MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

Transkrypt

1 MATEMATYA W EONOMII I ZARZĄDZANIU Wykłd - Alger iiow) eszek S Zre Wektore zywy iąg liz ) p 567) 5) itp W ekooii koszyk dór zpisuje się jko wektory Np 567) jko koszyk dór wyspie Hul Gul oŝe ozzć 5 jłek 6 ów i 7 poidorów Wektory oŝ dodwć i oŝyć przez dowolą lizę rzezywistą to jest ) ) y y y ) y y y ) ) α ) α α α ) A zkupił koszyk dór 567) zś jej rzezoy Wojtek kupił koszyk dór 47) )Ile dór łązie kupili?; Ai siostr kupił rzy większy koszyk dór iŝ Wojtek ) Jki to ył koszyk? Odpowiedź: ) upili łązie 567)47)9) dór; ) 47) 846) Ilozye sklry dwóh wektorów ) orz y y y ) zywy lizę i ) y iyi y y y i Jeśli ) jest koszykie dór zś y y y y ) jest wektore ih e to ilozy sklry wyrŝ koszt zkupu koszyk Jeśli przykłd wyspie Hul Gul kŝde jłko kosztuje huly kŝdy huly zś kŝdy poidor 4 huly to koszyk Wojtk oŝ kupić z 47)4) 8 4 hulów W fish wektor 547) oŝe ozzć zkupy kji fir A B C z odpowiedio 5zł 4zł 7zł Tki wektor oŝey zwć portfele iwestor Gdyy iwestor sprzedł krótko to zzy poŝyzył is sprzedł) kje firy B z 5 tys zł zś kupił kje fir A i C z odpowiedio 5zł zł to jego portfel P wyglądły stępująo: P 5-5) i ie wygły rzez js włsego kpitłu!

2 Portfel P zwiey ritrŝowy dl iwestor którego horyzot iwestyyjy wyosi T di jeśli i) P ie wyg włsego kpitłu; orz ii) iezleŝie od seriusz zyli tego o się stie po T dih od dziś) zysk z portfel P ędzie Jeśli P ) jest portfele zś R r r r ) wektore stóp zwrotu z iwestyji w które ziwestowo odpowiedio zł zł zł to i 4) P R i r i jest zyskie z portfel P i Np P64) zś retowośi z tyh -eh iwestyji de są wektore R% 7% -5%) Wówzs zysk wyiesie P R zł Olizy terz si zysk z portfel P46) gdy R% 7% -5%) P R? Przykłd ZłóŜy Ŝe jeśli wyory prletre wygr PiS to stopy zwrotu z iwestyji w ieruhoośi wyiosą % w oy skrowe 5% zś w kje spółek whodząyh do ideksu WIG ędą rówe -% wię wektor stóp zwrotu PiS R 5 Jeśli z kolei wygr PO to wektor stóp zwrotu z wyieio- yh powyŝej iwestyji wyiesie PO R P 4-9 5) jest ritrŝowy 5 Udowodij Ŝe portfel Rozwiązie Od rzu widć Ŝe P ie wyg włsego kpitłu orz Ŝe są tu seriusze pokrywjąe wszystkie przypdki: seriusz r wygr PiS orz seriusz r wygr PO Pozostje upewić się Ŝe zysk z portfel P w kŝdy z seriuszy ędzie W ty elu skorzysty ze wzoru 4) otrzyują PiS 5 5) P R zł PO 5 6) P R zł o końzy dowód

3 Tk jk wektor jest uogólieie lizy zyś rdziej strkyjy jk liz) tk ierz jest uogólieie wektor Rzezywiśie ierzą zywy kŝdy prostokąty ukłd liz p ) A B Dodwie dwóh ierzy określ się tk jk dodwie dwóh wektorów to zzy po współrzędyh o ile rzez js ją tką są iloś wierszy i kolu jk p ierze A i B Łtwo sprwdzić Ŝe 5 A B Ilozy ierzy określy w ieo rdziej skoplikowy sposó iowiie y pooŝyć ierz C przez D leŝy pooŝyć kŝdy wiersz C przez kŝdą 8 koluę D wię p gdy C D 4 to C D 5 9 ZuwŜy Ŝe ie d się pooŝyć ierzy A przez B poiewŝ ie d się pooŝyć Ŝdego wiersz A przez jkąkolwiek koluę B Rzezywiśie y pooŝyć dw wektory przez sieie usz oe ieć tki s wyir tyle so współrzędyh) o ie iejs w przypdku wierszy ierzy Aj 4 współrzęde) i kolu ierzy Bj współrzęde) Uwg MoŜeie ierzy o ile jest wykole) jest rdzo proste w Eelu wystrzy owie zzzyć iejse ierz ędąą ilozye dwóh ierzy A i B które oŝyy przez sieie zyli zzzyć tyle wierszy ile ierz A orz tyle kolu ile ierz B) stępie skorzystć z fukji MACIERZIOCZYN Przykłd II-i sposó) Dzięki szej zjoośi ierzy rozwiąŝey te przykłd w krótszy sposó Zist owie olizć dw ilozyy sklre 5) i 6) pooŝyy tylko rz

4 4 ierz stóp zwrotu R przez portfel P p poprzez fukję MACIERZIOCZYN) gdzie 5 8) R 5 4 P otrzyują zyli ieujee zyski w kŝdy z dwóh seriuszy Zwróćy uwgę to Ŝe I-y wiersz ierzy R reprezetuje stopy zwrotu w przypdku gdy wygr PiS zś II-i wiersz reprezetuje stopy zwrotu w przypdku zwyięstw PO Z kolei I- kolu R podje stopy zwrotu z ieruhoośi II- kolu stopy zwrotu z oów skrowyh III- kolu z kji fir leŝąyh do ideksu WIG Przykłd do rozwiązi w dou) Bizes Aski ziwestowł 5 tyszł w fudusz ieruhoośi tyszł w oy orz tyszł w kjezyli łązie 5 tyszł) Widoo Ŝe stopy zwrotu holdig period returs) z ieruhoośi oów i kji de są w przypdku zwyięstw PiS przez wektor 5; 5;7) zś w przypdku zwyiestw PO przez wektor 95; 5;4) Sąsid Askiego wyrł portfel Z; -; ) Wykoują oŝeie odpowiedih ierzy i wektorów ) Czy portfel Askiego Y 5; ; ) jest ez ryzyk?; ) Ile ędzie wrt Y po roku? ) Jk stopę zwrotu uzysk Aski z Y? d) N którą prtie zgłosuje sąsid Askiego? e) Czy jego portfel Z jest ritrŝowy? Odpowiedzi: ) Y jest ez ryzyk poiewŝ Y ędzie wrt tyle so w ou seriuszh; ) Y ędzie wrt 95zł; ) 778%; d) PiS; d) tk Włsośi ierzy: ) A B B A przeieość dodwi) ) AB C) AB AC rozdzielość dodwi względe oŝei)

5 5 ) AB)C ABC) łązość oŝei) 4) AB BA oŝeie ie jest przeiee) Podoie jk wśród liz rzezywistyh z dziłie oŝei istieje dokłdie jede eleet eutrly iowiie liz o tej włsośi Ŝe orz tk i wśród ierzy z dziłie oŝei zdefiiowy powyŝej istieje dokłd- ie jede eleet eutrly względe oŝei iowiie ierz jedykow ozz dlej przez J) któr se jedyki główej przekątej orz se zer poz tą przekątą Ozz to Ŝe 9) JA A orz AJ A gdzie J Podto większość ierzy A eleet odwroty ierz odwrotą) oz- zą przez A o tej włsośi Ŝe ) A A ) J A A) Fkt Gdy C i D są ierzi odwrlyi to zzy istieją ierze ierz CD jest odwrl orz ) CD ) D C C i D ) to UŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH RozwŜy rówie ierzowo wektorowe A zyli ) M M które jest izy iy jk ukłde rówń liiowyh z iewidoyi zwykle zpisywyi w stępujy sposó ) M

6 6 Nie jest to ukłd rówń rdzo łtwy do rozwiązi wręz przeiwie Jedk skróoy le rówowŝy jedoześie zpis ) pozwl go rozwiązć w prostszy sposó szzególie prosty wtedy gdy to zzy gdy ilość rówń jest tk s jk ilość iewidoyh Do tego jedk potrzee ędzie jeszze jedo pojęie iowiie pojęie wyzzik które przytzy poiŝej Defiij Dl ierzy kwdrtowej stopi k określy jej wyzzik w sposó idukyjy to zzy przyjują Ŝe potrfiy juŝ olizć wyzzik dowolej ierzy kwdrtowej stopi k- Ay t etodologi ił ses usiy wiedzieć jk olizć wyzzik jiejszej ierzy to jest ierzy stopi któr jest po prostu lizą PoiŜsz etod zyw się olizie wyzzik ierzy kwdrtowej z pooą rozwiięi ple według dowolego wiersz lo dowolej koluy Jeśli A [ ] to jej wyzzik A) ; Zkłdją Ŝe potrfiy olizć wyzziki ierzy kwdrtowyh stopi k- poiŝszy wzór określ jk olizyć wyzzik dowolej ierzy kwdrtowej stopi k z pooą rozwiięi ple według -go wiersz: A) A A Ak A A A k A k A Akk k i k ) A iwi ) AW ) AW ) A kw k i gdzie W ij B) przy zy B jest podierzą A któr powstje z A po skreśleiu i-ego wiersz orz j-ej koluy ierzy A Przykłd Oliz A) ) -go wiersz stępie ) 4-ej koluy z pooą rozwiięi ple według

7 7 Rozwiązie) A) ) ) W W Ay olizyć postąpiy tk so jk liijkę wyŝej stosują rozwi- ięie ple według pewego wiersz lu koluy W jki wyrć te wiersz lu tę koluę? Njlepiej ędzie olizyć te wyzzik z pooą rozwiięi ple ądź według -ej koluy gdyŝ w -ej koluie jest tylko jede eleet róŝy od zer) ądź według -go wiersz gdyŝ w -i wierszu jest rówieŝ tylko jede eleet róŝ od zer) Wyierzy p tą drugą oŝliwość otrzyują Ŝe ) Skorzystliśy tu z rdzo prostego i zego wzoru który ówi Ŝe wyzzik dowolej ierzy zyli ierzy d jest rówy d W istoie rzezy wzór te otrzyujey olizją wyzzik ierzy z pooą rozwiięi ple według -go wiersz zyli według wiersz [ ] Wykoują to otrzyujey d d W W ) ) Ay olizyć zstosujy rozwiięie ple według -go wiersz otrzyują -) z zego wyik iŝ A) - ) Rozwijją według 4-ej koluy ędziey ieć

8 8 ) ) Pierwszy z tyh dwóh wyzzików olizyy stosują rozwiięi ple względe -go wiersz gdyŝ w -i wierszu jest tylko jed liz róŝ od zer) zś drugi wyzzik olizyy stosują rozwiięi ple względe -ej koluy Otrzyujey zte ) orz ) Osttezie - Włsośi wyzzików ) Wyzzik ierzy trspoowej T A wiersze A zostły zieioe koluy rówowŝie oŝ powiedzieć Ŝe koluy A zostły zieioe wiersze) rówy jest wyzzikowi ierzy A to zzy A) T A ); ) JeŜeli w ierzy A przestwiy ze soą wiersze lu koluy) to wrtość wyzzik ziei się przeiwą; ) JeŜeli wszystkie eleety pewego wiersz ądź koluy) ierzy A pooŝyy przez stłą to wyzzik tk otrzyej ierzy A ędzie rzy większy iŝ wyzzik A to zzy A ) A); 4) Jeśli ierz B powstie z ierzy A w te sposó Ŝe do eleetów jkiegokolwiek wiersz ądź koluy) ierzy A dody eleety iego wiersz ądź koluy) pooŝoe przez stłą to B) A); 5) Jeśli wszystkie eleety pewego wiersz ądź koluy) ierzy A są rówe zero to A) ;

