6. Opis ruchu płynu idealnego i wybrane zastosowania

Transkrypt

1 05 6. Ois ruchu łnu idealnego i wbrane astosowania Jak wkaano w rod. 3, rowiąanie równań oisującch ruch łnu jest w ogólnm radku niemożliwe, r cm dotc to arówno równań Navier-Stokesa oisującch ruch łnu recwistego (lekiego) jak i równań Eulera oisującch ruch łnu idealnego. Dla równań N-S udało się naleźć kilka rowiąań scególnch (atr rod. 3.6), jednak dotcą one włącnie jedno lub dwuwmiarowch rełwów laminarnch, którch akres astosowań raktcnch jest dość ogranicon. Również i dla równania Eulera istnieje kilka rowiąań scególnch, r cm jedno nich ma tak seroki akres stosowalności, że koniecne jest oświęcenie mu odrębnego rodiału. 6.. Równanie Bernoulliego dla ruchu ustalonego łnu idealnego wdłuż linii rądu. Posukiwać będiem rowiąania równania ruchu łnu idealnego odbwającego się w olu sił ciężkości, w którm ole jednostkowch sił masowch F ma otencjał, tn.: grad F (4.a) Dodatkowo będiem osukiwać rowiąania dla rełwu ustalonego, w którm arametr nie mieniają się casem, co owala w równ. (3.6) ominąć ochodne lokalne: 0 t t t i aisać je w ostaci: X ρ Y ρ Z ρ Posukiwane rowiąanie ma oiswać mian energii achodące w rełwie wdłuż linii rądu, co wmaga rekstałcenia owżsego równania ore omnożenie kolejnch równań re odowiednie resunięcia elementarne d d,, d. Jeżeli równanie Eulera jest bilansem równowagi sił, to omnożenie go re elementarne resunięcia da elementarną racę równoważną energii. Jednoceśnie energia jako wielkość skalarna odlega wkłemu (tn. algebraicnemu a nie wektorowemu) sumowaniu, co owala aisać owżse równania w ostaci: ρ d d d Zd Yd Xd d d d (6.) Prekstałcając równ. (4.a) otrmujem: d Zd Yd Xd gdie otencjał w olu sił ciężkości wnosi:

2 g Drugie wrażeń o rawej stronie równ. (6.) jest również różnicką uełną: d d d d ρ ρ co nakauje rekstałcić także i lewą stronę w. (6.) do różnicki uełnej, gdż w tm radku możliwe będie rowiąanie (scałkowanie) tego równania. Wkorstam w tm celu sformułowane wceśniej ałożenie, że roatrwan ruch jest ustalon co srawia, że równania trajektorii i linii rądu stają się tożsame i rjmują ostać: d d d której uskać możem nastęujące wiąki: d d (6.a) d d (6.b) d d (6.c) Jeżeli ałożm, że roatrujem ruch odbwając się tlko wdłuż jednej linii rądu, wówcas ierws cłon lewej stron równ. (6.) rekstałcić będiem mogli nastęująco: d d d d d d d d Postęując analogicnie w odniesieniu do drugiego i treciego cłonu lewej stron równania (6.) będiem je mogli dorowadić do ostaci: d d d ρ co o uwględnieniu wceśniej sformułowanch ależności na otencjał ora nastęującego wiąku: rowadi do nastęującej ależności: d d d 0 ρ Z owżsego równania otrmać możem całkę lub równanie Bernoulliego: d g C const (6.3) ρ w którm stała C achowuje stałą wartość wdłuż danej linii rądu, r cm jej wartość może bć ocwiście różna dla innch linii rądu. Najrostsą ostać równania Bernoulliego otrmujem dla jednorodnego łnu nieściśliwego, dla którego: ρ idem co owala aisać ostatecnie: g const ρ (6.4) Łatwo stwierdić, że owżse równanie stanowi warunek achowania energii rełwającego łnu odniesionej do jednostki mas, w którm cłon ierws redstawia energię kinetcną, drugi energię otencjalną ciśnienia (energię wewnętrną) natomiast cłon treci energię otencjalną ołożenia (sił masowch). Równanie Bernoulliego stwierda atem, że w ruchu ustalonm nieściśliwego łnu idealnego odbwającm się w olu sił ciężkości, całkowita energia łnu składająca się energii kinetcnej ora otencjalnej energii 06

