Macierzą uzupełnioną macierzy nazywamy macierz m (n+1) powstałą przez dopisanie kolumny wyrazów wolnych układu: b

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Macierzą uzupełnioną macierzy nazywamy macierz m (n+1) powstałą przez dopisanie kolumny wyrazów wolnych układu: b"

Transkrypt

1 Rówie postci... zywy rówie liiowy o iewidoyc.... Prw stro rówi to tzw. wyrz woly. Rówie liiowe postci... 0 zywy rówie liiowy jedorody. Rozptrzy dlej ułd rówń liiowyc o iewidoyc: Ułd ti oŝey zpisć w postci cierzowej: gdzie to cierz współczyiów przy iewidoyc O to wetor iewidoyc wetor wyrzów wolyc prwyc stro rówń:. Jeśli to jest to jedorody ułd rówń liiowyc. J widć licz iewidoyc ie usi yć rów liczie rówń. Jeśli > więcej rówń iŝ iewidoyc to ułd zywy doreśloy. Jeśli < iej rówń iŝ iewidoyc to ułd zywy iedooreśloy. cierzą uzupełioą cierzy zywy cierz powstłą przez dopisie do cierzy oluy wyrzów wolyc ułdu: O.

2 Istieie rozwiązń ułdu oŝ oreślić djąc rzędy cierzy A i U. Przypoijy wyłd.3 Ŝe rząd cierzy jest rówy liczie liiowo iezleŝyc olu lu wierszy. Dl prtyczego zstosowi dogodiejsze ędzie rówowŝe oreśleie rzędu cierzy: Podcierzą wdrtową dej cierzy zywy dowolą cierz wdrtową ją oŝ otrzyć wyreśljąc z szej cierzy wiersze i oluy w szczególości cierz wdrtow jest swoją podcierzą powstłą przez wyreśleie zero olu i zero wierszy. Rząd cierzy jest rówy stopiowi jwięszej wdrtowej podcierzy o iezerowy wyzcziu. Prwdziwe jest stępujące twierdzeie roecer-cpellego: Niec A ędzie cierzą współczyiów rówń ułdu rówń liiowyc z iewidoyi U cierzą uzupełioą tego ułdu.. Jeśli ra ru to istieje dołdie jedo rozwiązie tego ułdu ułd jest ozczoy. Jeśli ra ru r < to ułd iesończeie wiele rozwiązń jest ieozczoy djącyc się wyrzić z poocą r pretrów. 3. Jeśli ra < ru to ułd ie rozwiązń jest sprzeczy. ZuwŜy Ŝe wrue z pt. ozcz Ŝe w ułdzie d się zleźć podcierz stopi co jwyŝej r o iezerowy wyzcziu. r zieyc tóre ie weszły do wyzczi z olu wyreśloyc przy tworzeiu podcierzy oŝ potrtowć jo pretry słuŝące do oreślei pozostłyc r zieyc. Jeśli jieś rówi ie weszły do wyzczi z tórego wyzczoo rząd A zostły wyreśloe przy tworzeiu podcierzy to oŝ je poiąć o są liiowo zleŝe od pozostłyc więc wyiją z ic.. Jedorody ułd rówń liiowyc. RozwŜi dotyczące istiei rozwiązń z pt.. dotyczą zrówo jedorodyc j i iejedorodyc ułdów rówń liiowyc. PoiewŜ ułdy jedorode często pojwiją się w prolec izyczyc wrto tu w sposó jwy wyrtyułowć wiosi z twierdzei roecer-cpellego. Jedorody ułd rówń liiowyc z iewidoyi postć: 0 czyli A ZuwŜy Ŝe ra ru o dołoŝeie do cierzy oluy z syc zer ie oŝe zwięszyć jej rzędu. Wyi stąd wiose Ŝe pewo istieje jieś rozwiązie ułdu iejedorodego. Rzeczywiście: Jedorody ułd rówń liiowyc z iewidoyi zwsze rozwiązie Jest to tzw. rozwiązie trywile.

3 Jeśli ra to rozwiązie trywile jest jedyy jeśli toist ra < to istieją ietrywile rozwiązi ułdu. Iy wŝy wiose dotyczy ułdu z wdrtową cierzą A: Jedorody ułd rówń z iewidoyi ietrywile rozwiązie wtedy i tylo wtedy gdy deta 0..3 Wzory Crer. Zjiey się terz ułde rówń liiowyc z iewidoyi: A w szczególości oŝe yć teŝ 0. Ozczy W deta W W W czyli W i to wyzczi cierzy powstłej przez zstąpieie i-tej oluy cierzy A oluą wyrzów wolyc. Jeśli W 0 to ułd dołdie jedo rozwiązie tóre zde jest wzori Crer: i W i W. tw. Crer Jeśli W 0 i przyjiej jede z wyzcziów W i jest róŝy od zer to ułd jest sprzeczy. Jeśli W W W... W 0 to rówi są liiowo zleŝe i ułd oŝe yć sprzeczy lu ieozczoy. W ty drugi przypdu eliiując rówi zleŝe liiowo od pozostłyc dostjey ułd iedooreśloy. Ze względu oszt oliczi wyzcziów por..4 wzory Crer ie dją się do prtyczego zstosowi przy rozwiązywiu ułdów rówń liiowyc z wyjątie łyc wrtości. ZuwŜy jeszcze Ŝe gdy W czyli deta 0 to istieje A - i teoretyczie sz ułd A oŝ rozwiązć uŝywjąc cierzy odwrotej do A A - A A - czyli A -

4 PoiewŜ jed oliczeie cierzy odwrotej z wyorzystie cierzy dopełień lgericzyc wyg oliczi wyzcziów tŝe i te sposó ie dje się do prtyczego zstosowi..4 Eliicj Guss. Rozłd U. Zjijy się iejedorody ułde rówń liiowyc z iewidoyi czyli A. Jego cierz uzupełio postć: U. O pioową liią dl przejrzystości oddzieliliśy oluę wyrzów wolyc Wyoując ułdzie stępujące opercje: - zi dwu rówń iejsci - pooŝeie dowolego rówi przez iezerową stłą - dodie do dowolego rówi iego rówi pooŝoego przez stłą otrzyujey ułd rówowŝy tz. jący to so rozwiązie co wyjściowy. Opercjo ty odpowidją dziłi wierszc cierzy uzupełioej: - zi dwu wierszy - pooŝeie wiersz przez iezerową stłą - dodie do wiersz iego wiersz pooŝoego przez stłą. oŝey w te sposó próowć przesztłcić sz ułd do ułdu rówowŝego dl tórego łtwiej wyzczyć rozwiązie. W ty celu od drugiego rówi odejijy pierwsze pooŝoe przez czyi od rówi trzeciego rówie pierwsze pooŝoe przez 3 itd. Ŝ do rówi -tego od tórego odejujey pierwsze pooŝoe przez. W te sposó przy poocy rówi pierwszego wyzerowliśy współczyi przy w olejyc rówic czyli w pierwszej oluie cierzy U y zer z wyjątie pierwszego wiersz. Nstępie przy poocy rówi drugiego zerujey współczyii przy zieej w rówiu trzeci i stępyc. Procedurę tę powtrzy dl olejyc rówń. Współczyi przy eliiowej zieej to tzw. eleet główy. W wyiu tej procedury zwej eliicją Guss sprowdzy cierz ułdu rówń do postci trójątej górej tz. wszystie eleety pod główą przeątą są rówe zero iezerowe zjdują się iej i powyŝej. T ędzie gdy deta 0 czyli ułd rozwiązie; w przeciwy wypdu pojwi się wiersze z syc zer ptrz ćwiczei. Dl ułdu rówń w tej postci łtwo juŝ zleźć rozwiązie: zczyy od osttiego rówi przy tóry y iezerowy współczyi tylo przy osttiej zieej co

5 pozwl łtwo ją wyzczyć. Wrtość tej zieej podstwiy do rówi przedosttiego dzięi czeu oŝey oliczyć przedosttią zieą. otyuując podstwiei oliczoyc zieyc wyzczy z olejyc rówń stępe Ŝ do rówi pierwszego. Proces te zywy podstwieie wstecz. Nietrudo zuwŝyć Ŝe t so łtwo oŝ rozwiązć ułd rówń liiowyc z cierzą trójątą dolą zczyy wtedy od pierwszego rówi procedur to podstwieie w przód. Procedur eliicji Guss pozwl rozwiązć lu stwierdzić r rozwiązń ie tylo dl ułdu rówń z cierzą wdrtową le dl dowolego ułdu rówń liiowyc z iewidoyi ptrz ćwiczei. W trcie eliicji oŝe się ozć Ŝe współczyi przy zieej tórą ccey w dy rou eliiowć z olejyc rówń czyli eleet główy jest rówy 0. Wtedy odszuujey wśród stępyc rówń tie przy tóry współczyi przy iteresującej s zieej jest róŝy od zer zieiy rówi iejsci i otyuujey jeśli ie d się tiego zleźć to zczy Ŝe deta 0. W ueryczej relizcji tego lgorytu zię wierszy w cierzy czyli przestwieie rówń wyouje się z jeszcze iego powodu. OtóŜ liz łędów pozuje Ŝe jorzystiej dl dołdości rozwiązi jest wyierć w Ŝdy rou jwięszy co do wrtości ezwzględej eleet główy. Njczęściej odyw się to włśie przez zię rówń czyli tzw. częściowy wyór eleetu główego w oluie le oŝ wyierć eleet główy w wierszu zieijąc oluy co odpowid przeuerowiu zieyc lo łączyć te oie strtegie peły wyór eleetu główego. ZuwŜy jeszcze Ŝe współczyii przez jie oŝyliśy rówi zleŝą tylo od cierzy współczyiów A ie zleŝą od wyrzów wolyc. Ozcz to Ŝe gdy y do rozwiązi il ułdów róŝiącyc się jedyie prwyi stroi to cierz A przesztłcy tylo rz oczywiście usiy przesztłcić wetory le jest to zczie iej osztowe. Eliicj Guss pozwl zte eetywie rozwiązywć ułdy o wspólej cierzy współczyiów. Eliicj Guss ściśle wiąŝe się z rozłde cierzy iloczy cierzy trójątyc. Jeśli A jest cierzą ieosoliwą jej wyzczi jest róŝy od 0 to istieje jej jedozczy rozłd czyii: A U gdzie jest cierzą trójątą dolą o eleetc digolyc rówyc U jest cierzą trójątą górą rozłd trójąty. Bez oreślei eleetów digolyc tórejś cierzy rozłd ie yły jedozczy. Rozłd ti oŝ otrzyć przez eliicję Guss cierz U to cierz ułdu rówń po eliicji cierz tworzą oŝii eliicji. ZuwŜy jed Ŝe jeśli w czsie eliicji zieiliśy wiersze to ie otrzyliśy rozłdu wyjściowej cierzy A tylo rozłd cierzy tór w porówiu do A sperutowe wiersze. Eliicj Guss prowdzi zte do rozłdu PA U gdzie P to cierz perutcji. Iloczy PA dje cierz z poprzestwiyi wierszi. cierz P w Ŝdy wierszu i w Ŝdej oluie dołdie jede eleet rówy pozostłe są rówe 0.

6 Jeśli zy rozłd trójąty cierzy A to oŝey wyorzystć go do rozwiązi ułdu A dzięi teu Ŝe łtwo rozwiązć ułd z cierzą trójątą górą podstwieie wstecz lu dolą podstwieie w przód. y owie PA U i oliczy P stępie wyzczy c rozwiązując ułd c łtwe o jest trójąt dol pote rozwiązując ułd U c teŝ łtwe o U jest trójąt gór oszt eliicji Guss jest rzędu 3 oŝeń oszt rozwiązi ułdu rówń przy zy rozłdzie trójąty jest rzędu. ZuwŜy jeszcze Ŝe opercje tóre wyoywliśy cierzy A ogły jwyŝej zieić z jej wyzczi zi wierszy. Ozcz to Ŝe wyzczi iloczyu U z dołdością do zu jest ti s j wyzczi A. PoiewŜ wyzczi iloczyu cierzy jest rówy iloczyowi wyzcziów wyzczi cierzy trójątej jest iloczye jej eleetów digolyc digoli se jedyi to z dołdością do zu wyzczi A jest rówy iloczyowi eleetów digolyc cierzy U. Z ogliyśy ustlić podstwie wyzczi cierzy P jest o rówy ± le zwyle ie tworzy się cierzy perutcji jedyie zpiętuje iorcje o przestwieic wierszy trspozycje. Wystrczy pote policzyć czy ic licz ył przyst czy ieprzyst. Eliicj Guss dje zte oŝliwość eetywego oliczi wyzcziów cierzy. PoŜy jeszcze Ŝe rozwiązywie ułdów rówń liiowyc eliicj Guss dje rzędzie do prtyczego wyzczi cierzy odwrotej. RozwiąŜy owie ułdów rówń: A i i Wetor i i-tą słdową rówą pozostłe są rówe 0. Ustwijąc oo sieie wetory i dostiey zte cierz jedostową I. Soro wetory i są rozwiązii powyŝszego ułdu rówń to ustwijąc je oo sieie dostjey cierz X tór spełi rówie AX I Ale to ozcz przecieŝ Ŝe X A -. Zte cierz odwrotą do A dostjey ustwijąc olui rozwiązi ułdów rówń liiowyc z cierzą A i prwyi stroi w tóryc olej słdow jest rów reszt 0. Dzięi rozłdowi trójąteu wyg to rzędu 3 oŝeń rozłd oŝeń rozwiązie ułdów rówń. Zpiętjy zte wiose: w prtyce ueryczej ułdu rówń liiowyc ie rozwiązuje się oliczjąc wyzczii i ie wyorzystuje się do tego cierzy odwrotej. Przeciwie rozwiązywi ułdu rówń uŝyw się do oliczei wyzczi lu zleziei odwrotości cierzy.

7 .5 Rozłd Colesy ego. Oówioy wyŝej rozłd U ie jest jedyy oŝliwy. Przy zjdowiu rozłdu cierzy iloczy czyiów trójątyc często ułtwieie yw szczegól postć cierzy. Rozłd A U cierzy syetryczej dodtio oreśloej ptrz.3 oŝ przedstwić w iej postci wyorzystując zcodzącą rówość T D - U gdzie D digd i d i > 0 Wtedy D T DD - U D T U i rozłd oŝ przedstwić w postci syetryczej A D T Przyjując ˆ D gdzie D dig d y rozłd A ˆ ˆ T dsze ^ uŝyty tu zostł jedyie po to y odróŝić czyii trójąte dole we wzorze wyŝej. Syetryczy rozłd cierzy syetryczej i dodtio oreśloej postci A T zywy rozłde Colesy ego. Dyspoując rozłde Colesy ego cierzy A oŝey rozwiązć ułd A wyzczjąc c z trójątego ułdu c stępie rozwiązując ułd trójąty T c Wyzczi cierzy A oŝ oliczyć jo wdrt iloczyu digolyc eleetów cierzy deta l i ii

