IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy funkcją n zmiennych. Przykład 1. f(x, y) = arc sin x y - funkcja dwóch zmiennych, f(x, y, z) = 1 e x+y z 1 - funkcja trzech zmiennych. Wyznaczymy dziedziny D f i D g funkcji f i g. Definicja 1.2. Niech f : D R, gdzie D R 2. Zbiór {(x, y, z) R 3 : (x, y) D f, z = f(x, y)} nazywamy wykresem funkcji f, zaś zbiór {(x, y) D f : f(x, y) = h} nazywamy poziomicą funkcji f odpowiadającą poziomowi h R. Przykład 2. Wyznaczymy poziomice funkcji f(x, y) = x 2 + y 2. Przykład 3. Wykresem funkcji z = f(x, y) = ± R 2 (x 2 + y 2 ) jest górna (+) lub dolna (-) półsfera o środku w punkcie (0, 0, 0) i promieniu R. 1
Definicja 1.3. Niech (x 0, y 0 ) R 2 i niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0, y 0 ). Funkcja f jest ciągła w (x 0, y 0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x, y) = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Funkcja jest ciągła na zbiorze D R 2, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie (x, y) D. 2. Pochodne cząstkowe funkcji. Definicja 2.1. (pochodne cząstkowe 1-go rzędu) Niech f : D R, gdzie D R 2. Pochodną cząstkową 1-go rzędu funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) oznaczamy przez i definiujemy następująco (2.1) Podobnie definiujemy (2.2) x (x 0, y 0 ) lub f x (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) := lim x 0 y (x 0, y 0 ) := lim y 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ). x f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). y Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych. Rozważmy funkcję z = f(x, y) i weźmy punkt (x 0, y 0, z 0 ) leżący na wykresie tej funkcji, tj. z 0 = f(x 0, y 0 ). Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) ma postać (2.3) z z 0 = x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + y (x 0, y 0 ) (y y 0 ). 2
Przykład 4. Napiszemy równanie płaszczyzny π stycznej do powierzchni z = y ln(2 + x 2 y y 2 ) w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (2, 1, z 0 ). Uwaga. Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej pozostałe zmienne traktujemy jako stałe. Przykład 5. Obliczymy pochodne cząstkowe funkcji f(x, y) = f(x, y) = x y. ex ln(x+y), Definicja 2.2. (pochodne cząstkowe 2-go rzędu) 2 f x = ( ) = f 2 xx x x 2 f x y = ( ) = f yx x y 2 ( ) f = f xy y x = y 2 f y 2 = y x ) = f yy ( y Twierdzenie 2.3. (Schwarza) Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane są w pewnym obszarze ciągłe, to są one w tym obszarze równe. 3
Uwaga. Z twierdzenia Schwarza wynika, że również pochodne cząstkowe mieszane wyższych rzędów są równe, jeśli są ciągłe i każda z nich była liczona tyle samo razy ze względu na każdą zmienną. Funkcję, która ma wszystkie pochodne cząstkowe ciągłe do rzędu n włącznie będziemy określać funkcją klasy C n. Przykład 6. Dla funkcji f(x, y, z) = x 2 y 3 z 4 obliczyć 4 f x 2 y z, Dla funkcji f(x, y) = sin x sin y obliczyć 3 f y 2 x, f xyz. 3 f y x y. 4