3 ciśnienia i ołożenia jest stała wdłuż danej linii rądu. Równanie to wraża atem asadę achowania energii mechanicnej, r cm cęsto isem je w ostaci: g ρ g const (6.5) w której wsstkie cłon mają wmiar liniow i nawane są wsokością rędkości (cłon ierws), wsokością ciśnienia (cłon drugi) i wsokością ołożenia (cłon treci). Otrmaliśm atem bardo rostą metodę oisu ruchu łnu wkorstującą amiast układu równań różnickowch równanie algebraicne kwadratowe (e wględu na rędkość) i jest to ocwiście owodem, dla którego równanie Bernoulliego jest tak atrakcjne. Należ jednak amiętać, że jego stosowalność jest obwarowana seregiem nastęującch warunków: - ruch jest ustalon - roatrujem łn idealn - ole sił masowch jest otencjalne - łn jest nieściśliw - ruch odbwa się wdłuż jednej linii rądu co srawia, że mimo atrakcjności równania Bernoulliego wnikającej rostot, jego akres jego możliwch alikacji jest ogranicon. 6.. Metodka rowiąwania równania Bernoulliego i jego interretacja W równaniu Bernoulliego wstęują dwie niewiadome, tn. rędkość i ciśnienie, gdż gęstość traktujem jako naną i niemienną: ρ idem (6.5) co wnika rjęcia ałożenia o nieściśliwości łnu. Dla uskania rowiąania koniecnm jest atem dołożenie dodatkowch warunków (równań), którmi mogą bć (atr rod. 3.) równanie ciągłości i równanie stanu. To ostatnie równanie już wkorstaliśm rjmując ałożenie o nieściśliwości co owala nam traktować gęstość łnu jako naną, gdż dana jest równaniem (6.5). Poostaje atem do wkorstania równanie ciągłości, a uwagi na ogranicenie roważań do linii rądu tożsamch w ruchu ustalonm trajektoriami elementów łnu, wkorstać możem równanie ciągłości sformułowane w rod..5 dla włókna rądu w ostaci: S Q idem (.0) gdie S i onacają odowiednio ole rekroju włókna i rędkość średnią, natomiast Q jest wdatkiem łnu rełwającego re rurkę rądu. wględniając onacenia rs..6, dla kolejnch rekrojów włókna rądu aisać można: S S... Q idem (6.6) a rjmując, że równanie Bernoulliego ważne jest dla średniej linii rądu (n. rechodącej re środki geometrcne rekrojów) możem je aisać nastęująco:... const g ρ g g ρ g (6.7) gdie rjęte onacenia wjaśnione są na rs. 6.. Otrmaliśm w ten sosób układ równań (6.6) i (6.7), którch rowiąanie da nam ois rełwu, tn. wartość rędkości średniej i ciśnienia anującego w każdm roatrwanch rekrojów strugi. W rodiale orednim wkaaliśm, że równanie Bernoulliego jest warunkiem achowania energii mechanicnej a oscególne cłon tego równania odowiadają różnm rodajom energii otencjalnej i kinetcnej. W rełwie łnu idealnego interretację równania Bernoulliego ilustrowano na rs. 6., umiescając rurkę rądu o stałm rekroju w restreni wełnionej łnem. Własności rurki rądu omówione w rod..4 owalają ją traktować jak recwist kanał transortując łn. Jeżeli w rekrojach - ora - umieścim rurki manometrcne (nawane cęsto ieometrcnmi), wówcas oiom ciec w tch rurkach odowiadać będą anującm tam ciśnieniom. Jeżeli rjmiem, że 07

4 ciec w rurce rądu jest nieruchoma, wówcas godnie asadą nacń ołąconch w obdwu rurkach manometrcnch wniesie się ona do wsokości swobodnej owierchni, a równanie Bernoulliego będie miało ostać: (6.8) ρ g ρ g w której i jak wnika to rs. 6.a. będą odowiednimi ciśnieniami hdrostatcnmi, tn.: ρ g h ρ g h a) S h S S b) h S ρg g g d ρg h h S S d Rs.6.. Onacenia rjęte w równaniu Bernoulliego dla strugi a) ora interretacja cłonów równania w rełwie b). Jeżeli natomiast w rurce rądu łn remiescać się będie e średnią rędkością, wówcas cęść energii otencjalnej ciśnienia amieni się w energię kinetcną 08