8 II. WYBRANE ASPETY IPEENTACJI AGEBRY INIOWEJ..6 Ile opercji wyg oŝeie cierzy? Zstówy się ile oŝeń wyg pooŝeie dwu cierzy. Ze wzoru c ij i j wyi Ŝe dl oliczei pojedyczego eleetu cierzy wyiowej usiy wysuowć iloczyy przecodząc przez wiersz pierwszej cierzy oluę drugiej czyli y oŝeń. PoiewŜ usiy oliczyć wszystie eleetów potrzeujey wyoć 3 oŝeń. Orgizcj oliczeń ezpośredio odpowidjąc wzorowi eleet cierzy ozcz więc oszt oŝei cierzy rzędu 3. * Zoczy to cierzc : c c c c Potrze 3 8 oŝeń. c c c c J się jed ozuje oŝ wyoć oliczei wyoując jedyie 7 oŝeń z to oszte dodtowyc dodwń: 3 4 ** wtedy c c 3 5 c 4 c 3 6 Reducj liczy oŝeń o ie wydje się yć wrt zwięszei liczy dodwń i oplicji lgorytu le... ZuwŜy Ŝe jeśli cierz o wyirze podzieliy loi o wyirze to wzór * pozostje prwdziwy dl loów cierzy: C C A AB B. C C A A B B oŝey zte zstosowć powyŝsze wzory do loów cierzy. N ty opier się lgoryt Strsse. oŝąc cierze wdrtowe stopi ie oŝey uzupełić olui i wierszi z zer do potrzeego roziru dzieliy je

9 loi stopi - dl tóryc oŝey zstosowć wzory **. W celu oliczei potrzeyc iloczyów oŝey te loi zowu podzielić loi stopi - i zstosowć **. oŝey postępowć t reurecyjie Ŝ dojdziey do oŝei licz cierzy. W prtyce przy dostteczie łyc cierzc przecodziy do lsyczego oŝei cierzy. Istot reducji czsu oliczeń zsdz się ty Ŝe zysujey jedo oŝeie z ośiu Ŝdy etpie. Przy dostteczie duŝyc cierzc zys oŝeic przewŝ oszty dodtowyc dodwń. log 7 Algoryt Strsse potrzeuje.807 oŝeń. Widć zys w porówiu do lsyczego 3. Njszyszy zy oecie lgoryt Coppersit-Wiogrd wyg.376 oŝeń..7 Biliotei lgery liiowej. BAS i APAC. Zgdiei lgery liiowej powszecie pojwiją się w zdic ueryczyc w uc ścisłyc często dl rdzo duŝyc zgdień. Niezwyle wŝ jest zte ic eetyw ipleetcj w języc progrowi. Tworzeie potrzeyc procedur od podstw przez Ŝdego uŝytowi yłoy strtą czsu i prowdziłoy do ło wydjyc odów. Prole te rozwiązują powszecie dostępe iliotei procedur ueryczyc pozwljące udowę eetywie dziłjącyc progrów przy iilej zjoości etod ueryczyc. Ze względów istoryczyc zcz część tyc iliote pis jest w Fortrie języ te powstł do progrowi oliczeń uowyc co wszuje jego zw: FORul TRANsltor. Podstwowe cegiełi do rozwiązywi zgdień lgery liiowej zwier iliote BAS Bsic ier Alger Suprogrs pis w Fortrie. Procedury iliotei BAS podzieloe są 3 pozioy: BAS level : opercje wetorowe typu α y tŝe oliczie iloczyów slryc i or BAS level : opercje cierz-wetor typu αa βy tŝe ie procedury p. rozwiązywie ułdu T y z trójątą cierzą T BAS level 3: opercje cierz-cierz typu αab βc W iliotece BAS stosuje się owecję odowi w zwie procedury iorcji o precyzji zieyc uŝywyc w oliczeic typu cierzy i wyoywej opercji. Opercje zdeiiowe są dl czterec dołdości odpowiedie typy zieyc w Fortrie: S rzeczywiste pojedycz dołdość D rzeczywiste podwój dołdość C zespoloe pojedycz dołdość Z zespoloe podwój dołdość Przyłdowe typu cierzy to: GE ogól SY syetrycz HE eritows TR trójąt

