconych i jeśli, w którymś elementów nie ostał sełniony warunek otymaliacji, to obsar ostaje skorygowany ore usunięcie tych elementów. Jako warunek ryjęto srawdenie wartości aksjatora σ 0 w każdym elemencie, tj. dla każdego elementu określana jest wartość σ 0, te komórki, w których σ 0 ma najmniejsą wartość (są najmniej wytężone) ostają odrucone usuwa się je roatrywanego obsaru. Licba usuwanych elementów ogranicona jest dwoma arametrami kontrolnymi: VR (volume removal rate) ora RR (removal ratio). Pierwsy nich określa jak dużo elementów można usunąć w jednym kroku (rędkość usuwania), drugi jaka wielkość narężenia, decyduje o odruceniu elementu. Otymaliacja ostaje akońcona w momencie, gdy usunięto ałożony wceśniej rocentowy udiał elementów lub gdy osiągnięta ostaje ałożona na starcie licba iteracji. Uyskane re autorów wyniki, dla różnych wartości stosunku / redstawiono w formie graficnej na rysunku

5 Rys. 4. Wyniki otymaliacji dla różnych wartości stosunku / uyskane re autorów w racy [4]: a) / = 1; b) / = 2; c) / = 3 Obserwując reultaty (rys. 4) wyraźnie widać, że uyskane rekroje kstałtem ryominają elisy, a co więcej otymalny stosunek ółosi m ot, w każdym ryadku, równy jest stosunkowi /, godnie ależnością (3). Na odstawie reultatów uyskanych w racy [4] należy unać a słusne ogranicenie roważań Sałustowica do analiy jedynie wyrobisk o rekrojach elitycnych. Jednak omimo godności wyników ojawiają się ewne wątliwości, co do jednonacności takiej otymaliacji, n. ore definiowanie góry ilości iteracji bądź udiału rocentowego usuwanych elementów, co ewnością wływa na wynik otymaliacji. Nie wsomniano również o rocedure kalibracji arametrów RR ora VR isąc jedynie, że ryjęte re autorów wartości są najcęściej stosowane w ryadku tej metody. Wrescie, w racy [4] nie naleiono odowiedi na ytanie cy metoda jest wrażliwa na sosób dyskretyacji, tj. ojawia się wątliwość cy dieląc obsar na więksą licbę elementów otrymamy ten sam wynik? 4. Sformułowanie nowego warunku otymaliacji Podstawowym adaniem obudowy jest aewnienie statecności wyrobiska. W wyrobiskach najdujących się na dużych głębokościach, gdie dominującym obciążeniem jest ciśnienie deformacyjne, adanie to realiowane jest ore reciwstawianie się aciskaniu górotworu. W tym ryadku wytężenie obudowy ależy od wielkości aciskania roumianej jako wielkość remiesceń na granicy obudowa górotwór. Najbardiej korystny kstałt rekroju wyrobiska, to taki, który ry danej odorności obudowy, ogranica te remiescenia do minimum. W celu dokonania otymaliacji kstałtu wyrobiska, należy atem urednio sformułować warunek otymalności wyrażony ewną miarą stanu remiescenia. Miarą, która dobre oisuje ten stan jest scałkowane o owierchni konturu wyrobiska ole remiesceń, definiowane jako: V = un rr d S, (6) S gdie ryjęte onacenia literowe wyjaśniono na rysunku

6 Rys. 5. Onacenia ryjęte w roważaniach: Γ obsar górotworu, Ω obsar wyrobiska, S kontur wyrobiska, u r wektor remiescenia, n r jednostkowy wektor normalny do konturu wyrobiska Wielkość (6) omimo tego, iż dobre oisuje stan remiescenia, to nie awiera informacji o tym w jakim stoniu może być wytężona obudowa. Postulujemy atem ryjęcie innej miary, w ostaci wielkości energii odkstałcenia objętościowego wyrobiska, wyrażonej jako: 1 E ( ) 2 0 = K ε +ε dω 2 (7) Ω gdie K jest modułem odkstałcenia objętościowego, aś ε ora ε onacają odkstałcenia liniowe. Miara definiowana w ten sosób jest dodatnio określona ora łatwiejsa w interretacji. Wydaje się, że arówno w ryadku ryjęcia miary (6) jak i (7), jako funkcji celu, otrymane wyniki owinny być e sobą godne. Hiotea ta będie weryfikowana w kolejnym rodiale. Warto w tym miejscu nadmienić, iż w celu numerycnego określenia wartości energii E 0, obsar Ω (rys. 5) modelowany jest jako ośrodek ciągły. Scegółowo agadnienie określania wielkości (7) oisano w kolejnym rodiale Weryfikacja ostawionej hiotey W celu weryfikowania ostawionej w orednim rodiale hiotey wykonano symulacje numerycne wykorystaniem metody elementów skońconych MES. Zastosowano komercyjny rogram FlePDE [2]. Jak wsomniano wceśniej w obliceniach ryjęto liniowo-srężysty model ośrodka i ogranicono się do analiy agadnienia dwuwymia- 524

7 rowego ry ałożeniu łaskiego stanu odkstałcenia (PSO). Pryjęto nastęujące wartości arametrów mechanicnych górotworu: E = 7e10 Pa, ν = 0,26. Podobnie jak w racy [5] analiowane były rekroje o kstałcie elitycnym. Schemat roważanego agadnienia redstawiony jest na rysunku 6. Rys. 6. Schemat roważanego agadnienia ora wartości E 0 i V dla trech różnych wartości stosunku / 525

8 Oblicenia wykonano dla trech różnych wartości stosunku /, tj. / = 1, / = 1/4 ora / = 1/9. Dla każdego tych trech ryadków, akładając stałą wartość =10 kn/m, wykonano serię obliceń dla różnych wartości m. Klasę roważanych kstałtów elitycnych awężono akładając stale ole rekroju, równe olu koła o romieniu R = 2,5 m. Określano wartości energii odkstałcenia objętościowego (7) ora scałkowane o owierchni konturu wyrobiska ole remiesceń, dane ależnością (6). Jak wsomniano wceśniej, w celu oblicania energii E 0 skumulowanej w obsare Ω (rys. 5), w obliceniach numerycnych obsar ten otraktowano, nie jako ustkę, ale jako ośrodek ciągły. Wływ stywności wyrobiska na odkstałcanie górotworu wyeliminowano ore ryjęcie dla materiału wyełnienia modułu odkstałcalności o diesięć rędów mniejsego niż dla górotworu. Wyniki obliceń areentowano w ostaci wykresów na rysunku 6. Predstawione wyniki dowodą słusności ryjętej hiotey we wsystkich ryadkach minimum, arówno dla energii E 0 ora remiescenia V, jest osiągane dla tej samej wartości argumentu m. Tym samym oba sformułowania są równoważne. Nietrudno również auważyć, iż rowiąania te są dość stabilne, tj. jeśli m w małym stoniu odbiega od m ot, to wartość funkcjonału otymaliacji również wykauje niewielkie wahania. Dodatkowo wartość m, dla której obie roważane funkcje osiągają minimum, jest godna wartością m ot odaną re Sałustowica (5). Pryjęta metoda otymaliacji wydaje się być atem słusną. W dalsej cęści racy stosować się będie sformułowanie energetycne otymaliacji, tj. ryjmując jako miarę energię E 0, ry cym roważane będą kstałty ółelisoidalne, odowiadające recywistym kstałtom wyrobisk odiemnych. 5. Analia ółelisoidalnych kstałtów wyrobisk odiemnych Ostatecnej otymaliacji kstałtu wyrobiska dokonano ryjmując kstałt ółelitycny. Oblicenia rerowadono dla kstałtu stanowiącego ołowę elisy (rys. 7). Pryjęto te same wartości arametrów mechanicnych jak w orednim rodiale. Ponieważ rekrój ten nie osiada dwóch osi symetrii, nie możemy ogranicyć roważań do ćwiartki obsaru wokół tunelu, jak to było we wceśniejsym rykładie. Zaroonowany ostał inny sosób obciążenia, stanowiący analogon edometru (rys. 7). Obciążenie ionowe ryjęto odobnie jak w rodiale 4 = 10 kn/m. Tym raem wartość stosunku / modyfikowano ore mianę wartości wsółcynnika Poissona ν, godnie ależnością: ν =. (8) 1 ν Analogicnie, jak w orednim ryadku, roważano kstałty o stałym olu owierchni, równym olu koła o romieniu R = 2,5m. 526

9 Rys. 7. Schemat roważanego agadnienia ora wartości E 0 dla trech różnych wartości stosunku / Wartości długości ółosi elisy, w ależności od wartości m, wyrażają się nastęującymi ależnościami: a = R 2 m, b = R. 0,5m (9) 527

10 Jak wsomniano wceśniej tym raem określano jedynie wartości energii odkstałcenia objętościowego E 0 (7). Wyniki obliceń, dla trech różnych wartości stosunku /, areentowano w ostaci wykresów na rysunku 7. Zauważmy, że we wsystkich trech ryadkach wartość argumentu m, dla której funkcja E 0 osiąga minimum, w rybliżeniu równa jest: m ot a 1 = = b 2 ot. (10) Zatem wartość m ot jest o ołowę mniejsa niż we wceśniej roważanym rykładie. Jeśli dodatkowo wrowadić ojęcie serokości ora wysokości wyrobiska (rys. 7), to warunek otymalności (10) można redstawić w ostaci: m ot w = = h ot, (11) gdie: w serokość wyrobiska (w = 2a); h wysokość wyrobiska (h = b). Z rerowadonych anali, dla roatrywanego kstałtu wyrobiska, jednonacnie wynika, że najbardiej otymalny stosunek serokości wyrobiska do jego wysokości równy jest ierwiastkowi e stosunku obciążeń, oiomego do ionowego. Zależność (11) ryjmuje się atem jako ostatecny warunek otymaliacji ółelisoidalnych rekrojów wyrobisk odiemnych. 6. Wnioski W artykule redstawiono rocedurę otymaliacji kstałtu wyrobisk odiemnych e wględu na wytężenie obudowy. W scególności sformułowano funkcję celu w dwóch różnych ujęciach scałkowanego ola remiesceń konturu wyrobiska (6) ora energii odkstałcenia objętościowego skumulowanej w obsare wyrobiska (7). Dla elitycnych kstałtów wyrobisk odiemnych, we wsystkich roważanych ryadkach minimum, arówno dla energii E 0 ora remiescenia V, osiągane jest dla tej samej wartości argumentu stosunku ółosi elisy m. Ponadto otymalna wartość m (dla której obie roważane funkcje osiągają minimum) jest godna wartością m ot odaną re Sałustowica ależność (5). W ryadku, gdy analiowano bardiej recywiste kstałty rekrojów (ółelitycne) ogranicono się do roatrywania funkcji celu jedynie w ostaci energii E

11 Wyniki obliceń redstawione nr rysunku 7 dokumentują, iż we wsystkich ryadkach wartość argumentu m, dla której funkcja E 0 osiąga minimum, jest o ołowę mniejsa niż w orednim rykładie (10). Ponadto definiowano wartość m ot w funkcji serokości wyrobiska w ora jego wysokości h, ry cym w = 2a ora h = b. Wówcas, a najbardiej otymalny stosunek serokości wyrobiska do jego wysokości, unaje się ten, który równy jest ierwiastkowi e stosunku obciążeń, oiomego do ionowego ależność (11). Należy odnotować, że niniejsa raca stanowi jedynie wstę do agadnienia otymaliacji kstałtu obudowy. Zagadnienie to jest bardiej łożone niż roatrywane w racy otymaliowanie kstałtu wyrobiska. Ponadto w racy ogranicono się do traktowania górotworu jako ośrodka liniowo srężystego be uwględniania srężysto-lastycnego lub srężysto-lastycno-kruchego modelu. W tym miejscu autory ragną odiękować dr. hab. Dariusowi Łydżbie a wrowadenie do ciekawej tematyki badawcej. Jednoceśnie duże słowa odiękowania należą się również dr. inż. Markowi Kawie, który wniósł nacący wkład w rowiąanie agadnień redstawionych w tej racy. LITERATURA [1] Cherkaev A.: Variational Methods for Structural Otimiation, New York, Sringer 2000 [2] FlePDE 5, User Guide, PDE Solutions Inc [3] Huber M.T.: Teoria srężystości, Kraków, Polska Akademia Umiejętności 1950 [4] Ren G., Smith J.V., Tang J.W., Xie Y.M.: Underground ecavation shae otimiation using an evolutionary rocedure, Comuters and Geotechnics, 32, 2005, s [5] Sałustowic A.: Zarys mechaniki górotworu. Katowice, Wydawnictwo Śląsk 1968 [6] Xie Y.M., Steven G.P.: A simle evolutionary rocedure for structural otimiation, Comut Struct 1993, 49 (5), s [7] Xie Y.M., Steven G.P.: Evolutionary structural otimiation, Berlin Sringer