3. Różniczka funkcji. Definicja 3.1. Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) zawierającym punkt (x 0 + h, y 0 + k). Przyrostem funkcji f nazywamy wyrażenie f = f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ). Definicja 3.2. Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie (x 0, y 0 ), jeżeli istnieją takie stałe A i B, że f = A h + B k + o(ρ), gdzie ρ = h 2 + k 2, czyli innymi słowy f A h B k lim = 0. (h,k) (0,0) h2 + k 2 Twierdzenia 3.3. (warunki konieczne, dostateczne różniczkowalności funkcji) (i) f różniczkowalna w (x 0, y 0 ) f ciągła w (x 0, y 0 ). (ii) f różniczkowalna w (x 0, y 0 ) f ma w (x 0, y 0 ) pochodne cząstkowe. (iii) f ma w (x 0, y 0 ) ciągłe pochodne cząstkowe f różniczkowalna w (x 0, y 0 ). Uwaga. Geometrycznie różniczkowalność funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) oznacza istnienie płaszczyzny stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). 5
Uwaga. Równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) do powierzchni opisanej przez warunek F (x, y, z) = 0 ma postać F x (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) + F y (x 0, y 0, z 0 ) (y y 0 ) + F z (x 0, y 0, z 0 ) (z z 0 ) = 0, o ile F x, F y, F z są ciągłe w (x 0, y 0, z 0 ) i nie zerują się w tym punkcie jednocześnie. Przykład 7. Napiszemy równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni x 2 + y 2 + z 2 = 9 w punkcie P 0 = ( 2, 3, 2). Twierdzenia 3.4. (różniczka funkcji) Załóżmy, że funkcja f ma pochodne f x i f y w punkcie (x 0, y 0 ). Wyrażenie (x 0, y 0 ) x h + (x 0, y 0 ) y nazywamy różniczką zupełną funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy przez d f(x 0, y 0 ). Piszemy także h = x = dx oraz k = y = dy. Zatem d f(x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ) x k dx + (x 0, y 0 ) y Jeżeli f jest różniczkowalna w pewnym obszarze, to w obszarze tym określona jest nowa funkcja d f = dx + x y dy. dy. Przykład 8. Napiszemy wzór różniczki funkcji z = x 2 + y 2. 6
Twierdzenia 3.5. (zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych wartości wyrażeń) Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne f x i f y w punkcie (x 0, y 0 ). Wówczas (3.1) f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) + d f(x 0, y 0 ), przy czym błąd δ( x, y) powyższego przybliżenia, tj. różnica f d f dąży szybciej do 0 niż wyrażenie ρ = ( x) 2 + ( y) 2, tzn. f d f = o(ρ). Przykład 9. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia arc tg 0.9 4.02. Twierdzenia 3.6. (zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów) Niech wielkości fizyczne x, y, z będą związane zależnością z = f(x, y). Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe f x i f y. Jeśli x i y są błędami bezwględnymi pomiaru wielkości x i y, to błąd bezwględny z obliczeń wielkości z wyraża się wzorem przybliżonym (3.2) z x x + y y. Przykład 10. Przy pomocy odpowiednich przyrządów pomiarowych można zmierzyć objętość ciała z dokładnością V = 0.1 cm 3, a przy pomocy wagi sprężynowej można ustalić jego masę z dokładnością M = 1 g. Objętość zmierzona tym sposobem wynosi V = 25 cm 3, a masa M = 200 g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć gęstość ρ tego ciała. Wiemy, że gęstość jednorodnego ciała o masie M i objętości V wyraża się wzorem ρ = M V. Zatem niech f(m, V ) = M V. 7
Wtedy M = 1 V, V = M V 2, M (200, 25) = 1 25, 200 (200, 25) = V (25) 2. Zatem wobec wzoru (3.2) otrzymujemy ρ 1 25 M + 200 (25) 2 V = 0.072. Twierdzenia 3.7. (różniczki wyższych rzędów) Różniczką rzędu 2-go nazywamy różniczkę z różniczki rzędu 1-go. Różniczką rzędu n nazywamy różniczkę z różniczki rzędu n 1-go. Załóżmy, że f jest klasy C n w pewnym obszarze D. d 2 f = d(d f) = d(f x dx + f y dy) = (f xx dx + f yx dy) dx + (f xy dx + f yy dy) dy = d n f = n f x n (dx)n + co symbolicznie można zapisać = f xx (dx) 2 + 2f xy dx dy + f yy (dy) 2. ( n1 ) d n f = n f x n 1 y (dx)n 1 dy +... + n f y n (dy)n, ( ) (n) dx + x y dy. Przykład 11. Obliczymy d 3 f. = 3 f x 3 (dx)3 + 3 d 3 f = ( ) (3) dx + x y dy = 3 f x 2 y (dx)2 dy + 3 3 f x y dx 2 (dy)2 + 3 f y 3 (dy)3. 8
4. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej. Załóżmy, że z = f(u, v) jest funkcją określoną w obszarze D oraz u = u(x, y) i v = v(x, y) są funkcjami określonymi w obszarze E i przyjmującymi wartości (brane jednocześnie) w obszarze E określona jest funkcja złożona z = F (x, y) = f(u(x, y), v(x, y)). Twierdzenie 4.1. Zakładamy, że funkcja f jest klasy C 1 w D oraz funkcje u i v mają pochodne cząstkowe w E. Wtedy funkcja złożona F posiada w E pochodne cząstkowe, które wyrażające się wzorami: (4.1) (4.2) z x = F x = u z y = F y = u u x + v u y + v v x v y. W szczególnym przypadku : jeśli z = f(x(t), y(t)) mamy (4.3) z t = x d x d t + y d y d t, a jeśli z = f(x, y(x)) (4.4) z x = x + y d y d x. Przykład 12. Obliczymy pochodne funkcji z = f(u, v) = u2 v, gdzie u(x, y) = x sin y, v(x, y) = x cos y, z = f(u, v) = u 2 + v 2 2uv 2, gdzie u(t) = ln t, v(t) = e 2t, z = arc sin x y, gdzie y = x2. 9
5. Pochodna kierunkowa funkcji. Definicja 5.1. (pochodnej kierunkowej) Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) i niech v = [v 1, v 2 ] będzie danym wersorem, tj. wektorem o długości 1. Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) w kierunku wektora v oznaczamy (x 0,y 0 ) i definiujemy następująco v (x 0, y 0 ) (:= lim v t 0 + f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ). t Uwaga. Pochodne cząstkowe x i y są pochodnymi kierunkowymi odpowiednio w kierunku osi Ox i osi 0y, tzn. Pochodna kierunkowa kierunku wektora v. v x = i, y = j. określa szybkość zmiany wartości funkcji f w Przykład 13. Obliczymy (x 0,y 0 ) v dla f(x, y) = xy, (x 0, y 0 ) = (1, 2), v = [ 1 2, 3 2 ]. Definicja 5.2. (gradientu funkcji) Gradientem funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy wektor [ (x0, y 0 ) grad f(x 0, y 0 ) :=, (x ] 0, y 0 ) ). x y Używamy także oznaczenia grad f = f. Uwaga. Gradient funkcji w danym punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie i jest wektorem prostopadłym do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt. 10
Przykład 14. Temperatura w zbiorze V = {(x, y, z) : 0 x, y, z π} określona jest wzorem θ(x, y, z) = 10 cos(x y) + 20 sin(x + z). Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu temperatury θ w punkcie ( π 2, π 2, π 2). Twierdzenie 5.3. Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe f x i f y w punkcie (x 0, y 0 ) i v jest dowolnym wersorem na płaszczyźnie. Wówczas (x 0, y 0 ) v = f(x 0, y 0 ) v. Przykład 15. Obliczymy (x 0,y 0 ) v dla f(x, y) = e x+y, (x 0, y 0 ) = (1, 1), v = [ 2 2, 2 2 ]. Uwaga. Powyższe definicje i fakty przenoszą się na funkcje trzech i większej ilości zmiennych. 11
6. Wzór Taylora. Ekstrema funkcji. 6.1. Wzór Taylora dla funkcji k zmiennych k 2. Twierdzenie 6.1. Załóżmy, że funkcja k zmiennych jest klasy C n w otoczeniu punktu P 0 = (x 0 1, x 0 2,..., x 0 k ) zawierającym punkt P = (x 1, x 2,..., x k ). Wówczas (6.1) f(p ) = f(p 0 ) + d f 1! + d2 f 2! +... + dn 1 f (n 1)! + R n, R n = dn f n!, przy czym pochodne do rzędu n 1 włącznie są obliczane w punkcie P 0, a pochodne rzędu n (występujące w wyrażeniu R n ) są obliczane w punkcie leżącym na odcinku łączącym punkty P 0 i P, ponadto w definicji różniczek kładziemy d x i := x i x 0 i, i = 1, 2,..., k. Przykład 16. Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych f(x, y) i n = 2 ma postać gdzie R 2 = 1 2 f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 ) x (x x 0 ) + (x 0, y 0 ) y 2 f(x c, y c ) (x x x 2 0 ) 2 + 2 f(x c, y c ) (x x 0 )(y y 0 )+ 1 x y 2 (y y 0 ) + R 2, gdzie (x c, y c ) jest punktem leżącym na odcinku łączącym punkty (x 0, y 0 ) i (x, y). 2 f(x c, y c ) y 2 (y y 0 ) 2, 12
6.2. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Niech O(x 0, y 0 ) i S(x 0, y 0 ) oznaczają odpowiednio otoczenie i sąsiedztwo punktu (x 0, y 0 ). Definicja 6.2. (i) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie O(x 0, y 0 ) tego punktu, że dla każdego punktu (x, y) O(x 0, y 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) f(x 0, y 0 ). (ii) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x 0, y 0 ) tego punktu, że dla każdego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) > f(x 0, y 0 ). (iii) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie O(x 0, y 0 ) tego punktu, że dla każdego punktu (x, y) O(x 0, y 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) f(x 0, y 0 ). (iv) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum lokalne właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x 0, y 0 ) tego punktu, że dla każdego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) < f(x 0, y 0 ). 13
Twierdzenie 6.3. (warunek konieczny istnienia ektremum) Jeżeli w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja ma ektremum lokalne oraz istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe f x i f y, to (x 0, y 0 ) x = 0 i (x 0, y 0 ) y = 0. Definicja 6.4. Hesjanem funkcji f(x, y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy macierz drugich pochodnych cząstkowych, tj. macierz H(x 0, y 0 ) postaci [ ] fxx (x H(x 0, y 0 ) = 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ). f yx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) Definiujemy W (x 0, y 0 ) := det H(x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ) f yx (x 0, y 0 ). Twierdzenie 6.5. (warunek wystarczający istnienia ektremum) Załóżmy, że funkcja f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu 2-go włącznie, tzn. jest klasy C 2 w otoczeniu O(x 0, y 0 ) punktu (x 0, y 0 ) oraz spełnia warunki: (i) f x (x 0, y 0 ) = 0 i f y (x 0, y 0 ) = 0, (ii) W (x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) [f xy (x 0, y 0 )] 2 > 0. Wówczas w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe, przy czym będzie to minimum jeśli f xx (x 0, y 0 ) > 0, zaś maksimum, jeśli f xx (x 0, y 0 ) < 0. Uwaga. Jeżeli w założeniu (ii) twierdzenia 6.5 pojawi się warunek W (x 0, y 0 ) < 0, to funkcja f nie ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalnego. W przypadku W (x 0, y 0 ) = 0 należy badanie istnienia ektremum lokalnego funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) przeprowadzić inną metodą, np. korzystając z definicji. 14