10 Zś przyłdowe ody opercji to: DOT iloczy slry AXPY su wetorów α y V oŝeie cierz-wetor A SV rozwiązie ułdu cierz-wetor oŝeie cierzy S rozwiązie ułdu cierz-cierz Przyłdy: pozio SSCA DSCA CSCA ZSCA oliczją α w odpowiediej dołdości i dl degu typu dyc SDOT i DDOT oliczją iloczy slry dwu rzeczywistyc wetorów odpowiedio w pojedyczej lu podwójej dołdości DNR i ZNR oliczją w podwójej dołdości orę eulidesową odpowiedio wetor rzeczywistego i zespoloego pozio SGEV DGEV oliczją iloczy A dl ogólej cierzy A CHEV ZHEV oliczją iloczy cierz wetor dl cierzy eritowsiej STRSV DTRSV rozwiązują dl licz rzeczywistyc ułd z cierzą trójątą T pozio 3 SGE DGE CGE ZGEE oŝeie cierzy w ty procedur oŝei cierzy rzeczywistyc w podwójej dołdości powszecie stosow w testc ierzącyc szyość oputerów. STRS DTRS CTRS ZTRS rozwiązywie ułdu trójątego z wielo prwyi stroi Opercj wyoyw przez procedurę oŝe yć rdziej rozudow iŝ oŝ y yło przypuszczć z zwy p. DGE wyouje opercję αab βc przy czy jed z cierzy A i B lu oie oŝe yć wcześiej podd trspozycji. Zwyłeu olicziu AB odpowid wyłączeie trspoowi orz ustwieie α β0. ody źródłowe procedur w Fortrie 77 dostępe są stroie Netli ttp: Ty ieiej ie leŝy ic opilowć sodzielie. Pod róŝyi systei opercyjyi dostępe są owie sopilowe wersje iliotei zpewijące lepszą wydjość. Oprócz iliote dostępyc pod więszość wersji iu istieją tŝe iliotei zwierjące BAS zoptylizowe przez producet oretej rcitetury p. Itel t erel irry procesory Itel AC Core t irry AD ipleetcje ir HP SGI czy Su Istieją tŝe iterejsy BAS do języ C. Rozwiązi podstwowyc proleów lgery liiowej zwier iliote APAC ier Alger PACge stworzo w języu Fortr 77. Oecie istieje wersj w

11 Fortrie 95 orz ipleetcje w C i C. Procedury APAC zują opercjc udostępiyc przez ilioteę BAS. APAC stosuje podoą owecję dotyczącą zewictw j BAS tz. pierwsz liter zwy podje typ zieej i dołdość dwie stępe typ cierzy trzy oleje wyoywą opercję. Podprogry iliotei APAC pozwlją.i. wyoywć toryzcję cierzy rozwiązywć ułdy rówń liiowyc czy rozwiązywć zgdieie włse. PoiewŜ rozwiązie zgdiei zwyle rozłd się etpy często rdzo wygodie jest orzystć z tzw. driver routies wywołującyc odpowiedie podprogry. N przyłd procedur DGESV rozwiązuje w podwójej dołdości ułd rówń liiowyc z ogólą cierzą wywołując w ty celu podprogr DGETRF przeprowdzjący rozłd U stępie uŝywjącą DGETRS do rozwiązi ułdu trójątego. Podoie DPOSV jest drivere dl rozwiązi ułdu liiowego z cierzą syetryczą dodtio oreśloą wywołujący DPOTRF dl przeprowdzei rozłdu Colesy ego stępie DPOTRS dl rozwiązi ułdu z cierzą trójątą. Procedur DSYEV olicz wrtości i wetory włse syetryczej rzeczywistej cierzy uŝywjąc. i. DSYTRD do sprowdzei jej przesztłceii ortogolyi do postci trójdigolej i DSTEQR do zleziei wrtości i wetorów włsyc trójdigolej cierzy syetryczej etodą QR. Oczywiście zist orzystć z driver routies oŝ uŝyć tzw. epert routies pozwljącyc oreślić więcej pretrów lu udowć rozwiązie z podprogrów rozwiązującyc poszczególe etpy. ody źródłowe procedur APACA są dostępe stroie Netli: ttp: jed podoie j w przypdu BAS jlepiej sorzystć ze sopilowyc iliote dostępyc pod dy syste opercyjy. Wspoie wyŝej optylizowe iliotei typu Itel czy AC zwierją tŝe procedury APAC. Procedury APACA wyorzystywe są w populryc pietc oliczeiowyc j R tl Octve Scil itd. Oprócz uŝyci gotowyc sopilowyc iliote lgery liiowej istieje oŝliwość dopsowi pietu w celu optylego wyorzysti oŝliwości oretego oputer p. przez optylizcję wyorzysti pięci cce. Do utotyczego wygeerowi zoptylizowego BAS i ietóryc procedur APAC słuŝy ATAS Autoticlly Tued ier Alger Sotwre: ttp:t-tls.sourceorge.et W zstosowic lgery liiowej w ceii wtowej pojwi się często potrze zleziei ilu wyryc wrtości i wetorów włsyc rdzo duŝej rzdiej tz. jącej ło iezerowyc eleetów cierzy. Do tic celów tworzoe są specjle iliotei p. ARPAC ttp:

