Metody numeryczne. Wykład nr 3. dr hab. Piotr Fronczak

Transkrypt

1 Metody erycze Wykłd r dr h. Piotr Froczk

2 Pojęci podstwowe Rozwiązywie kłdów gericzych rówń iiowych. Ukłd gericzych rówń iiowych Ukłd iiowy rówń z iewidoyi postci + + = + + = + + = Postć cierzow A =

3 . Mcierz digo wszystkie współczyiki eżące poz główą przekątą są zerowe. Mcierz jedostkow Gdy > kłd rówń iiowych dokreśoych Gdy < kłd rówń iiowych iedookreśoych wtedy p. etod jiejszych kwdrtów

4 . Do cierz trójkąt wszystkie eeety pod przekątą są zerowe 5. Gór cierz trójkąt wszystkie eeety pod przekątą są zerowe 6. Mcierz przekątiowo doijąc wrtości ezwzgęde eeetów główej przekątej są większe od sy wrtości ezwzgędych pozostłych eeetów w wierszch 8 6

5 Ukłd rówń jest źe wrkowy, jeśi ł zi cierzy współczyików, wektor wyrzów woych prowdzi do dżej ziy wektor rozwiązń. Przykłd:.999 y = rozwiązie y =.999 y = rozwiązie y = y = rozwiązie y =.99.

6 Nor cierzy A = i j= ij ksy s ezwzgędych wrtości w wiersz Licz wrkow CodA = A A Moż pokzć, że X X CodA B B orz X X CodA A A Njiejszy ożiwy łąd, to precyzj zpis iczy zieoprzecikowej ch w kopterze. Czyi CodA ch d iforcję, ie jest cyfr zczących w rozwiązi. Cod A ε ch <.5

7 Przykłd:.999 y = A = 999 A = A = 5999 Cod A = A A = 599 Złóży, że dziły typie fot ity ε ch = =. 6 Cod A ε ch =.9.9 <.5 <.67 Czyi y tyko dwie cyfry zczące w rozwiązi.

8 Metody dokłde Poegją tki przeksztłci dych A i, że po skończoej iczie dokłdie wykoywych dziłń rytetyczych otrzyjey rozwiązie. Np. wzory Crer i W W i gdzie W wyzczik cierzy A, wyzczik W i powstje przez wstwieie koy wyrzów woych do i-tej koy wyzczik W Stosjąc wzory Crer eży oiczyć + wyzczików, które wygją co jiej +! ożeń. Jest to więc etod rdzo prcochło i dtego jej się ie stosje d >.

9 Ukłdy rówń z cierzą trójkątą górą Jeżei cierz A kłd rówń z iewidoyi A = jest cierzą trójkątą górą i wszystkie eeety przekątej główej są róże od zer, rozwiązie tkiego kłd oż otrzyć rekrecyjie.

10 Przykłd: + + = 8 + = 5 = = =

11 Przykłd: + = = = = 6 =

12 Przykłd: + = = -6 = = 6 =

13 Przykłd: = 9 = = 6 =

14 Ukłdy rówń z cierzą trójkątą górą i i j ji ii ij j i,,..., fori = ; i>=; i-- { [i] = [i] / [i][i]; forj = ; j<i; j++ [j] = [j] [i]*[j][i]; }

15 Ukłdy rówń z cierzą trójkątą doą i ji ji i i,,..., ii ij j fori = ; i<=; i++ { [i] = [i] / [i][i]; forj = i+; j<=; j++ [j] = [j] [i]*[j][i]; }

16 Ukłdy rówń z cierzą digoą Licz opercji koiecz do przeksztłcei dej cierzy do fory digoej jest większ iż do fory trójkątej.

17 Metod eiicji Gss Njczęściej stosow etod do eryczego rozwiązywi kłd iewie rówń iiowych. Dw etpy:. Sprowdzy kłd do postci trójkątej górej. Rozwiązjey owy kłd tk jk poprzedich sjdch

18

19

20

21

22

23

24 Otrzyiśy zte kłd rówń z cierzą trójkątą górą. Dej postępjey zgodie z goryte d cierzy trójkątych.

25 Metod Gss: wgi 6 6 Ukłd postci: ie oże yć rozwiązy przy poocy etody Gss eeet podstwowy w pierwszy rówi rówy jest zero. Rozwiązie: 6 6 Wiosek: Neży tk przestwić rówi, y eeet podstwowy ył jk jwiększy.

26 Metod Gss: wgi Roiy tk ie tyko wtedy, gdy eeet podstwowy jest rówy zer. Zwsze wyiery rówie podstwowe z jwiększy eeete podstwowy. W przeciwy wypdk rozwiązie oże yć orczoe dży łęde zokrągeń. Po kżdy etpie goryt, rówi są odyfikowe zte z kżdy rze eży sprwdzić, które z rówń jrdziej dje się rówie podstwowe. Jeśi kłd rówń rozwiązi ie jest sprzeczy, to zwsze oż zeźć rówie podstwowe z iezerowy eeete podstwowy. W etodzie Gss eży wykoć łączie ożeń i dzieeń. Z poocą wzorów Crer +! ożeń. D 5 rówń 6! = = 75

27 Metod eiicji Gss-Jord Podo do etody Gss. Dążyy do zyski cierzy digoej. Mcierz rozszerzo:

28 Przykłd: / 6 9/ 6 6/

29 Metod eiicji Gss-Jord: wgi Łtwo ogóić do rozwiązywi kik kłdów rówń jedocześie: d d d c c c Neży piętć o włściwy wyorze rówi podstwowego jk w etodzie Gss Licz dziłń około.5 rzy większ iż w etodzie Gss

30 Rozkłd cierzy LU Dy jest kłd [A][] = []. Mcierz trójkąt do Lower Przedstwy cierz [A] jko ioczy: [A] = [L] [U]. Mcierz trójkąt gór Upper Zte: Niech: [L][U][] = [] [U][] = [y] [L][y] = [] Czyi rozwiązie proe dwetpowe:. Zjdjey [y] korzystjąc ze wzorów kłdy rówń z cierzą trójkątą doą. Zjdjey [] korzystjąc ze wzorów kłdy rówń z cierzą trójkątą górą

31 Metod Dooitte A A wiersz : ; ; ; st Ko co: : / ; / ; /

32 Metod Dooitte A d Wiersz row: : ; ; d Ko co: : ; / /

33 Metod Dooitte A rd row : ; Wiersz : rd Ko co: : / th Wiersz row: :

34 Metod Dooitte goryt: for i = { L ii = for j = i for j = i+ } U L ji ji ji ji j k i k U ii L L jk jk U U ki ki for i = { for j = i for j = i+ } ji ji ji ji j k i k ii jk jk ki ki Kżdy eeet ij potrzey jest tyko rz, zte ożey wykorzystć jego iejsce w cierzy ticy przechowie wrtości L ij U ij.

35 Rozkłd LU: wgi Piętjy o wyorze rówi podstwowego. Trze zpiętć pertcje wierszy cierzy A, y po zkończei dziłi goryt dostosowć położeie eeetów koy wyrzów woych. Rozkłd LU oż stosowć do rówoczesego rozwiązywi wie kłdów rówń różiących się jedyie wektori wyrzów woych.

36 Odwrcie cierzy I A A Zte eży rozwiązć kłd: Dostjey cztery kłdy rówń różiące się tyko koą wyrzów woych Doskoe dje się to tego ce rozkłd LU.

37 Metody itercyje Aogi do rozwiązi rówń ieiiowych etodą szki pkt stłego. / / / / ii i i j i ii ij ij d j i ij d Ukłd oż zpisć w postci cierzowej ˆ

38 Metod Jcoiego Jko rozwiązie początkowe, oier się dowoy wektor p. wektor zerowy i oicz się koeje itercje: ˆ ˆ ˆ k k * k k i i ij j i,,..., ii j ji Koeje przyiżei,, tworzą ciąg wektorów. Jeżei istieje gric tego ciąg, wtedy jest o rozwiązie kłd rówń iiowych. Ciąg wektorów si yć zte ciągie zieży. ρ α = i proień spektry cierzy α, i wrtości włse cierzy α. Tw. Ciąg okreśoy wzore * przy dowoy wektorze jest zieży wtedy i tyko wtedy, gdy ρ α <. Zezieie wrtości włsych jest prcochłoe. Stosje się często iej szerokie, e rówież wystrczjące kryteri, tkie jk p. ii ij j, ji Wrek wystrczjący ie koieczy Mcierze przekątiowo doijące

39 Metod Gss-Seide Podo do etody Jcoiego, e t wyzczjąc w jedy krok itercyjy koeje eeety wektor k+, korzysty zrówo z wrtości wektor k jk i z wyzczoych jż eeetów wektor k+.,,,,,,,,,, k k k k k k k k k k k k k k k f f f Metod szyciej zież zwyke kik itercji wystrczy do zyski zdowjącej dokłdości rozwiązń. Metody dokłde są ogroie czsochłoe d dżych p. > i podte łędy. Wiee proeów fizyczych opisych jest przez cierze przekątiowo doijące p. rówie Lpce. D cierzy rzdkich etody itercyje oszczędzją pięć i iczę oiczeń.

40

41 Czy poiższy kłd rówń oże yć rozwiązy z poocą etody Gss-Seid? A Czy poiższy kłd rówń oże yć rozwiązy z poocą etody Gss-Seid? A Tk, e trze zieić koejość wierszy.

42 Metod Stiość Precyzj Zstosowi Złożoość Uwgi Grficz Sł Ogriczoe Przydt do wizizcji Regł Crer Eiicj Gss Czł łędy zokrągeń Czł łędy zokrągeń Ogriczoe Nieprzydt d trzech więcej rówń Ogóe Średi Rozkłd LU Czł łędy zokrągeń Gss-Seide Może yć rozież, jeśi cierz ie doijąc przekątiowo Doskoł Ogóe Średi Metod preferow, pozw oiczć odwrotości cierzy Tyko d kłdów z cierzą doijącą przekątiowo Łtw