5 orusającego się łnu co onaca, że w obdwu rurkach manometrcnch oiom ciec oadnie o: g g g co okaano na rs. 6.b. Dla tego radku równanie Bernoulliego rjmie ostać: (6.9) g ρg g ρg Ponieważ łn oisan owżsm równaniem nie najduje się w stanie równowagi statcnej, stąd też ciśnienia i nie są ciśnieniami hdrostatcnmi lec ciśnieniami statcnmi, które odowiadają oddiałwaniu sąsiednich, orusającch się elementów, aewniającemu równowagę ruchomego łnu. Pr niemiennm rekroju rurki i wnikającm stąd warunku: (6.0) ciśnienia statcne będą mogł bć oblicone jako ciśnienia hdrostatcne, omniejsone o tę samą dla obdwu rekrojów orawkę ciśnienia wnikającą rędkości rełwu. Ciśnienia statcne będą atem awierać ewną nadwżkę onad ciśnieniami hdrostatcnmi wnikającmi wsokości ołożenia środków rekrojów i, co łatwo można wkaać odstawiając (6.0) do równ. (6.9) co o elementarnch rekstałceniach daje: ρ g ρ g Różnica ciśnień statcnch w rewodie o stałm rekroju będie atem wnosić: ρ g ( ) ρ g h co onaca, że jest ona równa ciśnieniu hdrostatcnemu słua ciec o wsokości równej różnic wsokości niwelacjnch rekrojów i. Wjaśnijm jesce różnicę międ ciśnieniem statcnm oisanm w. (6.9) i hdrostatcnm wstęującm w równ. (6.8), które to równania reisać możem do ostaci: C ρ g C ρ g g gdie C i C są stałmi, odowiadającmi całkowitej energii mechanicnej w unkcie linii rądu leżącm w środku rekroju. Ponieważ roważam łn idealn, dla którego w trakcie rełwu nie owstają żadne strat, stąd energia mechanicna w stanie socnku i ruchu są identcne, co onaca: C C Pisąc analogicne równania dla rekroju, a nastęnie odejmując odowiednie ar równań stronami, otrmujem do uwględnieniu w. (6.0): ρ d (6.) Wielkość wstęująca o rawej stronie nawana jest ciśnieniem dnamicnm. Z równ. (6.) wnika atem, że ciśnienie dnamicne jest różnicą międ ciśnieniami łnu oostającego w socnku i orusającego się. Ciśnienie statcne w rurce rądu będie niżse niż ciśnienie hdrostatcne w łnie nieruchomm, onieważ cęść energii otencjalnej ciśnienia ostała amieniona na energię kinetcną orusającego się łnu. Wobec tego nieruchom łn otacając rurkę rądu wwiera na nią ciśnienie d, co okaano na rs. 6.b. Równanie Bernoulliego (które romnijm jest równaniem achowania energii) rekstałcić możem do ostaci: 09

6 ρ ρ g c const (6.) awierającej kolejno ciśnienie dnamicne, statcne i hdrostatcne, którch suma ma oostawać niemienna wdłuż linii rądu. Suma ta nawana jest ciśnieniem całkowitm c, a wrowadenie tego ojęcia owala wraić równanie Bernoulliego dla łnów idealnch jako warunek stałości ciśnienia całkowitego wdłuż linii rądu (atr al. 6.). Dla gaów równanie Bernoulliego bwa cęsto aiswane w ostaci: const (6.3) g ρ g gdż wobec małej gęstości gaów cłon ciśnienia hdrostatcnego (atr w. (6.)) może ostać ominięt. Równanie (6.3) nawane jest równaniem Bernoulliego dla gaów i achowuje ono ważność dla rełwów gau r umiarkowanch rędkościach tn. takich, r którch nie auważa się jesce efektów ściśliwości. g g S S d d Rs.6.. Interretacja równania Bernoulliego dla rełwu re kanał oiom o miennm rekroju. Identcną jak we w. (6.3) ostać rbiera równanie Bernoulliego dla rełwu ciec re kanał oiom, okaan na rs. 6., dla którego możem aisać: g ρ g g ρ g gdż wobec jednakowej wsokości niwelacjnej środków obdwu rekrojów: urascają się cłon ciśnienia hdrostatcnego. Z równania ciągłości: S S wnika wiąek międ rędkościami średnimi w obdwu rekrojach: > rowadąc kolei do ależności międ ciśnieniami dnamicnmi: ρ ρ d > d Jak okaano na rs. 6. ciśnienie statcne w rekroju jest mniejse niż, co onaca, iż nieruchom łn otacając rurkę rądu wwiera na nią ciśnienie d tm więkse, im mniejs jest rekrój orecn rełwu. Ta własność rełwu najduje 0

7 licne astosowania raktcne m.in. w rolacach ciec, w którch ciec dorowadona do najwężsego rekroju kanału ostaje assana i odlega intenswnemu rodrabnianiu Pomiar rędkości rełwu sond ciśnieniowe. Pomiar rędkości orusającego się łnu bł do XVIII wieku agadnieniem nierowiąanm. Prędkość wod rełwającej w otwartch kanałach można bło mierć określając cas rebcia odcinka o nanej długości re ciało unosone w wodie. Jednak o ierwse, możliw bł w ten sosób omiar rędkości tlko w warstwie owierchniowej, o drugie nie można bło w ten sosób mierć rędkości rełwu re amknięte kanał (rurociągi). Rowiąanie roblemu nalał w roku 73 francuski matematk Henri de Pitot, któr auważł, że wstawienie do rełwu otwartej rurki skierowanej reciwnie do nałwającej ciec owoduje, że oiom ciec wnosi się w niej onad swobodną owierchnię (atr rs. 6.3a) a wsokość tego siętrenia h jest ależna od rędkości rełwu. Pitot ułożł równanie Bernoulliego dla linii rądu rechodącej re oś rurki (nawanej cęsto rurką Pitot a lub rurką siętrającą) w dwóch rekrojach kontrolnch otrmując: (6.4) g ρ g ρ g W równaniu tm jest osukiwaną rędkością, a onieważ w rekroju rędkość równa jest eru stąd też unkt ten nawan jest unktem stagnacji lub unktem siętrenia. b) a a) H a h h a ρm gh Rs.6.3. Pomiar rędkości łnu re omiar ciśnienia całkowitego w unkcie stagnacji rurką siętrającą a) ora sondą Pitot a b). Zakładając, że nad swobodną owierchnią anuje ciśnienie atmosfercne a, ciśnienia w odowiednich rekrojach będą równe: ρ g H a ( H h) a ρ g co o odstawieniu do równania Bernoulliego i elementarnch rekstałceniach daje nam wrażenie na osukiwaną rędkość rełwu: g h (6.5)

8 Warto auważć, że jest to nan wór Torricelli ego określając rędkość swobodnego sadku ciała w różni, wrażając wajemną równoważność energii kinetcnej sadającego ciała i energii otencjalnej ołożenia (wsokości). W analiowanm radku jest to natomiast równoważność energii kinetcnej orusającego się elementu łnu i otencjalnej energii ciśnienia słua ciec w rurce siętronej do wsokości h onad swobodną owierchnię. Jeżeli rekstałcim równ. (6.4) do ostaci: ρ i auważm, że ierws cłon lewej stron równania jest ciśnieniem dnamicnm a drugi statcnm, wówcas ciśnienie będie ciśnieniem całkowitm c, które nawane jest również ciśnieniem siętrenia. Wracając do definicji ciśnienia całkowitego rodiału oredniego łatwo wkaać, że wstawienie rurki siętrającej w środek każdego rekrojów kontrolnch rurki rądu rs. 6. dawać będie ciśnienie całkowite (ciśnienie siętrenia) takie, że ciec będie wnosić się do wsokości swobodnej owierchni. W rełwie rs. 6. obecność ścian owodowała bowiem, że ciśnienie statcne w rełwie bło niżse niż w łnie nieruchomm, odcas gd w rełwie w kanale otwartm rs. 6.3 ciśnienia statcne w łnie nieruchomm i orusającm się są identcne. Sosób omiaru rs. 6.3a nie jest bt wgodn w astosowaniach raktcnch, gdż r bardo małch rędkościach otrmujem niewielkie wsokości siętrenia. b) a) c) d) s c s s Rs.6.4. Pomiar rędkości rełwu r astosowaniu sond Pitot a a) ora łtki Cera b), otworu w ścianie c), ora sond ciśnienia statcnego d). Wnik omiaru jest wówcas obarcon dużm błędem, a onadto sosób ten nie może bć astosowan do omiaru rędkości w gaach. Dlatego też w raktce stosuje się secjalne sond Pitot a, w którch rurka siętrająca otocona jest secjalną obudową mniejsającą wrażliwość sond na błęd jej ustawienia. Dodatkowo, imuls ciśnienia unktu stagnacji dorowadon jest do manometru ciecowego, w którm dięki astosowaniu ciec manometrcnej o małej gęstości i odowiedniemu ochleniu rurki (dającej tw. rełożenie manometru i ) więksć możem dokładność omiaru. Dla sond Pitot a rs. 6.3b, do równania Bernoulliego o ostaci (6.4) odstawiam: c a ρm g h i gdie ρ m jest gęstością ciec manometrcnej, i - rełożeniem manometru, a h różnicą wsokości słuów ciec w manometre. Po uorądkowaniu otrmujem ostatecnie nastęującą ależność na osukiwaną rędkość rełwu: ρm g h i (6.6) ρ

9 a orównanie e w. (6.5) wskauje, że różnica wsokości h wskawana re manometr, będie więksa tle ra, ile wnosi wartość ilorau: ρ m i ρ W rkładie rs. 6.b ciśnienie statcne w rełwie bło równe ciśnieniu atmosfercnemu i dlatego oróc ciśnienia całkowitego do drugiej gałęi manometru odawano ciśnienie a. Jeżeli ciśnienie statcne w rełwie będie różne od ciśnienia otocenia (n. w rełwie w rurociągu rs. 6.4) wówcas oróc ciśnienia całkowitego mieronego sondą Pitot a (rs. 6.4a) koniecnm będie określenie wartości ciśnienia statcnego s. Ciśnienie statcne godnie definicją rod. 6. jest ciśnieniem jakim oddiałwuje na orusając się element łnu łn otacając co onaca, że winno bć ono mierone w sosób nie niekstałcając linii rądu. Na rs. 6.4 okaano rkład rrądów stosowanch w tm celu m.in. łtki ustawionej równolegle do linii rądu, nawanej od imienia hisańskiego aerodnamika łtką Cera (rs. 6.4b). Na odobnej asadie oiera się omiar użciem sond ciśnienia statcnego (rs. 6.4b), w której walcowm łascu romiescone są otworki w odległości na tle dużej od noska sond, ab uniknąć akłóceń sowodowanch akrwieniem linii rądu. Bardo cęsto stosowanm sosobem omiaru ciśnienia statcnego jest obieranie imulsu ciśnienia otworu w ścianie, r cm koniecne jest tu ałożenie, że w danm rekroju orecnm kanału ciśnienie statcne jest jednakowe (jest to rawdą w rostoliniowch kanałach). c s s h ρm c s Rs.6.5. Sonda Prandtla a) ora sosób jej ołącenia manometrem b). Bardo wgodn sosób omiaru rędkości aroonował niemiecki aerodnamik L.Prandtl, roonując ołącenie sond Pitot a sondą ciśnienia statcnego, co okaano na rs. 6.5a. W sondie tej centralna rurka imulsowa mier ciśnienie całkowite, natomiast rurka ołącona clindrcnm łascem daje ciśnienie statcne s. Równanie (6.4) rekstałcam do ostaci: ρ a odstawiając: c otrmujem dięki tw. różnicowemu odłąceniu ciśnień (rs. 6.5b): c s ρm g h Ostatecnie rędkość rełwającego łnu oblicć możem ależności: ρm g h ρ która o uwględnieniu rełożenia manometru rbiera ostać identcną jak w. (6.6). 3 s c

10 4