MATEMATYCZNY MODEL SYNCHRONIZOWANEGO AUTOOSCYLATORA W STANIE USTALONYM

Transkrypt

1 Zesyty Naukowe WSInf Vo 5, Nr, 26 Bohdan Mandij,2, Roman Żeak 2 Wyżsa Skoła Informatyki w Łodi, Katedra Teeinformatyki, u. Rgowska 7a, Łódź 2 Poitechnika Lwowska, Instytyt Teekomunikacji, Radioeektroniki i Techniki Eektronicnej u. Profesorska 2, 793, Lwów, emai: bmandiy@oynet.viv.ua MATEMATCZN MODEL SNCHRONIZOWANEGO AUTOOSCLATORA W STANIE USTALONM Strescenie - W artykue roatrono metodę konstruowania matematycnego modeu MM) synchroniowanego autooscyatora harmonicnych drgań w stanie ustaonym. Omawiana metoda bauje na wykorystaniu metody naięć węłowych i asymtotycnej metody małego arametru. W racy redstawiono rykład anaiy tranystorowego autooscyatora w trybie synchroniacji. Wstę Zjawisko synchroniacji autooscyatora ewnętrną siłą harmonicną jest seroko stosowane w systemach teekomunikacyjnych. Zadanie rojektowania autooscyatora renaconego do racy w trybie synchroniacji, w odróżnieniu od autooscyatora niesynchroniowanego autonomicnego), oega nie tyko na wynaceniu wartości arametrów składników jego obwodu aewniających bewarunkową samowbudność obwodu ora okreśoną wartość amitudy i cęstotiwości drgań w stanie ustaonym, ec również na okreśeniu serokości asma cęstotiwości w którym może wystąić jawisko synchroniacji. W racy [] odano metodę konstruowania matematycnego modeu autonomicnego autooscyatora drgań harmonicnych wykorystaniem asymtotycnej metody małego arametru ora metody naięć węłowych. Skonstruowany w taki sosób matematycny mode wgędnie łatwo może być reaiowany a omocą standardowych akietów orogramowania MATCAD, MATLAB, DELPHI i in. ora 9

2 Matematycny mode synchroniowanego autooscyatora... umożiwia efektywną anaię i adowaającą dokładność obiceń. Wsomnianą metodę można stosować do anaiy stanu ustaonego autooscyatora synchroniowanego. Najbardiej skomikowanym adaniem w tym ryadku jest odiał modeu matematycnego autooscyatora na dwie cęści: iniową i nieiniową małą nieiniowością godnie wymogami asymtotycnej metody. W niniejsym artykue odano metodę rowiąania tego adania ora oisano agorytm anaiy stanu ustaonego autooscyatora w trybie synchroniacji ewnętrnym generatorem fai harmonicnej. 2 Zasady ogóne konstruowania matematycnego modeu synchroniowanego autooscyatora w stanie ustaonym Pryjmijmy, że w ryadku nieobecności ewnętrnego generatora synchroniującego autooscyator generuje drgania harmonicne o cęstotiwości usacji) ω. Natomiast gdy na autooscyator diała ewnętrny generator synchroniujący wytwarający faę harmonicną o cęstotiwości ω, wtedy cęstotiwość autooscyatora mienia się w taki sosób, aby równać się cęstotiwością ω. Wystęuje jawisko synchroniacji. Generator synchroniujący może mieniać swą cęstotiwość w akresie od ω min do ω max, ry tym cęstotiwość autooscyatora owtara miany cęstotiwości generatora synchroniującego. Pryjmijmy również, że ocątkowa wartość cęstotiwości autooscyatora jest oisana aeżnością: ω ω max ω min ) / 2. Matematycny mode MM) synchroniowanego autooscyatora aisujemy w ostaci układu n równań wiążących naięcia węłowe: gdie ) U& I& U&, U ) I& ω =, ) ω) - macier kwadratowa o romiare n n esoonych admitancji asywnych iniowych składników obwodu autooscyatora; U & - n-wymiarowy wektor esoonych amitud naięć węłowych w stanie ustaonym; U - n-wymiarowy wektor stałych naięć węłowych w stanie statycnej równowagi; 2

3 B. Mandij, R. Żeak I & U &, U ) -n-wymiarowy esoony wektor uśrednionych rądów nieiniowej cęści autooscyatora; I & - n-wymiarowy wektor, który uwgędnia ewnętrne źródła rądów diałające na autooscyator. Podieimy umownie MM synchroniowanego autooscyatora na iniową i nieiniową cęści. Cęść iniowa oisuje autonomicną konserwatywną cęść obwodu, natomiast cęść nieiniowa oisuje ewnętrny wływ na autooscyator, który owoduje wystąienie stanu ustaonego o adanej cęstotiwości ω : ω) ω) ) U& I& U&, U I& ω ) U & = ) 2) Macier iniowej cęści ω ) tworymy formujemy na odstawie esoonych admitancji asywnych iniowych składników układu autooscyatora ora ewnej cęści uśrednionych admitancji nieiniowych składników obwodu. Pry tym winien być sełniony warunek, aby ry cęstotiwości ω macier oisywała konserwatywny oscyacyjny system, tn. wsomniana macier ma sełniać warunek: det{ )} = 3) ω Zatem tworenie maciery ω ) rerowadamy w dwóch etaach. W ierwsym etaie uwgędniamy w maciery esoone admitancję ω ) asywnych iniowych składników obwodu) ora cęść esoonych admitancji n ω, U ) nieiniowych składników obwodu), które odowiadają wektorowi stałych naięć U. Cęść ta jest roorcjonana do ewnego wsółcynnika μ. Otymaną wartość wsółcynnika μ ot wynacamy na odstawie wiąku: det{ ω ) μ ω, U )} = min 4) ot n Zauważymy, że wartość μ ot musi adowaać warunek μ ot. Fiycny sens woru 4) oega na tym, że uwgędnienie ełnej maciery n ω, U ) w asywnej cęści MM autooscyatora owoduje bytnią komensację energetycnych strat, w wyniku cego amituda drgań wrasta. 2

4 22 Matematycny mode synchroniowanego autooscyatora... W drugim etaie uwgędniamy w maciery ω ) dodatkowo esooną admitancję s ω ) strojonych asywnych składników obwodu, które aewniają sełnienie warunku: det{ ω ) μ ω, U ) ω )} = 5) ot n s Po stworeniu maciery ω ) aisujemy równanie ) w ostaci: gdie: μ ω, U ) ω ) U& ω ) U& = I& U&, U ) I& ) опт n s ω ) = ω ) μ ω, U ) ω ) 7) ot n s Jednoceśnie winien być sełniony warunek: 6) det{ )} = 8) ω Dięki warunkowi 8) osukiwany wektor naięć węłowych możemy aisać w ostaci: U & = A ϕ&, 9) gdie: A uogóniona amituda drgań w stanie ustaonym A ), ϕ& - nietrywiany n-wymiarowy esoony wektor własny, który jest rowiąaniem równania: ω ) ϕ& =. ) Fiycny sens wektora ϕ& oega na tym, że odwiercieda on stosunek międy naięciami węłowymi iniowej cęści obwodu autooscyatora. Uwgędniając wiąek wór 9), możemy redstawić równanie 6) w nastęującej ostaci: μ ω, U ) ω ) A & ϕ ω A & ϕ = & A & ϕ & ) I, U ) I ot s ) ) Równanie ) jest MM synchroniowanego autooscyatora w stanie ustaonym ry cęstotiwości ω, odowiada stanowi synchroniacji. Rowiąanie równania ) rerowadamy iteracyjną metodą mieniając wartość uogónionej amitudy A od era do wartości odowiadającej stanowi ustaonemu. Pry tym uwgędniamy ten fakt, że w nieiniowych składnikach obwodu wystęują harmonicne składowe o cęstotiwościach kω k=,, 2, 3, ). Jednak da cęstotiwości kω k warunek 8) nie jest sełniony. Oróc tego obecność składowej stałej wływa na n-wymiarowy wektor naięć węłowych i na

5 B. Mandij, R. Żeak macier uśrednionych esoonych admitancji nieiniowych składników obwodu autooscyatora. Zatem na odstawie równania: [ ω ) μ ω, U ) ω )] опт n = ω ) U& = I& A & ϕ, U s U& = ) I& otrymujemy transcendendentne równanie, które wykorystujemy do wynacenia wektora U & esoonych naięć węłowych: )) I& U& U ) I& ) U & = ω 2), Uwgędniając 9), U& = A ϕ&, możemy redstawić równanie 2) w ostaci transcendentnego jednoarametrycnego równania, które wykorystamy da wynacenia uogónionej amitudy A i wektora esoonych węłowych naięć U & : A U& i ) i) * T = ϕ & ϕ i) i) = A & ϕ ϕ * T i) i) ω )) I& A & ϕ, U ) I& ) с, 3) gdie i-numer iteracji. Aby otrymać rowiąanie równania 3), które odowiada stanowi synchroniacji autooscyatora, otreba na każdym kroku iteracji srawdać sełnienie nastęujących warunków: Im A) = Im μ ot ) = ; μ ; A. Na odstawie oisanej metody można aroonować nastęujący agorytm automatyowanej anaiy stanu ustaonego synchroniowanego autooscyatora: Krok. Wrowadamy dane o tooogii i icbowych wartościach arametrów składników obwodu autooscyatora ora wartość cęstotiwości ω drgań autooscyatora. Również wrowadamy dane o amitudie i akresie mian cęstotiwości synchroniującego generatora. ot Krok 2. Krok 3. Pryjmujemy trywianą wartość uogónionej amitudy A=. worymy macier admitancji ) asywnych składników da rądu stałego ora macier esoonych admitancji ω ) da cęstotiwości ω. 23

6 Matematycny mode synchroniowanego autooscyatora... Krok 4. Pryjmujemy ocątkowe wartości stałych składowych wektora naięcia U ora trywianą wartość wektora U & =. Krok 5. Da koejnych wartości składowych wektorów U i U & wynacamy wartości składników maciery admitancji U, U& ) i wektora & U, U& ). n I Krok 6. Krok 7. Rowiąując a omocą dowonej metody numerycnej równanie ) U = I & & A, ϕ, U ) I& o wynacamy nową wartość wektora U stałych składowych naięć węłowych. Srawdamy warunek osiągnięcia ałożonej dokładności wynacenia składników wektora U. W ryadku niesełnienia warunku wracamy do kroku 5. Krok 8. Da koejnych wartości składników wektorów U i U & wynacamy uśrednione wartości składników maciery esoonych admitancji U, U& n ) ora wektorów & U, U& ) i I & U&, ). I n U Krok 9. Wynacamy wartość μ ot, która sełnia warunek det{ ω ) μ ω, U )} = min ot n Krok. Wynacamy admitancję s ω ), która umożiwia sełnienie warunku det{ ω ) μ ω, U ) ω )} =. ot n s Krok. Wynacamy składniki maciery esoonych admitancji iniowej cęści obwodu autooscyatora da koejnych wartości uogónionej amitudy A ora wektora U : ω ) = ω ) μ ω, U ) ω ) ot n s Krok 2. Wynacamy składniki wektora własnego rowiąania równania ω ) ϕ& = i wektora U & = A ϕ&. Krok 3. Wynacamy składniki wektorów I A ϕ&, U ), I & A, ϕ&, U ) i maciery ω,, A & ϕ ). n U 24

7 B. Mandij, R. Żeak Krok 4. Rowiąując a omocą dowonej metody numerycnej równanie 3), wynacamy nową srecyowaną) wartość uogónionej amitudy A i wektora U & = A ϕ&. Krok 5. Srawdamy warunek osiągnięcia ałożonej dokładności obiceń składników wektora U & = A ϕ&. W ryadku niesełnienia warunku wracamy do kroku 5. Krok 6. Końcymy obicenia uyskując ostatecne wyniki obiceń arametrów U i U & stanu ustaonego. W ryadku, gdy generator synchroniujący jest źródłem naięcia U& a nie rądu), wtedy rownanie ) aisujemy w ostaci: ω ) 2 ω ) U I& U&, U ) 2 ω ) 22 ω ) skąd otrymujemy równanie anaogicne do równania ): & & & & U& ω ) U = I U, U ) 2 U Tutaj ω ), 2 ω ), 2 ω ), 22 ω ) - esoone admitancje asywnej iniowej) cęści autooscyatora. Stosowanie oisanego agorytmu do anaiy stanów ustaonych synchroniowanych autooscyatorów umożiwia otrymanie dostatecnej dokładności obiceń ry oscędaniu casu obiceń. 3 Prykład anaiy tranystorowego autooscyatora w stanie ustaonym Roatrymy rykład anaiy autooscyatora tranystorowego, schemat obwodu odany jest na rys.. Zadana cęstotiwość drgań f =23 3 H ω =,257 6 rad/s). Wartości arametrów składników obwodu aewniające samowbudność autooscyatora na adanej cęstotiwości f są równe: R =6.8 Ω; R 2 =7 Ω; C = -9 F; C 2 = -9 F; L= -3 H; E=V. W obwodie wykorystano tranystor unioarny MOSFET, którego statycna charakterystyka rądu drenu i D w funkcji naięć bramki u B i dren-źródło u D jest aroksymowana równaniem: i D u u ) =.5 ex u VTO) [ ex u ) λ u ] B,, D B = & D, D 25

8 Matematycny mode synchroniowanego autooscyatora... gdie VTO = - 3,6V naięcie aorowe tranystora; λ=8,5-3. Amituda naięcia ewnętrnego synchroniującego generatora E =,V. Zakres mian cęstotiwości od f min =2,5 kh do f max =25 kh. VT I & D L С U & E R С 2 U & 2 R 2 E Rys.. Schemat obwodu autooscyatora W danym obwodie wydieamy 2 naięcia węłowe U ora U 2 rys. ). Odowiednio macier ω ) ryjmuje ostać: 26 C ω, R L R L ) = C2 R L R L R2 gdie onacono: =jω. Pryjmujemy, że w obwodie są nieobecne składniki strojone tn. ω ) = ), w wyniku cego macier ω ) ryjmuje ostać: s

9 B. Mandij, R. Żeak ω ) = C R L μu R L DS C 2 R L R L R 2 μu DD Uśrednione admitancje tranystora w stanie statycnym i ry nikomo małej amitudie drgań są równe: U, U ) =.5 ex U VTO) [ E U )) λ E U )] DB 2 ex U, U ) =.5 ex U VTO) [ E U )) λ E U )] DD 2 ex Na odstawie warunku 4) obicamy mały arametr μ: R L μ = C R L) ) C R L) ) DD DB 2 2 C R L R 2 2 Równoceśnie obicamy składowe wektora własnego ϕ& : 2 2 ϕ& T R ) = ; C L Wektor I & U &, U ) rawej cęści równania 3) ryjmuje ostać: IU & &,U 2π i ) = D U Acos t ),E U A & 2 ϕ 2 cos t )) π ex jt) Anaię stanu ustaonego synchroniowanego autooscyatora rys. ) rerowadono godnie aroonowanym agorytmem. Na rys. 2 okaano aeżność serokości asma synchroniacji od amitudy E naięcia generatora synchroniującego. Na rys. 3 kreskowany obsar odowiada stanowi synchroniacji autooscyatora w łascyźnie mian arametrów reystorów R i R 2 ry amitudie E =,V i serokości asma synchroniacji 2 25kH. Na rys. 4 kreskowany obsar odowiada stanowi synchroniacji odobnie jak na rys. 3, jednak ry douscanym akresie mian amitudy autooscyatora od 2,5 2,25V. dt 27

10 Matematycny mode synchroniowanego autooscyatora... E s,v f,kh Rys. 2. Zaeżność serokości asma synchroniacji od amitudy E naięcia generatora synchroniującego R 2,Ω R,Ω Rys. 3. Obsar synchroniacji autooscyatora w łascyźnie mian arametrów reystorów R i R 2. 28

11 B. Mandij, R. Żeak R 2,Ω R,Ω Rys. 4. Obsar synchroniacji ry douscanym akresie mian amitudy autooscyatora od 2,5 2,25V. 4 Wnioski Stosowanie aroonowanej w artykue metody do anaiy stanu ustaonego autooscyatora w stanie synchroniacji umożiwia rowiąanie seregu adań, będących w akresie ainteresowania rojektantów odowiednich obwodów. Literatura [] B. Mandij, R. Żeak. Matematycny mode autooscyatora w stanie ustaonym. IV Symojum Modeowanie i Symuacja Komuterowa w Technice, Lódź 25, str

12 Matematycny mode synchroniowanego autooscyatora... MATHEMATICAL MODEL OF SNCHRONIZED AUTOOSCILLATOR IN STEAD STATE Summary In the aer the method of mathematica mode MM) buiding of synchronied autoosciator of harmonic vibration in steady state was resented. The method is based on the method of node votage and asymtotic method of sma arameters. Furthermore, the exame of anaysis of transistoried autoosciator working in synchronied mode was resented. 3