Przykład 17. Znajdziemy ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 3 + y 3 3xy. Przykład 18. Pokażemy, że funkcja f(x, y) = x 8 y 6 nie ma ekstremum lokalnego. Zauważmy, że f ma ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu. Obliczamy f x = 8x 7, f y = 6y 5. Łatwo sprawdzić, że jedynym punktem, w którym zerują się obie pochodne czastkowe f x i f y jest punkt (0, 0), skąd wynika, że punkt ten jest jedynym punktem, w którym f może mieć ekstremum lokalne. Wobec twierdzenia 6.5 obliczamy W (x, y) = 56x6 0 0 30y 5, czyli W (0, 0) = 0, co oznacza, że nie możemy skorzystać z warunku wystarczającego, aby rozstrzygnąć, czy w (0, 0) funkcja f ma ekstremum. Pokażemy, że funkcja f w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum lokalnego. W tym celu wykażemy, że w każdym otoczeniu punktu (0, 0) można znaleźć punkty, w których funkcja f ma wartość mniejszą od f(0, 0) = 0 oraz punkty, w których ma ona wartość większą od f(0, 0) = 0. Istotnie, zauważmy, że w każdym dowolnie małym otoczeniu punktu (0, 0) leżą punkty (0, 1 n ) i ( 1 n, 0) dla dostatecznie dużego n N. Ponadto f(0, 1 n ) = 1 n < 0 = f(0, 0), f( 1 6 n, 0) = 1 > 0 = f(0, 0). n8 15
6.3. Najmniejsza i największa wartość funkcji dwóch zmiennych. Definicja 6.6. (najmniejszej i największej wartości funkcji) (i) Liczba m R jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli (x 0, y 0 ) A f(x 0, y 0 ) = m (x, y) A f(x, y) m. (ii) Liczba M R jest największą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli (x 0, y 0 ) A f(x 0, y 0 ) = M (x, y) A f(x, y) M. Algorytm szukania najmniejszej i największej wartości funkcji na ograniczonym zbiorze domkniętym A D f. 1. Wyznaczamy punkty wewnątrz obszaru A, w których funkcja f może mieć ekstrema lokalne. 2. Na brzegu obszaru A wyznaczamy punkty, w których f może mieć ekstrema warunkowe. 3. Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach i wybieramy wartość najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartość najmniejsza m = f min i największa M = f max funkcji f na zbiorze A. 16
Przykład 19. Znajdziemy najmniejszą f min i największą f max wartość funkcji f(x, y) = x 2 + 2xy 4x + 8y w obszarze A = {(x, y) R 2 : x [0, 1] y [0, 2]}. 1. Szukamy wewnątrz zbioru A punktów, w których f może mieć ekstrema lokalne, tzn. szukamy rozwiązań układu równań { fx (x, y) = 0 f y (x, y) = 0, czyli { 2x + 2y 4 = 0 2x + 8 = 0, skąd x = 4 i y = 6. Punkt ( 4, 6) nie należy jednak do zbioru A. 2. Badamy funkcję f na brzegu zbioru A: Dla x = 0 i y [0, 2] mamy f(0, y) = 8y := v(y). Funkcja v = v(y) jako liniowa osiąga wartości ektremalne na końcach przedziału [0, 2]. Stąd pod uwagę bierzemy punkty (0, 0) i (0, 2). Dla x = 1 i y [0, 2] mamy f(1, y) = 1+2y 4+8y = 10y 3 := v(y). Funkcja v = v(y) jako liniowa osiąga wartości ektremalne na końcach przedziału [0, 2]. Stąd pod uwagę bierzemy punkty (1, 0) i (1, 2). Dla y = 0 i x [0, 1] mamy f(x, 0) = x 2 4x := u(x). Mamy u (x) = 2x 4, czyli rozwiązaniem równania u (x) = 0 jest x = 2 / [0, 1]. Stąd pod uwagę bierzemy punkty (0, 0) i (1, 0). Dla y = 2 i x [0, 1] mamy f(x, 2) = x 2 + 4x 4x + 16 = x 2 + 16 := u(x). Mamy u (x) = 2x, czyli rozwiązaniem równania u (x) = 0 jest x = 0. Stąd znów dostajemy punkty (0, 2) i (1, 2). 3. Obliczamy wartości funkcji f w wyznaczonych punktach, które są wierzchołkami prostokąta A: f(0, 0) = 0, f(0, 2) = 16, f(1, 0) = 3, f(1, 2) = 17. Zatem najmniejsza wartość funkcji f na zbiorze A wynosi 3 = f(1, 0), zaś największa 17 = f(1, 2). 17