9 9 6) Jeśli wszystkie eleety pewego wiersz ądź koluy) ierzy A są proporjole do eleetów iego wiersz koluy) to A) Fkt Jeśli ierz kwdrtow B stopi zyli o wierszh i koluh) wyzzik róŝy od zer to rówie ierzowo-wektorowe B R zyli 4) M M zwsze to zzy dl dowolego ) rozwiązie de wzore 5) B Przykłd 4 RozwŜy ukłd rówń z iewidoyi: 5 5 N oy fktu jego rozwiązie jest posti B Olizją przy uŝyiu dostępej w Eelu fukji MACIERZODW ierz odwrotą do B otrzyujey B 4 wię 4 o ozz iŝ ; wześiej upewiy się z pooą fukji WYZNACZNIMACIERZY Ŝe B) Fkt iekw iterpretj oŝei ierzy przez wektor) Jeśli ierz B oŝyy przez wektor por 4)) ozz to Ŝe - kolu B oŝo jest przez - kolu B oŝo jest przez itd stępie dodwe są do sieie tk otrzye koluy tworzą koluę rówą Stosują tę włsość do przykłdu 4 ędziey ieć 6) - 5 5

10 Rozwiązywlość ukłdu rówń liiowyh Pozostje do wyjśiei kiedy istieje jedo lu więej) rozwiązie ukłdu rówń liiowyh ) gdzie iloś iewidoyh jest z reguły i iŝ ilość rówń Tutj przyhodzi w sukurs pojęie liiowej iezleŝośi wektorów orz pojęie rzędu ierzy Powiey Ŝe wektor e jest liiowo zleŝy od wektorów k jeśli istieją t- kie lizy k λ λ λ Ŝe zhodzi rówość e k k λ λ λ Rówie 6) pokzuje Ŝe wektor jest liiowo zleŝy od wektorów 5 5 Powiey Ŝe wektory są iezleŝe jeśli Ŝde z ih ie jest zleŝy od pozostłyh Njrdziej prosty przykłde liiowo iezleŝyh wektorów jest ukłd wektorów które ją jedą współrzędą rówą zś pozostłe współrzęde są rówe zero p 7) Zdie do dou: udowodij iŝ powyŝsze wektory są liiowo iezleŝe! Rząd ierzy A ozzy przez rza) jest to ksyl- ilość liiowo iezleŝyh kolu ierzy A Fkt 4 ) rza) ksylej ilośi liiowo iezleŝyh wierszy ) Mierz kwdrtow stopi k rząd rówy k wtedy i tylko wtedy gdy A) Przykłd 5 Oliz rząd ierzy C 5 5 Po pierwsze rzc)< 4 poiewŝ ierz C tylko wiersze zś oy fktu 4) rząd kŝdej ierzy

11 jest rówy ksylej ilośi jej liiowo iezleŝyh wierszy Po drugie ozz- ją przez B podierz skłdjąą się z pierwszyh kolu C wioskujey oy fktu 4) iŝ rządb) poiewŝ B)5 Dowodzi to iŝ rzc) o łązie z ierówośią rzc)<4 pokzuje Ŝe rzc) Fkt 5 RozwŜy ukłd rówń liiowyh z iewidoyi M zyli rówie ierzowo wektorowe M M zpisywe skrótowo jko A PowyŜszy ukłd rówń liiowyh o jiej jedo rozwiązie wtedy i tylko wtedy gdy rza) rza) Przykłd 6 Powróy do ukłdu rówń z iewidoyi 8) 5 5 rozptrywy juŝ w przykłdzie 4 Sprwdźy zy ty rze rza)rza) gdzie A 5 5 zś A) 5 5 Jest to dl s szzególie łtwe poiewŝ rozwiązują przykłd 5 pokzliśy iŝ rza) orz rza) z zego wyik iŝ rówie ierzowo-wektorowe 8) o jiej jedo rozwiązie Zdie str 7 z Podręzik) Wyprodukowie preli kosztuje ) przyhód ze sprzedŝy preli dy jest fukją R) 8 ) iedy zysk ędzie rówy?; ) Jki jest zysk strt) ze sprzedŝy preli?; oliz zysk ze sprzedŝy preli; ) Dl jkiego zysk wyiesie 5?

