Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl
Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu o wyrzie ogólym N rówją się 7? Jkie jeszcze wyrzy w tym ciągu są liczbmi turlymi? Zdie Czy w ciągu o wyrzie ogólym N występuje wyrz rówy 5? Jeśli tk to który? Udowodij że wszystkie wyrzy tego ciągu wyrżją się liczbmi turlymi Zdie Które wyrzy ciągu o wyrzie ogólym N są liczbmi turlymi? Czy jkiś wyrz ciągu jest rówy? Zdie Zbdj czy wśród wyrzów ciągu ( turle N gdzie są liczby 0 Zdie 5 Które wyrzy ciągu o wyrzie ogólym N są miejsze od 0? 00 00 Zdie 6 Które wyrzy ciągu o wyrzie ogólym N są 5 dodtie? Zdie 7 Sum początkowych wyrzów pewego ciągu wyrż się wzorem S N Wyzcz te ciąg ( Zdie 8 Sum początkowych wyrzów ciągu ( Oblicz pierwszy wyrz ciągu ( b Oblicz drugi wyrz ciągu ( c Wyzcz wzór -ty wyrz ciągu ( dl wyrż się wzorem S 5 Zdie 9 Wyzcz trzeci czwrty i piąty wyrz ciągu określoego wzorem rekurecyjym: 05 d ( e b ( c 5 f Zdie 0 Zbdj mootoiczość ciągów: c 5 d Collegium Novum Akdemi Mturl - -
Zdie Podj przykłd ciągu rosącego o wyrzch: dodtich b ujemych Zdie Podj przykłd ciągu mlejącego ( ( b b : o tej włsości że ciąg jest mlejący b jest rosący c ie jest mootoiczy jest ciągiem mlejącym o wyrzch dodtich Zbdj b wiedząc że: b c b b b d b Zdie Ciąg ( mootoiczość ciągu ( Zdie Ciąg ( wykresu ciągu ( Który wyrz ciągu ( b Ile wyrzów ciągu ( jest ciągiem mlejącym Korzystjąc z przedstwioego frgmetu odpowiedz poiższe pyti: jest rówy -? jest większych od -? c Czy liczb 000 000 jest dodti czy ujem? Zdie 5 Wyzcz te wrtości prmetru p dl których ciąg o wyrzie ogólym p jest rosący Zdie 6 Które z podych ciągów są ciągmi rytmetyczymi: f g π π c 7 h d i 6 9 e 5 7 j Zdie 7 Zjdź trzysty wyrz ciągu rytmetyczego jeśli: r d 6 0 r e 5 0 6 5 c 075 r 0 5 f 9 7 Collegium Novum Akdemi Mturl - -
Zdie 8 Wyzcz pierwszy wyrz ciągu rytmetyczego mjąc de: 9 r d r 5 7 7 r 5 5 e 7 00 r 5 9 9 c 5 r 0 f 078 r 0 5 9 7 Zdie 9 Wyzcz różicę r ciągu rytmetyczego mjąc de: 7 9 d 6 65 e 99 7 7 c 5 6 f 7 5 8 6 9 7 Zdie 0 Wyzcz liczbę wyrzów ciągu rytmetyczego wiedząc że: 5 6 r 7 d r 7 5 r 5 e 6 5 r 0 7 c 88 r f 5 r 0 08 Zdie Wyzcz wzór -ty wyrz ciągu którego sum początkowych wyrzów wyrż się wzorem: S c S 5 b S d S Wykż że kżdy z tych ciągów jest ciągiem rytmetyczym Zdie Sum kolejych liczb turlych które przy dzieleiu przez 7 dją resztę wyosi 950 Wyzcz jmiejszą i jwiększą z tych liczb Zdie Między liczby 65 i 5 wstw dziewięć liczb tk by wrz z dymi liczbmi tworzyły ciąg rytmetyczy Zdie Ile liczb trzeb wstwić między liczby 6 i 50 by otrzymć ciąg rytmetyczy którego sum wyosi 995? Zdie 5 Drugi szósty i ostti wyrz ciągu rytmetyczego wyoszą odpowiedio i Zjdź pierwszy wyrz i liczbę wyrzów tego ciągu Zdie 6 De są dw ciągi rytmetycze: 7 orz 0 Zsumowo początkowych wyrzów pierwszego ciągi i początkowych wyrzów drugiego ciągu Okzło się że otrzymo rówe sumy Wyzcz Zdie 7 Wyzcz pierwszy wyrz i różicę ciągu rytmetyczego jeśli: 5 i 5 5 i 6 b 9 6 9 6 Zdie 8 Wykopie pierwszego metr studi kosztuje 8 zł kżdego stępego o zł drożej Ile kosztuje wykopie studi głębokości 5 m? b Wykopie studi kosztowło 798 zł Jk był jej głębokość? Collegium Novum Akdemi Mturl - -
Zdie 9 Dl jkich wrtości x liczby: x x 5x tworzą (w podej kolejości ciąg rytmetyczy? Zdie 0 Dl jkich wrtości x liczby: x 5x x x tworzą (w podej kolejości ciąg rytmetyczy? Zdie Dl jkich wrtości x liczby: kolejości ciąg rytmetyczy? x 5 x x x tworzą (w podej Zdie Miry trzech kolejych kątów czworokąt wpisego w koło tworzą ciąg rytmetyczy o różicy 7 Oblicz miry kątów tego czworokąt Zdie Udowodij ze jeżeli trzy koleje kąty czworokąt wpisego w koło tworzą ciąg rytmetyczy to co jmiej dw kąty tego czworokąt są proste Zdie Udowodij że jeżeli długość trzech kolejych boków czworokąt opisego okręgu tworzą ciąg rytmetyczy to przyjmiej dw boki tego czworokąt mją tką smą długość Zdie 5 Pierwszy wyrz ciągu rytmetyczego rów się Stosuek sumy m początkowych wyrzów tego ciągu do sumy ( m początkowych wyrzów wyosi Zjdź różicę i wzór ogóly tego ciągu Zdie 6 W ciągu rytmetyczym i ( p q tego ciągu p q q p Zjdź sumę p q wyrzów m : Zdie 7 Sum m początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego rów się tomist sum początkowych wyrzów ciągu rów się m ( m Zjdź sumę m początkowych wyrzów ciągu Zdie 8 P Nowk ulokowł w bku kwotę 000 zł 7% w skli roku (procet prosty Jką sumę otrzym po pięciu ltch? Uwg: Procet prosty to rodzj oprocetowi lokty pieiężej polegjący tym że odsetek ie dolicz się do kwoty podlegjącej oprocetowiu Zdie 9 Przez pięć lt ( początku kżdego roku p Nowk lokuje w bku po 000 zł 7% (procet prosty Jką sumę otrzym po pięciu ltch? Zdie 0 P Kozłowski złożył do bku 8000 zł po upływie pierwszego i kżdego stępego roku wpłcł po 000 zł Ile lt oszczędzł p Kozłowski jeśli koiec tego okresu kocie było wrz z odsetkmi (przed opodtkowiem 790 zł Przez cły czs oszczędzi oprocetowie w bku wyosiło 5% (procet prosty jest ciągiem geometryczym jeśli -ty wyrz tego ciągu jest rówy: e f 5 c g b c gdzie b c R d h cos π Zdie Zbdj czy ciąg ( Collegium Novum Akdemi Mturl - 5 -
Zdie Wyzcz ilorz ciągu geometryczego q wiedząc że: 6 5 d 05 6 5 7 0 5 e 7 6 c 00 5 65 6 f 5 8 6 Zdie Wyzcz liczbę wyrzów ciągu geometryczego wiedząc że: 8 9 q 5 d q 7 5 q 05 e 005 q 0 000 c 5 q f 05 q 05 096 Zdie Wyzcz pierwszy wyrz i ilorz ciągu geometryczego ( 5 680 i 560 6 i 5 08 c 7 0 i 7 5 96 d 5 85 i 600 6 Zdie 5 Między liczby i 87 liczbmi tworzyły ciąg geometryczy wiedząc że: wstw trzy liczby tk by wrz z podymi Zdie 6 Między liczby i 96 wstw cztery liczby tk by wrz z podymi liczbmi tworzyły ciąg geometryczy Zdie 7 Trzeci wyrz ciągu geometryczego rów się 5 szósty wyosi 5 Zjdź sumę ośmiu pierwszych wyrzów tego ciągu Zdie 8 Sum trzech wyrzów tworzących ciąg geometryczy jest rów ich iloczy wyosi 6 Zjdź te ciąg Zdie 9 Wyzcz rosący ciąg geometryczy wiedząc że sum wyrzów skrjych jest rów iloczy tych wyrzów 6 sum wszystkich wyrzów ciągu wyosi 6 Zdie 50 Jką jedkową liczbę leży dodć do kżdej z liczb 0 6 by otrzyme sumy utworzyły ciąg geometryczy? Zdie 5 Piłk odbijjąc się od ziemi osiągł z kżdym rzem wysokość wyoszącą poprzediej Jk wysoko wziosł się piłk po pierwszym uderzeiu jeśli po szóstym odbił się wysokość cm? Zdie 5 P OSzczędy złożył do bku 500 zł cztery lt procet skłdy Jką kwotą będzie mił kocie po tym okresie jeśli oprocetowie wyosi 0% w skli roku odsetki kpitlizuje się: po roku b po 6 miesiącch c po miesiącch Collegium Novum Akdemi Mturl - 6 -
Zdie 5 P OSzczędy złożył do bku 5000 zł Po 8 miesiącch wypłcił 5955zł Jkie jest oprocetowie (w skli roku jeśli bk kpitlizuje odsetki co pół roku? Zdie 5 Trzy liczby dodtie b c tworzą ciąg geometryczy Sum tych liczb jest rów 6 sum ich odwrotości wyosi 07( Zjdź te liczby i 8 o tej smej liczbie wyrzów Zjdź liczbę wyrzów kżdego z tych ciągów wiedząc że łącz sum ich wyrzów wyosi 50 Zdie 55 De są dw skończoe ciągu geometrycze ( 6 ( 9 96 8 Zdie 56 Oblicz sumę wszystkich miejsc zerowych fukcji przedziłu 0 50 π Zdie 57 Oblicz sumę stu jmiejszych dodtich rozwiązń rówi f ( x cos x leżących do si x cos x Zdie 58 Liczby x i x są pierwistkmi rówi x x m 0 gdzie m jest pewą ujemą liczbą rzeczywistą Ciąg ( określoy jest wzorem ( x x Oblicz sumę wyrzów tego ciągu Zdie 59 (MATURA PODSTAWOWA mj 005 6 pkt Rodzeństwo w wieku 8 i 0 lt otrzymło rzem w spdku 800 zł Kwotę tę złożoo w bku 5% (w skli roku procet skłdy Kżde z dzieci otrzym swoją część spdku z chwilą osiągięci wieku lt Życzeiem spdkodwcy było tkie podzieleie spdku by w przyszłości obie wypłcoe części były rówe Jk leży podzielić kwotę 800 między rodzeństwo? Zdie 60 (MATURA listopd 006 5 pkt Wyzcz wszystkie wrtości k R dl których pierwistki wielomiu W( x ( x - 8 x ( x - k są trzem kolejymi wyrzmi rosącego ciągu geometryczego Zdie 6 (MATURA mj 006 pkt Sum początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego ( wyrż się wzorem: Oblicz sumę 50 początkowych wyrzów tego ciągu o umerch przystych: 6 00 b Oblicz Odpowiedzi: S lim 7 7; 0 8 0 5 6 ; Nie 6 6 5 5 6 7 8 9 S Collegium Novum Akdemi Mturl - 7 -