Macierzą uzupełnioną macierzy nazywamy macierz m (n+1) powstałą przez dopisanie kolumny wyrazów wolnych układu: b

Transkrypt

1 Rówie postci... zywy rówie liiowy o iewidoyc.... Prw stro rówi to tzw. wyrz woly. Rówie liiowe postci... 0 zywy rówie liiowy jedorody. Rozptrzy dlej ułd rówń liiowyc o iewidoyc: Ułd ti oŝey zpisć w postci cierzowej: gdzie to cierz współczyiów przy iewidoyc O to wetor iewidoyc wetor wyrzów wolyc prwyc stro rówń:. Jeśli to jest to jedorody ułd rówń liiowyc. J widć licz iewidoyc ie usi yć rów liczie rówń. Jeśli > więcej rówń iŝ iewidoyc to ułd zywy doreśloy. Jeśli < iej rówń iŝ iewidoyc to ułd zywy iedooreśloy. cierzą uzupełioą cierzy zywy cierz powstłą przez dopisie do cierzy oluy wyrzów wolyc ułdu: O.

2 Istieie rozwiązń ułdu oŝ oreślić djąc rzędy cierzy A i U. Przypoijy wyłd.3 Ŝe rząd cierzy jest rówy liczie liiowo iezleŝyc olu lu wierszy. Dl prtyczego zstosowi dogodiejsze ędzie rówowŝe oreśleie rzędu cierzy: Podcierzą wdrtową dej cierzy zywy dowolą cierz wdrtową ją oŝ otrzyć wyreśljąc z szej cierzy wiersze i oluy w szczególości cierz wdrtow jest swoją podcierzą powstłą przez wyreśleie zero olu i zero wierszy. Rząd cierzy jest rówy stopiowi jwięszej wdrtowej podcierzy o iezerowy wyzcziu. Prwdziwe jest stępujące twierdzeie roecer-cpellego: Niec A ędzie cierzą współczyiów rówń ułdu rówń liiowyc z iewidoyi U cierzą uzupełioą tego ułdu.. Jeśli ra ru to istieje dołdie jedo rozwiązie tego ułdu ułd jest ozczoy. Jeśli ra ru r < to ułd iesończeie wiele rozwiązń jest ieozczoy djącyc się wyrzić z poocą r pretrów. 3. Jeśli ra < ru to ułd ie rozwiązń jest sprzeczy. ZuwŜy Ŝe wrue z pt. ozcz Ŝe w ułdzie d się zleźć podcierz stopi co jwyŝej r o iezerowy wyzcziu. r zieyc tóre ie weszły do wyzczi z olu wyreśloyc przy tworzeiu podcierzy oŝ potrtowć jo pretry słuŝące do oreślei pozostłyc r zieyc. Jeśli jieś rówi ie weszły do wyzczi z tórego wyzczoo rząd A zostły wyreśloe przy tworzeiu podcierzy to oŝ je poiąć o są liiowo zleŝe od pozostłyc więc wyiją z ic.. Jedorody ułd rówń liiowyc. RozwŜi dotyczące istiei rozwiązń z pt.. dotyczą zrówo jedorodyc j i iejedorodyc ułdów rówń liiowyc. PoiewŜ ułdy jedorode często pojwiją się w prolec izyczyc wrto tu w sposó jwy wyrtyułowć wiosi z twierdzei roecer-cpellego. Jedorody ułd rówń liiowyc z iewidoyi postć: 0 czyli A ZuwŜy Ŝe ra ru o dołoŝeie do cierzy oluy z syc zer ie oŝe zwięszyć jej rzędu. Wyi stąd wiose Ŝe pewo istieje jieś rozwiązie ułdu iejedorodego. Rzeczywiście: Jedorody ułd rówń liiowyc z iewidoyi zwsze rozwiązie Jest to tzw. rozwiązie trywile.