12 Rozwiązie Zysk przyhód ze sprzedŝy koszty zyli Z) ) ) Zte zysk ze sprzedŝy preli Z) ) R) zyli 8 5 4; ) Z) R) ) 5 -; Z) 5 ; ) Z) zyli 4 preli Zdie str 7 z Podręzik) owlski pluje zkup udziłów jedostek uzestitw w PIONIER) orz y udziłów kji) TP SA Dziś jedostk uzestitw kosztuje 8zł zś kj TP SA 9zł Dywidedy wyoszą odpowiedio 48zł orz 56zł Jk owlski powiie rozdyspoow swy kpitłe w wysokośi 4 tyszł y uzysk 6zł z dywided? Rozwiązie My tu ukłd rówń z dwie iewidoyi: 8 9 y y 6 który oŝ zpis w posti ierzowo-wektorowej jko A gdzie A y 6 N oy Fktu rozwiązie jest por wzór 5)) A y Ay uzysk 6zł dywidedy owlski powiie kupi 986 jedostek uzestitw PIONIER orz 7 kji TP SA Zdie 4 str7z Podręzik) Idiie Wputi wyriją koe dywy i spódie Ŝdy ko wyg 4 godz przędzei weły 4 godz frowi 5 godz pleei Ŝdy dyw wyg godz przędzei 5 godz frowi orz 8 godz pleei Ŝd spódi wyg godz przędzei godz frowi orz 9 godz pleei Ile koy ) dywów y) i spódi z) wyprodukuj Idiie jeśli poświeą przędzeie 6 godz frowie 59 godz zś pleeie godz? Rozwizie Otrzyujey stępująy ukłd rówń liiowyh ze względu iewidoe:

13 4 y z 6 zs przezzoy przędzeie) 4 5y z 59 zs przezzoy frowie) 5 8y 9z zs przezzoy pleeie) W ty przykłdzie 4 6 A / A 5 4 / / 6 Idiie wyprodukują 5 koy dywy i spódię y z A Zdie str6z Podręzik) Resturj przygotowuje rodzje surówek: włoskie fruskie i orietle Surówk włosk skłd się z kg ukiii kg rokuł orz 4kg rhwi Surówk frusk skłd sie z 6kg rokuł orz 4kg rhwi toist surówk orietl skłd sie z kg ukiii 5kg rokuł kg rhwi Resturj posid w gzyie 6kg ukiii 44kg rokułów i 94kg rhwi Ile zestwów surówek włoskih fruskih I orietlyh jest w stie przygotowć y zuŝyć dokłdie wszystkie zpsy w gzyie? Rozwiązie Nieh # zestwów włoskih; y # zestwów fruskih; z # zestwów orietlyh Zdefiiujy ierz A w stępująy sposó: A MoŜą -y wiersz A przez y z otrzyujey ile ukiii zjduje sie we wszystkih zestwh surówek MoŜą -i wiersz A przez y otrzyujey ile rokułów z zjduje sie we wszystkih zestwh surówek Podoie oŝą -i wiersz A przez

14 4 y otrzyujey ile rhwi zjduje się we wszystkih zestwh surówek z Otrzyujey wię rówie ierzowo-wektorowe 6 9) 6 5 y z 94 które rozwiązujey w tki s sposó jk powyŝej tz y z / 44 / / /