12 III. RÓWNANIA NIEINIOWE..8 etod isecji. etod Netwo. etod sieczyc. Zjiey się terz zjdowie iejsc zerowyc ieliiowej ucji jedej zieej czyli rozwiązywie rówi: 0. Pierwsz z etod to etod isecji połowiei przedziłu. Opier się cie iŝ jeśli ucj jest ucją ciągłą w przedzile [] i jej wrtości ońcc przedziłu ją róŝe zi to ucj t usi ieć zero w przedzile. Oliczy zte c środe przedziłu i sprwdzy z c. Wyiery stępie te z przedziłów [c] orz [c] tórego ońcc wrtości ucji ją róŝe zi. Otrzyujey w te sposó przedził dw rzy rótszy od poprzediego zwierjący zero ucji i cłą procedurę oŝey powtórzyć. Błąd z ji wyzczy iejsce zerowe ucji oreśloy jest przez długość przedziłu. Proces otyuujey do oetu Ŝ długość przedziłu zleje poiŝej pewej dostteczie łej wielości lo do cwili gdy wrtość ucji w środu przedziłu ędzie dostteczie lis zeru. Oczywiście jeśli przegpiy ieciągłość ucji to etod oŝe zleźć się w łopotc: [ ] Drug etod etod Newto wyorzystuje wzór Tylor. Niec r ędzie szuy zere ucji jego przyliŝeie. Jeśli istieją odpowiedie pocode ucji to y 0 r... gdzie r. Jeśli jest łe czyli jesteśy liso zer to oŝey poiąć człoy z wyŝszyi potęgi i dostjey 0 sąd. ' Zte z wyjściowego przyliŝei pierwist dostjey lepsze rówe. '

13 W etodzie Newto złdy zte strtowe przyliŝeie iejsc zerowego 0 stępie reurecyjie oliczy lepsze przyliŝei:. ' etod Newto przyliŝ dą ucję liiową. Griczie ozcz to Ŝe rysujey styczą do wyresu ucji w pucie lisi zeru r i zjdujey put w tóry przeci o oś djący lepsze przyliŝeie zer ucji. r Dl pewyc ucji etod ędzie ił powŝe proley ze zieŝością: 0 r 0 Jeśli jed etod dził to zieŝość jest szy. Ozuje się Ŝe jeśli r jest zere pojedyczy i jest ciągł to istieje tie otoczeie putu r Ŝe strtując z tego otoczei etod zieŝ jest do r. etod Newto wyg oliczi pocodej ucji. oŝ spróowć zstąpić pocodą ilorze róŝicowy: '.

14 Otrzyujey wtedy etodę sieczyc:. Do strtu oliczeń potrze dwu putów początowyc; zlezieie Ŝdej olejej wrtości wyg oliczei jedej owej wrtości ucji. Gricz iterpretcj etody sieczyc róŝi się od etody Newto zstąpieie styczej sieczą..9 Ułdy rówń ieliiowyc. Rozwiązie ułdu rówń ieliiowyc zuje zstosowiu wzoru Tylor. N przyłd dl ułdu dwu ucji dwu zieyc 0 0 złdy Ŝe pr jest przyliŝoy rozwiązie. W celu oliczei poprwe i uŝywy rozwiięci Tylor ucji dwu zieyc ztrzyując tylo człoy liiowe. y stąd 0 0 Pocode cząstowe są tu olicze w. Otrzyujey stąd ułd rówń liiowyc Jego cierz to joi J czyli cierz pocodyc cząstowyc. Jeśli cierz J jest ieosoliw to oŝey rozwiązć te ułd wyzczjąc poprwi i dostjąc lepsze przyliŝeie rozwiązi. - r -

15 Procedurę tę stosujey itercyjie: wyzczjąc poprwi jo rozwiązi ułdu liiowego J. Alogiczie rozwiązujey więsze ułdy rówń. Dl ułdu i... 0 i y przy czy poprwi wyzczy rozwiązując ułd rówń liiowyc J z cierzą joiu J. Pocode cząstowe są olicze w.

6. Układy równań liniowych

6. Układy równań liniowych 6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci:...... (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki

Bardziej szczegółowo

[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ

[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1 lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera /9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń

Bardziej szczegółowo

Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej

Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej Rozwiązywie ułdów rówń liiowych Metod elimicji Guss 2 Postwieie zgdiei Niech dy będzie ułd rówń postci b x x x b x x x b x x x 2 2 2 2 2 22 2 2 2 Powyższy ułd rówń liiowych z iewidomymi moż zpisć w postci

Bardziej szczegółowo

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące. 4. Reurecj. Zleżości reurecyje, lgorytmy reurecyje, szczególe fucje tworzące. Reurecj poleg rozwiązywiu problemu w oprciu o rozwiązi tego smego problemu dl dych o miejszych rozmirch. W iformtyce reurecj

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY . Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4 Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce Wyre rozkłdy prwdopodoieństw żytecze w sttystyce Rozkłd chi-kwdrt o stopich swoody - to rozkłd sy kwdrtów iezleżych zieych losowych o stdryzowy rozkłdzie orly N tz iid N = i i rozkłd y o kcji gęstości

Bardziej szczegółowo

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa / WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu

Bardziej szczegółowo

7. Szeregi funkcyjne

7. Szeregi funkcyjne 7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU MATEMATYA W EONOMII I ZARZĄDZANIU Wykłd - Alger iiow) eszek S Zre Wektore zywy iąg liz ) p 567) 5) itp W ekooii koszyk dór zpisuje się jko wektory Np 567) jko koszyk dór wyspie Hul Gul oŝe ozzć 5 jłek

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 2 Ha i 2 Lb 2011 str 1

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 2 Ha i 2 Lb 2011 str 1 Zres teriłu oowiązująy do egziu poprwowego z tetyi s H i 0 str Dził progrowy Fuj wdrtow Wieoiy iągi Wieoąty Trygooetri Przyłdowe zdi: Fuj wdrtow:. D jest fuj: y 0 Zres reizji Włsośi fuji (p. ootoizośd,

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 3. dr hab. Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 3. dr hab. Piotr Fronczak Metody erycze Wykłd r dr h. Piotr Froczk Pojęci podstwowe Rozwiązywie kłdów gericzych rówń iiowych. Ukłd gericzych rówń iiowych Ukłd iiowy rówń z iewidoyi postci + + = + + = + + = Postć cierzow A = . Mcierz

Bardziej szczegółowo

1.3. Przestrzeni. Odwzorowania. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera- Capellego

1.3. Przestrzeni. Odwzorowania. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera- Capellego WYKŁD 4 3 Przestrzei Odwzorowaia Rząd acierzy Twierdzeie Croecera- Capellego 3 Przestrzeń Przestrzeń wetorowa Baza przestrzei wetorowej 78 (Przestrzeń ) Niech ozacza zbiór wszystich ciągów -eleetowych

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne. Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,

Bardziej szczegółowo

takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k

takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Cł ozczo Niech ędzie ucją oreśloą i ogriczoą w przedzile . Przedził e dzielimy pumi,,,..., imi, że....,,.,..., W żdym przedzile wyiermy pu, i worzymy sumę gdzie

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7 RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z

Bardziej szczegółowo

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych

EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,

Bardziej szczegółowo

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n 6 Szeregi Fourier Defiij Dwie fuje ψ :< > C zywmy fujmi ortogolymi przedzile < > gdy ψ Defiij Ciąg fuji ) :< > C zywmy ułdem ortogolym przedzile < > gdy fuje są prmi ortogole przedzile < > tz gdy j j λ

Bardziej szczegółowo

Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna

Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna Rozszerzeie zczei smolu cłi Riem Z deiicji cłi Riem widć że isoą rolę odrw uporządowie prosej R prz worzeiu podziłu P. Jeżeli zmieim uporządowie prosej o sum cłowe zmieiją z o zmieiją z różice - -. Przjmiem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

Symbol Newtona liczba wyborów zbioru k-elementowego ze zbioru n elementów. Symbol Newtona

Symbol Newtona liczba wyborów zbioru k-elementowego ze zbioru n elementów. Symbol Newtona B Głut Symol Newto Symol Newto licz wyoów ziou -elemetowego ze ziou elemetów ) ( A B B B t t żd dog: odciów do góy Ile ozwiązń m ówie: 4 6 gdzie i są ieujemymi liczmi cłowitymi? 9 84 4 4 5 Licz ozwiązń

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r. KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,

Bardziej szczegółowo

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności Hery Pwłowsi IV LO Toruń O wzorów sróoego moŝei o lsyzyh ierówośi Uzą w szole wzorów sróoego moŝei zzymy o owozei wóh toŝsmośi: () ( ) () ( ) Nstępie uŝywmy ih o przesztłi wyrŝeń Tym rzem zrómy z ih iy

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenia o funkcjach ciągłych Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość

Bardziej szczegółowo

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym. I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń

Bardziej szczegółowo

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury. Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego. Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1) etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x

Bardziej szczegółowo

II. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ METODAMI ITERACYJNYMI 1

II. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ METODAMI ITERACYJNYMI 1 II. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ METODAMI ITERACYJNYMI.. Wstęp W iiejszm rozdzile przedstwim metod rozwiązwi rówń miejsc zerowch tch rówń orz rozwiązwi ułdów rówń. W celu zilustrowi podstw metod itercjej do obliczeń

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Nieciagly.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Nieciagly.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC Fle w ośrodu o struturze periodycznej: N ogół roziry nieciągłości ośrod

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

o d ro z m ia r u /p o w y ż e j 1 0 c m d ł c m śr e d n ic y 5 a ) o ś r e d n ic y 2,5 5 c m 5 b ) o śr e d n ic y 5 c m 1 0 c m 8

o d ro z m ia r u /p o w y ż e j 1 0 c m d ł c m śr e d n ic y 5 a ) o ś r e d n ic y 2,5 5 c m 5 b ) o śr e d n ic y 5 c m 1 0 c m 8 T A B E L A O C E N Y P R O C E N T O W E J T R W A Ł E G O U S Z C Z E R B K U N A Z D R O W IU R o d z a j u s z k o d z e ń c ia ła P r o c e n t t r w a łe g o u s z c z e r b k u n a z d r o w iu