3 Jeśli ra to rozwiązie trywile jest jedyy jeśli toist ra < to istieją ietrywile rozwiązi ułdu. Iy wŝy wiose dotyczy ułdu z wdrtową cierzą A: Jedorody ułd rówń z iewidoyi ietrywile rozwiązie wtedy i tylo wtedy gdy deta 0..3 Wzory Crer. Zjiey się terz ułde rówń liiowyc z iewidoyi: A w szczególości oŝe yć teŝ 0. Ozczy W deta W W W czyli W i to wyzczi cierzy powstłej przez zstąpieie i-tej oluy cierzy A oluą wyrzów wolyc. Jeśli W 0 to ułd dołdie jedo rozwiązie tóre zde jest wzori Crer: i W i W. tw. Crer Jeśli W 0 i przyjiej jede z wyzcziów W i jest róŝy od zer to ułd jest sprzeczy. Jeśli W W W... W 0 to rówi są liiowo zleŝe i ułd oŝe yć sprzeczy lu ieozczoy. W ty drugi przypdu eliiując rówi zleŝe liiowo od pozostłyc dostjey ułd iedooreśloy. Ze względu oszt oliczi wyzcziów por..4 wzory Crer ie dją się do prtyczego zstosowi przy rozwiązywiu ułdów rówń liiowyc z wyjątie łyc wrtości. ZuwŜy jeszcze Ŝe gdy W czyli deta 0 to istieje A - i teoretyczie sz ułd A oŝ rozwiązć uŝywjąc cierzy odwrotej do A A - A A - czyli A -

4 PoiewŜ jed oliczeie cierzy odwrotej z wyorzystie cierzy dopełień lgericzyc wyg oliczi wyzcziów tŝe i te sposó ie dje się do prtyczego zstosowi..4 Eliicj Guss. Rozłd U. Zjijy się iejedorody ułde rówń liiowyc z iewidoyi czyli A. Jego cierz uzupełio postć: U. O pioową liią dl przejrzystości oddzieliliśy oluę wyrzów wolyc Wyoując ułdzie stępujące opercje: - zi dwu rówń iejsci - pooŝeie dowolego rówi przez iezerową stłą - dodie do dowolego rówi iego rówi pooŝoego przez stłą otrzyujey ułd rówowŝy tz. jący to so rozwiązie co wyjściowy. Opercjo ty odpowidją dziłi wierszc cierzy uzupełioej: - zi dwu wierszy - pooŝeie wiersz przez iezerową stłą - dodie do wiersz iego wiersz pooŝoego przez stłą. oŝey w te sposó próowć przesztłcić sz ułd do ułdu rówowŝego dl tórego łtwiej wyzczyć rozwiązie. W ty celu od drugiego rówi odejijy pierwsze pooŝoe przez czyi od rówi trzeciego rówie pierwsze pooŝoe przez 3 itd. Ŝ do rówi -tego od tórego odejujey pierwsze pooŝoe przez. W te sposó przy poocy rówi pierwszego wyzerowliśy współczyi przy w olejyc rówic czyli w pierwszej oluie cierzy U y zer z wyjątie pierwszego wiersz. Nstępie przy poocy rówi drugiego zerujey współczyii przy zieej w rówiu trzeci i stępyc. Procedurę tę powtrzy dl olejyc rówń. Współczyi przy eliiowej zieej to tzw. eleet główy. W wyiu tej procedury zwej eliicją Guss sprowdzy cierz ułdu rówń do postci trójątej górej tz. wszystie eleety pod główą przeątą są rówe zero iezerowe zjdują się iej i powyŝej. T ędzie gdy deta 0 czyli ułd rozwiązie; w przeciwy wypdu pojwi się wiersze z syc zer ptrz ćwiczei. Dl ułdu rówń w tej postci łtwo juŝ zleźć rozwiązie: zczyy od osttiego rówi przy tóry y iezerowy współczyi tylo przy osttiej zieej co

5 pozwl łtwo ją wyzczyć. Wrtość tej zieej podstwiy do rówi przedosttiego dzięi czeu oŝey oliczyć przedosttią zieą. otyuując podstwiei oliczoyc zieyc wyzczy z olejyc rówń stępe Ŝ do rówi pierwszego. Proces te zywy podstwieie wstecz. Nietrudo zuwŝyć Ŝe t so łtwo oŝ rozwiązć ułd rówń liiowyc z cierzą trójątą dolą zczyy wtedy od pierwszego rówi procedur to podstwieie w przód. Procedur eliicji Guss pozwl rozwiązć lu stwierdzić r rozwiązń ie tylo dl ułdu rówń z cierzą wdrtową le dl dowolego ułdu rówń liiowyc z iewidoyi ptrz ćwiczei. W trcie eliicji oŝe się ozć Ŝe współczyi przy zieej tórą ccey w dy rou eliiowć z olejyc rówń czyli eleet główy jest rówy 0. Wtedy odszuujey wśród stępyc rówń tie przy tóry współczyi przy iteresującej s zieej jest róŝy od zer zieiy rówi iejsci i otyuujey jeśli ie d się tiego zleźć to zczy Ŝe deta 0. W ueryczej relizcji tego lgorytu zię wierszy w cierzy czyli przestwieie rówń wyouje się z jeszcze iego powodu. OtóŜ liz łędów pozuje Ŝe jorzystiej dl dołdości rozwiązi jest wyierć w Ŝdy rou jwięszy co do wrtości ezwzględej eleet główy. Njczęściej odyw się to włśie przez zię rówń czyli tzw. częściowy wyór eleetu główego w oluie le oŝ wyierć eleet główy w wierszu zieijąc oluy co odpowid przeuerowiu zieyc lo łączyć te oie strtegie peły wyór eleetu główego. ZuwŜy jeszcze Ŝe współczyii przez jie oŝyliśy rówi zleŝą tylo od cierzy współczyiów A ie zleŝą od wyrzów wolyc. Ozcz to Ŝe gdy y do rozwiązi il ułdów róŝiącyc się jedyie prwyi stroi to cierz A przesztłcy tylo rz oczywiście usiy przesztłcić wetory le jest to zczie iej osztowe. Eliicj Guss pozwl zte eetywie rozwiązywć ułdy o wspólej cierzy współczyiów. Eliicj Guss ściśle wiąŝe się z rozłde cierzy iloczy cierzy trójątyc. Jeśli A jest cierzą ieosoliwą jej wyzczi jest róŝy od 0 to istieje jej jedozczy rozłd czyii: A U gdzie jest cierzą trójątą dolą o eleetc digolyc rówyc U jest cierzą trójątą górą rozłd trójąty. Bez oreślei eleetów digolyc tórejś cierzy rozłd ie yły jedozczy. Rozłd ti oŝ otrzyć przez eliicję Guss cierz U to cierz ułdu rówń po eliicji cierz tworzą oŝii eliicji. ZuwŜy jed Ŝe jeśli w czsie eliicji zieiliśy wiersze to ie otrzyliśy rozłdu wyjściowej cierzy A tylo rozłd cierzy tór w porówiu do A sperutowe wiersze. Eliicj Guss prowdzi zte do rozłdu PA U gdzie P to cierz perutcji. Iloczy PA dje cierz z poprzestwiyi wierszi. cierz P w Ŝdy wierszu i w Ŝdej oluie dołdie jede eleet rówy pozostłe są rówe 0.

6 Jeśli zy rozłd trójąty cierzy A to oŝey wyorzystć go do rozwiązi ułdu A dzięi teu Ŝe łtwo rozwiązć ułd z cierzą trójątą górą podstwieie wstecz lu dolą podstwieie w przód. y owie PA U i oliczy P stępie wyzczy c rozwiązując ułd c łtwe o jest trójąt dol pote rozwiązując ułd U c teŝ łtwe o U jest trójąt gór oszt eliicji Guss jest rzędu 3 oŝeń oszt rozwiązi ułdu rówń przy zy rozłdzie trójąty jest rzędu. ZuwŜy jeszcze Ŝe opercje tóre wyoywliśy cierzy A ogły jwyŝej zieić z jej wyzczi zi wierszy. Ozcz to Ŝe wyzczi iloczyu U z dołdością do zu jest ti s j wyzczi A. PoiewŜ wyzczi iloczyu cierzy jest rówy iloczyowi wyzcziów wyzczi cierzy trójątej jest iloczye jej eleetów digolyc digoli se jedyi to z dołdością do zu wyzczi A jest rówy iloczyowi eleetów digolyc cierzy U. Z ogliyśy ustlić podstwie wyzczi cierzy P jest o rówy ± le zwyle ie tworzy się cierzy perutcji jedyie zpiętuje iorcje o przestwieic wierszy trspozycje. Wystrczy pote policzyć czy ic licz ył przyst czy ieprzyst. Eliicj Guss dje zte oŝliwość eetywego oliczi wyzcziów cierzy. PoŜy jeszcze Ŝe rozwiązywie ułdów rówń liiowyc eliicj Guss dje rzędzie do prtyczego wyzczi cierzy odwrotej. RozwiąŜy owie ułdów rówń: A i i Wetor i i-tą słdową rówą pozostłe są rówe 0. Ustwijąc oo sieie wetory i dostiey zte cierz jedostową I. Soro wetory i są rozwiązii powyŝszego ułdu rówń to ustwijąc je oo sieie dostjey cierz X tór spełi rówie AX I Ale to ozcz przecieŝ Ŝe X A -. Zte cierz odwrotą do A dostjey ustwijąc olui rozwiązi ułdów rówń liiowyc z cierzą A i prwyi stroi w tóryc olej słdow jest rów reszt 0. Dzięi rozłdowi trójąteu wyg to rzędu 3 oŝeń rozłd oŝeń rozwiązie ułdów rówń. Zpiętjy zte wiose: w prtyce ueryczej ułdu rówń liiowyc ie rozwiązuje się oliczjąc wyzczii i ie wyorzystuje się do tego cierzy odwrotej. Przeciwie rozwiązywi ułdu rówń uŝyw się do oliczei wyzczi lu zleziei odwrotości cierzy.

7 .5 Rozłd Colesy ego. Oówioy wyŝej rozłd U ie jest jedyy oŝliwy. Przy zjdowiu rozłdu cierzy iloczy czyiów trójątyc często ułtwieie yw szczegól postć cierzy. Rozłd A U cierzy syetryczej dodtio oreśloej ptrz.3 oŝ przedstwić w iej postci wyorzystując zcodzącą rówość T D - U gdzie D digd i d i > 0 Wtedy D T DD - U D T U i rozłd oŝ przedstwić w postci syetryczej A D T Przyjując ˆ D gdzie D dig d y rozłd A ˆ ˆ T dsze ^ uŝyty tu zostł jedyie po to y odróŝić czyii trójąte dole we wzorze wyŝej. Syetryczy rozłd cierzy syetryczej i dodtio oreśloej postci A T zywy rozłde Colesy ego. Dyspoując rozłde Colesy ego cierzy A oŝey rozwiązć ułd A wyzczjąc c z trójątego ułdu c stępie rozwiązując ułd trójąty T c Wyzczi cierzy A oŝ oliczyć jo wdrt iloczyu digolyc eleetów cierzy deta l i ii

8 II. WYBRANE ASPETY IPEENTACJI AGEBRY INIOWEJ..6 Ile opercji wyg oŝeie cierzy? Zstówy się ile oŝeń wyg pooŝeie dwu cierzy. Ze wzoru c ij i j wyi Ŝe dl oliczei pojedyczego eleetu cierzy wyiowej usiy wysuowć iloczyy przecodząc przez wiersz pierwszej cierzy oluę drugiej czyli y oŝeń. PoiewŜ usiy oliczyć wszystie eleetów potrzeujey wyoć 3 oŝeń. Orgizcj oliczeń ezpośredio odpowidjąc wzorowi eleet cierzy ozcz więc oszt oŝei cierzy rzędu 3. * Zoczy to cierzc : c c c c Potrze 3 8 oŝeń. c c c c J się jed ozuje oŝ wyoć oliczei wyoując jedyie 7 oŝeń z to oszte dodtowyc dodwń: 3 4 ** wtedy c c 3 5 c 4 c 3 6 Reducj liczy oŝeń o ie wydje się yć wrt zwięszei liczy dodwń i oplicji lgorytu le... ZuwŜy Ŝe jeśli cierz o wyirze podzieliy loi o wyirze to wzór * pozostje prwdziwy dl loów cierzy: C C A AB B. C C A A B B oŝey zte zstosowć powyŝsze wzory do loów cierzy. N ty opier się lgoryt Strsse. oŝąc cierze wdrtowe stopi ie oŝey uzupełić olui i wierszi z zer do potrzeego roziru dzieliy je

9 loi stopi - dl tóryc oŝey zstosowć wzory **. W celu oliczei potrzeyc iloczyów oŝey te loi zowu podzielić loi stopi - i zstosowć **. oŝey postępowć t reurecyjie Ŝ dojdziey do oŝei licz cierzy. W prtyce przy dostteczie łyc cierzc przecodziy do lsyczego oŝei cierzy. Istot reducji czsu oliczeń zsdz się ty Ŝe zysujey jedo oŝeie z ośiu Ŝdy etpie. Przy dostteczie duŝyc cierzc zys oŝeic przewŝ oszty dodtowyc dodwń. log 7 Algoryt Strsse potrzeuje.807 oŝeń. Widć zys w porówiu do lsyczego 3. Njszyszy zy oecie lgoryt Coppersit-Wiogrd wyg.376 oŝeń..7 Biliotei lgery liiowej. BAS i APAC. Zgdiei lgery liiowej powszecie pojwiją się w zdic ueryczyc w uc ścisłyc często dl rdzo duŝyc zgdień. Niezwyle wŝ jest zte ic eetyw ipleetcj w języc progrowi. Tworzeie potrzeyc procedur od podstw przez Ŝdego uŝytowi yłoy strtą czsu i prowdziłoy do ło wydjyc odów. Prole te rozwiązują powszecie dostępe iliotei procedur ueryczyc pozwljące udowę eetywie dziłjącyc progrów przy iilej zjoości etod ueryczyc. Ze względów istoryczyc zcz część tyc iliote pis jest w Fortrie języ te powstł do progrowi oliczeń uowyc co wszuje jego zw: FORul TRANsltor. Podstwowe cegiełi do rozwiązywi zgdień lgery liiowej zwier iliote BAS Bsic ier Alger Suprogrs pis w Fortrie. Procedury iliotei BAS podzieloe są 3 pozioy: BAS level : opercje wetorowe typu α y tŝe oliczie iloczyów slryc i or BAS level : opercje cierz-wetor typu αa βy tŝe ie procedury p. rozwiązywie ułdu T y z trójątą cierzą T BAS level 3: opercje cierz-cierz typu αab βc W iliotece BAS stosuje się owecję odowi w zwie procedury iorcji o precyzji zieyc uŝywyc w oliczeic typu cierzy i wyoywej opercji. Opercje zdeiiowe są dl czterec dołdości odpowiedie typy zieyc w Fortrie: S rzeczywiste pojedycz dołdość D rzeczywiste podwój dołdość C zespoloe pojedycz dołdość Z zespoloe podwój dołdość Przyłdowe typu cierzy to: GE ogól SY syetrycz HE eritows TR trójąt

10 Zś przyłdowe ody opercji to: DOT iloczy slry AXPY su wetorów α y V oŝeie cierz-wetor A SV rozwiązie ułdu cierz-wetor oŝeie cierzy S rozwiązie ułdu cierz-cierz Przyłdy: pozio SSCA DSCA CSCA ZSCA oliczją α w odpowiediej dołdości i dl degu typu dyc SDOT i DDOT oliczją iloczy slry dwu rzeczywistyc wetorów odpowiedio w pojedyczej lu podwójej dołdości DNR i ZNR oliczją w podwójej dołdości orę eulidesową odpowiedio wetor rzeczywistego i zespoloego pozio SGEV DGEV oliczją iloczy A dl ogólej cierzy A CHEV ZHEV oliczją iloczy cierz wetor dl cierzy eritowsiej STRSV DTRSV rozwiązują dl licz rzeczywistyc ułd z cierzą trójątą T pozio 3 SGE DGE CGE ZGEE oŝeie cierzy w ty procedur oŝei cierzy rzeczywistyc w podwójej dołdości powszecie stosow w testc ierzącyc szyość oputerów. STRS DTRS CTRS ZTRS rozwiązywie ułdu trójątego z wielo prwyi stroi Opercj wyoyw przez procedurę oŝe yć rdziej rozudow iŝ oŝ y yło przypuszczć z zwy p. DGE wyouje opercję αab βc przy czy jed z cierzy A i B lu oie oŝe yć wcześiej podd trspozycji. Zwyłeu olicziu AB odpowid wyłączeie trspoowi orz ustwieie α β0. ody źródłowe procedur w Fortrie 77 dostępe są stroie Netli ttp: Ty ieiej ie leŝy ic opilowć sodzielie. Pod róŝyi systei opercyjyi dostępe są owie sopilowe wersje iliotei zpewijące lepszą wydjość. Oprócz iliote dostępyc pod więszość wersji iu istieją tŝe iliotei zwierjące BAS zoptylizowe przez producet oretej rcitetury p. Itel t erel irry procesory Itel AC Core t irry AD ipleetcje ir HP SGI czy Su Istieją tŝe iterejsy BAS do języ C. Rozwiązi podstwowyc proleów lgery liiowej zwier iliote APAC ier Alger PACge stworzo w języu Fortr 77. Oecie istieje wersj w

11 Fortrie 95 orz ipleetcje w C i C. Procedury APAC zują opercjc udostępiyc przez ilioteę BAS. APAC stosuje podoą owecję dotyczącą zewictw j BAS tz. pierwsz liter zwy podje typ zieej i dołdość dwie stępe typ cierzy trzy oleje wyoywą opercję. Podprogry iliotei APAC pozwlją.i. wyoywć toryzcję cierzy rozwiązywć ułdy rówń liiowyc czy rozwiązywć zgdieie włse. PoiewŜ rozwiązie zgdiei zwyle rozłd się etpy często rdzo wygodie jest orzystć z tzw. driver routies wywołującyc odpowiedie podprogry. N przyłd procedur DGESV rozwiązuje w podwójej dołdości ułd rówń liiowyc z ogólą cierzą wywołując w ty celu podprogr DGETRF przeprowdzjący rozłd U stępie uŝywjącą DGETRS do rozwiązi ułdu trójątego. Podoie DPOSV jest drivere dl rozwiązi ułdu liiowego z cierzą syetryczą dodtio oreśloą wywołujący DPOTRF dl przeprowdzei rozłdu Colesy ego stępie DPOTRS dl rozwiązi ułdu z cierzą trójątą. Procedur DSYEV olicz wrtości i wetory włse syetryczej rzeczywistej cierzy uŝywjąc. i. DSYTRD do sprowdzei jej przesztłceii ortogolyi do postci trójdigolej i DSTEQR do zleziei wrtości i wetorów włsyc trójdigolej cierzy syetryczej etodą QR. Oczywiście zist orzystć z driver routies oŝ uŝyć tzw. epert routies pozwljącyc oreślić więcej pretrów lu udowć rozwiązie z podprogrów rozwiązującyc poszczególe etpy. ody źródłowe procedur APACA są dostępe stroie Netli: ttp: jed podoie j w przypdu BAS jlepiej sorzystć ze sopilowyc iliote dostępyc pod dy syste opercyjy. Wspoie wyŝej optylizowe iliotei typu Itel czy AC zwierją tŝe procedury APAC. Procedury APACA wyorzystywe są w populryc pietc oliczeiowyc j R tl Octve Scil itd. Oprócz uŝyci gotowyc sopilowyc iliote lgery liiowej istieje oŝliwość dopsowi pietu w celu optylego wyorzysti oŝliwości oretego oputer p. przez optylizcję wyorzysti pięci cce. Do utotyczego wygeerowi zoptylizowego BAS i ietóryc procedur APAC słuŝy ATAS Autoticlly Tued ier Alger Sotwre: ttp:t-tls.sourceorge.et W zstosowic lgery liiowej w ceii wtowej pojwi się często potrze zleziei ilu wyryc wrtości i wetorów włsyc rdzo duŝej rzdiej tz. jącej ło iezerowyc eleetów cierzy. Do tic celów tworzoe są specjle iliotei p. ARPAC ttp:

12 III. RÓWNANIA NIEINIOWE..8 etod isecji. etod Netwo. etod sieczyc. Zjiey się terz zjdowie iejsc zerowyc ieliiowej ucji jedej zieej czyli rozwiązywie rówi: 0. Pierwsz z etod to etod isecji połowiei przedziłu. Opier się cie iŝ jeśli ucj jest ucją ciągłą w przedzile [] i jej wrtości ońcc przedziłu ją róŝe zi to ucj t usi ieć zero w przedzile. Oliczy zte c środe przedziłu i sprwdzy z c. Wyiery stępie te z przedziłów [c] orz [c] tórego ońcc wrtości ucji ją róŝe zi. Otrzyujey w te sposó przedził dw rzy rótszy od poprzediego zwierjący zero ucji i cłą procedurę oŝey powtórzyć. Błąd z ji wyzczy iejsce zerowe ucji oreśloy jest przez długość przedziłu. Proces otyuujey do oetu Ŝ długość przedziłu zleje poiŝej pewej dostteczie łej wielości lo do cwili gdy wrtość ucji w środu przedziłu ędzie dostteczie lis zeru. Oczywiście jeśli przegpiy ieciągłość ucji to etod oŝe zleźć się w łopotc: [ ] Drug etod etod Newto wyorzystuje wzór Tylor. Niec r ędzie szuy zere ucji jego przyliŝeie. Jeśli istieją odpowiedie pocode ucji to y 0 r... gdzie r. Jeśli jest łe czyli jesteśy liso zer to oŝey poiąć człoy z wyŝszyi potęgi i dostjey 0 sąd. ' Zte z wyjściowego przyliŝei pierwist dostjey lepsze rówe. '

13 W etodzie Newto złdy zte strtowe przyliŝeie iejsc zerowego 0 stępie reurecyjie oliczy lepsze przyliŝei:. ' etod Newto przyliŝ dą ucję liiową. Griczie ozcz to Ŝe rysujey styczą do wyresu ucji w pucie lisi zeru r i zjdujey put w tóry przeci o oś djący lepsze przyliŝeie zer ucji. r Dl pewyc ucji etod ędzie ił powŝe proley ze zieŝością: 0 r 0 Jeśli jed etod dził to zieŝość jest szy. Ozuje się Ŝe jeśli r jest zere pojedyczy i jest ciągł to istieje tie otoczeie putu r Ŝe strtując z tego otoczei etod zieŝ jest do r. etod Newto wyg oliczi pocodej ucji. oŝ spróowć zstąpić pocodą ilorze róŝicowy: '.

14 Otrzyujey wtedy etodę sieczyc:. Do strtu oliczeń potrze dwu putów początowyc; zlezieie Ŝdej olejej wrtości wyg oliczei jedej owej wrtości ucji. Gricz iterpretcj etody sieczyc róŝi się od etody Newto zstąpieie styczej sieczą..9 Ułdy rówń ieliiowyc. Rozwiązie ułdu rówń ieliiowyc zuje zstosowiu wzoru Tylor. N przyłd dl ułdu dwu ucji dwu zieyc 0 0 złdy Ŝe pr jest przyliŝoy rozwiązie. W celu oliczei poprwe i uŝywy rozwiięci Tylor ucji dwu zieyc ztrzyując tylo człoy liiowe. y stąd 0 0 Pocode cząstowe są tu olicze w. Otrzyujey stąd ułd rówń liiowyc Jego cierz to joi J czyli cierz pocodyc cząstowyc. Jeśli cierz J jest ieosoliw to oŝey rozwiązć te ułd wyzczjąc poprwi i dostjąc lepsze przyliŝeie rozwiązi. - r -

15 Procedurę tę stosujey itercyjie: wyzczjąc poprwi jo rozwiązi ułdu liiowego J. Alogiczie rozwiązujey więsze ułdy rówń. Dl ułdu i... 0 i y przy czy poprwi wyzczy rozwiązując ułd rówń liiowyc J z cierzą joiu J. Pocode cząstowe są olicze w.