Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; )

Transkrypt

1 Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; ) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x 2 R}. Przestrzeń n-wymiarowa (oznaczenie: R k ), może być określona jako zbiór n-wymiarowych wektorów: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. 1

2 Funkcje wielu zmiennych Funkcja przyporządkowująca elementom przestrzeni R n liczby rzeczywiste funkcja n zmiennych. Dziedziną funkcji n zmiennych może być R n lub podzbiór R n. 2

3 Funkcje wielu zmiennych przykłady Rozważmy następujące funkcje dwóch zmiennych: 1 x2 y 2, gdy x 2 + y 2 1, f 1 (x, y) = 0, gdy x 2 + y 2 > 1; f 2 (x, y) = xy ; f 3 (x, y) = x 2 + y 2. Funkcje dwóch zmiennych można przedstawiać graficznie przy użyciu wykresów konturowych, wypełnionych wykresów konturowych oraz wykresów perspektywicznych. 3

4 Rysunek 1: Wykres konturowy dla funkcji f 1 4

5 Rysunek 2: Wypełniony wykres konturowy dla funkcji f 1 5

6 y z x Rysunek 3: Wykres perspektywiczny funkcji f 1 6

7 Rysunek 4: Wykres konturowy funkcji f 2 7

8 Rysunek 5: Wypełniony wykres konturowy funkcji f 2 8

9 y z x Rysunek 6: Wykres perspektywiczny funkcji f 2 9

10 Rysunek 7: Wykres konturowy funkcji f 3 10

11 Rysunek 8: Wypełniony wykres konturowy funkcji f 3 11

12 y z x Rysunek 9: Wykres perspektywiczny funkcji f 3 12

13 Rysunek 10: Wykres perspektywiczny funkcji f 3 skala barw terrain 13

14 Podstawowe pojęcia analizy funkcji wielu zmiennych Jesteśmy zainteresowani odpowiednikami pojęć analizy jednej zmiennej ciągłości; pochodnej; całki dla przypadku funkcji n zmiennych. 14

15 Pochodna czastkowa Nasz cel znalezienie wielowymiarowego odpowiednika pojęcia pochodnej. Pojęcie pomocnicze : pochodna cząstkowa. Definicja 1 Pochodna czastkow a funkcji dwóch zmiennych f(x, y) względem zmiennej x, oznaczana symbolem f x, nazywamy pochodn a funkcji f względem argumentu x przy ustalonej wartości y; analogicznie pochodna czastkow a funkcji f(x, y) względem zmiennej y, oznaczana symbolem f y, nazywamy pochodna funkcji f względem argumentu y przy ustalonej wartości x. W podobny sposób można okreslić pochodna funkcji wielu zmiennych. Pochodna czastkowa funkcja n zmiennych. 15

16 Dla funkcji f 3 (x, y) = x 2 + y 2 : Pochodna czastkowa przykład f 3 x = 2x f 3 y = 2y. 16

17 Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych Funkcja f jednej zmiennej jest różniczkowalna w punkcie x 0, jeżeli różnicę f(x) f(x 0 ) dla x z otoczenia x 0 można dobrze przybliżyć przez funkcję liniową. Analogicznie: funkcja g dwóch zmiennych jest różniczkowalna w punkcie (x 0, y 0 ) jeśli różnicę g(x, y) g(x 0, y 0 ) dla (x, y) z otoczenia x 0, y 0 można dobrze przybliżyć funkcją liniową l l(x, y) = ax + by, gdzie a i b są ustalonymi liczbami (dokładniejsze określenie pojęcia różniczkowalności funkcji wielu zmiennych: [Bed04, rozdz. 6]) 17

18 Rózniczkowalność funkcji wielu zmiennych przykłady Funkcja f 1 jest różniczkowalna w punktach (x, y), dla których x 2 + y 2 1. Funkcja f 3 jest różniczkowalna na całej płaszczyźnie R 2. 18

19 Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych Fakt Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (x, y), to istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe f x i f y. Definicja 2 Różniczkę zupełna funkcji dwóch zmiennych f, różniczkowalnej w punkcie (x, y), określamy wzorem x f x + y f y, gdzie x i y oznaczaja przyrosty, odpowiednio, pierwszego i drugiego argumentu. 19

20 Różniczka zupełna funkcji wielu zmiennych zastosowania Pole działki o bokach x i y będziemy oznaczać symbolem S(x, y) (S jest funkcją dwóch zmiennych). Pan A miał działkę o wymiarach x = 50 i y = 100. Na skutek decyzji władz gminy wymiary jego działki zostały zmodyfikowane: nowe wymiarytej działki są równe: x = 49 i y = 103. Oznaczmy x = x x oraz y = y y. 20

21 Przyrost pola działki może być wyrażony w postaci: S =S(x, y ) S(x, y) = =S(x + x, y + ) S(x, y) = x S x + y S y =( 1) =

22 Różniczka zupełna funkcji wielu zmiennych zastosowania do szacowania błędów pomiarowych Problem Działka pana B ma x = 60 m długości i y = 80 m szerokości. Błąd pomiaru (zarówno szerokości jak i długości) wynosi 0.1 m. Chcemy znaleźć oszacowanie błędu pomiaru pola działki. Pole działki o bokach a i b oznaczamy przez S(a, b). Rzeczywista długość działki jest równa x + δx a rzeczywista szerokość działki jest równa y + δy Z warunków zadania: δx x, δy y. 22

23 Mamy: S(x + δx, y + δy) S(x, y) δx S x + δy S y δx S x + δy S y x S x + y S y = = 0, ,1 60 = 14. A więc przyjmujemy, że błąd pomiaru powierzchni działki jest mniejszy niż 14m 2. 23

24 Uwagi o całce wielokrotnej Pole trapezu krzywoliniowego można wyrazić za pomocą całki oznaczonej. Objętość figur ograniczonych wykresem funkcji dwóch zmiennych oraz jedną (lub kilkoma) płaszczyznami można obliczyć korzystając z pojęcia całki wielokrotnej. Pole ograniczone przez wykres funkcji f 3 i płaszczyznę z = 0 jest równe 2π 3 (połowa objętości kuli o promieniu 1). Pole to można wyrazić jako całkę wielokrotną f 3 (x, y)dp, gdzie P oznacza prostokąt, którego wierzchołkami są punkty P 1 = ( 1, 1), P 2 = ( 1, 1), P = (1, 1), P 2 = (1, 1). P Więcej informacji a całkach podwójnych i wielokrotnych można znaleźć w książce [Fich80] 24

25 Polecana literatura [Bed04] T. Bednarski, Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna Ekonomiczna, Kraków [Fich80] G. Fichtenholza, Rachunek Różniczkowy i całkowy, t.3, rozdz. XVI, PWN