6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci:...... (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki ukłdu i R to wyrzy wole (lo stłe ukłdu) dl i j. Uwg: współczyiki ukłdu rówń ogą leŝeć teŝ do iego cił p. do cił licz zespoloych Rozwiązie ukłdu rówń liiowych zywy kŝdy ciąg (c c c ) licz rzeczywistych spełijących te ukłd (tz po podstwieiu (c c c ) z ( ) w lewej stroie ukłdu rówń (6..) otrzyujey tkie se wrtości co po prwej stroie). Często zist ówić Ŝe -k licz (c c c ) jest rozwiązie ukłdu rówń piszey c c... c. Ukłd rówń który ie rozwiązń zywy ukłde sprzeczy. oŝliwe są jeszcze dwie ie ogóle sytucje: ukłd dokłdie jedo rozwiązie orz istieje ieskończo licz rozwiązń dego ukłdu rowń. Jeśli istieje co jiej jedo rozwiązie to ukłd zywy iesprzeczy. Uwg. PowyŜszy ukłd rówń liiowych oŝ zpisć z poocą suy: lu w postci cierzowej: ij j j i ( i... ) (6..) gdzie def X B O def X def B. cierz zywy cierzą główą ukłdu rówń liiowych cierz X cierzą (koluą ądź wektore koluowy) iewidoych B cierzą (koluą lu wektore koluowy) wyrzów wolych. RozwŜ się tkŝe ukłdy rówń liiowych w których cierze X orz B są zespoloe. W przypdku łej liczy iewidoych ędziey je ozczć literi y z t u v w. Defiicj.. (ukłd jedorody i iejedorody) Ukłd rówń liiowych postci X
gdzie jest cierzą wyiru toist jest cierzą zerową wyiru zywy ukłde jedorody. Ukłd rówń liiowych postci X B w który B jest cierzą iezerową zywy ukłde iejedorody. Uwg. Jedy z rozwiązń kŝdego ukłdu jedorodego X jest cierz zerow X wyiru gdzie ozcz liczę kolu cierzy. 6. Ukłdy Crer Defiicj 6.. (ukłd Crer) Ukłde Crer zywy ukłd rówń liiowych X B w który jest cierzą ieosoliwą. Twierdzeie 6.. (wzór Crer) Ukłd Crer X B dokłdie jedo rozwiązie. Rozwiązie to jest określoe wzore X gdzie ozcz stopień cierzy toist j dl j ozcz cierz w której j tą koluę zstąpioo koluą wyrzów wolych B tz. K K def K K j. O O K K Uwg. Rówość określjącą rozwiązie ukłdu rówń liiowych zywy wzore Crer. Rówość t po rozpisiu przyjuje postć: zwą wzori Crer. Twierdzeie 6.. (etod cierzy odwrotej Rozwiązie ukłdu Crer X B jest określoe wzore: 6.. Ogóle ukłdy rówń liiowych X B. Dy jest ukłd -rówń z -iewidoyi. icz rówń ie usi yć rów liczie iewidoych tz. oŝe zchodzić < lu lu >. Piszey go stępująco:
...... O... Błąd! Nie zdefiiowo zkłdki. (6..) lizę rozwiązlości tkiego ukłdu zczyy od porówi rzędów cierzy główej ukłdu..................... orz cierzy rozszerzoej (uzupełioej) ukłdu postci: [ ] B O któr powstje z cierzy przez forle dopisie koluy wyrzów wolych. Dl zzczei specjlej roli osttiej koluy oddziely ją kreską. cierz rozszerzo w jedozczy sposó określ ukłd rówń. Przykłd: cierz 5 4 5 5 odpowid stępująceu ukłdowi rówń: y y 5y z 5z 5 4. ( 6..) Relcj iędzy cierzą i [ B] cierzą określ kwestię istiei orz ilości rozwiązń dego ukłdu rówń. Precyzyjie określ to stępujące wŝe twierdzeie. Twierdzeie 6.. (Kroecker-Cpelliego) Ukłd rówń liiowych z iewidoyi posid rozwiązie wtedy i tylko wtedy gdy rz rz [ B]. (6..) Dowód: Ukłd rówń (6..) oŝ rówieŝ zpisć stępująco:... B (6..) i gdzie i ozcz i-tą koluę cierzy. i Koieczość: Ze wzoru (6..) wyik Ŝe kolu B jest liiowo zleŝ od kolu... więc rz rz [ B].
Dostteczość: iech rz rz [ B] r więc istieje r liiowo iezleŝych kolu iech to ędą koluy... r iędzy kolui {... B} jest teŝ r liiowo iezleŝych kolu. Są ii {... r }. oŝey więc pisć B α α...α r r Biorąc więc α r α r... α otrzyujey rozwiązie ukłdu: {α i } i.... Defiicj 6.. (ukłdy rówowŝe) Dw ukłdy rówń zywy rówowŝyi jeŝeli kŝde rozwiązie jedego ukłdu rówń jest jedocześie rozwiązie drugiego ukłdu i odwrót. Twierdzeie 6.. Niech ukłd rówń (6..) rozwiązie i iech ędzie iore stopi r (r rz ) cierzy. Usuwjąc z ukłdu rówń (6..) te rówi których współczyiki ie wchodzą w skłd ior otrzyujey ukłd rówń rówowŝych ukłdowi (6..). Twierdzeie 6.. Niech cierz ukłdu rówń: r r......... r O r rząd rówy r. Oczywiście istieje tki róŝy od zer ior który jest stopi r. Wówczs wszystkie rozwiązi ukłdu otrzyujey przyjując dl r iewidoych (tych których współczyiki ie wchodzą w skłd ior dowole stłe. Pozostłe iewidoe oliczy ze wzorów Crer. Wiosek: N to y ukłd -rówń -iewidoych ( ) ił dokłdie jedo rozwiązie potrze i wystrcz y rz rz [ B]. Wiosek: dl dowolego ukłdu rówń liiowych: jeśli rz rz [ B] to rozwiązie jest dokłdie jedo jeśli rz rz [ B] r < to rozwiązń jest ieskończeie wiele zleŝych od (r) pretrów. jeśli rz rz [ B] to ukłd jest sprzeczy y określić rodzj ukłdu oliczy rzędy cierzy i cierzy rozszerzoej [ B] stępie porówujey je ze soą orz z ilością iewidoych. Przykłd. Rozwiązć ukłd rówń y y (6..) y 6 Wypisujey cierze główą orz rozszerzoą [ B] 6 Z cierzy wyiery ior
który jest róŝy od. Ozcz to Ŝe rz. Nstępie oliczy [ ] 6 B Ozcz to ze cierz [ B] ie oŝe yć rzędu. Stąd rz rz [ B]. Nstępie skreśly trzecie rówie którego współczyiki ie występują w wyry iorze. Otrzyujey ukłd rówń rówowŝych y y W który licz iewidoych jest rów liczie rówń. Rozwiązujey go etodą Crer. Oliczy orz 5 9 y. Stąd 5 9 y y. Pr ) 5 9 ( jest rówieŝ rozwiązie rówi trzeciego. Przykłd. Rozwiązć ukłd rówń (6..4) ) y: B. Podto rz gdyŝ istieje tki ior stopi drugiego orz rz rz rz rzb gdzie wykoliśy opercję eleetrą w w w któr wygeerowł zer w trzeci wierszu. y więc < rz rz B. Ukłd rówń ieskończeie wiele rozwiązń zleŝych od r pretrów. ) Odrzucy trzecie rówie jko liiowo zleŝe od dwóch pierwszych.
c) Wyiery ziee jko ziee wiodące (zowe) tz. tkie których współczyiki wchodzą do ior. Zieą iewiodącą (iezową) tj. przeosiy prwą stroę rówń: Nstępie podstwiy z ziee iewiodące dowole pretry tz. przyjujey w szy przypdku α gdzie α R to dowoly pretr. Rozwiązując etodą Crer ukłd: α α ze względu otrzyujey: 5 5α 4α. Pełe rozwiązie ukłdu rówń (..4) jest postci: 5 5α 4α α. 6.4 etod eliicji Guss Łtwo zuwŝyć Ŝe ziór rozwiązń ukłdu rówń ie ziei się przy stępujących opercjch ty ukłdzie:. Perutowie (zi kolejości) rówń.. PooŜeie jedego rówi przez dowolą liczę.. Dodie wielokrotości jedego rówi do iego rówi. Te opercje zwe opercji eleetryi stowią podstwowe rzędzie jedej z jrdziej zych etod rozwiązywi ukłdów rówń liiowych czyli tzw. etody eliicji Guss. W odiesieiu do cierzy rozszerzoej odpowidją oe perutowiu wierszy tej cierzy oŝeiu wiersz przez dowolą liczę orz dodwiu wielokrotości jedego wiersz do iego wiersz. Wiey rówieŝ Ŝe zi kolejości skldików w rówich (zieijąc p. wyrzy i z wyrzi i w kŝdy z rówń) ie prowdzi do ziy rozwiązń ukłdu. Defiicj 6.4. (rówowŝość ukłdów rówń liiowych opercje eleetre) Pode poiŝej opercje wierszch cierzy rozszerzoej [ B] ukłdu rówń liiowych X B przeksztłcją go ukłd rówowŝy:. zi iędzy soą wierszy (ozczć te opercję ędziey W ij lo w i w j ). oŝeie wiersz przez stłą róŝą od zer (W i (c) lo cw i ). dodwie do i-tego wiersz j-tego wiersz pooŝoego przez liczę c wyrz po wyrzie (W ij (c) lo w i cw j ) 4. skreśleie wiersz złoŝoego z sych zer ( UW i lu w i ) 5. skreśleie jedego z wierszy rówych lu proporcjolych (UW ij lu w i ~ w j ) jko złoŝeie opercji i 4. etod eliicji Guss Niech X B ędzie ukłde rówń liiowych gdzie jest cierzą wyiru. Koleje etpy rozwiązywi ukłdu rówń etodą eliicji Guss są stępujące: ) Tworzyy cierz rozszerzoą ukłdu.
[ ] O 44 4 44 64 iewidoe B ) Jeśli to dzieliy pierwszy wiersz przez (wtedy po przeksztłceiu wyrz wiodący wyosi. Nstępie posługując się ty wiersze uzysky zer w pierwszej koluie. iowicie od wiersz drugiego odejujey wiersz pierwszy pooŝoy przez itd. Gdyy wyrz le iy wyrz w pierwszej koluie p. k to przestwiy jpierw wiersz pierwszy z wiersze k-ty i dlej postępujey tk jk poprzedio. ) Jeśli to dzieliy drugi wiersz przez i posługując się ty wiersze uzysky zer w drugiej koluie poiŝej. Jeśli iy eleet w tej koluie p. s to przestwiy wiersz drugi z s-ty i dlej juŝ postępujey tk jk powyŝej. Jeśli wszystkie s dl s... to przechodziy do stępej koluy. 4) Postępowie kotyuujey Ŝ do -tej koluy. Wyikie tego postępowi jest cierz schodkow w której kŝdy eleet wiodący wyosi (gielsk zw dl tej cierzy to row-echelo tri). cierz t pozwl proste zlezieie rozwiązi. Są oŝliwe trzy przypdki: ) JeŜeli w otrzyej cierzy występuje wiersz (... ) to ukłd jest sprzeczy (tki wiersz odpowid rówiu... które oczywiście ie posid rozwiązń). ) Nie wierszy postci (... ) i licz iezerowych wierszy jest rów liczie iewidoych tz. cierz jest postci (trójkątej): O (6.4.) gdzie ij i i to przeksztłcoe eleety cierzy rozszerzoej. Odpowid o ukłdowi (w tzw. postci trójkątej):......... O (6.4.) Nstępie ukłd te rozwiązujey stępująco: z osttiego rówi y po podstwieiu do przedosttiego rówi otrzyujey
itd. Rozwiązujey te ukłd wstecz ( od dołu ). Rozwiązie w ty przypdku jest oczywiście tylko jedo. c) W cierzy ie wierszy postci (... ) le występują koluy iewiodące. Stosujey tk jk powyŝej podstwieie wstecze rozwiązując te ukłd od dołu le z iewidoe które odpowidją koluo iewiodący przyjujey dowole wrtości (tzw. stłe lo pretry rozwiązi) i przeosiy je prwą stroę odpowiedich rówń. Przykłd (do puktu c). Przypuśćy Ŝe po eliicji dostliśy ukłd rówń opisy cierzą 4 [ B] 5. (6.4.) Ziee i 4 to ziee wiodące zś 5 to ziee iewiodące. Przyjujey z ie dowole stłe p. α 5 β i przeosiy je prwe stroy rówń gdzie α i β przyjują dowole wrtości ze zioru R. Wtedy ukłd rówń odpowidjący cierzy (.4.) przyjuje postć: 4 4 α 54 α β (6.4.4) 4 β który rozwiązujey od dołu: 4 β 5( β ) α β czyli 9 α β i 4 α 9 α β ( β ) α 6β. Rozwiązie szego ukłdu rówń jest więc kŝd piątk licz postci: ( α 6β 9 α β α β β ). Rozwiązi szczególe otrzyujey wstwijąc z α i β kokrete liczy p. α i β wtedy 9 4 5 lo dl α 5 i β o trzyujey ie rozwiązie szczególe: 5. 4 4 5