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Całka oznanczona

Wykład 8: Całka oznanczona Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy

Bardziej szczegółowo

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

Operacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań

Operacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań WYKŁAD 3 Opecje elemete mciezch Rozwiązywie ukłdów ówń metodą elimicji Guss Bdie ozwiązlości ukłdów ówń Wcmy tez do ukłdów ówń liiowych lgeiczych A53 (Defiicj) Ukłdem m ówń liiowych z iewidomymi zywmy

Bardziej szczegółowo

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n

a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1

METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1 METODY NUMERYCZNE Wykłd 5. Cłkowie umeryze dr. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Met.Numer. wykłd 5 Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rirdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss

Bardziej szczegółowo

Struna nieograniczona

Struna nieograniczona Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei

Bardziej szczegółowo

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży

Bardziej szczegółowo

Tok sprawdzania nośności ścian obciążonych pionowo wg metody uproszczonej zgodnie z PN-EN 1996-3

Tok sprawdzania nośności ścian obciążonych pionowo wg metody uproszczonej zgodnie z PN-EN 1996-3 To sprwdzi ośości ści ociążoyc pioowo wg eody uproszczoej zgodie z P- 996- UWAGA: ośość ści eży sprwdzć żdej odygcji, cy że gruość ści i wyrzyłość uru ścisie są ie se wszysic odygcjc..... 5. De: rodzje

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Obliczanie pierwiastków wielomianów. Własności wielomianów. Własności wielomianów. Schemat Hornera. Własności wielomianów. p z. p c r.

Plan wykładu. Obliczanie pierwiastków wielomianów. Własności wielomianów. Własności wielomianów. Schemat Hornera. Własności wielomianów. p z. p c r. Pl wyłdu Olicie pierwistów wielomiów Włsości wielomiów Schemt Horer olicie wrtości dieleie wielomiów deflcj omplety schemt Horer metod Newto eśli, to p m stopień. p p /3 3/3 Włsości wielomiów Włsości wielomiów

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach. WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012. Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.

Bardziej szczegółowo

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 4. dr hab. Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 4. dr hab. Piotr Fronczak Metody meryze Wyłd r 4 dr hb. Piotr Froz Oblizie wrtośi włsyh i wetorów włsyh Nieh M będzie wdrtową mierzą. Wówzs M wyzz przesztłeie liiowe przestrzei R w siebie. Nieh v R będzie pewym iezerowym wetorem

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest

Bardziej szczegółowo

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Echa Przeszłości 11,

Echa Przeszłości 11, Irena Makarczyk Międzynarodowa Konferencja: "Dzieje wyznaniowe obu części Prus w epoce nowożytnej: region Europy Wschodniej jako obszar komunikacji międzywyznaniowej", Elbląg 20-23 września 2009 roku Echa

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k Zó aw m ó w i e n i a Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 1 2 0 14 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w Gd y n

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka

Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka lgebr mcerzow e te (rót prowzorycz powtór (uwg: tutj jest ezupełe osewet otcj tj. mcerze czsem są pogruboe czsem ursywe (tlcs) proszę sę e przejmowć t po prostu wyszło) PEWNE WZNE OPERCJE MCIERZOWE ozcz

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak Metody numeryzne Wyłd nr 7 dr. Potr Fronz Cłowne numeryzne Cłowne numeryzne to przylżone olzne łe oznzony. Metody łown numeryznego polegją n przylżenu ł z pomoą odpowednej sumy wżonej wrtoś łownej unj

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY

PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY PODSTWY LGEBRY LINIOWEJ LGEBR MCIERZY Mcierzą prostokątą o m ierszch i kolumch zymy tblicę m liczb rzeczyistych ij (i,,...,m; j,,...,) zpisą postci ujętego isy kdrtoe prostokąt liczb M m M m Liczby rzeczyiste

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

Wyższe momenty zmiennej losowej

Wyższe momenty zmiennej losowej Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla

Bardziej szczegółowo

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Cłkowie umeryze -

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y n i w d n i u 2 0 1 4 r po m i d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j i j e d n o s t k a b u d e t o w a ( 8 1-5 3 8 G d y n i a ), l

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

3. RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zapisujemy w postaci. b...

3. RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zapisujemy w postaci. b... RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Ukłd rówń liiowch iewidoi isuje w ostci Z ukłde () wiąe są ciere A X B które w: A cierą wsółcików X koluą iewidoch B koluą wrów wolch Wkorstując owżse ocei ukłd

Bardziej szczegółowo

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w

Bardziej szczegółowo

ELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1

ELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1 DODATEK N. SZTYWNOŚĆ PZY SKĘANIU ELEMENTÓW PĘTOWYH Zgdieie skręci prętów m duże zczeie prktycze. Wyzczeie sztywości pręt przy skręciu jest iezęde do określei skłdowych mcierzy sztywości prętów rmy przestrzeej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

1.1 Pochodna funkcji w punkcie

1.1 Pochodna funkcji w punkcie Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo