Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1."

Sabina Rogowska
5 lat temu
Przeglądów:

1 Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych ucelni technicnych Żakowski, Dacewic, Matematyka, cęść I LICZBY ZESPOLONE Def. i naywamy jednostką urojoną, spełniającą równość j 1. Licbą espoloną nawiemy wielkość yj, gdie y, Wielkości yj ora u vj są sobie równe u ora y v Diałania (,,,:) wykonuje się analogicnie do praw arytmetyki licb recywistych: ( yj) ( u vj) yj u vj ( u) ( y v) j, ( yj) ( u vj) u vj yuj yvj u ( v yu) j yv( 1) u yv ( v yu) j. Prykłady: ( 3 j) ( 4 j) 3 j 4 j 1 6 j, (7 j)( 5 3 j) 35 1 j 10 j 6 j j j 3 j 3 j 4 j 1 3 j 4 j j 1 j 1 13 j 13 1 j j j 4 j ( 4 j) (3 8 j) ( 7 4 j)(4 7 j) 3 6j j ) Jeżeli yj to licbę yj naywamy licbą sprężoną do i onacamy Własności sprężenia Jeżeli yj, to y ) 1 1, 1

2 3) 1 1, 4) 1 1 5)., o ile 0, Prykład. a)rowiąż równanie: 3 j( ) 4 3 i. Row. Podstawiamy jy, iy ( jy) 3( jy) j( jy jy) 4 3 j, jy 3 3 jy j 4 3 j, (5y ) j 4 3 j, j, y 3 5y 8 3 5y 11 y j. 5 b) Rowiąż równanie: 4 3( ) 5 7 j. Row. Podstawiamy jy, jy 4( jy) ( jy) 3( jy jy) 5 7 j, 4 4 jy jy j, 0 yj 5 7 j, 05 y 7 Odp. równanie nie ma rowiąań. c) Znajdź licby ab, takie, że ( aj)( b 3 j) j sprecność Zbiór licb espolonych onacmy, gdie { : iy,, y }.

3 Jeśli yj, to naywamy cęścią recywistą, a y cęścią urojoną, wprowadamy funkcje: Re( ),Im( ) y. Prykłady 7 1 j, to Re( ) 7, Im( ) 1, 3 j, to Re( ) 0, Im( ) 3, 11, to Re( ) 11, Im( ) 0. Płascyna espolona Niech yj wtedy otrymamy punkt na płascyźnie o współrędnych P(, y ) lub wektor r [, y] taką płascynę naywamy płascyną espoloną, oś O naywamy osią recywistą, Oy osią urojoną Rys 10 Def. Modułem licby espolonej j y (, y ) naywamy licbę recywistą określoną worem: def. y (Re ) (Im ) jy

4 Def. Argumentem licby espolonej jy (, y ) naywamy każdą licbę taką (to jest spełniającą układ równań), że: cos, y sin, gdie 0. Argumentem głównym arg licby espolonej naywamy argument tej licby taki, że 0 (casami ). jy ᵠ = arg Zbiór arg wsystkich argumentów licby espolonej naywamy argumentem pełnym: arg : arg k : k, gdie jest biorem licb całkowitych. Pryjmujemy, e argumentem głównym licby espolonej 0 dla 0. jest 0 ( Arg 0 0) ora arg Długość wektora r naywamy modułem licby espolonej i onacamy, cyli dla yj mamy y. Prykład 5 5, 7 j 7, 5 j ( 5) ( 1)

5 Własności modułu 1) ) 1 1 3) 1 1, o ile 4) 1 1 5) 0 6) Re, Im Prykład. Narysować biór licb espolonych takich, że j 3 Row. j 3 jy j 3 ( y1) 3 ( y1) 3 Uwaga Równanie 0 R predstawia na płascyźnie espolonej okrąg o środku w punkcie 0 i promieniu R. 5

6 Postać trygonometrycna licby espolonej. cos (*) sin y stąd cos, y sin. Zatem jy cos j sin. (cos j sin ), - postać trygonometrycna licby espolonej Argumentem licby espolonej jy naywamy każdą licbę, spełniającą równanie (*), onacamy arg cyli arg k, k. Argumentem głównym licby naywamy Arg spełniający warunek 0. Prykład Wynacyć argument główny licy a) 3 1 j, b) 3 3 j.. 6

7 Row a) cos 1, Arg, 1 (cos jsin ) cos jsin sin 1 b) cos I II III IV sin 0 1 sin 3 1 sin cos cos =, ćw. II,Arg, (cos jsin ). 4 4 Fakt Każdą licbę espoloną można predstawić równoceśnie w postaci: a) algebraicnej jy, b) trygonometrycnej (cos j sin ), c) wykładnicej j k e, gdie e cos j sin. Fakt (cos j sin ), (cos j sin ). Wtedy Niech (cos( ) j sin( )) (cos( 1 ) j sin( 1 )). 7

8 Fakt Niech (cos j sin ), ora n. Wtedy Prykład Oblic: a), b) n n cos n j sin n. 3 1 j j 1 Row. a) j cos j sin cos 30 j sin 30 cos 5 j sin cos( ) sin( ) cos sin 1 j j b) i 3 (cos i sin ) 3 cos 0 j sin cos15 j sin cos 7 j sin 7 9 cos j sin

Podobne dokumenty

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona. Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech